沪科版八年级数学下册试题 期中检测卷（含解析）

期中检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
3．一元二次方程有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．等腰三角形的三边长分别为，，1，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．1且2
6．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
7．如图，在等腰直角中，，是的高线，E是边上一点，分别作于点F，于点G，几何原本中曾用该图证明了，若与的面积和为7.5，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．设为正整数，，，，，…，….，已知，则( ).
A．1806 B．2005 C．3612 D．4011
9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（　　）
A． B．10 C．9.6 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若，则________．
12．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____．
13．将化简的结果是___________________.
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是_____．
15．如下图，直线，且与的距离为2，与的距离为6．把一块含有角的直角三角板如图放置，顶点，，恰好分别落在三条直线上，则的周长应为________．
16．如图是一张长方形纸片，已知，，点E、F在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片（），使点P落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的边长是______．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分）计算：
(1)； (2)．
18．(6分）解下列方程：
(1)（用配方法） (2)（用公式法）
(3) (4)
19．如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：．
20．(8分）关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根
（2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．(8分）年9月，新冠病毒再次席卷贵阳，戴口罩是阻断病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒元医用口罩进行销售，如果按每盒元销售，每天可卖出盒，通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
(1)若每盒售价降低x元，则日销售量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元．
(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？
22．(8分）请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使，即，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，
由于，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空：__________．
(2)化简：（请写出计算过程）．
23．(8分）如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：．
答案
一．选择题
1．B
【分析】根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=
故选A．
3．A
【分析】设一元二次方程的两个根为，根据题意，求解即可．
【详解】设一元二次方程的两个根为，
根据题意，
∴解得．
故选A．
4．A
【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵是整数，且，
∴是完全平方数，
设（m是正整数），
则，
∵与同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
5．C
【分析】分1为底边长或腰长两种情况考虑：当1为底时，由及即可求出、的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出即可；当1为腰时，则、中有一个为1，则另一个为3，由1、1、3不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．
【详解】解：当1为底边长时，则，，
．
，2，2能围成三角形，
，
解得：；
当1为腰长时，、中有一个为1，则另一个为3，
，1，3不能围成三角形，
此种情况不存在．
故选：C．
6．A
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
【详解】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．
7．B
【分析】由，得，从而有，即可得出答案．
【详解】由题意知：与都是等腰直三角形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
8．A
【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A1，A2，A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解.
【详解】∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，
∴A1=
∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，
∴A2=
∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，
∴A3=

依此类推，Ak=n+(2k-1)
∴A100=n+(2×100-1)=2005
解得，n=1806.
故选A.
9．C
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，…，由图象可知点在x轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】解：由图象可知点在x轴上，
，
，
，
，
，
．
故选C．
10．A
【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作，并使得，连接，则，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，故A正确．
故选：A．
二．填空题
11．1
【分析】根据二次根式的性质，求得，，即可求解．
【详解】解：由二次根式的性质可得，，，
解得，
则，
∴，
故答案为：1．
12．
【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
【详解】解：根据图形可得：，，
∴，
∴是直角三角形，且，
设中的高是x，
则，
∴，
解得，
故答案为：．
13．．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．
故答案为．
14．-2或
【分析】先由x12-2x1+2x2=x1x2，得出x1-2=0或x1-x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1-2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，解方程求出k=-2；②如果x1-x2=0，那么△=0，解方程即可求解．
【详解】∵x12-2x1+2x2=x1x2，
x12-2x1+2x2-x1x2=0，
x1（x1-2）-x2（x1-2）=0，
（x1-2）（x1-x2）=0，
∴x1-2=0或x1-x2=0．
①如果x1-2=0，那么x1=2，
将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，
得4+2（2k+1）+k2-2=0，
整理，得k2+4k+4=0，
解得k=-2；
②如果x1-x2=0，
则△=（2k+1）2-4（k2-2）=0．
解得： ，
∴k的值为-2或．
故答案为：-2或．
15．
【分析】作⊥于，作于，得出，，再证明，得出，，根据勾股定理求出，，即可得出结果．
【详解】解：作⊥于，作于，如图，
则，，，
∴，
由题意可知，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴的周长为：．
故答案为：．
16．或或
【分析】分三种情况当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
如图所示，当，是等腰三角形时，则；
如图所示，当，是等腰三角形时，则；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得；
如图所示，当，是等腰三角形时，过点作于H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得
综上所述，长是或或，
故答案为：或或．
三．解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）解：，
移项得：，
配方得：，
即：，
开平方得：，
解得：，．
（2）解：，
，
∴，
解得：，．
（3）解：，
将一元二次方程化为一般形式为：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
（4）解：，
将一元二次方程化为一般形式为：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
19．证明：过C点分别作的垂线，垂足分别为E、F，
∵为的平分线，，
∴．
而与互补，与也互补，
∴．
在与中，，
∴．
∴．
∵为的平分线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）证明：，
无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：，，
，
则有，
，
整理得：，
解得：或，
由方程有两个同号的实数根可得：，即m－2>0，
m>2，
不存在m使成立．
21．（1）解：由题意可得，
∵每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒，
∴若每盒售价降低x元，则日销售量为，
利润为：（元）
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，
，
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款口罩，
∴，
即售价为：（元），
答：每盒售价应定为元．
22．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由可得，这里,
∵，即，
∴．
23．（1）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴（），
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
由（1）得，
由（2）得∠°，
∴在中，，
即．