2023-2024学年北京市第十一中学高一（下）期中数学（pdf版，含答案）

2024北京十一中学高一（下）期中
数 学
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
1．在平行四边形 ABCD中， AC BC =（ ）
A． DA B． BD C．CD D．DC
i
2．复数 z = 在复平面上对应的点位于 （ ）
1+ i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c.已知 A=45°，a=6，b=3 2 ，则 B的
大小为（ ）
A．30° B．60° C．30°或 150° D．60°或 120°
4．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为 1且体积相同，则圆柱的高为（ ）
4
A．1 B． C．2 D．4
3
5．在△ ABC 中，“ AB BC 0 ”是“△ ABC 为锐角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知平面向量 a 与b 的夹角为60 ，a = (2,0)， b =1，则 a + 2b =（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 4 D．12
7．在 ABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a cos B = b cos A，且 a = bsin C ，
则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角 D．不确定
8．如图所示，边长为 2的正 ABC，以 BC的中点 O为圆心，BC为直径在点 A的另一侧作半
圆弧 BC ，点 P在圆弧上运动，则 AB AP的取值范围为（ ）
A． 2, 2 3 B． 2,5
C． 2,4 D． 4,3 3
9．在锐角三角形 ABC 中，角 A、 B 、C 的对边分别为 a,b,c ，若
a2 + c2 = 3ac + b2，则 cos A + sin C 的取值范围为（ ）
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3 3 2
A． , B． , 2
2 2 2
1 3
C． , D． ( 3, 2)
2 2
10. 已知线段 AB的长为 4，以 AB为直径的圆有一内接梯形 ABCD，其中 AB//CD（如图）
则这个梯形的周长的最大值为（ ）
A．8 B．10
C．4( 2 +1) D．以上都不对
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分
11．如果向量 a = (k,3)，b = (5, k )共线且方向相反，则 k 等于 .
12．已知 a,b R， (1+ 2i)a =1+bi ，则 a bi = .
13. 记 ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若2sin B = 3sin A ，
1
sin C = ， a = 4，则 ABC的面积为 .
12
14. 如图，在三棱锥D AEF 中， A1, B1,C1分别是DA, DE, EF 的中
点， B,C 分别是 AE, AF 的中点，设三棱锥D AEF 的体积为V1，三棱柱 ABC A1B1C1 的体积
为V2，则V1 :V2 = .
15．如图，在 ABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 3， BAC = 60 ，M 是 BC 的
2
中点， AN = AC ，设 AM 与 BN 相交于点 P，
3
则 cos MPN = ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题 13分）
已知平面向量 a,b满足 a = 3, b =1，且 a+2b = 7 ．
（Ⅰ）求向量 a,b的夹角 ；
（Ⅱ）若 (a + b) ⊥ (2a b)，求实数 的值.
17．（本小题 14分）
已知函数 f (x) = 2cos x (sin x 3 cos x) + 3 .
（Ⅰ）求 f ( x)的最小正周期和 f ( x)的单调递减区间；

（Ⅱ）当 x , 时，求函数 f ( x)的最小值及取得最小值时 x的值.
2
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18. （本小题 14分）
如图，在平面四边形 ABCD中， AB = AD = 4， BC = 6．
2π π
（Ⅰ）若 A = ，C = ，求 sin BDC 的值；
3 3
（Ⅱ）若CD = 2， cos A = 3cosC ，求三角形 ABD的面积．
b 10 10
19. （本小题 14分）在△ABC 中， = ， cos A = ．
a 5 10
（Ⅰ）求证△ABC 为等腰三角形；
（Ⅱ） 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，
求 b 的值．
15
条件①： B = ；条件②：△ABC 的面积为 ；条件③： AB 边上的高为 3.
6 2
20. （本小题 15分）已知点 O（0，0），A（2，1），B（1，2）．
1
（Ⅰ）若 OP = OA+OB ，求点 P的坐标；
2
（Ⅱ）已知 OQ = OA+ OB ．
①若点 Q在直线 AB : y = x + 3上，试写出 ， 应满足的数量关系，并说明你的理由；
②若 QAB为等边三角形，求 ， 的值．
21. （本小题 15分） n个有次序的实数 a1，a2， ，an 所组成的有序数组 (a1，a2， ，an )称为
一个 n 维向量，其中ai (i =1，2 ，n)称为该向量的第 i 个分量．特别地，对一个 n 维向量
a = (a1，a2， ，an )，若 ai =1，i =1，2 n ，称 a 为 n 维信号向量．设
n
a = (a1，a2， ，an )，b = (b1，b2， ，bn )，则 a 和b 的内积定义为a b = aibi ，且
i=1
a ⊥ b a b = 0 ．
（Ⅰ）直接写出 4个两两垂直的 4维信号向量．
（Ⅱ）证明：不存在 14个两两垂直的 14维信号向量．
（III）已知 k 个两两垂直的 2024 维信号向量 x1，x2， ，xk 满足它们的前m 个分量都是相
同的，求证： km 45.
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参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40分。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D A A B B B C B A B
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
8 19
11． 15 .12. 5 13. 1 14. 15.
3 38
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
2
16. （1） =
3
39
（2） = .
8
5 11
17. （1） f (x) = 2sin(2x ) ；T = , + k , + k (k Z) 3 12 12
11
（2）当 x = 时，最小值 2 .
12
3
18．（1） sin BDC = ;
4
16 2
（2） S = .
3
19. （1） A = C,等腰三角形
（2）b = 10.
5 3 3
20. （1） 2, （2）① + =1 ② = = .
2 6
21. （1）解： (1，1，1，1)，( 1， 1，1，1)，( 1，1， 1，1)，( 1，1，1， 1)．
（2）解：假设存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量 y1，y2， ，y 14 ，
将这 14 个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不
变，
不妨设 y1 = (1，1， ，1)，y2 = (1，1，1，1，1，1，1， 1， 1， 1， 1， 1， 1， 1)，
y1 y3 = 0 y3 有 7 个分量为 1
设 y3 的前 7 个分量中有 r 个-1，则后 7 个分量中有7 r 个 1
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7
y2 y3 = r ( 1)+ (7 r )+ (7 r )+ r ( 1) = 0 r = ，矛盾
2
不存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量．
（3）解：任取 i，j 1，2， ，k ，计算内积 xi x j ，将所有这些内积求和得到 S ，则
S = x21 + x
2 2
2 + + xk = 2024k
设 x1，x2， ，x
2
k 的第 k 个分量之和为 ci ，则从每个分量的角度考虑，每个分量为 S 的贡献为 ci
S = c2 2 2 2 21 + c2 + + c2024 c1 + c2 + + c
2
m = k
2m
2024k k 2m km 2024 2025 km 45．
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