【北师大版九上同步练习】 第六章 反比例函数（能力提升）检测题（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
第六章反比例函数（能力提升）检测题
一、填空题
1．图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的□ABCD，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）.记①，②，③，④的面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S3=4S2.
（1） =　 　；
（2）若□ABCD的周长比长方形③的周长大18，则BC为　 　．
2．如图，点是反比倒函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以BA、BC为边作矩形ABCD，将矩形ABCD绕点顺时旋转得到矩形FECG，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为　 　．
3．如图，反比例函数的图象经过点，，．过点作轴于点，连结，并延长交于点．若是的中点，则的值为　 　（结果用含的代数式表示）．
二、单选题
4．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
5．反比例函数与直线相交于点A，A点的横坐标为－1，则此反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知点P（2，2），Q（2，4），过点P作x轴的垂线，与一次函数y=x+k和函数y=的图象分别相交于A，B两点。若P，Q两点都在线段AB上，则k的取值范围是（　　）
A．1≤k≤2 B．0＜k≤7 C．2≤k≤4 D．2≤k≤3
三、解答题
9．已知反比例函数 的图象过点P（－1，3），求m的值和该反比例函数的表达式.
10． 电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系（其中x为整数，且）．部分数据如下表所示：
销售单价x（元/个） 55 60 70
销售量y（个） 220 200 160
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W元的最大值；
（3）电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围．
11．如图，直线与双曲线相交于点，．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
四、计算题
12．
（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： （x，y）是函数y＝2x与 的图象的交点坐标．
五、综合题
13．如图，A、B两地相距120千米，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行匀速行驶，设他们各自距A地的距离S（千米）都是骑车时间t的一次函数，并回答下列问题：
（1）甲的速度为　 　千米/小时，乙的速度为　 　千米/小时；
（2）求运动过程中的函数解析式.
14．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行
销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示．
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的
函数关系式；
（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出
最大利润
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
六、实践探究题
16．背景：点A在反比例函数y=（k>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形.如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
（1）求k的值.
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象.
①求这个“Z函数”的表达式.
②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.
17．⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 .
⑵有 角对应相等的两个三角形相似．
⑶课本第132页例1构造了相似三角形求河宽，你还有其他方法吗？(画出图形，简要说明).
18．
（1）【基本模型】如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是　 　．
（2）【类比探究】如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
（3）【拓展应用】如图3，在矩形中，，点F，G分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）3：2
（2）
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
2．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
3．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
5．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
8．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
9．【答案】解：把点P（-1，3）代入 ，得 .解得 .
把m=2代入 ，得 ，即 .
∴反比例函数的表达式为 .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
10．【答案】（1）解：．
（2）解：，∵，
∴由二次函数的性质可知，时，W有最大值，
（元）．
（3）解：当时，，
解这个方程得，，，因为，，
结合二次函数的图象分析，
电商平台希望每周获得不低于1100元利润，销售单价x的范围是：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
11．【答案】（1），
（2）
（3）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
12．【答案】（1）解：原式=1+9 +（1- ×18）
=1+9 -1=9
（2）解：由已知可得：
，
解之可得： 或 ，
∵原式=
=
=y-x，
∴当 时，原式=2-1=1；
当 时，原式=-2-（-1）=-1；
∴原式的值为1或-1．
【知识点】实数的运算；反比例函数与一次函数的交点问题
13．【答案】（1）15；25
（2）设直线的解析式为
解得：
函数解析式为
【知识点】一次函数的实际应用
14．【答案】（1）解：y是x的一次函数，设y=kx+b，
∵图象过点（10，300），（12，240），
∴ ，解得 ．∴y=－30x＋600．
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
∴点（14，180），（16，120）均在函数y=－30x+600图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y=－30x+600．
（2）解：∵w=（x－6）（－30x＋600）=－30x2＋780x－3600，
∴w与x之间的函数关系式为w=－30x2＋780x－3600．
（3）解：由题意得：6（－30x+600）≤900，解得x≥15．
w=－30x2＋780x－3600图象对称轴为： ．
∵a=－30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小．
∴当x=15时，w最大=1350．
∴以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】（1）
（2）；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
16．【答案】（1）解：，，
，
四边形是正方形，
，
轴，轴，
，
点是反比例函数的图象上的点，
.
（2）①点是反比例函数的图象上的点，
，
，
，
②如图，
性质：1、函数图象与x轴有2个交点；2、当x<0时，z随x的增大而增大.
③ i)当直线轴时，直线与Z函数图象只有一个交点，且交点横坐标为3；
ii)当直线l不平行y轴时，设直线解析式为，
把点代入解析式得，
，
直线l与Z函数图象只有一个交点，
只有一个解，
化简得，
当时，该方程为一元二次方程，
，
解得，，
当时，原方程可化为，解得，
当时，原方程可化为，解得；
当时，该方程为一元一次方程，则，解得，
综上所述，该交点横坐标为2或3或4或6.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
17．【答案】解：⑴相似；
⑵两个
⑶①方法1（课本第132页例1的方法）：通过构造相似三角形；
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时测得BD，CD，EC的长，证明△ABD∽△ECD，利用相似求出AB的长即可.
证明过程：∵∠B=∠C=90°，∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB：CE=BD：CD，即可求出AB的长；
②方法2：通过构造全等三角形
如图，在河对岸选点A，在河这岸选点B，使AB垂直于河岸在河这岸选一点C(异于点B)，用测角器测出∠BCA的度数，然后在BC的另一侧作出∠BCD=∠BCA，使点D、B、A在同一直线上，则线段BD的长就是AB的长.
证明过程：∵∠ABC=∠DBC=90°，BC=BC，∠BCA=∠BCD.
∴△BCA≌△BCD(ASA).
故BD=AB.
③方法3：通过构造全等三角形
如图，在河对岸选点A.，河这岸选点B，使AB垂直于河岸；在河这岸取点C和D，使DC= BC；在CD的垂线上取点E，使点E、 C、A在同一直线上，则DE的长就是AB的长.
证明过程：∵∠EDC=∠ABC=90°，DC=BC，∠DCE=∠BCA.
∴△EDC≌△ABC(ASA)，
故DE=AB.
④方法4：通过构造等腰直角三角形
如图，在对面河岸选一定点A，利用测角器在河这岸选一点B，然后在河这岸选一点C，使得∠BCA=45°，则BC的长就是河的宽度AB.
证明过程：∵AB⊥BC，∠BCA=45°，
∴ABC为等腰直角三角形，
故BC=AB.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的应用
18．【答案】（1）
（2）解：过点A，D作的垂线，垂足分别为，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
设，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
∴
（3）解：连接 ，
设 ， 则 ，
，即 ，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
设，
，，
，
，
，即，
（舍去），
，
过点作，垂足为Q，
由折叠的性质得到，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
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