【北师大版九上同步练习】 6.3 反比例函数的应用（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
6.3反比例函数的应用
一、单选题
1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（　　）
A．或 B．或
C．或x＞2 D．或
4．如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数于点，，若，则的值为（　　）
A．6 B． C．9 D．12
5．如图，是坐标原点，点位于第一象限，轴于点，，，为的中点，连接，过点作交轴于点若反比例函数的图象经过的中点，与线段交于点，则的长为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为　 　．
7． 在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为　 　．
8．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．
三、计算题
9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象直接写出的解集．
10．
（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： （x，y）是函数y＝2x与 的图象的交点坐标．
四、解答题
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，请直接写出x的取值范围．
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设点C关于x轴的对称点为D，连接、，求的面积．
13． 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式；
（3）在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标．
五、综合题
14．已知双曲线 的图像经过点A（3，4）.
（1）求k的值；
（2）请判断点B（2，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
15． 如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数 的图象交于A(3，4)， B两点.
（1） 填空： k=　 　， m=　 　；
（2）根据函数图象，直接写出不等式 的解集；
（3）若点C在y轴的正半轴上， 且AC⊥BC，垂足为点C， 求△ABC的面积.
16．如图，在平面直角坐系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．
（1）求k，m的值；
（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线PA交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．
六、实践探究题
17．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型：
设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内的交点的坐标．
（2）画出函数图象：
函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象：
当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值　 　；
（4）得出结论：
若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围　 　．（直接写出结论）
18．【阅读理解】
我们知道，当a＞0且b＞0时，（ ﹣ ）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），
【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2
（1）【直接应用】
若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=　 　时，y1+y2取得最小值为　 　．
（2）【变形应用】
若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则 的最小值是　 　
（3）【探索应用】
在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S
①求S与x之间的函数关系式；
②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．
19．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，反比例函数（）的图象经过点，并与线段交于点，反比例函数（）的图象经过点，交轴于点．已知．
（1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点，设点的坐标为
①当时，求的值；
②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
2．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
3．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
5．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
6．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
7．【答案】1
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
8．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
9．【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
10．【答案】（1）解：原式=1+9 +（1- ×18）
=1+9 -1=9
（2）解：由已知可得：
，
解之可得： 或 ，
∵原式=
=
=y-x，
∴当 时，原式=2-1=1；
当 时，原式=-2-（-1）=-1；
∴原式的值为1或-1．
【知识点】实数的运算；反比例函数与一次函数的交点问题
11．【答案】（1）一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为：
（2），或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
12．【答案】（1），
（2）16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
13．【答案】（1）解：令中，，则；，则，
∴A，B两点的坐标分别是：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
∵，相似比2，
∴，
设，则，
∴，即，
∴该反比例函数的表达式：；
（3）解：①当M、N在直线的左侧时，
∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，
∴，
∴M、N关于直线对称，
∴点P在直线上，
设，（），
∵相似比为5，
∴，
∴，即，
同理：，
∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∵与位似，且相似比为5，
∴，
∴，解得：（舍去）或，
∴；
②同理：当M、N在直线的右侧时，
设，（），
，
同理：，
∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∵与位似，且相似比为5，
∴，
∴，解得：（舍去）或，
∴，
综上所述：或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
14．【答案】（1）解：将A（3，4）代入 ，
则k=12，
故反比例函数解析式为：y=
（2）解：当x=2时，y= =6，B（2，6）在反比例函数图象上
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
15．【答案】（1）；
（2）解：不等式的解集为或
（3）解：由（2）知点，∴AO＝BO＝5.
又∵∠ACB＝90°，∴CO＝AO＝BO＝5.
∴点C的坐标为（0，5）.
∴△的面积为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
16．【答案】（1）解：将点A（1，2）代入y＝kx+1（k≠0）中，得k+1＝2，
∴k＝1，
将点A（1，2）代入y＝（x＞0）中得m＝2；
（2）解：①当点P在点A下方时，
过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H，
∵PQ平行于x轴，
∴△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
∵点A（1，2），
∴点P纵坐标为1．
∵m＝2，
∴．
∴P点坐标为（2，1）．
②当点P在点A上方时，
过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H．
∵PQ平行于x轴，
∴△APQ∽△ACB．
∴，
∴，
∵点A（1，2），
∴P点纵坐标为3．
代入，
∴P点坐标为，
∴P点坐标为（2，1）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
17．【答案】（1）一
（2）解：图像如下所示；
（3）8
（4）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
18．【答案】（1）1；2
（2）4
（3）解：①设P（x， ），则C（x，0），D（0， ），
∴AC=x+3，BD= +2，
∴S= AC BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；
②∵x＞0，
∴x+ ≥2 =6，
∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，
∴此时S=6+x+ 有最小值12，
∵x=3，
∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），
∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
19．【答案】（1）解：过A作AQ⊥x轴于Q，
∵A在反比例函数上，
∴a==4，
∴A点坐标为（-1，4），
又∵B（-4，0），
∴BQ=3，
∴AB==5，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=5，
∴D（4，4），
又∵D在反比例函数（x>0）上，
∴k=4×4=16，
∴反比例函数的表达式为
（2）（-3，）
（3）解：①∵B（-4，0）
∴OB=4，
∵MN//x轴，P（0，m），
∴M（，m），N（，m）
∴
∵MN=OB
∴MN==4
∴m=5
②（0，4+）或（0，4-）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
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