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第03讲 整式
（3个知识点+8种经典题型+习题试卷）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
【例1】（2022秋 上海期末）代数式，，，，中是整式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．
【解答】解：代数式，，，，中整式有，，，中，共4个．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．
【变式1】（长宁区校级月考）在①；②；③；④；⑤；⑥中， ①②④ 是整式．（填写序号）
【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．
【解答】解：①；②；③；④；⑤；⑥中①；②；④是整式．
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．
【变式2】（2022秋 长宁区校级期中）下列各式中，整式的个数有
①；②；③；④0；⑤；⑥
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】直接利用单项式和多项式统称为整式，进而分析得出答案．
【解答】解：整式有：①；③；④0；⑥，共有4个．
故选：．
【点评】本题考查了整式的定义，属于基础题，注意掌握等式及不等式都不是整式，单项式和多项式统称为整式．
【变式3】（2022秋 长宁区校级期中）在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是 ①②④⑤ ．（填相应序号）
【分析】根据整式的定义进行求解即可．
【解答】解：①是整式；
②是整式；
③不是整式；
④是整式；
⑤是整式；
是整式的是①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题主要考查了整式的定义，熟知整式的定义是解题的关键：整式是单项式和多项式的统称，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
知识点2．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
【例2】（2022秋 浦东新区校级期中）单项式的次数是
A．一次 B．二次 C．三次 D．四次
【分析】单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，据此计算即可．
【解答】解：单项式的次数是三次．
故选：．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．
【变式1】（2023秋 普陀区期末）单项式的次数是 6 ．
【分析】单项式中所有字母的次数之和即为该单项式的次数，据此即可求得答案．
【解答】解：单项式的次数是，
故答案为：6．
【点评】本题考查单项式的次数，熟练掌握其定义是解题的关键．
【变式2】（2023秋 浦东新区校级期中）若是一个7次单项式，则是 3 ．
【分析】运用单项式次数的定义进行求解．
【解答】解：是7次单项式，
，
解得，
故答案为：3．
【点评】此题考查了单项式的次数的确定能力，正确把握单项式次数的定义是解题关键．
【变式3】（2023秋 宝山区期末）在、、、中，单项式的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据单项式是数字与字母的积，单独的数字和字母也是单项式，对各个式子进行判断即可．
【解答】解：，都是单项式，是多项式，不是整式，
单项式共有2个，
故选：．
【点评】本题主要考查了单项式，解题关键是熟练掌握单项式的定义．
知识点3．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【例3】（2023秋 崇明区期末）多项式的常数项是 ．
【分析】先将多项式整理，再判断常数项即可．
【解答】解：整理，得，
所以这个多项式的常数项为．
故答案为：．
【点评】本题考查多项式，正确记忆相关概念是解题关键．
【变式1】（2023秋 崇明区期末）下列说法正确的是
A．的系数是 B．的次数是6次
C．是多项式 D．的常数项为1
【分析】根据单项式次数、系数的定义，以及多项式的有关概念解答即可；单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和．
【解答】解：、的系数是；故错误．
、的次数是；故错误．
、根据多项式的定义知，是多项式；故正确．
、的常数项为，而不是1；故错误．
故选：．
【点评】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
【变式2】（2023秋 宝山区期末）将多项式按字母降幂排列，结果为 ．
【分析】根据降幂排列的定义，我们把多项式的各项按照的指数从大到小的顺序排列起来即可．
【解答】解：多项式按字母降幂排列是．
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式的降幂排列的定义，掌握降幂排列的定义是关键．
【变式3】（2022秋 黄浦区期中）已知二次三项式与多项式、为常数）相乘，积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值．
【分析】由多项式的有关概念即可求解．
【解答】解：，
，
该多项式不出现二次项，且一次项系数为，
，，
，．
【点评】本题考查多项式的有关概念，关键是对与、为常数）相乘的积合并同类项．
经典题型汇编
题型一.单项式的判断
1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）在、、、中，单项式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查单项式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，据此即可求解．
【详解】解：、、、中，
、是单项式；是多项式，分母中含字母，不是单项式，
因此单项式的个数有2个，
故选B．
2．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）在代数式、、、、中是单项式的有 个；
【答案】2
【分析】利用单项式的定义：表示数字和字母乘积的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式，逐个分析即可求出答案．
【详解】解：根据单项式定义可得出代数式、、、、中是单项式的有、，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了单项式，解题的关键是掌握单项式的定义．
3．（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0，
【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式．
【详解】解：分母中含有字母，不属于整式，
单项式：，，0；
多项式：，；
整式：，，，0，．
【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键．
题型二.单项式的系数、次数
4．（23-24七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了单项式的次数定义，根据单项式的次数定义“一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”即可得．
【详解】由单项式的次数定义得：这个单项式的次数为
故答案为：6．
5．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列叙述中，正确的是（ ）
A．0是单项式 B．单项式的次数是5； C．单项式的系数为． D．多项式是六次二项式．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握单项式、单项式次数、单项式的系数的定义．根据单项式、单项式次数、单项式的系数的定义，结合各选项判断即可．
【详解】A．0是单项式，此选项正确；
B．单项式的次数是2，此选项错误；
C．单项式的系数为，此选项错误；
D．多项式是四次二项式，此选项错误；
故选A．
6．（22-23七年级·上海·假期作业）找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
，，，，，，，．
【答案】见解析
【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个字母或一个数也是单项式，所有字母次数的和是单项式的次数．
【详解】解：以上代数式是单项式的有：，，，，，．
的系数为，次数为3；
的系数为，次数为1；
，系数为，次数为7；
，系数为，次数为6；
2，系数为2，次数为0；
，系数，次数为1．
【点睛】本题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．
题型三.多项式的判断
7．（20-21七年级上·上海·阶段练习）代数式是单项式还是多项式？答： ．
【答案】多项式
【分析】根据单项式和多项式的定义即可求解．
【详解】解：是多项式，
故答案为：多项式．
【点睛】本题考查单项式和多项式的定义，掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．
8．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（ ）
A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式
C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式
【答案】A
【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键．
【详解】解：在代数式中，
多项式有：，，共计个，
单项式有：，，，共计个，
故选：A．
题型四.多项式的项、项数或次数
9．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）多项式中二次项是 ．
【答案】
【分析】根据多项式中几次项的法则判断即可．
本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握字母指数和是几就是几次项是关键．
【详解】解：，
二次项是：．
故答案为：．
10．（23-24七年级上·上海闵行·期中）下列说法错误的是（ ）
A．是二次三项式 B．是多项式
C．的系数是1，次数是1 D．是单项式
【答案】D
【分析】本题考查了单项式的系数与次数，多项式的相关定义，单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
【详解】解：A. 是二次三项式，故该选项正确，不符合题意；
B. 是多项式，故该选项正确，不符合题意；
C. 的系数是1，次数是1，故该选项正确，不符合题意；
D. 是不是单项式，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
11．（22-23七年级·上海·假期作业）多项式是几次几项式？
【答案】五次五项式
【分析】先观察多项式的项数，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数，注意单项式的次数是所有字母指数的和．
【详解】解：多项式有五项，
最高次项为，它的次数是五，
故该多项式是五次五项式．
故答案为：五次五项式．
【点睛】本题考查了多项式的问题，掌握多项式的定义以及性质是解题的关键．
题型五.多项式系数、指数中字母求值
12．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）多项式的次数是四次，那么m不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】直接利用多项式的次数得出答案．
【详解】解：多项式的次数是四次，
∴m是小于或等于4的非负整数，
故选：D
【点睛】此题主要考查了多项式，正确理解多项式的次数是解题关键．
13．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）如果是五次多项式，那么的值是 ．
【答案】
【分析】一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据多项式的次数确定字母的取值．熟记相关定义即可．
14．（19-20七年级上·上海浦东新·期中）列式计算：如果减去某个多项式的差是，求这个多项式.
【答案】
【详解】
这个多项式是
【点睛】此题考查多项式，解题关键在于结合题意计算多项式即可.
题型六.整式的判断
15．（21-22七年级上·黑龙江·期末）代数式，0.5中整式的个数（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】
此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．直接利用整式的定义得出答案．
【详解】解：根据整式的定义，代数式，0.5中，整式有：0.5，共有4个．
故选：B
16．（23-24七年级上·上海长宁·期中）下列式子中，整式有 （填写序号）
① ②0 ③ ④ ⑤ ⑥
【答案】①②③④⑤
【分析】此题主要考查了整式的定义，直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案．
【详解】解：①是单项式，也是整式；
②0是单项式，也是整式；
③是多项式，也是整式；
④是单项式，也是整式；
⑤是多项式，也是整式；
⑥分母中有字母，不是整式；
故答案为：①②③④⑤．
题型七.数字类规律探索
17．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）通过探究，小明总结得出：当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，按照结论计算是解题关键．首先根据题意可得，然后由求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴．
故答案为：．
18．（2022七年级上·上海·专题练习）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设方框的中间数为，则三个数分别为，进而可得出3个数之和为；然后令其分别等于四个选项中的数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第八列数，即可确定值，此题得解．
【详解】解：设方框的中间数为，则三个数分别为，
∴3个数之和为：，
A、，符合题意；
B、，不是整数，不符合题意；
C、，不是整数，不符合题意；
D、，是第一列的数，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查表格中数字排列规律，分析阴影的方框中数字的大小规律是解决问题的关键．
19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解：
(1)观察一组有规律的等式：①，②，③发现规律，第 个等式是 ；
(2)利用第（1）小题发现的规律计算：；
(3)已知一组有规律的数：，，，，…，它们的和为，试探究这组数共有几个？
【答案】(1)
(2)
(3)9个
【分析】本题是材料阅读问题，考查了列代数式，有理数的四则混合运算，关键根据题中前几个式子得到规律，并能应用此规律进行计算．
（1）根据规律即可求解；
（2）利用第（1）小题发现的规律进行计算；
（3）先找到，，，，这组数的规律，然后利用规律进行加法计算．
【详解】（1）第 个等式是；
（2）
；
（3）
∵，，，，…，它们的和为，
∴，
∴，
∴
∴这组数共有9个．
题型八.图形类规律探索
20．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图是按规律排列的一组图形的前四个，观察图形：那么第个图形中的点的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据前三个图形的变化规律即可写出第个图形点的数量，根据所得规律即可写出第个图形中点的个数．
【详解】解：观察图形的变化可知：
第一个图形中，一共有个点，
第二个图形中，一共有个点，
第三个图形中，一共有个点，
第个图形中，一共有个点．
第个图形中，一共有个点．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是寻找规律．
21．（21-22七年级上·上海·期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐次加1的规律拼成一列图案：
第n个图案含有白色纸片 张．
【答案】/1+3n
【分析】观察图形可知：白色纸片在4的基础上，以此多3个；根据此规律得出第n个图案中有多少白色纸片即可．
【详解】解：第1个图白色纸片有（3+1）个；第2个图案有（3×2+1）个；第3个图案有（3×3+1）个；那么第n个图案有（3×n+1）个即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的探索规律，能从题目图形中提取有用信息是解题的关键．
22．（21-22七年级上·上海·期中）如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格．
…
层数 一层 二层 三层 四层 … n层
所含三角形的个数 …
所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 …
【答案】见解析
【分析】先写出第四层所含小三角形个数及所需小木棒的根数，再发现规矩即可求解．
【详解】解：∵一层时，所含小三角形个数为3=，所需小木棒的根数为7=3（1+2）-2，
二层时，所含小三角形个数为8=32-1，所需小木棒的根数为16=3×（1+2+3）-2，
三层时，所含小三角形个数为15=42-1，所需小木棒的根数为28=3×（1+2+3+4）-2，
四层时，所含小三角形个数为24=52-1，所需小木棒的根数为43=3×（1+2+3+4+5）-2，
…
∴n层时，所含小三角形个数为(n+1)2-1，所需小木棒的根数为3×（1+2+…+n+n+1）-2= =，
完成表格如下：
层数 一层 二层 三层 四层 … n层
所含三角形的个数 …
所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 =43 … =
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据简单图形中所含小三角形个数和所需小木棒的根数，总结出一般规律是解题的关键．
练习试卷
一、单选题
1．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知单项式的次数是3次，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了单项式的次数．根据“所有字母的次数之和是单项式的次数”，即可求解．
【详解】解：∵单项式的次数是3次，
∴，
∴．
故选：A
2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）代数式，，，，，中整式的个数（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了整式．解题的关键是掌握整式的定义：单项式和多项式统称为整式；把题中的单项式与多项式找出来即可．
【详解】解：代数式，，，，，中整式有：
，，，共4个；
故选B
3．（23-24七年级上·上海普陀·期中）在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为（ ）
A．2和 B．和 C．6和 D．和8
【答案】A
【分析】根据多项式的有关概念解答即可．
【详解】解：在多项式中，最高次项是，它的系数是2，常数项是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查多项式的项和次数定义，在处理此类问题时，常用到这些知识：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；多项式中不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数．
4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在，，，，，这些代数式中，单项式的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义，根据定义，进行解答，即可．
【详解】单项式的定义：由数或者字母的积组成的式子叫做单项式，
∴，是单项式；，是多项式；，是分式；
∴单项式的个数为：个，
故选：B．
5．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的项是，，5
B．与都是多项式
C．多项式的次数是3
D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5
【答案】B
【分析】一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
【详解】解：A：的项是，，5，故A错误；
B：与都是由几个单项式的和组成，都是多项式，故B正确；
C：多项式的次数是，故C错误；
D：若一个多项式的次数是5，则这个多项式中每一项的次数都可以是5，故D错误；
故选：B
【点睛】本题考查多项式的相关知识点．熟记相关结论是解题关键．
6．（23-24七年级上·上海长宁·期中）如图所示，长方形的长是，宽是，将长方形的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的四边形面积记作，以此类推，则可用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，分别求得，找到规律，即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
……
∴，
故选：C．
二、填空题
7．（23-24七年级上·上海青浦·期末）单项式的次数是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了单项式的次数定义，正确把握一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题关键．
【详解】解：单项式的次数是，
故答案为：．
8．（23-24七年级上·上海宝山·期末）多项式的次数是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了多项式的次数，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案．
【详解】解：多项式的次数是，
故答案为：4．
9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）将多项式按字母x降幂排列是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的定义，根据题意按字母x的降幂排列即可求解．
【详解】解：多项式按字母x降幂排列是，
故答案为：．
10．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）在代数式，，，，中，多项式有 ．
【答案】，
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式进行判断即可．
【详解】解：多项式有：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查多项式的概念，熟记多项式的概念是解题的关键．
11．（22-23七年级上·上海青浦·期中）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的系数与次数的含义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：依题意，一个系数为，且只含有字母，的3次单项式为：，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，熟记概念是解题的关键．
12．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）按规律填写：，，，，，那么第20个数是 ．
【答案】
【分析】观察可得：规律为：，当时，代入即可求解．
【详解】解：观察可得：规律为：，
当时，代入，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察数字，找出规律是解题的关键．
13．（22-23七年级上·上海·期中）若关于x的多项式是一个五次三项式，则正整数n= ．
【答案】1或4/4或1
【分析】直接利用多项式定义得出n的值进而得出答案．
【详解】解：关于x的多项式是一个五次三项式，
或或，
解得：或或（舍），
故答案为：1或4．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确得出相关结论是解题关键．
14．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式： ；多项式： ．
【答案】 ， ，
【分析】根据单项式和多项式的定义来求解．
【详解】解：，，，，，0中：
，是单项式；
，是多项式；
，即不是单项式，也不是多项式．
故答案为：，；，．
【点睛】本题考查单项式与多项式的识别，解题的关键是掌握单项式和多项式的定义．数与字母乘积的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．单独的一个数或一个字母也叫做单项式．
15．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）在①3；②；③；④；⑤；⑥中，单项式有 ，多项式有 ，代数式有 ．（填序号）
【答案】 ①③ ②④ ①②③④⑥
【分析】根据单项式、多项式、代数式的定义进行判断即可．
【详解】由数字或字母的积构成的代数式叫做单项式，单独一个数字或字母也是单项式，所以①③是单项式；
几个单项式的和叫做多项式，所以②④是多项式；
整式和分式统称为代数式，所以①②③④⑥是代数式；
故答案为：①③；②④；①②③④⑥．
【点睛】本题考查单项式、多项式、代数式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
16．（22-23七年级上·上海静安·期中）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，第1个图需棋子4枚，第2个图需棋子7枚，第3个图需棋子10枚，按照这样的规律摆下去，那么第（，且为正整数）个图形需棋子 枚（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据已知图形得出在4的基础上，依次多3个，得到第n个图中共有的棋子数．
【详解】解：第一个图需棋子4；
第二个图需棋子；
第三个图需棋子；
…
第n个图需棋子(枚)．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律．
17．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）在代数式：，，a2b，，2x2+y+6xy中，单项式有 个．
【答案】2
【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．
【详解】在代数式：，，a2b，，2x2+y+6xy中，单项式有：，a2b，共2个．
故答案为2．
【点睛】本题考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题的关键．
18．（19-20七年级上·上海长宁·阶段练习）在①；②；③；④－；⑤；⑥中， 是整式.（填写序号）
【答案】①②④.
【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．
【详解】在①；②；③；④－；⑤；⑥中，整式有：①；②；④－.
故答案为①②④.
【点睛】此题主要考查了整式，正确把握定义是解题关键．
三、解答题
19．（20-21七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知多项式
（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；
（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
【答案】（1）；（2）5，xy，
【分析】（1）按的降幂排列：即按照的指数由高到低进行排列即可得到答案；
（2）由多项式中的最高次项的次数是多项式的次数，结合二次项及常数项的概念可得答案．
【详解】解：（1）按x的降幂排列是：
（2）由最高次项为：，所以多项式的次数是5，
它的二次项是xy，常数项是.
【点睛】本题考查的是多项式的降幂排列，多项式的二次项，常数项，掌握以上知识是解题的关键．
20．（21-22七年级上·上海·期中）下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：
(1)观察图形，填写下表：
第n个图形 1 2 3 4 5 … n
的个数 3 6 9 ______ ______ … ______
的个数 1 3 6 ______ ______ … ______
(2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍
【答案】(1)12、15、3n、10、15、．
(2)11．
【分析】（1）由图形知，“●”的个数是序数的3倍，“△”的个数是从1开始到序数为止连续整数的和，据此可得；
（2）根据（1）中所得结果列出关于n的方程，解之可得答案．
【详解】（1）完成表格如下：
（2）根据题意知2×3n，解得：n=0（舍）或n=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．
21．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）若关于x，y的多项式3x2﹣nxm+1y﹣x是一个三次三项式，且最高次项的系数是2，求m2+n3的值．
【答案】﹣7
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】∵关于x，y的多项式3x2﹣nxm+1y﹣x是一个三次三项式，且最高次项的系数是3，∴m+1=2，﹣n=2，解得：m=1，n=﹣2，∴m2+n3=1﹣8=﹣7．
【点睛】本题考查了多项式，正确把握相关定义是解题的关键．
22．（七年级上·上海普陀·阶段练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；
⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.
【答案】（1）a≠3；（2）a=3且b≠1
【分析】（1）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用二次多项式的定义即可求解；
（2）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用一次二项式的定义即可求解.
【详解】解：（1）=(3-a)x2+(b-1)x+1
是一个二次多项式
∴3-a≠0
即a≠3；
（2）=(3-a)x2+(b-1)x+1
是一次二项式
∴3-a=0，且b-1≠0
∴a=3且b≠1
故答案为（1）a≠3；（2）a=3且b≠1
【点睛】本题主要考查了多项式的定义，熟练多项式的定义是解题的关键.
23．（22-23七年级·上海·假期作业）下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：
，，，，……
如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？
【答案】
【分析】观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及a的指数变化规律，据此写出第21个单项式．
【详解】解：第1个单项式为：，
第二个单项式为：，
第三个单项式为：，
第四个单项式为：，
…
第n个单项式为：．
∴第21个单项式为．
【点睛】本题考查了单项式．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
24．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）如下图所示,小丽用棋子摆成三角形的图案,观察下面图案并填空:
按照这样的方式摆下去，摆第5个三角形图案需要_____________枚棋子；摆第n个三角形图案需要_________枚棋子(用含有n的代数式表示)；摆第99个三角形图案需要_______枚棋子.
【答案】36；；10000
【分析】从第1个三角形图案所摆的棋子数开始计算，发现规律：是连续奇数的和，结果是（n+1）2，从而依次得出结论．
【详解】解：第1个三角形图案：1+3=4=22，
第2个三角形图案：1+3+5=9=32，
第3个三角形图案：1+3+5+7=16=42，
第4个三角形图案：1+3+5+7+9=16+9=25=52，
第5个三角形图案：1+3+5+7+9+11=25+11=36，
则第n个三角形图案：1+3+5+7+9+11+…+2n-1=（n+1）2，
第99个三角形图案：1002=10000.
【点睛】本题主要考查图形与数字类的变化规律的综合问题，解决本题的关键首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.
25．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）阅读、理解和探索：
(1)观察下列各式：①；②；③；…
用你发现的规律写出：第 个式子是______；
(2)利用（1）中的规律，计算：______；
(3)应用以上规律：化简：．
(4)观察按规律排列的一组数：，，，…，猜想第n个数（用含n的式子表达），将猜想的结果填入下式的横线上， ______，并把这个式子化简．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，
【分析】本题考查规律探索问题，
（1）根据观察得到的规律求解即可；
（2）利用（1）中的规律求解即可；
（3）利用（1）中的规律求解即可；
（4）首先得到第1个数为，第2个数为，第3个数为，然后总结出规律得到第n个数为，进而变形求解即可．
结合已知条件总结出规律：，是解题的关键．
【详解】（1）观察下列各式：①；②；③；…
用你发现的规律写出：第 个式子是；
（2）
；
（3）
；
（4）第1个数为；
第2个数为；
第3个数为；
…
∴第n个数为；
∴
．
26．（七年级上·上海杨浦·期末）若将边长为 a 、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示.
（1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式；
（2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a 、b 相同），在图 3 已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出.
【答案】(1) (2)2组，矩形的面积=正方形的面积和矩形的面积=正方形的面积
【分析】(1)根据正方形、矩形的面积公式计算；
(2)根据(1)的结论得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：(1)由题意可得：
；
(2)由(1)可知,，
，
矩形的面积，
正方形的面积，
矩形的面积=正方形的面积，
则矩形的面积=正方形的面积。
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去写出等式即可.
27．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，且有，，求的值．
【答案】
【分析】根据关系式，求得，找到规律，即可求解．
【详解】解：∵
∴，，，，
，，，……
∴，，，，……
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了代数式求值、数字类规律探究，找到规律是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 整式
（3个知识点+8种经典题型+习题试卷）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
【例1】（2022秋 上海期末）代数式，，，，中是整式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（长宁区校级月考）在①；②；③；④；⑤；⑥中， 是整式．（填写序号）
【变式2】（2022秋 长宁区校级期中）下列各式中，整式的个数有
①；②；③；④0；⑤；⑥
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3】（2022秋 长宁区校级期中）在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是 ．（填相应序号）
知识点2．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
【例2】（2022秋 浦东新区校级期中）单项式的次数是
A．一次 B．二次 C．三次 D．四次
【变式1】（2023秋 普陀区期末）单项式的次数是 ．
【变式2】（2023秋 浦东新区校级期中）若是一个7次单项式，则是 ．
【变式3】（2023秋 宝山区期末）在、、、中，单项式的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点3．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【例3】（2023秋 崇明区期末）多项式的常数项是 ．
【变式1】（2023秋 崇明区期末）下列说法正确的是
A．的系数是 B．的次数是6次
C．是多项式 D．的常数项为1
【变式2】（2023秋 宝山区期末）将多项式按字母降幂排列，结果为 ．
【变式3】（2022秋 黄浦区期中）已知二次三项式与多项式、为常数）相乘，积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值．
经典题型汇编
题型一.单项式的判断
1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）在、、、中，单项式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）在代数式、、、、中是单项式的有 个；
3．（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
题型二.单项式的系数、次数
4．（23-24七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是 ．
5．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列叙述中，正确的是（ ）
A．0是单项式 B．单项式的次数是5； C．单项式的系数为． D．多项式是六次二项式．
6．（22-23七年级·上海·假期作业）找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
，，，，，，，．
题型三.多项式的判断
7．（20-21七年级上·上海·阶段练习）代数式是单项式还是多项式？答： ．
8．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（ ）
A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式
C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式
题型四.多项式的项、项数或次数
9．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）多项式中二次项是 ．
10．（23-24七年级上·上海闵行·期中）下列说法错误的是（ ）
A．是二次三项式 B．是多项式
C．的系数是1，次数是1 D．是单项式
11．（22-23七年级·上海·假期作业）多项式是几次几项式？
题型五.多项式系数、指数中字母求值
12．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）多项式的次数是四次，那么m不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）如果是五次多项式，那么的值是 ．
14．（19-20七年级上·上海浦东新·期中）列式计算：如果减去某个多项式的差是，求这个多项式.
题型六.整式的判断
15．（21-22七年级上·黑龙江·期末）代数式，0.5中整式的个数（ ）
16．（23-24七年级上·上海长宁·期中）下列式子中，整式有 （填写序号）
① ②0 ③ ④ ⑤ ⑥
题型七.数字类规律探索
17．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）通过探究，小明总结得出：当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ．
18．（2022七年级上·上海·专题练习）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解：
(1)观察一组有规律的等式：①，②，③发现规律，第 个等式是 ；
(2)利用第（1）小题发现的规律计算：；
(3)已知一组有规律的数：，，，，…，它们的和为，试探究这组数共有几个？
题型八.图形类规律探索
20．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图是按规律排列的一组图形的前四个，观察图形：那么第个图形中的点的数量为（ ）
A． B． C． D．
21．（21-22七年级上·上海·期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐次加1的规律拼成一列图案：
第n个图案含有白色纸片 张．
22．（21-22七年级上·上海·期中）如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格．
…
层数 一层 二层 三层 四层 … n层
所含三角形的个数 …
所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 …
练习试卷
一、单选题
1．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知单项式的次数是3次，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）代数式，，，，，中整式的个数（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（23-24七年级上·上海普陀·期中）在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为（ ）
A．2和 B．和 C．6和 D．和8
4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在，，，，，这些代数式中，单项式的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的项是，，5
B．与都是多项式
C．多项式的次数是3
D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5
6．（23-24七年级上·上海长宁·期中）如图所示，长方形的长是，宽是，将长方形的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的四边形面积记作，以此类推，则可用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（23-24七年级上·上海青浦·期末）单项式的次数是 ．
8．（23-24七年级上·上海宝山·期末）多项式的次数是 ．
9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）将多项式按字母x降幂排列是 ．
10．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）在代数式，，，，中，多项式有 ．
11．（22-23七年级上·上海青浦·期中）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ．
12．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）按规律填写：，，，，，那么第20个数是 ．
13．（22-23七年级上·上海·期中）若关于x的多项式是一个五次三项式，则正整数n= ．
14．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式： ；多项式： ．
15．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）在①3；②；③；④；⑤；⑥中，单项式有 ，多项式有 ，代数式有 ．（填序号）
16．（22-23七年级上·上海静安·期中）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，第1个图需棋子4枚，第2个图需棋子7枚，第3个图需棋子10枚，按照这样的规律摆下去，那么第（，且为正整数）个图形需棋子 枚（用含的代数式表示）．
17．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）在代数式：，，a2b，，2x2+y+6xy中，单项式有 个．
18．（19-20七年级上·上海长宁·阶段练习）在①；②；③；④－；⑤；⑥中， 是整式.（填写序号）
三、解答题
19．（20-21七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知多项式
（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；
（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
20．（21-22七年级上·上海·期中）下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：
(1)观察图形，填写下表：
第n个图形 1 2 3 4 5 … n
的个数 3 6 9 ______ ______ … ______
的个数 1 3 6 ______ ______ … ______
(2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍
21．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）若关于x，y的多项式3x2﹣nxm+1y﹣x是一个三次三项式，且最高次项的系数是2，求m2+n3的值．
22．（七年级上·上海普陀·阶段练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；
⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.
23．（22-23七年级·上海·假期作业）下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：
，，，，……
如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？
24．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）如下图所示,小丽用棋子摆成三角形的图案,观察下面图案并填空:
按照这样的方式摆下去，摆第5个三角形图案需要_____________枚棋子；摆第n个三角形图案需要_________枚棋子(用含有n的代数式表示)；摆第99个三角形图案需要_______枚棋子.
25．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）阅读、理解和探索：
(1)观察下列各式：①；②；③；…
用你发现的规律写出：第 个式子是______；
(2)利用（1）中的规律，计算：______；
(3)应用以上规律：化简：．
(4)观察按规律排列的一组数：，，，…，猜想第n个数（用含n的式子表达），将猜想的结果填入下式的横线上， ______，并把这个式子化简．
26．（七年级上·上海杨浦·期末）若将边长为 a 、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示.
（1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式；
（2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a 、b 相同），在图 3 已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出.
27．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，且有，，求的值．
