沪科版八年级数学下册第17章一元二次方程 章节测试卷（含解析）

第17章《 一元二次方程》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　）
A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3
2．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．以为根的一元二次方程可能是（　　）
A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0
4．m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2023的值是（　　）
A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．2026
5．已知多项式Px﹣2，Q＝x2x（x为任意实数），试比较多项式P与Q的大小．（　　）
A．无法确定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q
6．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（　　）
A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1
C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣1
7．已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（　　）
A．3 B． C．3或 D．5或
8．“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2023这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2023年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（　　）
A．8.1%（1﹣x）2＝5.1%
B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2
C．5.1%（1+x）2＝8.1%
D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）
9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（　　）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
10．定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤-1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为　 　．
12．若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则　 　．
13.如果方程（x﹣1）（x2﹣2x）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　 　．
14．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为 　 　．
15．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 　 　．
16．若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0； （2）x2﹣4x﹣1＝0．
18．(6分)已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．
19．(8分)为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
20．(8分)对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　 　；判断241 　 　“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”　 　；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
21．(8分)阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣　 　）2+　 　；
（2）代数式x2+x有最 　 　（填“大”或“小”）值为 　 　；
（3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小.
22．(8分)火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每桌贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元？
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，发现销售量比第一周增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，发现销售量比第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求a的值．
23．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．
（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）
（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？
答案
一．选择题
1．
【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，
解得a＝4.5．
故选：B．
2．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x，
配方得：x2﹣x，即（x）2．
故选：C．
3．
【分析】根据求根公式逐一判断即可．
【解答】解：A．此方程的根为x，符合题意；
B．此方程的根为x，不符合题意；
C．此方程的根为x，不符合题意；
D．此方程的根为x，不符合题意；
故选：A．
4．
【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整体代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵实数m是关于x的方程x2+x﹣2＝0的一个根，
∴m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
∴2m2+2m﹣2023＝2（m2+m）﹣2023＝﹣2018．
故选：A．
5．
【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出P与Q的大小．
【解答】解：∵Px﹣2，Q＝x2x，
∴Q﹣P＝x2xx+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，
∴P＜Q．
故选：D．
6．
【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
【解答】解：A、令y1+y2＝0，
则x+1＝0，
整理得：x2﹣x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故A不符合题意；
B、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x+1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故B不符合题意；
C、A、令y1+y2＝0，
则x﹣1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故C不符合题意；
D、A、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x1，x2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，
故D符合题意；
故选：D．
7．
【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，
∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝4，x2＝5，
若4、5均为直角边长度，则斜边长度为，
若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，
故选：D．
8．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据等量关系列出方程即可求解．
【解答】解：根据题意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．
故选：B．
9．
【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．
【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
10．
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，
当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；
当a≠0时，
∵关于x的方程a※x＝0有实数根，
∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，
解得a≤﹣1或a＞0．
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左边，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右两边相等，即x＝﹣1是方程的解．
【解答】解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，
∵a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．
故答案为：﹣1．
12．将x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后将其代入所求的代数式进行化简即可．
【解答】解：依题意得：m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，
∴
＝3
＝3×1
＝3．
故答案是：3．
13．
【分析】根据原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x0；根据根与系数的关系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围．
【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x0；
设x2﹣2x0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn；
m﹣n；
根据三角形三边关系定理，得：
m﹣n＜1＜m+n，即1＜2；
∴，解得3＜k≤4．
14．
【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程，解之求出x的值，再结合A、B的位置取舍即可．
【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，
整理，得：x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
则x，
∴x1，x2，
∵点A在数轴的负半轴，
∴2x﹣1＜0，即x，
∴x，
故答案为：．
15．
【分析】设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，
依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，
整理，得：x2﹣8x+6＝0，
解得：x1＝4，x2＝4，
当x＝4时，2×（3+1）﹣x＝44，符合题意；
当x＝4时，2×（3+1）﹣x＝44，符不符合题意，舍去．
∴“加倍矩形”的对角线长为2．
故答案为：2．
16．
【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得a，b，c的值，最后代入计算即可．
【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，
∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．
∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．
∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．
∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，
∴．
解得：．
∴a+b+c1﹣2．
故答案为：．
三．解答题
17．解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，
（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
配方，得x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
开方得：x﹣2，
解得：x1＝2，x2＝2．
18．（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，
∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，
即该方程总有两个实数根；
（2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，依题意得：
x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝32，
x12﹣2x1x2+x22＝9，
x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，
∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，
∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，
∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，
整理得：m2＝9，
解得：m＝3或m＝﹣3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3．
19．解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1，x2．
20．解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
21．解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
故答案为：2；1；
（2）∵x2+x＝x2+x，
又∵0，
∴．
∴代数式x2+x有最小值为．
故答案为：小；；
（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴A﹣B＞0，
∴A＞B．
22．解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
（2）依题意得：（120﹣20）（1a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
23．解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米，
则有PC＝t cm，CQ＝3t cm，
依题意，得：t×3t＝3，
t2＝2（舍去），
由勾股定理，得：PQ．
答：秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是；
（2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2
S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC
，
解得，
②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，
S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC
9t＝22，
解得；
③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，
S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC
（不符合题意，舍去），（或者得，，都不符合题意，舍去），
综上：或．
答，经过秒或秒，以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm.