河北省石家庄市2023-2024学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分、1-6小题各3分，7-16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·石家庄开学考） 一个有理数与﹣2相加的和为2，则这个有理数是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．﹣4
2．（2024九下·石家庄开学考）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点D、点E，连接AE，下列是△ABC的中线的是（ ）
A．线段AE B．线段BE C．线段CE D．线段DE
3．（2024九下·长春月考）若，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
4．（2024九下·石家庄开学考）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3m B．4.2m C．5m D．6m
5．（2024九下·石家庄开学考）与的结果不相等的是（ ）
A． B．2×3
C． D．
6．（2024九下·石家庄开学考）如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2024九下·石家庄开学考）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：
甲：∠B+∠BCD＝180°；
乙：∠1＝∠2；
丙：∠B＝∠DCE；
丁：∠3＝∠4．
则不能得到AB∥CD的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2024九下·石家庄开学考） 将一个数用科学记数法表示成a×10n的形式，关于a和n的值，下列说法不正确的是（ ）
A．a的值一定小于10 B．a的值可能是0.25
C．n的值一定是整数 D．n的值可能是负整数
9．（2024九下·石家庄开学考）若a，b互为倒数，则分式的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
10．（2024九下·石家庄开学考）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
11．（2024九下·石家庄开学考）如图，△ABC绕点C旋转得到△DEC，且点E在边AB上，M为AC与DE的交点．若∠BCE＝25°，则下列各角：①∠ACD；②∠AED；③∠ACE；④∠BAC．其中角的度数一定等于25°的是（ ）
A．①② B．只有① C．③④ D．②③
12．（2024九下·石家庄开学考） 对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除 B．总能被4整除 C．总能被6整除 D．总能被7整除
13．（2024九下·石家庄开学考）如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，下列三角形中，外心不是点M的是（ ）
A．△ABC B．△AEC C．△ACF D．△BCE
14．（2022·扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
15．（2024九下·石家庄开学考）有4张扑克牌如图所示，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上．若从中随机抽取两张，则抽到的花色均为 （黑桃）的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024九下·石家庄开学考）如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0），按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R．N分别在射线DA，PB，LC上．
结论Ⅰ：当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形DGPHLI是正六边形时，x＝1；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，EF，QR，MN围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2024九下·石家庄开学考）如图，数轴上的两个点分别表示﹣3和m，请写出一个符合条件的m的整数值： ．
18．（2024九下·石家庄开学考）某面粉加工厂加工甲、乙两种颗粒面粉，每天共加工两种面粉100袋，相关信息如下表：
成本（元/袋） 售价（元/袋）
甲 30 43
乙 28 36
设每天生产甲种颗粒面a袋．
（1）每天加工甲、乙两种颗粒面的总成本为 元（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为 元．（利润＝售价﹣成本）
19．（2024九下·石家庄开学考）如图，点A（3，0），B（0，4），连接AB，点D为x轴上点A左侧的一点，点E，F分别为线段AB，线段BO上的点，点B，D关于直线EF对称．
（1）若DE⊥AO，则四边形BEDF的形状是 ；
（2）当AD最长时，点F的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024九下·石家庄开学考） 老师在黑板上写下“3①3②”，其中①、②分别是0～9之间的一个数字，但不能重复，进行填数游戏．老师提出了以下问题，请你完成：
（1）当“3①3②”最小时，计算①﹣3+②﹣3的值；
（2）若“3①3②”比“3②3①”大396、且①、②中的一个数是另一个数的2倍，求①、②所代表的数字．
21．（2024九下·石家庄开学考）为适应现代快节奏生活，利用外卖平台购买餐食已经成为很普通的一件事，某饼屋利用外卖平台进行销售餐食．饼屋根据10月9日﹣13日饼类的外卖平台销售情况绘制了不完整的统计图（如图1）和统计表，日增长率＝×100%．
10月9日﹣13日饼类外卖销售日增长统计表
日期/日 日增长率（精确到1%）
9 无
10 50%
11 m
12 ﹣15%
13 10%
（负数表示减少的百分数）
请根据以上信息解答下列问题：
（1）m＝ ，并补全图1的条形统计图 ；
（2）求饼屋日销售量的中位数，以及从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数．
22．（2024九下·石家庄开学考）如图1是边长分别为m，n、p的A、B、C三种正方形．
（1）用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积＝ （用含m的代数式表示）；
（2）将一个A种和一个B种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积： 或 ；则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为 ；
（3）将A种、B种和C种正方形组合形成图4的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令m＝1，n＝3，p＝2，通过计算验证该等式．
23．（2024九下·石家庄开学考）如图，直线l1与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，5），直线l2的解析式为y＝3x﹣3．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求直线l1被直线l2和y轴所截线段的长．
24．（2024九下·石家庄开学考）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．
（1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；
（2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒P到水面的距离；
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
25．（2024九下·石家庄开学考）某排球运动员在原点O处训练发球，MN为球网，AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N的坐标为（9，2.4）（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
（3）由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L'，且最大高度为1m．若排球沿L'下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB，直接写出m的最大值与最小值的差．
26．（2024九下·石家庄开学考）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，将线段AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180）到AB'，∠BAB'的平分线AP交射线BC于点P，连接B'P，设BP＝x，
（1）求证：BP＝B'P；
（2）如图2，当B'P经过点D时，n＝ ，求x的值；
（3）在线段AB绕点A旋转过程中：
①当点B'到AD的距离为2时，求x的值；
②直接写出点B'到射线BC的距离（用含x的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数的加法
【解析】【解答】解：设这个有理数为x，
据题意有x+（-2）=2，
解得x=4.
这个有理数是4.
故答案为：C.
【分析】设这个有理数为x，根据题意列出方程求解即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 折叠后点B ，点C 重合，
点E是线段BC的中点，
AE是△ABC的中线 .
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质可知点E是线段BC的中点，进而可得AE是△ABC的中线 .
3．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：，，，，
“□”内应填的运算符号为：÷，
故答案为：D
【分析】根据整式的混合运算结合题意即可求解。
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：AB=AC=2m，
AB+AC>BC，
BC<4m，
故答案为：A.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，求出BC的范围即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
A、，与的结果相等，不符合题意；
B、2×3=6，与的结果相等，不符合题意；
C、，与的结果不相等，符合题意；
D、， 与的结果相等，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】先计算出，再逐项计算所给算式，进而得到答案.
6．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的搭建可知，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的小正方体是④.
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从正面看到的图像即可判断.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：甲：当∠B+∠BCD ＝180°时，AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
乙：当∠1＝∠2时，AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），不符合题意；
丙：当∠B ＝∠DCE时，AB ∥CD （同位角相等，两直线平行），不符合题意；
丁：当∠3＝∠4时，可得AD∥BC，不能得到AB∥CD，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理对甲乙丙丁逐个判断即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将一个数用科学记数法表示成a×10n的形式时，，n为整数，
a的值不可能是0.25，即B选项不正确.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法表示正数或负数时，，n为整数，即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
a，b互为倒数，
ab=1，
原分式的值为1.
故答案为：C.
【分析】先将分式化简变为ab，再根据互为倒数的两数乘积为1即可解答.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，AD=BC，DC=AB，
四边形ABCD为平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
故答案为：B.
【分析】根据作图步骤得出AD=BC，DC=AB即可得到答案.
11．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知∠ACB=∠DCE，
∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∠BCE=∠ACD，
即∠ACD=25°，
由已知条件不能判定 ∠AED，∠ACE ，∠BAC与∠BCE相等.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质得出∠ACB=∠DCE，进而得到∠BCE=∠ACD，据此即可得到答案.
12．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方式；整除（奥数类）
【解析】【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣5）2
=n2+14n+49-（n2-10n+25）
=n2+14n+49-n2+10n-25
=24n+24
=24（n+1），
代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 的值一定能被24整除，
代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 的值也一定能被3或4或6整除.
故答案为：D.
【分析】将代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 化简为24（n+1）即可得到答案.
13．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接FM，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
，
点M是△ABC的外心，
四边形AMEF是正方形，
EM=AM=CM，
点M是△AEC的外心，
又EM=BM=CM，
点M是△BCE的外心，
由正方形的性质可知，，
，
点M不是△ACF的外心.
故答案为：C.
【分析】连接FM，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，在根据正方形的性质得出=EM，由这四条相等的线段即可判断A、B、D三个选项均正确.
14．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
∵、乙、、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校.
故答案为：C.
【分析】设反比例函数表达式为y=，甲（x1，y1），乙（x2，y2），丙（x3，y3），丁（x4，y4），过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y1′），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y3′），由图可知y1′>y1，y3′15．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设四张扑克牌依次为A、B、C、D，画树状图如下，
由树状图可知，共有12种结果，其中抽到的花色均为 （黑桃）的占2种，
抽到的花色均为 （黑桃）的概率为，.
故答案为：B.
【分析】设四张扑克牌依次为A、B、C、D，根据题意画出树状图，得出所有等可能出现的结果数，找出符合要求的结果数，再根据概率计算公式计算即可.
16．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知，都是等边三角形，
AD＝BP＝CL＝x ，
当DG=AD=x时，六边形DGPHLI是正六边形，
等边△ABC的边长为5 ，
AB=5，
AD+DG+BG=5，
即3x=5，
，
结论Ⅰ 不正确；
当点D与点B重合时， 如图所示，
△DEF，△PQR，△LMN均是边长为3的等边三角形，
，四边形AQTF是平行四边形，
QT=AF=2，
同理可得RK=2，
KQ=RQ-RK=3-2=1，
TK=QT-KQ=2-1=1，
△WKT是边长为1的等边三角形，
EF，QR，MN围成的三角形的周长为3，结论Ⅱ正确，
综上，Ⅰ不对Ⅱ对.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出六边形DGPHLI是正六边形，DG=AD=BG=5，即可求出x的值为，即可判断Ⅰ；画出点D与点B重合时的图形，先根据AB的长和BF的长求出AF的长，进而求出QT的长，同理可求得RK的长，利用线段的和差求出KQ=1，进而求得TK=1，由此可判断Ⅱ.
17．【答案】﹣4（答案不唯一）
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：点m在-3的左侧，
m<-3，
又m是整数，
选取小于-3的整数即可，如-4（答案不唯一）.
故答案为：﹣4（答案不唯一）.
【分析】根据点m和-3所在位置得到m<-3，再结合题意写出符合条件的m的值即可.
18．【答案】（1）（2a+2800）
（2）1100
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（1）设每天生产甲种颗粒面a袋，则每天生产乙种颗粒面（100-a）袋，
依题有总成本为：30a+28（100-a）=30a+2800-28a=(2a+2800)元.
故答案为：（2a+2800）.
（2）当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为
（43-30）×60+（36-28）×（100-60）
=13×60+8×40
=780+320
=1100.
当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为1100元.
故答案为：1100.
【分析】（1）设每天生产甲种颗粒面a袋，则每天生产乙种颗粒面（100-a）袋，根据总成本=甲种面粉的成本+乙种面粉的成本，列出式子化简即可得到答案；
（2）根据总利润=甲种面粉的利润+乙种面粉的利润，列出式子计算即可.
19．【答案】（1）菱形
（2）（0，）
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵点B，D关于直线EF对称，
∴EF垂直平分BD，
∴DF＝BF，DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，
∵DE⊥AO，BF⊥AO，
∴BF∥DE，
∴∠FBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为：菱形．
（2）连结BD，EF的延长线交BD于M．
当E点和A重合时AD最长，
OA＝3，OB＝4，
∴AB2＝OA2+OB2＝9+16＝25，
∴AB＝5．
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝5﹣3＝2，
∴BD2＝OD2+OB2＝4+16＝20，
∴BD＝2，
∵AM⊥BD，AB＝AD，
∴DM＝BD＝．
∴AM2＝AD2﹣DM2＝25﹣5＝20，
∴AM＝2，
∵△ADM∽△AFO，
∴，
∴OF＝＝，
∴F的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得出DF＝BF，DE＝BE，进而得出∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，再证四边形BEDF是平行四边形，进而得到四边形BEDF的形状是菱形；
（2）连结BD，EF的延长线交BD于M，当E点和A重合时AD最长，利用勾股定理求出AB=5，进而得到OD=2，再利用勾股定理计算出BD的长，进而得到AM的长，由△ADM∽△AFO得出，代入数据即可求出OF的长，进而得到点F的坐标.
20．【答案】（1）解：∵①、②分别是0～9之间的一个数字，
∴当“3①3②”最小时，①是0，②是1，
∴①﹣3+②﹣3＝0﹣3+1﹣3＝﹣5；
（2）解：当①是②的2倍时，设②为x，则①为2x，根据题意得3000+100×2x+30+x﹣（3000+100x+30+2x）＝396，解得x＝4，
∴①代表的数是8，②代表的数是4，
当②是①的2倍时，设①为x，则②为2x，根据题意得：3000+100×x+30+2x﹣（3000+100×2x+30+x）＝396，解得x＝﹣4（不符合题意舍去）．
综上分析，①代表的数是8，②代表的数是4．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数的加、减混合运算；数学思想
【解析】【分析】（1）由“3①3②”最小，且所填数字不重复，得出①是0，②是1，再将其代入①﹣3+②﹣3 中计算即可；
（2）分两种情况讨论，当①是②的2倍时，设②为x，则①为2x，根据题意列出方程求出x的值，即可得到①和②所代表的数；当②是①的2倍时，设①为x，则②为2x，根据题意列出方程求出x的值并结合题意作出取舍即可解答.
21．【答案】（1）20%；
（2）解：饼屋日销售量的中位数为：306张；
从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数为：（50%+20%﹣15%+10%）÷4≈16%
【知识点】条形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由统计图知10月9日的销售量是200张，
10月10日的销售量为：200（1+50%）=300（张），
10月11日的日增长率为：，
故答案为：20%；补全图1的条形统计图如下.
【分析】（1）由10月9日的销售量是200张，10月10日的增长率是50%即可求得10月10日的销售量，进而可完成统计图；根据日增长率＝×100%即可求出10月11日的日增长率；
（2）根据中位数的定义求解即可；根据平均数的计算法则计算即可.
22．【答案】（1）4m2
（2）（m+n）2；m2+n2+2mn；（m+n）2＝m2+n2+2mn
（3）解：根据题意得，大正方形的面积＝（m+n+p）2；
大正方形的面积＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∵m＝1，n＝3，p＝2，
∴（m+n+p）2＝（1+3+2）2＝36，m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝12+32+22+2×1×3+2×1×2+2×3×2＝36，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)这个大正方形的面积＝（2m）2＝4m2，故答案为：4m2；
(2)这个大正方形的面积＝（m+n）2或=m2+n2+mn+mn=m2+n2+2mn；
可以得到的乘法公式为（m+n）2＝m2+n2+2mn.
故答案为：（m+n）2；m2+n2+2mn ；（m+n）2＝m2+n2+2mn.
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到答案；
（2）将图3的面积看作大正方形或四个小矩形的面积和即可得到答案；
（3）根据（2）中乘法公式的生成过程，得出等式（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，再把m＝1，n＝3，p＝2，代入验证即可.
23．【答案】（1）解：由题意，设l1为y＝kx+b，再将A、B两点代入得，
∴，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+5；
（2）解：设直线l1和直线l2的交点为C，
解得，
∴C（2，3），
∴BC＝，
答：直线l1被直线l2和y轴所截线段的长为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）设l1的解析式为y＝kx+b，根据待定系数法求函数的解析式求解即可；
（2）先根据直线l1和直线l2的解析式求出两条直线的交点坐标，再利用勾股定理即可求得所截线段的长.
24．【答案】（1）解：如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cos∠AOC＝．
∴∠AOC＝43°，
∴2π×3×＝（m）．
答：盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为m．
（2）解：如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP cos60°＝3×＝1.5（m），
2.2﹣1.5＝0.7（m），
答：盛水筒P到水面的距离为0.7m．
（3）解：如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cos∠POM＝，
∴∠POM≈68°，
在Rt△COM中，cos∠COM＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6（秒），
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OA，根据筒车每分钟旋转的速度求出每秒旋转的度数为5°，再利用三角函数在确定∠AOC＝43°， 再根据弧长的计算公式计算即可求解；
（2）过点P作PD⊥OC于D，连接OP，先根据运动的时间求出和速度求出∠AOP的度数，进而得到∠POC的度数，再利用三角函数计算出OD的长，进而可得盛水筒P到水面的距离；
（3）连接OP，根据切线的性质可得OP⊥MN，在Rt△OPM中，利用三角函数计算出∠POM的度数，在Rt△COM中，利用三角函数计算出∠COM的度数，进而得出∠POH的度数，再根据筒车运动的速度即可计算出所需的时间.
25．【答案】（1）解：∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G（6，3）．
∴抛物线L的顶点坐标为（6，3）．
设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣6）2+3．
∵过点P（0，2），
∴2＝36a+3．
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣6）2+3；
（2）解：∵当x＝9时，y＝2.75＞2.4，
∴发出后的排球能越过球网．
∵当y＝0时，x1＝6+6＜18，x2＝6﹣6（在x轴负半轴，舍去），
∴不会出界．
答：发出后的排球能越过球网，不会出界；
（3）解：设抛物线L'的解析式为：y＝﹣（x﹣k）2+1．
∵过（18，0），
∴0＝﹣（18﹣k）2+1．
解得：k1＝12（不合题意，舍去），k2＝24．
∴y＝﹣（x﹣24）2+1．
∵排球从最高处开始下落，抛物线L'的最大高度为1m，护栏AB的高度是2m，
∴护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到．
∴m＝24；
∵排球落地时，砸到点A．
∴0＝﹣（x﹣24）2+1．
解得：x1＝18（不合题意，舍去），x2＝30．
∴m＝30．
∴m的最大值与最小值的差为：30﹣24＝6．
答：m的最大值与最小值的差为6．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据顶点G的坐标为（6，3）可设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣6）2+3，再将点P（0，2）代入解析式求出a的值即可得到抛物线L的解析式；
（2）将x＝9 代入（1）中解析式求出y的值，再与点N的纵坐标2.4作比较即可判断排球能否越过球网；当y=0时，解得x＝6+6<18，即可判断不会出界；
（3）根据题意设抛物线L'的解析式为：y＝﹣（x﹣k）2+1，将点K（18，0）代入解析式求得k=24，进而得到抛物线L'的解析式为y＝﹣（x﹣24）2+1，根据抛物线的最大高度和护栏的高度得出护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到，当排球落地砸到点A时，可解得m的最大值为30，故可得m的最大值与最小值的差为6．
26．【答案】（1）证明：∵将线段AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180）到AB'，
∴AB'＝AB，
∵AP平分∠BAB'，
∴∠BAP＝∠B'AP，
∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AB'P（SAS），
∴BP＝B'P；
（2）150
（3）解：①考虑两种情况，当0＜n＜90时，如图3所示，过B'作EF⊥BC交AD于E，交BC于F；
根据题意，B'E＝2，B'F＝4；
∵△ABP≌△AB'P，
∴∠AB'P＝∠ABP＝90°，
则∠EB'A+∠FB'P＝90°，
∵EF⊥BC，EF⊥AD，
∴∠FPB'+∠FB'P＝90°，∠EB'A+∠EAB'＝90°，
∴∠EB'A＝∠FPB'，
∴△EB'A∽△FPB'，
因此，；
∵在Rt△EB'A中，B'E＝2，AB'＝6，
∴AE＝＝；
解得：x＝B'P＝；
当90＜n＜180时，如图4所示，过B'作B'F⊥BC交AD于E，交BC于F；
根据题意，B'E＝2，B'F＝8；
同上，可证△EB'A∽△FPB'，
因此，；
解得：x＝B'P＝；
综上所述，x＝或；
②
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：(2)由题可知，AD=BC=12，AB'=AB=6，
在Rt△AB'D中，，
，则∠B'AD=60°，
n°=∠BAB'=∠BAD+∠B'AD=90°+60°=150°，
n=150；
AD∥BC，
∠DPC=∠ADB'=30°，
在Rt△PCD中，，即，
BP=BC+CP=，
x的值为.
（3）②同第①问，考虑两种情况，当0＜n＜90时，如图3所示，同上可证△EB'A∽△FPB'，
因此，；
解得点B'到射线BC的距离为：B'F＝；
当90＜n＜180时，如图4所示，同上可证△EB'A∽△FPB'，
因此，；
解得点B'到射线BC的距离为：B'F＝；
综上所述，点B'到射线BC的距离为：．
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的定义得出AB=AB'，∠BAP＝∠B'AP，进而证得△ABP≌△AB'P（SAS），即可得到BP＝B'P；
（2）在Rt△AB'D中，利用三角函数求出∠ADB'=30°，进而得到∠B'AD=60°，然后根据角的和差即可求出n的值；先利用正切求出PC的长，再由线段的和差即可得到BP的长，进而得到答案；
（3）①分两种情况讨论，当0＜n＜90时，过B'作EF⊥BC交AD于E，交BC于F，先证△EB'A∽△FPB'，得出 ，在Rt△EB'A中，利用勾股定理求出AE的长，再将数值代入中，求出B'P的值即可；当90＜n＜180时，如图4所示，过B'作B'F⊥BC交AD于E，交BC于F，同上，先证△EB'A∽△FPB'，得出，再计算x的值即可；
②分两种情况讨论，当0＜n＜90时，同上可证△EB'A∽△FPB'，得出，进而得到B'F的长；当90＜n＜180时，同上可证△EB'A∽△FPB'，根据相似三角形的性质表示出B'F的长即可解答.
1 / 1河北省石家庄市2023-2024学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分、1-6小题各3分，7-16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·石家庄开学考） 一个有理数与﹣2相加的和为2，则这个有理数是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．﹣4
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数的加法
【解析】【解答】解：设这个有理数为x，
据题意有x+（-2）=2，
解得x=4.
这个有理数是4.
故答案为：C.
【分析】设这个有理数为x，根据题意列出方程求解即可.
2．（2024九下·石家庄开学考）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点D、点E，连接AE，下列是△ABC的中线的是（ ）
A．线段AE B．线段BE C．线段CE D．线段DE
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 折叠后点B ，点C 重合，
点E是线段BC的中点，
AE是△ABC的中线 .
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质可知点E是线段BC的中点，进而可得AE是△ABC的中线 .
3．（2024九下·长春月考）若，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：，，，，
“□”内应填的运算符号为：÷，
故答案为：D
【分析】根据整式的混合运算结合题意即可求解。
4．（2024九下·石家庄开学考）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3m B．4.2m C．5m D．6m
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：AB=AC=2m，
AB+AC>BC，
BC<4m，
故答案为：A.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，求出BC的范围即可得到答案.
5．（2024九下·石家庄开学考）与的结果不相等的是（ ）
A． B．2×3
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
A、，与的结果相等，不符合题意；
B、2×3=6，与的结果相等，不符合题意；
C、，与的结果不相等，符合题意；
D、， 与的结果相等，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】先计算出，再逐项计算所给算式，进而得到答案.
6．（2024九下·石家庄开学考）如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的搭建可知，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的小正方体是④.
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从正面看到的图像即可判断.
7．（2024九下·石家庄开学考）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：
甲：∠B+∠BCD＝180°；
乙：∠1＝∠2；
丙：∠B＝∠DCE；
丁：∠3＝∠4．
则不能得到AB∥CD的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：甲：当∠B+∠BCD ＝180°时，AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
乙：当∠1＝∠2时，AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），不符合题意；
丙：当∠B ＝∠DCE时，AB ∥CD （同位角相等，两直线平行），不符合题意；
丁：当∠3＝∠4时，可得AD∥BC，不能得到AB∥CD，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理对甲乙丙丁逐个判断即可得到答案.
8．（2024九下·石家庄开学考） 将一个数用科学记数法表示成a×10n的形式，关于a和n的值，下列说法不正确的是（ ）
A．a的值一定小于10 B．a的值可能是0.25
C．n的值一定是整数 D．n的值可能是负整数
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将一个数用科学记数法表示成a×10n的形式时，，n为整数，
a的值不可能是0.25，即B选项不正确.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法表示正数或负数时，，n为整数，即可得到答案.
9．（2024九下·石家庄开学考）若a，b互为倒数，则分式的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
a，b互为倒数，
ab=1，
原分式的值为1.
故答案为：C.
【分析】先将分式化简变为ab，再根据互为倒数的两数乘积为1即可解答.
10．（2024九下·石家庄开学考）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，AD=BC，DC=AB，
四边形ABCD为平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
故答案为：B.
【分析】根据作图步骤得出AD=BC，DC=AB即可得到答案.
11．（2024九下·石家庄开学考）如图，△ABC绕点C旋转得到△DEC，且点E在边AB上，M为AC与DE的交点．若∠BCE＝25°，则下列各角：①∠ACD；②∠AED；③∠ACE；④∠BAC．其中角的度数一定等于25°的是（ ）
A．①② B．只有① C．③④ D．②③
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知∠ACB=∠DCE，
∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∠BCE=∠ACD，
即∠ACD=25°，
由已知条件不能判定 ∠AED，∠ACE ，∠BAC与∠BCE相等.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质得出∠ACB=∠DCE，进而得到∠BCE=∠ACD，据此即可得到答案.
12．（2024九下·石家庄开学考） 对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除 B．总能被4整除 C．总能被6整除 D．总能被7整除
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方式；整除（奥数类）
【解析】【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣5）2
=n2+14n+49-（n2-10n+25）
=n2+14n+49-n2+10n-25
=24n+24
=24（n+1），
代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 的值一定能被24整除，
代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 的值也一定能被3或4或6整除.
故答案为：D.
【分析】将代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 化简为24（n+1）即可得到答案.
13．（2024九下·石家庄开学考）如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，下列三角形中，外心不是点M的是（ ）
A．△ABC B．△AEC C．△ACF D．△BCE
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接FM，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
，
点M是△ABC的外心，
四边形AMEF是正方形，
EM=AM=CM，
点M是△AEC的外心，
又EM=BM=CM，
点M是△BCE的外心，
由正方形的性质可知，，
，
点M不是△ACF的外心.
故答案为：C.
【分析】连接FM，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，在根据正方形的性质得出=EM，由这四条相等的线段即可判断A、B、D三个选项均正确.
14．（2022·扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
∵、乙、、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校.
故答案为：C.
【分析】设反比例函数表达式为y=，甲（x1，y1），乙（x2，y2），丙（x3，y3），丁（x4，y4），过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y1′），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y3′），由图可知y1′>y1，y3′15．（2024九下·石家庄开学考）有4张扑克牌如图所示，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上．若从中随机抽取两张，则抽到的花色均为 （黑桃）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设四张扑克牌依次为A、B、C、D，画树状图如下，
由树状图可知，共有12种结果，其中抽到的花色均为 （黑桃）的占2种，
抽到的花色均为 （黑桃）的概率为，.
故答案为：B.
【分析】设四张扑克牌依次为A、B、C、D，根据题意画出树状图，得出所有等可能出现的结果数，找出符合要求的结果数，再根据概率计算公式计算即可.
16．（2024九下·石家庄开学考）如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0），按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R．N分别在射线DA，PB，LC上．
结论Ⅰ：当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形DGPHLI是正六边形时，x＝1；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，EF，QR，MN围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知，都是等边三角形，
AD＝BP＝CL＝x ，
当DG=AD=x时，六边形DGPHLI是正六边形，
等边△ABC的边长为5 ，
AB=5，
AD+DG+BG=5，
即3x=5，
，
结论Ⅰ 不正确；
当点D与点B重合时， 如图所示，
△DEF，△PQR，△LMN均是边长为3的等边三角形，
，四边形AQTF是平行四边形，
QT=AF=2，
同理可得RK=2，
KQ=RQ-RK=3-2=1，
TK=QT-KQ=2-1=1，
△WKT是边长为1的等边三角形，
EF，QR，MN围成的三角形的周长为3，结论Ⅱ正确，
综上，Ⅰ不对Ⅱ对.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出六边形DGPHLI是正六边形，DG=AD=BG=5，即可求出x的值为，即可判断Ⅰ；画出点D与点B重合时的图形，先根据AB的长和BF的长求出AF的长，进而求出QT的长，同理可求得RK的长，利用线段的和差求出KQ=1，进而求得TK=1，由此可判断Ⅱ.
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2024九下·石家庄开学考）如图，数轴上的两个点分别表示﹣3和m，请写出一个符合条件的m的整数值： ．
【答案】﹣4（答案不唯一）
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：点m在-3的左侧，
m<-3，
又m是整数，
选取小于-3的整数即可，如-4（答案不唯一）.
故答案为：﹣4（答案不唯一）.
【分析】根据点m和-3所在位置得到m<-3，再结合题意写出符合条件的m的值即可.
18．（2024九下·石家庄开学考）某面粉加工厂加工甲、乙两种颗粒面粉，每天共加工两种面粉100袋，相关信息如下表：
成本（元/袋） 售价（元/袋）
甲 30 43
乙 28 36
设每天生产甲种颗粒面a袋．
（1）每天加工甲、乙两种颗粒面的总成本为 元（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为 元．（利润＝售价﹣成本）
【答案】（1）（2a+2800）
（2）1100
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（1）设每天生产甲种颗粒面a袋，则每天生产乙种颗粒面（100-a）袋，
依题有总成本为：30a+28（100-a）=30a+2800-28a=(2a+2800)元.
故答案为：（2a+2800）.
（2）当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为
（43-30）×60+（36-28）×（100-60）
=13×60+8×40
=780+320
=1100.
当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为1100元.
故答案为：1100.
【分析】（1）设每天生产甲种颗粒面a袋，则每天生产乙种颗粒面（100-a）袋，根据总成本=甲种面粉的成本+乙种面粉的成本，列出式子化简即可得到答案；
（2）根据总利润=甲种面粉的利润+乙种面粉的利润，列出式子计算即可.
19．（2024九下·石家庄开学考）如图，点A（3，0），B（0，4），连接AB，点D为x轴上点A左侧的一点，点E，F分别为线段AB，线段BO上的点，点B，D关于直线EF对称．
（1）若DE⊥AO，则四边形BEDF的形状是 ；
（2）当AD最长时，点F的坐标为 ．
【答案】（1）菱形
（2）（0，）
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵点B，D关于直线EF对称，
∴EF垂直平分BD，
∴DF＝BF，DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，
∵DE⊥AO，BF⊥AO，
∴BF∥DE，
∴∠FBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为：菱形．
（2）连结BD，EF的延长线交BD于M．
当E点和A重合时AD最长，
OA＝3，OB＝4，
∴AB2＝OA2+OB2＝9+16＝25，
∴AB＝5．
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝5﹣3＝2，
∴BD2＝OD2+OB2＝4+16＝20，
∴BD＝2，
∵AM⊥BD，AB＝AD，
∴DM＝BD＝．
∴AM2＝AD2﹣DM2＝25﹣5＝20，
∴AM＝2，
∵△ADM∽△AFO，
∴，
∴OF＝＝，
∴F的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得出DF＝BF，DE＝BE，进而得出∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，再证四边形BEDF是平行四边形，进而得到四边形BEDF的形状是菱形；
（2）连结BD，EF的延长线交BD于M，当E点和A重合时AD最长，利用勾股定理求出AB=5，进而得到OD=2，再利用勾股定理计算出BD的长，进而得到AM的长，由△ADM∽△AFO得出，代入数据即可求出OF的长，进而得到点F的坐标.
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024九下·石家庄开学考） 老师在黑板上写下“3①3②”，其中①、②分别是0～9之间的一个数字，但不能重复，进行填数游戏．老师提出了以下问题，请你完成：
（1）当“3①3②”最小时，计算①﹣3+②﹣3的值；
（2）若“3①3②”比“3②3①”大396、且①、②中的一个数是另一个数的2倍，求①、②所代表的数字．
【答案】（1）解：∵①、②分别是0～9之间的一个数字，
∴当“3①3②”最小时，①是0，②是1，
∴①﹣3+②﹣3＝0﹣3+1﹣3＝﹣5；
（2）解：当①是②的2倍时，设②为x，则①为2x，根据题意得3000+100×2x+30+x﹣（3000+100x+30+2x）＝396，解得x＝4，
∴①代表的数是8，②代表的数是4，
当②是①的2倍时，设①为x，则②为2x，根据题意得：3000+100×x+30+2x﹣（3000+100×2x+30+x）＝396，解得x＝﹣4（不符合题意舍去）．
综上分析，①代表的数是8，②代表的数是4．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数的加、减混合运算；数学思想
【解析】【分析】（1）由“3①3②”最小，且所填数字不重复，得出①是0，②是1，再将其代入①﹣3+②﹣3 中计算即可；
（2）分两种情况讨论，当①是②的2倍时，设②为x，则①为2x，根据题意列出方程求出x的值，即可得到①和②所代表的数；当②是①的2倍时，设①为x，则②为2x，根据题意列出方程求出x的值并结合题意作出取舍即可解答.
21．（2024九下·石家庄开学考）为适应现代快节奏生活，利用外卖平台购买餐食已经成为很普通的一件事，某饼屋利用外卖平台进行销售餐食．饼屋根据10月9日﹣13日饼类的外卖平台销售情况绘制了不完整的统计图（如图1）和统计表，日增长率＝×100%．
10月9日﹣13日饼类外卖销售日增长统计表
日期/日 日增长率（精确到1%）
9 无
10 50%
11 m
12 ﹣15%
13 10%
（负数表示减少的百分数）
请根据以上信息解答下列问题：
（1）m＝ ，并补全图1的条形统计图 ；
（2）求饼屋日销售量的中位数，以及从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数．
【答案】（1）20%；
（2）解：饼屋日销售量的中位数为：306张；
从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数为：（50%+20%﹣15%+10%）÷4≈16%
【知识点】条形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由统计图知10月9日的销售量是200张，
10月10日的销售量为：200（1+50%）=300（张），
10月11日的日增长率为：，
故答案为：20%；补全图1的条形统计图如下.
【分析】（1）由10月9日的销售量是200张，10月10日的增长率是50%即可求得10月10日的销售量，进而可完成统计图；根据日增长率＝×100%即可求出10月11日的日增长率；
（2）根据中位数的定义求解即可；根据平均数的计算法则计算即可.
22．（2024九下·石家庄开学考）如图1是边长分别为m，n、p的A、B、C三种正方形．
（1）用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积＝ （用含m的代数式表示）；
（2）将一个A种和一个B种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积： 或 ；则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为 ；
（3）将A种、B种和C种正方形组合形成图4的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令m＝1，n＝3，p＝2，通过计算验证该等式．
【答案】（1）4m2
（2）（m+n）2；m2+n2+2mn；（m+n）2＝m2+n2+2mn
（3）解：根据题意得，大正方形的面积＝（m+n+p）2；
大正方形的面积＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∵m＝1，n＝3，p＝2，
∴（m+n+p）2＝（1+3+2）2＝36，m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝12+32+22+2×1×3+2×1×2+2×3×2＝36，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)这个大正方形的面积＝（2m）2＝4m2，故答案为：4m2；
(2)这个大正方形的面积＝（m+n）2或=m2+n2+mn+mn=m2+n2+2mn；
可以得到的乘法公式为（m+n）2＝m2+n2+2mn.
故答案为：（m+n）2；m2+n2+2mn ；（m+n）2＝m2+n2+2mn.
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到答案；
（2）将图3的面积看作大正方形或四个小矩形的面积和即可得到答案；
（3）根据（2）中乘法公式的生成过程，得出等式（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，再把m＝1，n＝3，p＝2，代入验证即可.
23．（2024九下·石家庄开学考）如图，直线l1与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，5），直线l2的解析式为y＝3x﹣3．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求直线l1被直线l2和y轴所截线段的长．
【答案】（1）解：由题意，设l1为y＝kx+b，再将A、B两点代入得，
∴，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+5；
（2）解：设直线l1和直线l2的交点为C，
解得，
∴C（2，3），
∴BC＝，
答：直线l1被直线l2和y轴所截线段的长为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）设l1的解析式为y＝kx+b，根据待定系数法求函数的解析式求解即可；
（2）先根据直线l1和直线l2的解析式求出两条直线的交点坐标，再利用勾股定理即可求得所截线段的长.
24．（2024九下·石家庄开学考）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．
（1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；
（2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒P到水面的距离；
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
【答案】（1）解：如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cos∠AOC＝．
∴∠AOC＝43°，
∴2π×3×＝（m）．
答：盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为m．
（2）解：如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP cos60°＝3×＝1.5（m），
2.2﹣1.5＝0.7（m），
答：盛水筒P到水面的距离为0.7m．
（3）解：如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cos∠POM＝，
∴∠POM≈68°，
在Rt△COM中，cos∠COM＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6（秒），
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OA，根据筒车每分钟旋转的速度求出每秒旋转的度数为5°，再利用三角函数在确定∠AOC＝43°， 再根据弧长的计算公式计算即可求解；
（2）过点P作PD⊥OC于D，连接OP，先根据运动的时间求出和速度求出∠AOP的度数，进而得到∠POC的度数，再利用三角函数计算出OD的长，进而可得盛水筒P到水面的距离；
（3）连接OP，根据切线的性质可得OP⊥MN，在Rt△OPM中，利用三角函数计算出∠POM的度数，在Rt△COM中，利用三角函数计算出∠COM的度数，进而得出∠POH的度数，再根据筒车运动的速度即可计算出所需的时间.
25．（2024九下·石家庄开学考）某排球运动员在原点O处训练发球，MN为球网，AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N的坐标为（9，2.4）（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
（3）由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L'，且最大高度为1m．若排球沿L'下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB，直接写出m的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G（6，3）．
∴抛物线L的顶点坐标为（6，3）．
设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣6）2+3．
∵过点P（0，2），
∴2＝36a+3．
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣6）2+3；
（2）解：∵当x＝9时，y＝2.75＞2.4，
∴发出后的排球能越过球网．
∵当y＝0时，x1＝6+6＜18，x2＝6﹣6（在x轴负半轴，舍去），
∴不会出界．
答：发出后的排球能越过球网，不会出界；
（3）解：设抛物线L'的解析式为：y＝﹣（x﹣k）2+1．
∵过（18，0），
∴0＝﹣（18﹣k）2+1．
解得：k1＝12（不合题意，舍去），k2＝24．
∴y＝﹣（x﹣24）2+1．
∵排球从最高处开始下落，抛物线L'的最大高度为1m，护栏AB的高度是2m，
∴护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到．
∴m＝24；
∵排球落地时，砸到点A．
∴0＝﹣（x﹣24）2+1．
解得：x1＝18（不合题意，舍去），x2＝30．
∴m＝30．
∴m的最大值与最小值的差为：30﹣24＝6．
答：m的最大值与最小值的差为6．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据顶点G的坐标为（6，3）可设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣6）2+3，再将点P（0，2）代入解析式求出a的值即可得到抛物线L的解析式；
（2）将x＝9 代入（1）中解析式求出y的值，再与点N的纵坐标2.4作比较即可判断排球能否越过球网；当y=0时，解得x＝6+6<18，即可判断不会出界；
（3）根据题意设抛物线L'的解析式为：y＝﹣（x﹣k）2+1，将点K（18，0）代入解析式求得k=24，进而得到抛物线L'的解析式为y＝﹣（x﹣24）2+1，根据抛物线的最大高度和护栏的高度得出护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到，当排球落地砸到点A时，可解得m的最大值为30，故可得m的最大值与最小值的差为6．
26．（2024九下·石家庄开学考）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，将线段AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180）到AB'，∠BAB'的平分线AP交射线BC于点P，连接B'P，设BP＝x，
（1）求证：BP＝B'P；
（2）如图2，当B'P经过点D时，n＝ ，求x的值；
（3）在线段AB绕点A旋转过程中：
①当点B'到AD的距离为2时，求x的值；
②直接写出点B'到射线BC的距离（用含x的式子表示）．
【答案】（1）证明：∵将线段AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180）到AB'，
∴AB'＝AB，
∵AP平分∠BAB'，
∴∠BAP＝∠B'AP，
∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AB'P（SAS），
∴BP＝B'P；
（2）150
（3）解：①考虑两种情况，当0＜n＜90时，如图3所示，过B'作EF⊥BC交AD于E，交BC于F；
根据题意，B'E＝2，B'F＝4；
∵△ABP≌△AB'P，
∴∠AB'P＝∠ABP＝90°，
则∠EB'A+∠FB'P＝90°，
∵EF⊥BC，EF⊥AD，
∴∠FPB'+∠FB'P＝90°，∠EB'A+∠EAB'＝90°，
∴∠EB'A＝∠FPB'，
∴△EB'A∽△FPB'，
因此，；
∵在Rt△EB'A中，B'E＝2，AB'＝6，
∴AE＝＝；
解得：x＝B'P＝；
当90＜n＜180时，如图4所示，过B'作B'F⊥BC交AD于E，交BC于F；
根据题意，B'E＝2，B'F＝8；
同上，可证△EB'A∽△FPB'，
因此，；
解得：x＝B'P＝；
综上所述，x＝或；
②
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：(2)由题可知，AD=BC=12，AB'=AB=6，
在Rt△AB'D中，，
，则∠B'AD=60°，
n°=∠BAB'=∠BAD+∠B'AD=90°+60°=150°，
n=150；
AD∥BC，
∠DPC=∠ADB'=30°，
在Rt△PCD中，，即，
BP=BC+CP=，
x的值为.
（3）②同第①问，考虑两种情况，当0＜n＜90时，如图3所示，同上可证△EB'A∽△FPB'，
因此，；
解得点B'到射线BC的距离为：B'F＝；
当90＜n＜180时，如图4所示，同上可证△EB'A∽△FPB'，
因此，；
解得点B'到射线BC的距离为：B'F＝；
综上所述，点B'到射线BC的距离为：．
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的定义得出AB=AB'，∠BAP＝∠B'AP，进而证得△ABP≌△AB'P（SAS），即可得到BP＝B'P；
（2）在Rt△AB'D中，利用三角函数求出∠ADB'=30°，进而得到∠B'AD=60°，然后根据角的和差即可求出n的值；先利用正切求出PC的长，再由线段的和差即可得到BP的长，进而得到答案；
（3）①分两种情况讨论，当0＜n＜90时，过B'作EF⊥BC交AD于E，交BC于F，先证△EB'A∽△FPB'，得出 ，在Rt△EB'A中，利用勾股定理求出AE的长，再将数值代入中，求出B'P的值即可；当90＜n＜180时，如图4所示，过B'作B'F⊥BC交AD于E，交BC于F，同上，先证△EB'A∽△FPB'，得出，再计算x的值即可；
②分两种情况讨论，当0＜n＜90时，同上可证△EB'A∽△FPB'，得出，进而得到B'F的长；当90＜n＜180时，同上可证△EB'A∽△FPB'，根据相似三角形的性质表示出B'F的长即可解答.
1 / 1
