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专题11 反比例函数的应用
知识点一 反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．
【典例1】（2023秋 兴庆区期末）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【点拨】由反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，得到A、B两点关于原点对称，由点B的横坐标得到点A的横坐标；由图象可得﹣2＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2，至此，相信你能解答本题了．
【解析】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称．
∵点B的横坐标为﹣2，
∴点A的横坐标为2．
∵由函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜2时函数y1＝k1x的图象在的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．
故选：B．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求出y1＜y2时x的取值范围是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 怀化期末）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）
A．﹣5＜x＜﹣1或x＞0 B．0＜x＜1或x＞5
C．1＜x＜5 D．﹣5＜x＜﹣1
【点拨】根据图象即可求得不等式k1x+b＜的解集．
【解析】解：∵直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，
∴不等式k1x+b＜的解集是0＜x＜1或x＞5．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象在下方的部分是不等式的解集．
2．（2023秋 新余期末）如图，反比例函数的图象与直线AB交于点A，B，AB与x轴交于点C，BD⊥y轴于点D，连接CD，则S△BDC的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【点拨】连接OB，由BD⊥y得BD∥x，根据平行线间的距离可得S△BDC＝S△BOD，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数k的几何意义是解题的关键．
【解析】解：如图，连接OB，
∵BD⊥y，
∴BD∥x，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质和比例系数k的几何意义，正确记忆相关内容是解题关键．
3．（2023秋 抚州期末）已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）的一个交点的坐标为（2，﹣6），则它们的另一个交点的坐标是 （﹣2，6） ．
【点拨】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解析】解：∵直线y＝ax（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）的一个交点的坐标为（2，﹣6），
∴它们的另一个交点的坐标是（﹣2，6）．
故答案为：（﹣2，6）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．
4．（2023秋 新都区期末）如图，已知正比例函数y1＝2x（x＞0）的图象与反比例函数的图象相交于A点，当函数值y1＞y2时，x的取值范围是 x ．
【点拨】先联立解析式求出点A即可解答．
【解析】解：∵正比例函数y1＝2x（x＞0）的图象与反比例函数的图象相交于A点，
∴2x＝，
解得x＝，
∴A（，2），
∴函数值y1＞y2时，x的取值范围是x．
故答案为：x．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系得出不等式的解集．
5．（2023秋 虞城县期末）如图，直线y＝x+4与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝4BO，则k的值为 5 ．
【点拨】先求出A点坐标，再根据AO＝4BO，得到点B的横坐标，将横坐标代入直线解析式可得点C坐标，k值可得．
【解析】解：在直线y＝x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴A（0，4）即OA＝4，
∵AO＝4BO，
∴BO＝1，
在直线y＝x+4中，令x＝1，则y＝5
∴C（1，5），
∵点C（1，5）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
6．（2023秋 潢川县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据图象求出S△AOC，再根据S△POC＝3S△AOC求出S△POC，即可求出．
【解析】解：（1）∵直线AB：y＝x+m过点A（3，1），B（﹣1，n）．
∴1＝3+m，
∴m＝﹣2，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣2，
∵反比例函数的图象过点A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）把B（﹣1，n）代入y＝x﹣2，得n＝﹣1﹣2＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3），
观察图象，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2，
即点C的坐标为：C（2，0），
∴S△AOC＝＝1，
∵S△POC＝3S△AOC，
∴S△POC＝＝，
∴|yP|＝3，
当点P的纵坐标为3时，则3＝，解得x＝1，
当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3＝，解得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键．
7．（2023秋 吴桥县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知点A的坐标是（2，3），BC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数在第一象限内的图象上一点，若S△POC＝2S△ABC，求点P的坐标．
【点拨】（1）待定系数法求一次函数和反比例函数解析式即可；
（2）根据图象直接写出不等式的解集即可；
（3）先计算出三角形ABC的面积，后设点P的坐标为（m.），根据面积的等量关系建立关于m的方程解出即可．
【解析】解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，
∴m＝xy＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为：y＝，
∵BC＝2，
∴B（﹣3，﹣2）；
∵点A（2，3）、B（﹣3，﹣2）在一次函数y＝kx+b图象上，
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
（2）根据图象，不等式的解集为：﹣3＜x＜0或x＞2．
（3）S△ABC＝×OC×（xA﹣xB）＝＝5，
设点P的坐标为（m，），
S△POC＝＝2S△ABC＝10，
∴＝10，
∴m＝，
∴P（，）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数的解析式．
知识点二 反比例函数的实际应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
【典例2】（2023秋 开封期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表：
x（cm） 10 15 20 25 30
y（g） 30 20 15 12 10
（1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如（10，30），（15，20）…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为16g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【点拨】（1）在图②的坐标系中描出相应的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点即可；
（2）根据所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，再利用待定系数法求出函数关系式即可；
（3）将（2）中求得的解析式的y用16g代入，求出x的值，即为活动托盘B与点O的距离．
【解析】解：（1）由题意，可画出图象如下：
猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
设函数关系式为y＝，
∵当x＝10时，y＝30，
∴30＝，
解得k＝300，
∴函数关系式为y＝；
（3）当y＝16时，16＝，
解得x＝，
答：动托盘B与点O的距离是cm．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法时解题的关键．
【变式训练】
1．（2023 泰兴市二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（ ）
体积x（mL） 100 80 60 40 20
压强y（kPa） 60 75 100 150 300
A．y＝3000x B．y＝6000x C．y＝ D．y＝
【点拨】利用表格中数据得出函数关系，进而求出即可．
【解析】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：y＝，
则xy＝k＝6000，
故y与x之间的关系的式子是y＝，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确的函数关系是解题关键．
2．（2023秋 长沙县期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【点拨】根据所给公式列式，整理即可得答案．
【解析】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴1200×0.5＝Fl，整理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
3．（2023春 淮阴区期末）已知矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意列出函数关系式即可得出结论．
【解析】解：由题意可知：y＝且x＞0，
∴A符合题意，D不符合题意．
∵B为二次函数图象，
∴B不符合题意．
∵C为一次函数图象，
∴C不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉各函数图象的特征是解题的关键．
4．（2023春 蓬莱区期末）如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm） …… 10 15 20 25 30 ……
y（N） …… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【点拨】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把y＝12.5N代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【解析】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设y＝（k≠0），
把x＝10，y＝45代入求得k＝450，
∴y＝，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0），
把y＝12.5代入y＝，得x＝36，
∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5．（2023秋 清原县期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了（ ）
A．10mL B．15mL C．20mL D．25mL
【点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
6．（2023秋 丹东期末）某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过500Pa时，木板的面积应为（ ）
A．不大于1.6m2 B．不小于1.6m2 C．不大于 D．不小于
【点拨】由图可知200×400＝800为定值，即k＝800，易求出解析式，利用压强不超过500Pa，即p≤500时，求相对应的自变量的范围．
【解析】解：设p＝，
把A（4，200）代入，得200＝，
∴k＝4×200＝800，
∴p＝（S＞0）．
由题意知≤500，
∴S≥1.6，
即木板面积至少要有1.6m2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
7．（2023秋 玉环市期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）x（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
（2）若面条的总长度要求不大于50m，那面条的粗细有什么限制？
【点拨】（1）利用待定系数法求出它们的关系式，代入求解即可．
（2）根据y≤50求出x的取值范围即可．
【解析】解：（1）设面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）x（mm2）的关系式为，
把点（4，32）代入可得k＝128，
∴
当x＝1.6时，．
答：面条的总长度是80米．
（2）根据题意得：
，
解得：x≥2.56（mm2）
答：面条的粗细不小于2.56（mm2）．
【点睛】本题考查了成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
8．（2022秋 安新县期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【点拨】（1）先用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解析】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1＝2，
∴y1＝2x+20．
设C、D所在双曲线的解析式为 y2＝，
把C（25，40）代入得，k2＝1000，
∴y2＝
当x1＝5时，y1＝2×5+20＝30，
当 x2＝30时，y2＝1000÷30＝，
∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中．
（2）令y1＝36，
∴36＝2x+20，
∴x1＝8
令y2＝36，
∴36＝1000÷x，
∴x2＝1000÷36≈27.8
∵27.8﹣8＝19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
知识点三 反比例函数综合问题
【典例3】（2023秋 郑州期末）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象在第一象限的交点A横坐标为1，直线l⊥x轴于点N（a，0），且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B和点C，且点B在点C上方．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形ODBC是平行四边形，求a的值．
【点拨】（1）先求出A点坐标，再求反比例函数解析式即可；
（2）先确定B（a，a+1），C（a，），分别求出BC＝a+1﹣，OD＝1，再由平行四边形的性质得到方程a+1﹣＝1，求出a的值即可．
【解析】解：（1）∵点A横坐标为1，且在一次函数y＝x+1上，
∴A（1，2），
将点A代入y＝，可得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题可知B（a，a+1），C（a，），
∵点B在点C上方，
∴BC＝a+1﹣，
当x＝0时，y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
∵四边形ODBC是平行四边形，
∴OD＝BC，即a+1﹣＝1，
解得a＝±，
∵反比例函数中x＞0，
∴a＝．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 驻马店期末）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，且OB＝2AB＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°．求点C的坐标．
【点拨】（1）求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k；
（2）过A作AF⊥x轴于F，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点C的坐标，即可求出点C的坐标．
【解析】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝2AB＝4，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝4，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴C（4，2）．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解（2）的关键．
2．（2023秋 晋中期末）综合与探究
如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数的图象交于点A（﹣1，m），与y轴交于点B．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上的一个动点，连接AP，BP，当线段AP与BP之和最小时，求点P的坐标；
（3）过点B作直线l∥x轴，交反比例函数的图象于点C，若点M是直线AB上的一个动点，点N是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）将点A（﹣1，m）代入一次函数y＝﹣x+1得m＝2，利用待定系数法即可求解；
（2）作点B关于x轴的对称点B'（0，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时AP+BP的值最小，利用待定系数法可得直线AB′的解析式为y＝﹣3x﹣1，即可求解；
（3）分BC为对角线、BC为边两种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）将点A（﹣1，m）代入一次函数y＝﹣x+1得：m＝1+1＝2，
所以，A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入y＝得：k＝xy＝﹣2，
即反比例函数的表达式为：y＝﹣；
（2）作点B关于x轴的对称点B'（0，﹣1），
连接AB′交x轴于点P，此时线段AP与BP之和最小，如图1，
∵一次函数y＝﹣x+1与y轴交于点B．
∴B（0，1），
∴B′（0，﹣1），
直线AB′的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x﹣1，
令y＝0，则0＝﹣3x﹣1，解得x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）；
（3）∵过点B作直线l∥x轴，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点C，B（0，1），
∴C（﹣2，1），
∵若点M是直线AB：y＝﹣x+1上的一个动点，
∴设M（n，﹣n+1），
①以BC为对角线，如图2，连接MN，
∵四边形BMCN是菱形，
∴MN垂直平分BC，
∴n＝＝﹣1，
∴M（﹣1，2），
∵M，N关于BC对称，
∴N（﹣1，0）；
②以BC为边，如图3，
∵四边形BMNC是菱形，
∴MN∥BC，MN＝BC＝BM＝2，
BM＝＝＝2，
∴n1＝，n2＝﹣，
∴M（，1﹣）或（﹣，1+），
∴N（﹣2，1﹣）或（﹣﹣2，1+）；
③以BC为边，如图4，
∵四边形BCMN是菱形，
∴MN∥BC，CM＝BC＝2，
∴＝2，
∴n＝0（舍去）或n＝﹣2，
∴M（﹣2，3），
∵MN∥BC，
∴N（0，3）；
综上所述，点N坐标为（﹣1，0）或（﹣2，1﹣）或（﹣﹣2，1+）或（0，3）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、菱形的性质、最值问题等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
3．（2023秋 莱芜区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A（a，1），将直线OA向上平移个单位，与y轴交于点C，与双曲线交于点B．
（1）求反比例函数和直线BC的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△PAB是以PA为腰的等腰三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）将点A（a，1）代入正比例函数中即可求出a的值，再将A（6，1）代入反比例函数中即可求出k的值，根据平移的性质可得直线BC的表达式为y＝x+；
（2）联立直线BC的解析式与反比例函数的解析式即可求出B的坐标．
（3）分两种情况：①当PA＝PB时，②当PA＝BA时，分别求解即可．
【解析】解：（1）把A（a，1）代入y＝x中得，a＝6，
∴A（6，1），
将A（6，1）代入反比例函数得k＝6×1＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
∵直线OA向上平移个单位，
∴直线BC的表达式为y＝x+；
（2）联立直线BC：y＝x+，反比例函数y＝得，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为（2，3）；
（3）如图，
设P（t，0），
∵A（6，1），B（2，3），
∴AB2＝（6﹣2）2+（1﹣3）2＝20，
PA2＝（6﹣t）2+（1﹣0）2＝（6﹣t）2+1，
PB2＝（t﹣2）2+（0﹣3）2＝（t﹣2）2+9，
当PA＝PB时，
（6﹣t）2+1＝（t﹣2）2+9，
∴t＝3，
∴点P坐标为（3，0）；
当PA＝BA时，（6﹣t）2+1＝20，
∴t＝6+或6﹣，
∴点P坐标为（6+，0）或（6﹣，0）．
综上所述，点P坐标为（3，0）或（6+，0）或（6﹣，0）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握坐标与图形性质，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
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专题11 反比例函数的应用
知识点一 反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．
【典例1】（2023秋 兴庆区期末）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【变式训练】
1．（2023秋 怀化期末）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）
A．﹣5＜x＜﹣1或x＞0 B．0＜x＜1或x＞5
C．1＜x＜5 D．﹣5＜x＜﹣1
2．（2023秋 新余期末）如图，反比例函数的图象与直线AB交于点A，B，AB与x轴交于点C，BD⊥y轴于点D，连接CD，则S△BDC的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2023秋 抚州期末）已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）的一个交点的坐标为（2，﹣6），则它们的另一个交点的坐标是 ．
4．（2023秋 新都区期末）如图，已知正比例函数y1＝2x（x＞0）的图象与反比例函数的图象相交于A点，当函数值y1＞y2时，x的取值范围是 ．
5．（2023秋 虞城县期末）如图，直线y＝x+4与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝4BO，则k的值为 ．
6．（2023秋 潢川县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
7．（2023秋 吴桥县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知点A的坐标是（2，3），BC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数在第一象限内的图象上一点，若S△POC＝2S△ABC，求点P的坐标．
知识点二 反比例函数的实际应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
【典例2】（2023秋 开封期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表：
x（cm） 10 15 20 25 30
y（g） 30 20 15 12 10
（1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如（10，30），（15，20）…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为16g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【变式训练】
1．（2023 泰兴市二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（ ）
体积x（mL） 100 80 60 40 20
压强y（kPa） 60 75 100 150 300
A．y＝3000x B．y＝6000x C．y＝ D．y＝
2．（2023秋 长沙县期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
3．（2023春 淮阴区期末）已知矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春 蓬莱区期末）如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm） …… 10 15 20 25 30 ……
y（N） …… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
5．（2023秋 清原县期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了（ ）
A．10mL B．15mL C．20mL D．25mL
6．（2023秋 丹东期末）某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过500Pa时，木板的面积应为（ ）
A．不大于1.6m2 B．不小于1.6m2 C．不大于 D．不小于
7．（2023秋 玉环市期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）x（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
（2）若面条的总长度要求不大于50m，那面条的粗细有什么限制？
8．（2022秋 安新县期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
知识点三 反比例函数综合问题
【典例3】（2023秋 郑州期末）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象在第一象限的交点A横坐标为1，直线l⊥x轴于点N（a，0），且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B和点C，且点B在点C上方．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形ODBC是平行四边形，求a的值．
【变式训练】
1．（2023秋 驻马店期末）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，且OB＝2AB＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°．求点C的坐标．
2．（2023秋 晋中期末）综合与探究
如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数的图象交于点A（﹣1，m），与y轴交于点B．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上的一个动点，连接AP，BP，当线段AP与BP之和最小时，求点P的坐标；
（3）过点B作直线l∥x轴，交反比例函数的图象于点C，若点M是直线AB上的一个动点，点N是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋 莱芜区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A（a，1），将直线OA向上平移个单位，与y轴交于点C，与双曲线交于点B．
（1）求反比例函数和直线BC的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△PAB是以PA为腰的等腰三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
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