【北师大版九上同步练习】 6.2 反比例函数图像和性质（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
6.2反比例函数图像和性质
一、填空题
1． 如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点顺时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是　 　．
2．如图，顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为　 　．
3．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　 　．
二、单选题
4．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线AC的中点，若矩形的面积为16，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．8
5．如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（1，－3） D．（－1，3）
6．如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（　　）
A．4 B． C． D．
8．已知在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值是（　　）
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
三、解答题
9．已知在直角坐标系中一点 P(a，b)，其中a，b可以取-2，-1.1，2中任意一个值(a≠b)．求点P(a，b)恰好落在反比例函数y= 的图象上的概率．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝8，BC＝5．
（1）若OA＝8，求k的值：
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
11．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y，那么称点T是点A、B的“和美点”．
（1）已知A（﹣1，8），B（4，﹣2），C（2，4）．请判断点C　 　（填“是”或“不是”）A、B两点的“和美点”．
（2）平面直角坐标系中，有四个点A （8，﹣1），B（2，﹣4），C（﹣3，5），D（12，5），点P是点A、B的“和美点”，点Q是点C、D的“和美点”．求过P、Q两点的直线解析式．
（3）若反比例函数y图象上有两点A、B，点T是点A、B的“和美点”，试问点T的横、纵坐标的积是否为常数？若是常数，请求出这个常数；若不是常数，请说明理由．
四、计算题
12．在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与y轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ．
（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；
（2）若点C是y轴上一点，且 ，直接写出点C的坐标．
五、综合题
13．如图，反比例函数 的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在第　 　象限；在每个象限内， 随 的增大而　 　，常数 的取值范围是　 　；
（2）若此反比例函数的图象经过点 ，求 的值.
14．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点 A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
15．阅读理解：
在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”．如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”
（1）已知点A的坐标为（0，1）．
①若点B的坐标为（3，5），则点A、B的“相关矩形”的周长为 ▲ ．
②若点C在直线y＝5上．且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式．
（2）已知点M的坐标为（-2，4），点N的坐标为（-5，3），若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
六、实践探究题
16．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵ ≥0，∴a﹣ ≥0，∴a+b≥2 ，只有当a＝b时，等号成立．
（1）【获得结论】在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2 ，只有当a＝b时，a+b有最小值2 ．
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m＝　 　时，m+ 有最小值　 　．
（2）【探索应用】如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为双曲线 上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
17．阅读材料：
对于两个正数a、b，则 （当且仅当a＝b时取等号）.
当 为定值时， 有最小值；当 为定值时， 有最大值.
例如：已知 ，若 ，求 的最小值.
解：由 ≥ ，得 ≥ ，当且仅当 即 时， 有最小值，最小值为 .
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知 ，若 ，则当 　 　时， 有最小值，最小值为　 　；
（2）已知 ，若 ，则 取何值时， 有最小值，最小值是多少？
（3）用长为 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
18．如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．
（1）当时；
①点　 　“的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“的l镜像”与x轴交点坐标是　 　；
（2）过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
2．【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的角平分线、中线和高
3．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
4．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
5．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
9．【答案】解：将点P(a，b)代入反比例函数y= 中得，
b = ，
整理得：ab=2，
点P坐标乘积为2的情况如下表：
　 -2 -1 1 2
-2 　 2 -2 -4
-1 2 　 -1 -2
1 -2 -1 　 2
2 -4 -2 2 　
点P(a，b)恰好落在反比例函数y= 的图象上的概率为：.
【知识点】反比例函数的图象；列表法与树状图法；概率的简单应用
10．【答案】（1）解：作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝8，
∴AE＝BE＝4．
在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝4，
∴CE＝＝＝3，
∵OA＝8，
∴C点的坐标为：（5，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝5×4＝20，
（2）解：设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝5，AB＝8，
∴AD＝3，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，3），（m﹣3，4）．
∵点C，D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴3m＝4（m﹣3），
∴m＝12，
∴C点的坐标为：（9，4），
∴OC＝＝．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
11．【答案】（1）是
（2）解：∵点A （8，﹣1），B（2，﹣4），且点P是点A、B的“和美点”，
∴P（4，2）．
∵点C（﹣3，5），D（12，5），且点Q是点C、D的“和美点”，
∴Q（6，5），
设直线PQ的解析式为y=kx+m，
∴，
∴，
∴直线PQ的解析式为yx﹣4；
（3）解：点T的横、纵坐标的积是常数4，
理由：设点A（n，），B（h，）．
∵点T是点A、B的“和美点”，
∴T（，），
∴点T的横、纵坐标的积是： 4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
12．【答案】（1）∵双曲线 过 ，将 代入 ，解得： ．
∴所求反比例函数表达式为： ．
∵点 ，点 在直线 上，∴ ， ，∴ ，∴所求一次函数表达式为 ．
（2）由 ， 可得： ，∴ ．
又∵ ，∴ 或 ，∴ ， 或 ， ．
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；平面直角坐标系的构成
13．【答案】（1）四；增大；
（2）解：把 代入 得到： ，则
故m的值为
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
14．【答案】（1）解：作CH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，
∴C（9，3）；
（2）解：由（1）同理可得，点D（6，9），
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝6时，x＝，
∴m＝，
∴D'（6+，9），即D'（，9）
（3）解：Q（，）或（，-）或（-，6）或（，）
【知识点】反比例函数的图象；菱形的性质；正方形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
15．【答案】（1）解：①14； ②设点C（a，5），
又∵点A的坐标为（0，1），点A、C的“相关矩形”为正方形，
∴|a-0|＝|5-1|，
∴a＝±4，
∴点C（4，5）或（-4，5），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
若过点A，点C（4，5），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
若过点A，点C（-4，5），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝-x+1，
综上所述：直线AC的解析式为y＝-x+1或y＝x+1；
（2）解：如图，
当y＝的图象过点（-2，3）时，函数的图象与点M、N的“相关矩形”有1个公共点，
∴k＝-2×3＝6时，
当y＝的图象过点（-5，4）时，函数的图象与点M、N的“相关矩形”有1个公共点，
∴k＝-5×4＝-20，
∴当-20＜k＜-6时，函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
16．【答案】（1）1；2
（2）解：设P（x， ），则C（x，0），D（0， ），
∴CA＝x+3，BD＝ +4，
∴S四边形ABCD＝ CA×BD＝ （x+3）（ +4），
化简得：S＝2（x+ ）+12，
∵x＞0， ＞0，
∴x+ ≥2 ＝6，
只有当x＝ ，即x＝3时，等号成立，
∴S≥2×6+12＝24．
∴S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），
AB＝BC＝CD＝DA＝5，
∴四边形ABCD是菱形
【知识点】菱形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
17．【答案】（1）；12
（2）解：
由 得
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为9
答： 时， 有最小值，最小值是9
（3）解：设这个长方形花园的长为 ，则宽为
则所围的长方形花园面积为
由题意得： ，即
由 得 ，即
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，最大值为
则当 ， 时， 有最大值，最大值为625
答：当长方形花园的长、宽均为 时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是
【知识点】反比例函数的性质；不等式的性质
18．【答案】（1）在；
（2）解：如图，①过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、．
点，纵坐标为．
点在反比例函数图象上．
点坐标．
．
．
．
点坐标为．
当时，反比例函数的值．
点与点关于直线对称．
由“的镜像”定义得：．
的长为．
②当点，位置交换时，同理得的长为 ．
的长为或．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
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