人教版八年级数学上册试题 第11章 三角形 单元测试（含解析）

第11章《三角形》单元测试
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B=2∠A，则△BCD是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
3．如图，数轴上与6表示的点分别为，点B为线段上一点，分别以为中心旋转，若旋转后两点可以重合成一点C（即构成），则点B代表的数不可能的是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
4．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
6．用边长相等的正三角形地砖和正方形地砖铺地面，围绕在一个顶点处正三角形地砖和正方形地砖的块数是（ ）
A．2块正三角形地砖和2块正方形地砖
B．2块正三角形地砖和3块正方形地砖
C．3块正三角形地砖和2块正方形地砖
D．3块正三角形地砖和3块正方形地砖
7．如图，已知点P是射线上一动点（不与点O重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）

A． B．
C．或 D．或
8．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
12．如图，在中，是边上的中线，，与相交于点F，四边形的面积是18，则的面积为
13．如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则 cm．
14．定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为 ．
15．如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 ．

16．小明在求某个多边形的内角和时，由于看漏了一个角而求得的度数和为2035°，那么这个多边形的边数为 ．
17．如图，在中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足，，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点若的面积为12，则四边形AEOD的面积为 ．
18．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段的长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．仔细看图，活学活用．

画出三角形的边上的高．
根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形面积相等的三角形
应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米．梯形的面积是（ ）．
20．（8分）已知中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点．
如图，连接，
① 若，求的度数；
② 若平分，求的度数．
(2) 若直线垂直于的一边，请直接写出的度数．
21．（10分）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证：
证明：过点A作于E
点D是边上的中点
，

（1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则______；
（2）如图3，在中，点D是边上的点且，和存在怎样的数量关系 请模仿写出证明过程．
【问题解决】
（3）现在有一块四边形土地（如图4），和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．

22．（10分）已知点在射线上，．
如图1，若，求证：；
如图2，若，垂足为，交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当，时，求的度数．
23．（10分）（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，．
①若，则______°；
②若，则的取值范围是______．
（2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”．
如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．

24．（12分）如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．A
【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
【详解】如图：
A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
故选：A．
2．D
【详解】分AB边上的中线CD=AB与CD≠AB两种情况，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，表示出∠BDC，然后对△BCD的三个角的关系进行分析得解．
解：∵D为AB的中点，
∴BD=AD=AB，
①CD=AB时，则BD=CD=AD，
在△ACD中，∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
在△BCD中，∠BCD=∠B=2∠A，
所以，∠B=∠BCD=∠BDC，
所以，△BCD是等边三角形，
②CD≠AB时，BD=AD≠CD，
在△ACD中，∠BDC=∠A+∠ACD≠2∠A，
在△BCD中，∠BCD≠∠B，
∵∠B=2∠A，
∴∠B、∠BCD、∠BDC三个角没有确定关系，
△BCD的形状无法确定．
综上所述，△BCD是任意三角形．
故选D．
3．D
【分析】设点B代表的数为x，则，、可以用x表示出来，然后根据三角形三边关系求出x 取值范围即可求解．
【详解】解：设点B代表的数为x，则由题意可得：
，，，
∴由三角形的三边关系可得：
，解得：，
故选：D．
4．B
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
C、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
D、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．
故选B．
5．C
【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解．
【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
6．B
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】解：根据平面镶嵌的条件，用公式 分别解出正三角形，正方形的内角分别为60°、90°．
设用m块正三角形，n块正方形．
则有，
得
当时，，不符合题意；
当时，；
当时，，不符合题意．
故选：B．
7．D
【分析】根据“两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形”，据此求解即可．
【详解】解：由三角形内角和可得：，
∵，
∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有；
当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有．
故选：D．
8．A
【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出，，，根据折叠的性质得到，，，可计算出，然后根据，即可得到．
【详解】解：设，则，，
，
，
解得，
，，，
是沿着边翻折形成的，
，，
，
又是沿着边翻折形成的，
，
而，
．
故选：A．
9．D
【分析】由题意推出，设，设，用含x和y的代数式表示和即可解决．
【详解】解：如图：
∵平分，平分，
∴，
设，
由外角的性质得：，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10．B
【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，
由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；
小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．
【详解】解：设第三边为，
根据三角形的三边关系，得：，
即，
为整数，
的最小值为．
故答案为：．
12．40
【分析】连接，根据中线的性质和三角形的面积公式可得三角形之间面积的倍数关系，设，，可得，，再由四边形的面积是18，解得m的值，代入计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是边上的中线，，
∴，，，
∴，，
设，，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵四边形的面积是18，
∴，解得
∴
故答案为：40．
13．30
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到，证出，同理，则的周长即为，可得出答案．
【详解】解：，
，
平分，
，
同理：，
即
故答案为：．
14．或或
【分析】先设出善美角，再利用题中的定义分类讨论即可．
【详解】解：设善美角的度数为，
则，或，或，
∴或或，
故答案为或或．
15．
【分析】根据三角形内角和定理可得，从而得到，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴，
故答案为．
16．14
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2） 180°可知多边形的内角和是180°的倍数，所求出的多边形的边数再加上1即可．
【详解】解：设除去的内角为α，则（n-2） 180°=2035°+α，
∵2035°÷180°=11…55°，
∴n-2=11+1=12，
解得n=14，
所以，这个多边形的边数n的值是14．
故答案为：14．
17．
【分析】连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．
【详解】如图，连接AO，
∵CD=3AD，
∴AD：CD=1：3，
∴，，，
∵，
∴，，
∵AF∥BC，
∴，
∴，
∴，，
∵AE=2BE，
∴BE：AE=1：2，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴S四边形AEOD．
故答案为：．
18．6
【分析】如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，根据三角形中线的性质只需要求出从而求出CH=6，即可利用点到直线的距离垂线段最短求解．
【详解】解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴AC的最小值为6，
故答案为：6．
三、解答题
19．（1）解：如图：

（2）解：如图：

（3）解：根据蝴蝶定理，梯形左、右两部分面积都是6平方厘米，
梯形的面积＝（平方厘米）
20．（1）解： 中，，，
，
平分，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
平分，
∴，
∴．
（2）解：当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，延长交于点，如图所示：
∵，
∴；
综上所述：的度数为、或．

21．解：（1） ；
（2）；理由如下：

过点A作于E
∵
∴

∴
（3）方法一：如图，连接，取的中点，连接，,则四边形就是四边形的一半．
由知,
∴

方法二：如图，取的中点H、取的中点F，连接，，则四边形就是四边形的一半．
∵H点是的中点、点F是的中点，
∴，
∴

22．（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：
理由如下：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴；
（3）设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的度数为．
23．解：（1）①∵，，
∴，
，
∴；
故答案为：；
②∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）五边形不是“完美五边形”；理由如下：
延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，如图所示：

∵，
∴延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角，
∴假设五边形为“完美五边形”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在 FCH中，
在 BGK中，
∴，这与矛盾，
∴、、、不可能相等，假设不成立，
∴五边形不是“完美五边形”．
24．（1）解：①∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，
∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，连接，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．