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21.1一元二次方程 题型专练
题型一 根据定义判定一元二次方程
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程； 据此进行逐项分析即可作答
【详解】解：、，含有两个未知数，故本选项不符合题意；
、，可化为，满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
、不是整式方程，故本选项不符合题意；
、最高次数3，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程．
故选：D．
3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式；
①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程；
②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程；
③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程；
④有2个未知数，故④不是一元二次方程；
⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程，
综上所述，共有2个一元二次方程，
故选：B．
4．（21-22九年级上·全国·课前预习）观察下面两个方程，说出这两个方程的相同与不同之处：
（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200
相同之处：两边都是整式，都只含有 个未知数．
不同之处：方程（1）未知数的最高次数是 次，方程（2）未知数的最高次数是 次．
【答案】 1 1 2
5．（21-22九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是
【解析】（1）不是一元二次方程；（2）是一元二次方程；（3）不是一元二次方程；（4）不是一元二次方程
题型二 根据一元二次方程的定义确定参数的值
6．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．2 B． C．2或 D．1或
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握其定义“方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程”．
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
，
又，
，
，
故选：B．
7．（23-24九年级上·广东清远·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．3
【答案】A
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴， ，
解得： ，
故选：A．
8．（23-24九年级上·四川自贡·期末）若是关于的一元二次方程，则的值是 ．
【答案】1
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
∴，解得，
故答案为：1．
9．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）已知关于x的方程．当a为何值时，方程是一元二次方程．
【答案】
【分析】由一元二次方程的一般式：中，进行求解即可．
【详解】解：要使原方程是一元二次方程，则需满足条件为：
解得：，
故当时，方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解定义中的是解题的关键．
10．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
【答案】(1)存在，时；时
(2)存在，
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可．
【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程，
当时，解得，此时程为，解得；
当时，解得，此时方程为，解得．
当时，方程无解；
（2）存在．
根据一元二次方程的定义可得，解得．
【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．
题型三 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围
11．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不正确
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
形如的方程即为关于x的一元二次方程的一般形式，据此即可求得答案．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
故选：B．
12．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出是解此题的关键．根据一元二次方程的定义得出，再求出即可．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，
．
故选：B
13．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，以及二次根式有意义的条件得出且，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得且，
故选：D．
14．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵是一元一次方程，
∴，
解得．
即时，此方程是一元一次方程；
（2）∵是一元二次方程，
∴，
解得．
即时，此方程是一元二次方程．
15．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题；
（2）根据一元二次方程的定义可以解答本题
【详解】（1）解：，
如果此方程是一元一次方程，
则，
解得：，
即时，此方程是一元一次方程；
（2）解：，
如果此方程是一元二次方程，
则，
解得，且，
即且，方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义．
题型四 一元二次方程的一般形式
16．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数及常数项得到结果即可．
【详解】
解：已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则这个一元二次方程可能是.
故选：D．
17．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（ ）
A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1，
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式、一元二次方程的概念，形如，先将式子化为一般式，即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是，1，，
故选：B．
18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．先根据一元二次方程的定义及一般形式列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，常数项是0，
∴，
解得．
故选：B．
19．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程的一次项系数是0，则的值是( )
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一次项系数是0，
∴，
解得：，
故选：C．
20．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为
(2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0
(3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；
（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
【详解】（1）解：
移项，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
（2），
去括号，得；
移项、合并同类项，得，
整理，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0．
（3）
移项、合并同类项，得．
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
题型五 根据一元二次方程的解求参数的值
21．（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
22．（2024·陕西宝鸡·一模）若关于x的一元二次方程有一个实数根为0，则（ ）
A． B． C．或1 D．
【答案】D
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，理解方程的根就是使方程等式成立的未知数的值，一元二次方程一般式，是解题的关键；根据一元二次方程的解和一元二次方程的定义解题即可．
【详解】
关于x的一元二次方程有一个实数根为0，
把代入一元二次方程，得，
解得或，
，
．
故选：．
23．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得或，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴．
∴a的值为0．
故答案为：0．
24．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
，
．
答：的值为
25．（19-20八年级上·全国·课后作业）简答题：
（1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？
（2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值．
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
【答案】（1）；（2）m=-3；（3）m=±2.
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知当时该方程是一元二次方程；
（2）根据一元二次方程根的意义将x=0代入方程中求出m即可；
（3）根据一元二次方程根的意义将x=1代入方程中求出m即可；
【详解】解：（1）∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得：；
（2）∵关于的一元二次方程有一个根是0，
∴将x=0代入可得：，解得：m=-3；
（3）∵关于的一元二次方程有一个根是1，
∴将x=1代入可得：，解得：m=±2.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
题型六 根据一元二次方程的解求代数式的值
26．（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：．
27．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
∴，
∴，
故选：D．
28．（2024·广东清远·二模）如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个解，
∴
∴
故答案为：．
29．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查整式化简求值，由是方程 的一个根，可得，把化简变形再代入即可求得答案．
【详解】是方程 的一个根，
，
，
，
．
30．（2022九年级上·全国·专题练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】由实数a是一元二次方程的一个根得．则，，再整体代入即可．
【详解】解：∵实数a是一元二次方程的一个根，
∴．
∴，．
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义和整体代入思想是解题的关键．
题型七 一元二次方程的解的估算
31．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下：
x 0 0.5 1 1.5 2
5.25 13
则该方程必有一个根满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围．
【详解】解：∵时，，
时，，
∴当在1与之间取某一个数时，可使，
即方程的其中一个解满足的范围是．
故选：B．
32．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值：
1.1 1.2 1.3 1.4
0.76
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判定
【答案】C
【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化．
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的解的范围为，
故选C．
33．（23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值：
x 0 0.5 1 1.5 2
5.25 13
可判断方程必有一个根满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键．
【详解】根据表格得：
当时，，
当时，，
则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是．
故选：C．
34．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ．
x 1
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足．
【详解】解：时，，
时，，
时，存在，
即方程必有一个解x满足，
故答案为：．
35．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
【答案】
【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间．
【详解】解：，
当时，随增大而减小，
根据表格得，当时，，即，
∵0距近一些，
∴方程的一个近似根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
题型八 根据实际问题抽象出一元二次方程
36．（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该药品经过两次降价后的价格=原价（每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为
，
故选：D．
37．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元、第三天票房约亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x，
第二天票房约亿元，第三天票房约亿元．
依题意得：．
故选：D．
38．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数每支队的比赛场数参赛队伍重复的场数，即可解答．
【详解】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意，
可列方程为；
故选：B．
39．（2023·辽宁阜新·一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据篱笆的总长及的长，可得出的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：篱笆的总长为18米，的长为米，
的长为米．
根据题意得：．
故选：D．
40．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长、宽的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，平移后的种植面积如图阴影所示，
则种植部分的长为，宽为，
由题意得：．
故选C．
1．（23-24九年级上·吉林白城·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
2．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值是（ ）
A．4或 B．0 C．4 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义可得，即，再由常数项是0，可得，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是0，
∴，，
∴，
故选：C．
3．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：，
则，
∴，
由题意得：，，
解得：，，
故选：．
4．（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答．
【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4，
∴
即，
∴或．
又∵二次项系数不为0，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，对于关于的一元二次方程，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
根据一元二次方程的一般形式确定常数项，根据题意列出方程，解方程求出．
【详解】解：关于的一元二次方程的常数项是，
则，
解得：，
，
的值为6，
故答案为：6．
6．（23-24九年级上·广西南宁·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值是 ．
【答案】2或
【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程定义得出，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：2或．
7．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值：
判断关于x的方程的一个解x的范围是 ．
【答案】
【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：．
【详解】解：由表格可知：
当时，；
当时，；
∴方程的一个解x的范围为：．
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，．
8．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】2020
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得，则，然后整体代入化简求值即可．
【详解】解：由题意得，
则，
∴，
∴
故答案为：2020．
9．（22-23九年级上·湖北黄冈·开学考试）已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．
【答案】，一般形式是：
【分析】把代入一元二次方程，求出的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式即可．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
解得或，
，
，
，
此时的一元二次方程的一般形式是：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（2022九年级上·全国·专题练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设，代入列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【详解】（1）解：（1），
设，
，
∴，
解得：，
∴，
则方程为：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
则方程为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出的值是解答此题的关键．
11．（21-22九年级·全国·假期作业）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝或或
(2)
【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： (1) 未知数的最高次数是2； (2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，
解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m﹣＝0，解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程，
综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，
解得m＝﹣，
当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．（21-22九年级上·全国·课后作业）根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用边长的平方的4倍为25列出一元二次方程即可；
（2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可；
（3）根据使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，列方程即可．
【详解】解：（1）依题意得，4x2＝25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x2 25＝0．
（2）依题意得，x（x 2）＝100，
化为一元二次方程的一般形式得，x2 2x 100＝0．
（3）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．中小学教育资源及组卷应用平台
21.1一元二次方程 题型专练
题型一 根据定义判定一元二次方程
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（21-22九年级上·全国·课前预习）观察下面两个方程，说出这两个方程的相同与不同之处：
（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200
相同之处：两边都是整式，都只含有 个未知数．
不同之处：方程（1）未知数的最高次数是 次，方程（2）未知数的最高次数是 次．
5．（21-22九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
题型二 根据一元二次方程的定义确定参数的值
6．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．2 B． C．2或 D．1或
7．（23-24九年级上·广东清远·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．3
8．（23-24九年级上·四川自贡·期末）若是关于的一元二次方程，则的值是 ．
9．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）已知关于x的方程．当a为何值时，方程是一元二次方程．
10．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
题型三 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围
11．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不正确
12．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
14．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
15．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
题型四 一元二次方程的一般形式
16．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（ ）
A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1，
18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
19．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程的一次项系数是0，则的值是( )
A． B．1 C． D．0
20．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
题型五 根据一元二次方程的解求参数的值
21．（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
22．（2024·陕西宝鸡·一模）若关于x的一元二次方程有一个实数根为0，则（ ）
A． B． C．或1 D．
23．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ．
24．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
25．（19-20八年级上·全国·课后作业）简答题：
（1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？
（2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值．
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
题型六 根据一元二次方程的解求代数式的值
26．（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
28．（2024·广东清远·二模）如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ．
29．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
30．（2022九年级上·全国·专题练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
题型七 一元二次方程的解的估算
31．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下：
x 0 0.5 1 1.5 2
5.25 13
则该方程必有一个根满足（ ）
A． B． C． D．
32．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值：
1.1 1.2 1.3 1.4
0.76
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判定
33．（23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值：
x 0 0.5 1 1.5 2
5.25 13
可判断方程必有一个根满足（ ）
A． B． C． D．
34．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ．
x 1
35．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
题型八 根据实际问题抽象出一元二次方程
36．（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
37．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
38．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．（2023·辽宁阜新·一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
40．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长、宽的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．（23-24九年级上·吉林白城·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值是（ ）
A．4或 B．0 C．4 D．
3．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3
5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ．
6．（23-24九年级上·广西南宁·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值是 ．
7．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值：
判断关于x的方程的一个解x的范围是 ．
8．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
9．（22-23九年级上·湖北黄冈·开学考试）已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．
10．（2022九年级上·全国·专题练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且；
(2)．
11．（21-22九年级·全国·假期作业）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
12．（21-22九年级上·全国·课后作业）根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x．
