沪科版八年级数学下册试题 第19章 四边形 章节测试卷（含解析）

第19章《四边形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个多边形的每一个外角都等于，下列说法错误的是（ ）
A．这个多边形是二十边形 B．这个多边形的内角和是
C．这个多边形每一个内角都是 D．这个多边形的外角和是
3．如图，平行四边形的对角线、相交于点，交于点．若，的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
4．如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接，将沿翻折，使得点刚好落在边的处，若，，，的长是（ ）
A．3 B．5 C． D．
5．如图，在四边形中，，于点，若四边形的面积是，则的长是( )
A． B． C． D．
6．如图，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 （ ）
A．12 B．14 C． D．
7．如图，甲、乙两人分别用一张矩形纸做一个折菱形的游戏．甲沿折叠使得点落在上，沿折叠使得点落在上，甲说得到的四边形为菱形；乙沿折叠使得与重合，再折出，，乙说得到的四边形为菱形；下列说法正确的是（ ）
A．甲一定成立，乙可能成立 B．甲可能成立，乙一定不成立
C．甲一定成立，乙一定不成立 D．甲可能成立，乙也可能成立
8．如图，正方形的对角线相交于点O，（两直角边长均大于的长度）绕点O旋转的过程中，与正方形重叠部分的面积（　　）
A.由小变大 B．由大变小
C．始终不变 D．先由大变小，然后又由小变大
9．如图所示，在四边形中，，、分别是、的中点，、的延长线分别与的延长线交于点、，则(　　)
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
10．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，，下列结论中结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在菱形中，对角线，的长分别为6，8，过点A作于点E，则的长为___________．
12．如图，等边三角形，正五边形，点，，，在的边上，则的度数为__________．
13．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于_______．
14．如图，长方形中，，，点是边上任一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当的长为___________时，恰好为直角三角形．
15．如图，矩形 的面积为 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边做平行四边形 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边做平行四边形 ；；依此类推，则平行四边形 的面积____．
16．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边的延长线上，，连接交于点，过点作于点，交边于点．若，．则_____________，_____________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，交的延长线于点E．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
18．（6分）如图，在五边形中，，，，，，请根据要求作答．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，连接，，小明发现该图形是轴对称图形．
①除已知条件外再找出1组相等的线段和2组相等的角（不再添加辅助线）．
②请你用无刻度尺画出它的对称轴．
(3)如图3，连接，已知，请说明．
19．（8分）如图1，中，，，，点P、Q是边，上两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点E，F，设．
(1)当平行四边形的面积为时，求m的值；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，，，当与的一边平行时，求的面积．
20．（8分）四边形中，，对角线相交于点E．
(1)如图1，若，，求证：；
(2)如图2，若平分，点E是的中点，过点B作，垂足为F，点G为的中点，连接．
①求证：；
②连接，试判断四边形的形状，并证明．
21．（8分）已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
22．（8分）如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比．
(1)如图2，四边形是矩形，，，则 ．
(2)如图3，四边形是平行四边形，，求证：四边形是菱形．
(3)已知如图，在中，，点、、分别在、、边上，若存在一个四边形是平行四边形，且，请通过尺规作图作出一个点．（不写作法，但保留作图痕迹；如若有必要，可简述作图思路）
23．（8分）在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．
(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．
(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．
①如图3，若，，则______；
②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．
答案
一．选择题
1．C
【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长．
【详解】设AE与BF交于点O，连接EF
由作图可知，AE与BF相互垂直平分
∵BF=6，∴BO=3
∵AB=5
∴在Rt△ABO中，AO=4
∴AE=8
故选：C．
2．B
【分析】用除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的内角与相邻的外角互为补角和多边形的内角和公式与外角和定理对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由题意可得：
多边形的边数为：，故A选项不符合题意；
多边形的内角和为：，故B选项符合题意；
每一个内角为：，故C选项不符合题意；
多边形的外角和为：，故D选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】由平行四边形的性质得，，，证是的中位线，则，，求出，则，即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
是的中位线，
，，
的周长等于10，
，
，
，
的周长．
故选：B．
4．C
【分析】连接，根据折叠得到，，根据勾股定理求出，即可得到，从而得到，即可得到答案；
【详解】解：∵将沿翻折，使得点刚好落在边的处，，
∴，，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴,
故选C．
5．C
【分析】如图，过点D作交的延长线于E，先证明四边形是矩形，再利用证明，得到，，再由四边形的面积，得到，则．
【详解】解：如图，过点D作交的延长线于E，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形的面积四边形的面积，
∴，
∴，
故选C．
6．C
【分析】利用菱形的面积公式：，即可解决问题；
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故选：C．
7．B
【分析】由折叠的方法可知，四边形和四边形为平行四边形；再判断它们邻边是否相等即可得出结论；
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
∴，
由折叠知：，
∴
∴∥,
∴四边形是平行四边形
当时，四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴，
故时，四边形为菱形，甲甲可能成立，
而由乙折叠方法可知，所以，故四边形为不可能为菱形．
综上所述：甲可能成立，乙一定不成立，
故选B．
8．C
【分析】由条件可得，从而，，即可说明重叠面积始终不变．
【详解】解：正方形中，，，，，
，
，
在与中，，
，
，
，
则重叠部分的面积始终不变，
故选：C．
9．B
【分析】连接BD，取中点I，连接IE，IF，根据三角形中位线定理得IE＝2AD，且平行AD，IF＝BC且平行BC，再利用 AD＞BC和 IE∥AD，求证∠AHE＝∠IEF，同理 可证∠BGE＝∠IFE，再利用IE＞IF和∠AHE＝∠IEF，∠BGE＝∠IFE即可得出结论．
【详解】连接BD，取中点I，连接IE，IF
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴IE，IF分别是△ABD，△BDC的中位线，
∴IE＝AD，且平行AD，IF＝BC且平行BC，
∵AD=BC，
∴IE=IF，
∵IE∥AD，
∴∠AHE＝∠IEF，
同理∠BGE＝∠IFE，
∵在△IEF中，IE=IF，
∴∠IFE=∠IEF，
∵∠AHE＝∠IEF，∠BGE＝∠IFE，
∴∠BGE=∠AHE．
故选：B．
10．D
【分析】根据正方形，为对角线，，可知四边形是矩形，由此可证、
、、是等腰直角三角形，为的中点，，可知是等腰
直角三角形，由此即可求解．
【详解】解：结论①，
∵正方形中，为对角线，，
∴，，
∴，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，
由结论①正确可知，是等腰直角三角形，为的中点，
∴，且、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，且，
∴，
∴，
∵，故结论②正确；
结论③，
∵、、、是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故结论③正确；
结论④若，则，
由结论②正确，可知；由结论③正确可知，，
且、、、是等腰直角三角形，
∴，即是等腰直角三角形，
如图所示，过点作于，设，则，，，
∴，，
∴，故结论④正确；
综上所示，正确的有①②③④，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，利用等积法求出的长即可．
【详解】解：∵在菱形中，对角线，的长分别为6，8，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，即：，
∴；
故答案为：．
12．
【分析】先由等边三角形的性质得出，再由正多边形的性质求出，，再利用三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解： 是等边三角形，
．
多边形是正五边形，
，，
，
，
故答案为：．
13．2
【分析】连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得，由勾股定理得AD=5，从而有 AD=DE=5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DCO，从而可得∠DOC=∠DCO，进而可得DO=DC=3，最后进行计算即可解答．
【详解】解∶如下图∶连接AE，
∵，AB=EC=2，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴，
∵ AD=， DE=5，
∴AD=DE=5，
∴∠DAE=∠DEA，
∵，
∴∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DC0，
∴∠DOC=∠DCO，
∴DO=DC=3，
∴AO=AD-DO=5-3=2，
故答案为∶2．
14．1或
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，当点落在边上时，利用矩形的性质及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连接，
在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设，则，，
在中，
，
，解得，
，；
②当点落在边上时，如答图2所示．
此时四边形为正方形，
，
，
综上所述：或，
故答案为：1或．
15．
【分析】如图：过点O向作垂线，垂足为E，平行四边形的面积为，根据矩形的性质,即平行四边形的面积为；同理：根据平行四边形的性质可得：，即面积，依此类推，即可得到平行四边形的面积．
【详解】解：如图：过点O向作垂线，垂足为E，过点向作垂线，垂足为F，
∵，
∴，
∵O为矩形的对角线交点，
∴
∴
∵矩形ABCD的面积
∴平行四边形AOC1B的面积
同理：根据平行四边形的性质可得：，
平行四边形面积，
依此类推：
平行四边形的面积．
故答案为．
16． 5
【分析】连接，，，由正方形的性质可得，，，可证，可得，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质可得点为中点，由，可证，，可得，设，则，则，已知，则，根据勾股定理解得，可得，由勾股定理得，从而可得，即可求解．
【详解】连接，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴
解得：，（舍），
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：；；
三．解答题
17．（1）解：四边形为平行四边形；理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
18．（1）∵AB⊥BC，AE⊥ED，
∴∠B=∠E=90°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，∠C=∠D=120°，
∴∠A+90°+120°+120°+90°=540°，
∴∠A=120°；
（2）①如图2，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC；
②如图2，连接BD，连接CE交BD于点T，作直线AT，
则直线AT即为所求；
（3）如图3，
∵AB=AE，
由（1）得∠A=120°，∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-120°）=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=90°-30°=60°，
∵C=120°，
∴∠CBE+∠C=60°+120°=180°，
∴BE∥CD．
19．（1）解：如图1，过点P作于M，
∵，，
∴，
中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵平行四边形的面积为，
∴，即，
解得：，，
中，，
∴，
当时，，
当时，，不符合题意，舍去；
综上，m的值是1；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：分两种情况：
①如图2，，
∵，
∴，
中，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
②如图3，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上，的面积为或．
20．（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，延长交于点M，延长交于点H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：四边形是平行四边形，证明如下：
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
21．（1）连接，如图1，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点F作，交的延长线于点H，如图2，
在（1）中已证为等边三角形，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）过点B作，交于点K，如图3，
∵，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
过点A作，
由（2）可知，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
22．（1）解：∵四边形是矩形，
∴， ，
∵，，
∴，
∴ ，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）如图，以点C为圆心，为半径作弧，交于点D，作的垂直平分线交于，连接，并延长交于点F，则点F为所求点．
理由如下：过作交于，过作交于，连接，交于，过作于，过作于，
由作图可得：，而，
∴，，
由作图可得： 作的垂直平分线交于，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即．
23．（1）∵四边形是正方形，
，，，
过点作分别交、于点、，如图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
（2）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示：
四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，
，
在 和 中，
，
（），
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
（3）①解：如图所示，
过点分别作垂足分别为，则
在正方形对角线上，
，是等腰直角三角形，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
，，
解得：，
则，
故答案为：．
连接交于点，如图所示：
则的直角顶点在上运动，
设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，
，，
，
当点在线段上运动时，过点作于点，过点作 交延长线于点，连接，
点在上，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
， ，
由翻折性质得： ，
在和 中，
，
（），
，'，
是正方形的对角线，
，
则，
，
，
，故 ，
点在线段 上运动；
过点作 ，垂足为，
点为的中点，
，则 的最小值为．