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1.1菱形的性质与判定 题型专练
题型一、根据菱形的性质求角
1．（2024·江苏徐州·二模）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为 ．
4．（22-23八年级下·天津·期末）如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若四边形为菱形，求出的大小．
题型二、根据菱形的性质求线段的长
5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2024·山东菏泽·二模）如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为( )
A．4 B． C． D．
7．（2024·福建厦门·三模）如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则 ．
8．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段的延长线于点E，，若，求的长．
题型三、根据菱形的性质求面积
9．（2024·河北沧州·三模）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，为过点O的一条直线，点E、F分别在上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．18 D．12
11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，E，F分别是边上的中点，连接．若，则菱形的面积为 ．
12．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)若的面积为6，则菱形的面积为______．
题型四、菱形有关性质的计算与证明
13．（2024·浙江金华·二模）如图，已知四边形是菱形，延长至点E，使．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
14．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在菱形中，E、F是对角线AC上的两点，连接、，请你添加一个条件，使．（不再添加辅助线和字母）
(1)你添加的条件是______；
(2)添加条件后，请证明．
15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且．
(1)求证：；
(2)若，试求出线段的长，并说明理由．
题型五、添加条件使四边形是菱形
16．（2024·河北沧州·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·吉林白山·一模）如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）
18．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明．
题型六、菱形的证明
19．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，，两点分别为，的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，，请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
20．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在四边形中，已知对角线，点E，F，G，H分别为，边上的中点，连接．求证：四边形为菱形．
21．（23-24九年级下·吉林长春·期中）将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形．
题型七 、菱形与尺规作图
23．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
题型八、利用菱形的定求角度
24．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，， ，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
(1)求证：．
(2)四边形是什么形状的四边形？并说明理由．
(3)直接写出：当分别是多少度时，①；②．
题型九、利用菱形的判定求线段长
25．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形是矩形，连接．
(1)如图①，的平分线交于点E，交的延长线于点F，的平分线交于点H，交的延长线于点G，连接．求证四边形为菱形．
(2)在（1）的条件下，如图②，连接交于点P，交于点O，若，求的值．
26．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在四边形中，，点在边上，连接，若，平分．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接交于点，若，，请直接写出线段的长______．
题型十、利用菱形的判定求面积
27．（23-24九年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，，，是的中点，分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．
(1)请根据以上尺规作图的过程，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
28．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，已知在和中，，，与交于点M， 交的延长线于点E，交的延长线于点F，、交于点N．
(1)说明四边形的形状；
(2)若，，求四边形的面积．
题型十一、菱形的综合问题
29．（2024·江西九江·二模）课本再现
如图1，四边形是菱形，，．
（1）求的长．
应用拓展
（2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
①直接写出点到距离的最小值；
②如图3，连接，若的面积为6，求的长．
30．（2024·陕西渭南·二模）【问题提出】
（1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积．
1．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
3．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 ( )
A． B． C． D．
4．（2024·甘肃金昌·三模）已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲
5．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段EF，若四边形为菱形时，则a的值为 ．
6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则 ．
7．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是 ．
8．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，两个边长为2的等边三角形和拼接成菱形，点分别是边上一动点（不与重合），且满足，则的形状为 ，面积的最小值为 ．
9．（2024·陕西渭南·三模）如图，点为的边上一点，连接并延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，求证：四边形为菱形．
10．（2024·河南郑州·三模）如图，平行四边形中，，点为的中点，连接.
(1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形为菱形；
(3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积.
11．（2024·河南信阳·二模）综合与实践课上，某小组对含60°角的菱形进行了探究．在边长为8的菱形中，，作，分别交边于点M，N．
(1)【感知】如图1所示，若点M是边的中点，李华经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______；
(2)【探究】如图2所示，当点M为上任意一点时，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由；
(3)【应用】在边上取一点M，连接，在菱形内部作，交于点N，当时，请直接写出线段的长．中小学教育资源及组卷应用平台
1.1菱形的性质与判定 题型专练
题型一、根据菱形的性质求角
1．（2024·江苏徐州·二模）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质．由菱形的性质得，而，即可根据“”证明，得，则，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
2．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质，根据菱形的性质求出；再根据垂直平分线的性质得出，利用三角形内角和定理可以求得，从而得到的度数，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
∵四边形是菱形，
，
，
垂直平分垂直平分，
，
，
，
，即，
，
，则，
，
故选：D．
3．（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为 ．
【答案】45
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键．由等腰三角形的性质可求，由菱形的性质可得，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故答案为：45．
4．（22-23八年级下·天津·期末）如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若四边形为菱形，求出的大小．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质证出，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由菱形的性质得出为等边三角形，可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
又∵，
，
，
，
平分，
，
∵，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：由知，
四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
题型二、根据菱形的性质求线段的长
5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理．先求出得出是等边三角形，再求，最后求用勾股定理求即可．
【详解】解：四边形是菱形，
故是等边三角形
是其对角线
是边的中点,
，
,
由
．
故选：D．
6．（2024·山东菏泽·二模）如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为( )
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，勾股定理，取的中点，连接，由中位线性质可得，再根据，可得出，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示：取的中点，连接， ，
点是中点，
是的中位线，
，，
，四边形是菱形，
，，
，
，
∴
故选：C．
7．（2024·福建厦门·三模）如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理；由菱形的性质得，，，所以，则，根据三角形的中位线定理得，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于点，，，
，，，
，
，
为的中点，为边的中点，
，
故答案为：．
8．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段的延长线于点E，，若，求的长．
【答案】3
【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，
首先根据菱形的性质得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
题型三、根据菱形的性质求面积
9．（2024·河北沧州·三模）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质“所对直角边等于斜边的一半”以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质“菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角”和勾股定理“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．
由菱形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】如图，交于点，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积为∶．
故选D．
10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，为过点O的一条直线，点E、F分别在上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．18 D．12
【答案】D
【分析】此题考查了利用菱形的性质求面积，先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积＝四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积．
【详解】解：连接，
，
∵点O是菱形的对称中心，
∴O是与的交点，
∴，
∴，
∵为过点O的一条直线，
∴四边形的面积＝四边形的面积菱形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积，
∵阴影部分的面积＝四边形的面积，，
∴阴影部分的面积，
故选：D．
11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，E，F分别是边上的中点，连接．若，则菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解；∵E，F分别是边上的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
12．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)若的面积为6，则菱形的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和菱形的性质，
（1）利用即可证明三角形全等，
（2）连接交于点O，与交于点H，根据三角形中位线定理得到的关系和的关系，设，再根据三角形的面积公式求出，再代入菱形的面积公式即可求解，
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，．
、分别是、的中点，
，．
．
．
．
即．
（2）解：连接交于点O，与交于点H，如图所示：
、分别是、的中点
，
，
设,
解得：，
，
故答案为：16
题型四、菱形有关性质的计算与证明
13．（2024·浙江金华·二模）如图，已知四边形是菱形，延长至点E，使．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据菱形的性质，结合等边对等角得到，，根据三角形的内角和定理，即可得出结果；
（2）连结，交于点O，根据菱形的性质和三角形的中线平分面积推出，即可得出结果．
【详解】（1）菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连结，交于点O，
菱形，
，
，
，
，
，
．
14．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在菱形中，E、F是对角线AC上的两点，连接、，请你添加一个条件，使．（不再添加辅助线和字母）
(1)你添加的条件是______；
(2)添加条件后，请证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记菱形的性质是解本题的关键；
（1）根据菱形的性质可得，，再结合全等三角形的判定方法选择添加条件即可；
（2）证明，，再结合添加的条件可得结论．
【详解】（1）解：添加的条件是：，
故答案为：；
（2）∵菱形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且．
(1)求证：；
(2)若，试求出线段的长，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)10，理由见解析
【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而可得，最后问题可求证；
（2）由（1）可知，然后可得，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，
∴．
题型五、添加条件使四边形是菱形
16．（2024·河北沧州·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、当时，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、当时，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，，
，平行四边形是矩形，故C符合题意；
D、四边形是平行四边形，，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意，
故选：C．
17．（2023·吉林白山·一模）如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理和菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：添加条件．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①，见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各判定定理并正确应用是解题的关键．
（1）利用证明，得出，然后证明，即可得证；
（2）由（1）知：四边形是平行四边形，则要证四边形为菱形，只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直即可，如添①平分，则可证；如添③，则可证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：选①平分，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形 ；
选③，
∵平行四边形，
∴O为中点，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．
题型六、菱形的证明
19．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，，两点分别为，的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，，请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，，进而利用证明三角形全等解答；
（2）根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答．
此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的性质得出，，解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
点，分别为，的中点，
，，
；
在和中，
，
；
（2）解：添加，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
是菱形，
，
是菱形，
故答案为：．（答案不唯一）．
20．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在四边形中，已知对角线，点E，F，G，H分别为，边上的中点，连接．求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中位线，菱形的判定，熟练掌握中位线，菱形的判定是解题的关键
由中位线可得，，可证四边形为平行四边形，同理可得，由，可得，进而结论得．
【详解】证明：∵E，F分别为边上中点，而H，G分别为边上中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
同理可得．
∵，
∴，
∴为菱形．
21．（23-24九年级下·吉林长春·期中）将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段的最值问题，是解决本题的关键．
（1）由题意可得，，，所以四边形时平行四边形，所以，分别过作于，于，则，可以证明，得到，所以是菱形；
（2）菱形的面积为，当旋转至如图位置时，取得最大值，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解．
【详解】（1）证明：分别过作于，于，如图1，
，
由题意可得，，，，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
，
，
，
是菱形；
（2）解：∵是菱形，
，
，
当越大时，菱形的面积越大，
旋转如图位置时，如图2，此时取最大值，
设，则，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，得出，结合，即可得证；
（2）根据全等三角形的判定解答即可．
【详解】（1）证明：∵直线是线段的垂直平分线，
∴，即，且，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：当时，，
∴，
∴四对全等的等腰三角形是：，，，．
题型七 、菱形与尺规作图
23．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图-角平分线的作法，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质：
（1）根据角平分线的定义结合平行四边形对边平行推出，再根据证明即可；
（2）证明四边形是菱形即可得出结果．
【详解】（1）证明：由作图可知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：如图，连接，
由（1）知，且，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
题型八、利用菱形的定求角度
24．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，， ，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
(1)求证：．
(2)四边形是什么形状的四边形？并说明理由．
(3)直接写出：当分别是多少度时，①；②．
【答案】(1)证明过程见详解；
(2)四边形是菱形．理由见详解；
(3)①；②.
【分析】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得；
（2）由旋转的性质可得，，且，，可证四边形是菱形；
（3）由菱形的性质可求解．
【详解】（1）
证明：∵将绕点A逆时针旋转，
，，，
，
，
．
，，
，
；
（2）
答：四边形是菱形．
理由如下：
∵将绕点A逆时针旋转，
，，
，，
．
∴四边形是菱形；
（3）
①时；
如图，当时，延长交于H，
∵四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
；
②时
如图，当，
∵四边形是菱形，
，
又，
与共线，
，
，
．
题型九、利用菱形的判定求线段长
25．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形是矩形，连接．
(1)如图①，的平分线交于点E，交的延长线于点F，的平分线交于点H，交的延长线于点G，连接．求证四边形为菱形．
(2)在（1）的条件下，如图②，连接交于点P，交于点O，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的性质证，根据等腰三角形的判定证，证得出，根据证，得出，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质证明是的中位线，得出，证明四边形是平行四边形，得出，进而得出，最后用勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
∴，
，，
平分，
，，
，
；
∵平分，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
平分，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：点是矩形对角线与的交点，
，
，
是的中位线，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
由（1）知，四边形是菱形，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的判断方法是解本题的关键．
26．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在四边形中，，点在边上，连接，若，平分．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接交于点，若，，请直接写出线段的长______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理．
（1）根据平行线性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出，再根据列方程计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵，平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴,
解得，．
故答案为：．
题型十、利用菱形的判定求面积
27．（23-24九年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，，，是的中点，分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．
(1)请根据以上尺规作图的过程，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了作图，菱形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识．
（1）根据直角三角形的斜边中线定理和作图，可证明，即可解答；
（2）由（1）知四边形为菱形，得到，根据题意可求出、，进而求出，根据题意得，即可求解．
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：
，，是的中点，
，
由圆的性质可知：，，
，
四边形为菱形；
（2）由（1）知四边形为菱形，
，
，，，
，
，
在中，是的中点，
，
=，
四边形的面积为．
28．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，已知在和中，，，与交于点M， 交的延长线于点E，交的延长线于点F，、交于点N．
(1)说明四边形的形状；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是菱形
(2)12
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．
（1）证明四边形是平行四边形，再证明，可得，可得，可得四边形是菱形．
（2）连接，由（1）知四边形是菱形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式进行计算即可．
熟练掌握菱形的判定与性质是解本题的关键．
【详解】（1）∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，，，
∴．
∴
∴．
∴四边形是菱形．
（2）连接，
由（1）知四边形是菱形，
∴．
∵，
∴|．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴四边形的面积为．
题型十一、菱形的综合问题
29．（2024·江西九江·二模）课本再现
如图1，四边形是菱形，，．
（1）求的长．
应用拓展
（2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
①直接写出点到距离的最小值；
②如图3，连接，若的面积为6，求的长．
【答案】（1），；（2）①；②
【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可；
（2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可；②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，，．
∴，，，，
∴，
∴；
（2）①∵四边形是菱形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
由旋转可得：，，
∴，
如图，过作于，
∴，
当最小时，最小，
∴当时，最小，
此时，
∴，
∴，
∴点到距离的最小值为；
②∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，的面积为6，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
30．（2024·陕西渭南·二模）【问题提出】
（1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积．
【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米．
【分析】（1）只需要证明，即可得到；
（2）过点F作交BC的延长线于点G，如图2．由平行线的性质得到，证明是等腰直角三角形，得到，．则，再证明，即可证明．
（3）连接，过点F作于点P，如图3．由矩形的性质得到，米，则为等腰直角三角形，得到，（米）．证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，得到，即可证明A、H、F三点共线．由菱形的性质得到垂直平分，则．进而可得米，则米，求出米，可得米．再求出米，则（平方米）．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2），理由如下：
过点F作交BC的延长线于点G，如图2．
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，即．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（3）连接，过点F作于点P，如图3．
∵在矩形中，米，米，H为的中点，
∴，米，
∴为等腰直角三角形，
∴，（米）．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
又∵，
∴，即A、H、F三点共线．
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米．
记与的交点为点O，如图3．
∵（米），米，
∴米，
∴（平方米）．
即的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形．
1．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，过点B作轴于点E，证得是等边三角形，得到，由O是对角线的中点，得到，根据，得到，勾股定理求出，得到，根据旋转的规律得第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是，旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置，即可得到点D的对应点的坐标是．
【详解】解：如图所示，过点B作轴于点E，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵O是对角线的中点，
∴，
∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将菱形绕点O旋转，每秒旋转，
∴第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是，
∴旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置，
∴点D的对应点的坐标是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】A
【分析】连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，根据题意证明出，得出，得到当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∵点A，点H关于对称，
∴，，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：四边形为菱形，
，．
由作图可知，直线为线段的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得，，
∵，
，
．
在中，由勾股定理得，．
故选：C．
4．（2024·甘肃金昌·三模）已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据平移可知，，
∴，，
四边形是平行四边形，
∴．
方案甲，添加不能判断四边形是菱形；
方案乙，由，
平行四边形是菱形；
方案丙，由，
∵，
∴，
∴，
，
平行四边形是菱形．
所以正确的是乙和丙．
故选：B．
5．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段EF，若四边形为菱形时，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质等知识点，理解菱形的性质成为解题的关键
根据平行四边形的性质可得,再根据菱形的性质可得,然后根据平移的定义列式计算即可．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵线段水平向右平移个单位长度得到线段EF，
∴．
故答案为2．
6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出解答．
延长，相交于点，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：延长，相交于点，作于点，
四边形是菱形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
设，，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
7．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质．连接交于，根据菱形的性质得，，则利用勾股定理开始计算出，利用面积计算长，再根据勾股定理求出，最后根据即可解决问题．
【详解】解：连接交于，
∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，两个边长为2的等边三角形和拼接成菱形，点分别是边上一动点（不与重合），且满足，则的形状为 ，面积的最小值为 ．
【答案】 等边三角形
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，勾股定理等知识点，解题的关键是知道当的面积取最小值时，点的位置，先证明即可判断，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小．
【详解】解：证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小，
此时，
是等边三角形，过点作的垂线交于，
，
，
故答案为：等边三角形，．
9．（2024·陕西渭南·三模）如图，点为的边上一点，连接并延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，菱形的判定，等腰三角形的性质及判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键．
根据的性质证出四边形为平行四边形，利用角的等量代换得到后，即可得到，从而证出四边形为菱形．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
，，，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
10．（2024·河南郑州·三模）如图，平行四边形中，，点为的中点，连接.
(1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形为菱形；
(3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
（1）利用作一个角等于已知角作图即可解题；
（2）先根据平行四边形的性质得到，再结合作图得到四边形为平行四边形，然后证明即可得到结论；
（3）连接，先利用勾股定理求出长，再证明是平行四边形，求出长，利用菱形的性质求面积即可．
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）证明：∵是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，点为的中点，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）连接，
设，
∵平行四边形的周长为18，
∴，即，
∵，即，
解得，
又∵四边形为菱形，
∴，，
又∵，
∴是平行四边形，
∴，
∴．
11．（2024·河南信阳·二模）综合与实践课上，某小组对含60°角的菱形进行了探究．在边长为8的菱形中，，作，分别交边于点M，N．
(1)【感知】如图1所示，若点M是边的中点，李华经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______；
(2)【探究】如图2所示，当点M为上任意一点时，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由；
(3)【应用】在边上取一点M，连接，在菱形内部作，交于点N，当时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)仍然成立．理由见解析
(3)3或5
【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可；
（2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可；
（3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点M在点E的左侧和点M在点E的右侧两种情况，分别讨论即可．
【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：．
如图所示，连接．
∵四边形是菱形，且，
∴，．
∴和都是等边三角形．
∴，．
∵点M是边的中点，
∴，．
同理．
在和中，
∴．
∴．
（2）解：仍然成立．
理由：如图所示，连接
∵四边形是菱形，且，
∴，．
∴和都是等边三角形．
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
（3）解：如图所示，过点A作于E，连接．
∵四边形是菱形，且，，
∴．
∴是等边三角形．
∴
∴
∴．
在中，，，
∴．
当点M在点E的左侧时，；
如图所示，当点M在点E的右侧时，同理可得．
综上，线段的长为3或5．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角．
