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第03讲 二次函数与一元二次方程
（3个知识点+7种经典题型+习题试卷）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【例1】（2024 合肥模拟）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点，与轴交于点，则函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【变式1】（2024 合肥模拟）已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为
A．1 B． C．2或 D．3或
【变式2】（2024 安徽模拟）已知抛物线与轴交于两点，其中一点的坐标为，则方程的根是 ．
【变式3】（2023秋 迎江区校级月考）已知二次函数．
（1）求证：该抛物线与轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与轴的两个交点分别为、，且它的顶点为，求的面积．
知识点2．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【例2】（2023秋 镜湖区校级期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是
0 1
1 1
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋 包河区月考）根据表格估计方程其中一个解的近似值．
1.63 1.64 1.65 1.66
5.9169 5.9696 6.0225 6.0756
根据上表，求方程的一个解大约是 （精确到
【变式2】（2023秋 蜀山区校级月考）根据下列表格中二次函数，，，为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是
0.01 0.04
A． B．
C． D．
【变式3】（淮北一模）阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：
解：设，则是的二次函数．，抛物线开口向上．
又当时，，解得，．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 或 ；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．
知识点3．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【例3】（2023 望江县模拟）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．
【变式1】（2023秋 金安区校级期中）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．
则：（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ；
（2）当时，自变量的取值范围是 ．
【变式2】（2024 肥西县一模）在三个函数：①；②；③的图象上，都存在点，，，能够使不等式总成立的函数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3】（2023秋 怀远县期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
经典题型汇编
题型一.求抛物线与x轴的交点坐标
1．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是（ ）
A． B．，
C．， D．，
2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线与坐标轴的交点个数为 个．
3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点的坐标；
(3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象，若图象与直线只有一个交点，求的取值范围．
题型二.求抛物线与y轴的交点坐标
4．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ．
6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该二次函数的与轴的交点．
题型三.已知二次函数的函数值求自变量的值
7．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点．
（1）若点的横坐标为，则的值为 ；
（1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ．
9．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 k 0 …
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)求k的值；
(3)这个抛物线经过两点和，求m的值．
题型四.图象法确定一元二次方程的近似根
10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1
0.59 1.16
那么方程的一个近似根的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程的一个近似根是 （精确到）
12．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 3 …
y … 9 21 9 …
根据表格填空：
(1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________；
(2)方程的正根的范围为________；
(3)不等式解集是________．
题型五.抛物线与x轴的交点问题
13．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是 ．
14．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的一元二次方程的解为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数“互为函数”．例如：函数与“互为函数”．
(1)请写出二次函数的“函数”（不用说理）；
(2)函数与“互为函数”，求的值；
(3)若函数的图象与轴只有一个交点，求它的“函数”图象与轴的交点坐标．
题型六.根据二次函数图象确定相应方程根的情况
16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
．．． 0 1 2 3 ．．．
．．． 8 3 0 0 ．．．
则满足方程 的解是 ．
17．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（ ）
A． B． C．3 D．或3
18．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出不等式的解集；
(2)若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，求k的取值范围．
题型七.求x轴与抛物线的截线长
19．（20-21九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
20．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离
21．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数．
(1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长；
(2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由．
练习试卷
一、单选题
1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24九年级上·安徽池州·期末）在平面直角坐标系中，拋物线与直线如图所示，方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，这是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一交点为，则由图象可知，方程的解是（ ）
， B．，
C．， D．，
5．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．（23-24九年级上·安徽淮北·开学考试）如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若，且，则，则命题正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 1 3 1 …
A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间
9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论正确的的（ ）
A． B．当m任意实数时，
C．当是等腰直角三角形时，则
D．当是等腰三角形时，a的值有3个
10．（2020·安徽·模拟预测）将函数在轴下方的图像沿轴向上翻折，在轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
二、填空题
11．（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ．
12．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）下表为二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，可以判定的一个近似解x为 （精确到0.1）．
x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
-0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61
13．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ．
14．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴的正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，则点的坐标为 ．
三、解答题
15．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大3，那么称这样的方程为“友好方程”．例如:一元二次方程的两个根是2和5，则方程就是“友好方程”．
(1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值；
(2)若是“友好方程”，求代数式的值；
(3)若方程抛是“友好方程”，且相异两点M，N都在抛物线上，求一元二次方程的根．
16．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图像如图所示，根据图像填空：
(1)方程的两个根为_____________；
(2)不等式的解集为____________；
(3)函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为____________；
(4)若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为____________．
17．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知直线与抛物线．
(1)求证：直线l与抛物线总有两个交点；
(2)当时，求直线l与抛物线的交点坐标．
18．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为直线________，抛物线与y轴的交点坐标为________；
(2)若，且x满足时，y的最小值为，求此时y的最大值．
19．（2021·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x-2ax+a-2与x轴交点为A、B，
(1)判断点（，-）是否在抛物线y=x-2ax+a-2上，并说明理由；
(2)当线段AB长度为4时，求a的值；
(3)若w= AB，w是否存在最值，若存在，请求出最值，若不存在，请说明由；
20．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
(3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
21．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）对于抛物线．
(1)它与x轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线：
(3)利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，直接写出此时t的取值范围．
22．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．
(1)若，，求a的值；
(2)若，，
（ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况；
（ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围．
23．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求线段的长；
(2)若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 二次函数与一元二次方程
（3个知识点+7种经典题型+习题试卷）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【例1】（2024 合肥模拟）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点，与轴交于点，则函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】依据题意，由一次函数的图象经过点，从而，即，故一次函数与轴的交点为，又一次函数的图象交于点，则，即，进而可得对于二次函数，其开口向上，顶点的横坐标为，所以顶点的纵坐标为，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，一次函数的图象经过点，
，即．
一次函数与轴的交点为．
一次函数的图象交于点，
，即．
对于二次函数，其开口向上，顶点的横坐标为．
顶点的纵坐标为，观察图象可知选．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【变式1】（2024 合肥模拟）已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为
A．1 B． C．2或 D．3或
【分析】根据二次函数图象与轴有且只有一个交点，得出△，即可求出的值．
【解答】解：二次函数的图象与轴有且只有一个交点，
△，
或，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合来解题．
【变式2】（2024 安徽模拟）已知抛物线与轴交于两点，其中一点的坐标为，则方程的根是 ， ．
【分析】先将代入抛物线解析式，求出的值，进而得到一元二次方程，再解方程即可求解．
【解答】解：由题意可得：
，即，
，
原方程可化为，
解得：，，
故答案是：，．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二元一次方程的求解，能求出的值是解题的关键．
【变式3】（2023秋 迎江区校级月考）已知二次函数．
（1）求证：该抛物线与轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与轴的两个交点分别为、，且它的顶点为，求的面积．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△，则根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先解方程得、点的坐标，再把一般式配成顶点式，则顶点的坐标为，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【解答】（1）证明：令，则，
△，
该抛物线一定与轴有两个交点．
（2）解：当时，，解得，，
，，
，
顶点的坐标为，
的面积．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；△决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
知识点2．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【例2】（2023秋 镜湖区校级期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是
0 1
1 1
A． B． C． D．
【分析】根据函数的增减性：函数在，上随的增大而增大，可得答案．
【解答】解：当时，，时，，函数在，上随的增大而增大，得
一元二次方程的一个近似解在
，
故选：．
【点评】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．
【变式1】（2023秋 包河区月考）根据表格估计方程其中一个解的近似值．
1.63 1.64 1.65 1.66
5.9169 5.9696 6.0225 6.0756
根据上表，求方程的一个解大约是 1.65 （精确到
【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．
【解答】解：根据题意得：
，
，
，
可见6.0225比5.9696更逼近6，
当精确度为0.01时，方程的一个解约是1.65；
故答案为：1.65．
【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．
【变式2】（2023秋 蜀山区校级月考）根据下列表格中二次函数，，，为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是
0.01 0.04
A． B．
C． D．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得方程的一个解的范围．
【解答】解：由表格可得，
当时，；当时，；
方程的一个解的范围是，
故选：．
【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，解答本题的明确题意，求出的取值范围．
【变式3】（淮北一模）阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：
解：设，则是的二次函数．，抛物线开口向上．
又当时，，解得，．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 或 ；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．
【分析】（1）由得，，抛物线开口向上，时，图象在轴的上方，此时或；
（2）仿照（1）的方法，画出函数的图象，找出图象与轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定的范围．
【解答】解：（1）或；
（2）设，则是的二次函数，
，
抛物线开口向上．
又当时，，
解得，．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
【点评】本题考查了学生的阅读理解能力，知识的迁移能力及二次函数与不等式组的关系，解答此题的关键是求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
知识点3．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【例3】（2023 望江县模拟）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 或 ．
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与轴的另一交点，再写出轴下方部分的的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
函数图象与轴的另一交点坐标为，
的解集是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与轴的另一交点坐标是解题的关键．
【变式1】（2023秋 金安区校级期中）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．
则：（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ；
（2）当时，自变量的取值范围是 ．
【分析】（1）直线与抛物线都经过同一个定点，即可求解；
（2）根据题意可得直线与抛物线的交点为，，画出大致图象，即可求解．
【解答】解：（1），
直线经过点，
，
抛物线经过点，
即与都经过同一个点；
故答案为：；
（2），
抛物线的顶点为，
直线经过抛物线的顶点，
与抛物线的交点为，，
当时，．
，．
画出大致图象如下：
当时．的取值范围是：或，
故答案为：或．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键．
【变式2】（2024 肥西县一模）在三个函数：①；②；③的图象上，都存在点，，，能够使不等式总成立的函数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】如图，当点，，在同一直线上时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点．证明，推出一次函数不满足条件，对于反比例函数时，二次函数的情形，利用图象法解决问题即可．
【解答】解：如图，当点，，在同一直线上时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点．
，
，
，
，
，
，
，
一次函数不满足条件，
对于反比例函数时，如图，观察图象可知，，
，
，
反比例函数不满足条件，
对于抛物线，如图，观察图象可知，，
，
，
当时，二次函数满足条件．
故选：．
【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．
【变式3】（2023秋 怀远县期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
【分析】（1）（2）（3）利用图象法即可解决问题．
【解答】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
经典题型汇编
题型一.求抛物线与x轴的交点坐标
1．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，求点出关于直线对称的点，两个点的横坐标即为所求．
【详解】解：点出关于直线对称的点是，
、是抛物线与轴的交点，
，是一元二次方程的根．
故选：B．
2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线与坐标轴的交点个数为 个．
【答案】1
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标．
【详解】当时，，则与轴的交点坐标为，
当时，，
，
所以，该方程无解，即抛物线与轴没有交点．
综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是1个．
故答案为：1．
3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点的坐标；
(3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象，若图象与直线只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的解析式；
（2）过点作轴，垂足为，连接．设点的坐标为，则点的坐标为，根据列方程求解即可；
（3）先用待定系数法求出直线的解析式为，得出平移后的抛物线的顶点的坐标为，分两种情况，由二次函数的性质可得出答案．
【详解】（1）解：把代入，
得解得
抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴，垂足为，连接．
由（1）知，．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
或．
点在抛物线上，
当时，；当时，，
点的坐标为或．
（3）解：设直线的解析式为．
把代入，得解得
直线的解析式为．
由（1）知抛物线的解析式为．
设平移后的抛物线的解析式为，
则平移后的抛物线的顶点坐标为．
图象与直线只有一个交点，
有以下两种情况：
①当时，，即，解得；
②，即，整理，得，
，解得．
综上所述，若图象与直线只有一个交点，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象平移，抛物线与轴的交点坐标，三角形的面积，属二次函数与一次函数综合治理题目，熟练掌握二次函数的性质及方程思想、分类讨论是解题的关键．
题型二.求抛物线与y轴的交点坐标
4．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点坐标．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．当时，，然后作答即可．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
故选：B．
5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题．
直接令，即可求出抛物线与y轴交点的纵坐标．
【详解】当时，，
∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是9．
故答案为：9．
6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该二次函数的与轴的交点．
【答案】(1)二次函数的表达式为；
(2)二次函数与轴的交点为．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键．
（1）将点，代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式．
（2）令，求出对应的y的值，即可求出二次函数与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：将和代入函数解析式得，
，
解得．
所以二次函数的表达式为．
（2）因为，
时，，
二次函数的与轴的交点为．
题型三.已知二次函数的函数值求自变量的值
7．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题．
【详解】设当时，
∵当和时，函数值相等，
∴当时，的两个根为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系．
8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点．
（1）若点的横坐标为，则的值为 ；
（1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，与一次函数图象的交点问题；
（1）直接将代入两个函数解析式，再将它们联立求解即可；
（2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再分类讨论，当时，点，点均在轴的上方，当时，点，点均在轴的上方，分别求解即可．
【详解】（1）由题意得，当时，，
解得，
故答案为：；
（2）当时，，
解得或，
当时，若点，点均在轴的上方，
当时，则恒成立，
∴；
当时，若点，点均在轴的上方，
当时，则，
解得，
∴；
综上，，
故答案为：．
9．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 k 0 …
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)求k的值；
(3)这个抛物线经过两点和，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，将代入求出a，即可得到解析式；
（2）把代入解析式即可；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，根据对称性得到，即可求出m的值．
【详解】（1）解：设，将代入，
得，解得，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）把代入，得，
∴；
（3）∵图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的图象经过点和两点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，已知自变量的值求函数值，正确掌握待定系数法是解题的关键．
题型四.图象法确定一元二次方程的近似根
10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1
0.59 1.16
那么方程的一个近似根的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据解析式求得，观察表格即可求解．
【详解】解：由，当时，，
当时，，
∴方程的一个近似根在和之间．
故选：B．
11．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程的一个近似根是 （精确到）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法．
【详解】解∶由可得：
，
当时，，
当时，，
故的一个近似根，
距离x轴更近，
的一个近似根是，
的另一个近似根是
故答案为：或
12．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 3 …
y … 9 21 9 …
根据表格填空：
(1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________；
(2)方程的正根的范围为________；
(3)不等式解集是________．
【答案】(1)向下，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
（1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可；
（2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可；
（3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解．
【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9，
∴该函数图象的对称轴为直线，
∵当时，函数值随着的增大而增大，
∴该函数图象的开口向下，
故答案为：向下，；
（2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、，
∴方程的正根的范围为，
故答案为：；
（3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下，
∴不等式解集是，
故答案为：．
题型五.抛物线与x轴的交点问题
13．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，且不过原点，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
14．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的一元二次方程的解为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题．先把关于的一元二次方程的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的解就是函数与的交点的横坐标，
，
抛物线开口向下，
，
在轴上方，
，
如图所示：
，
故选：A．
15．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数“互为函数”．例如：函数与“互为函数”．
(1)请写出二次函数的“函数”（不用说理）；
(2)函数与“互为函数”，求的值；
(3)若函数的图象与轴只有一个交点，求它的“函数”图象与轴的交点坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）把二次函数转化成顶点式，求出顶点坐标，根据两个函数的图象关于轴对称，求到的顶点坐标，即可求解；
（）根据“互为函数”的定义即可求解；
（）分两种情况，根据“互为函数”的定义，求出函数的“函数”的解析式，由解析式即可求出与轴的交点．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴的“函数”的顶点坐标为，
∴的“函数”为，
即；
（2）解：∵函数与“互为函数”，
∴，
∴；
（3）解：当时，函数解析式为，它的“函数”解析式为，它们的图象与轴都只有一个交点，
∴它的“函数”图象与轴的交点坐标为；
当时，此函数为二次函数，
若二次函数的图象与轴只有一个交点，则二次函数的顶点在轴上，
即，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴它的“函数”解析式为，
令， 则，
解得，
∴二次函数的“函数”图象与轴的交点坐标为，
综上，函数的“函数”图象与轴的交点坐标为或．
【点睛】本题考查了轴对称，函数的新定义，函数图象与轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，理解题意定义并采用分类讨论思想分析问题是解题的关键．
题型六.根据二次函数图象确定相应方程根的情况
16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
．．． 0 1 2 3 ．．．
．．． 8 3 0 0 ．．．
则满足方程 的解是 ．
【答案】，
【分析】二次函数与轴交点的横坐标是对应方程的根，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得
当时，，
当时，，
抛物线与的交点为，，
的根为，；
故答案：，．
【点睛】本题考查了二次函数与对应方程之间的关系，理解此关系是解题的关键．
17．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（ ）
A． B． C．3 D．或3
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．根据题意求出代入解方程即可．
【详解】解：二次函数只有一个零点且图象开口向下，
，
解得，
故，
将代入二次函数，
得，
令，
解得．
故选A．
18．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出不等式的解集；
(2)若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
（1）根据图象在x轴上方时即可求得x的取值范围；
（2）根据图象开口向下，最大值为y= 2可得k的取值范围．
【详解】（1）解∶由图象可得在时，抛物线在轴上方，
的解集为．
（2）抛物线开口向下，且函数最大值为2，
当时，直线与抛物线有两个交点，
即当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
题型七.求x轴与抛物线的截线长
19．（20-21九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可．
【详解】由解得，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．
20．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离
【答案】
【分析】联立方程组得，确定,，计算即可．
【详解】根据题意，得，
解得，
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．
21．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数．
(1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长；
(2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由．
【答案】(1)，在x轴上截得的线段长是
(2)有交点，见解析
【分析】（1）将点代入解析式求出m的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点即可得到抛物线在x轴上截得的线段长；
（2）求出判别式即可判断．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于，
∴，
∴
∴抛物线为，
当时，，
解得或，
∴抛物线在x轴上截得的线段长为；
（2），
∵，
∴
∴该二次函数图像与x轴有交点．
【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，判断二次函数与x轴交点个数，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
练习试卷
一、单选题
1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据轴上点的坐标，横坐标为0，故只要令即可求解．
【详解】解：令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标是，
故选：C．
2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数与坐标轴交点问题，解一元二次方程，令，求出函数图象与x轴交点A，B的坐标，即可得到答案．
【详解】解：当时，，
，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．（23-24九年级上·安徽池州·期末）在平面直角坐标系中，拋物线与直线如图所示，方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用函数图像法解方程，方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图像即得方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标．
∵由图象可知，抛物线与直线相交于点和．
∴方程的解是，．
故选：A．
4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，这是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一交点为，则由图象可知，方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点为，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一交点为，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴由图象可知，方程的解是，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，数形结合的思想是解题的关键．
5．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，，
∴方程的一个解，
∴方程的解为：，
即．
故选：C．
6．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象上有两点和，得出是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代入即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象上有两点和，
∴是方程的两个根，
整理得：，
∴，
当时，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和．
7．（23-24九年级上·安徽淮北·开学考试）如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若，且，则，则命题正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与的交点，以及函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：对称轴为直线，
，故①正确；
，
当时，，即，故②错误；
对称轴是直线，与轴的一个交点是，则与轴的另一个交点是，故③正确；
将抛物线向下平移3个单位，得到，
顶点坐标变为，此时抛物线与轴只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，故④正确；
若，则，即，
，关于抛物线的对称轴对称，
，故⑤错误．
故选C．
8．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 1 3 1 …
A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间
【答案】C
【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图表可得，当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
当时时，，即抛物线与轴的交点为，
即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意；
∵该函数图像开口向下，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意；
根据二次函数图像的对称性质可知，当时，，
可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的图像与性质解答．
9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论正确的的（ ）
A． B．当m任意实数时，
C．当是等腰直角三角形时，则 D．当是等腰三角形时，a的值有3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对选项A进行判断；利用配方法得到，则当时，y有最小值，所以，于是可对B进行判断；过D点作于E点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对C进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出a的值，从而可对D进行判断．
【详解】解：设抛物线解析式为，
即，
∵，
∴，所以选项A不正确；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y有最小值，
∴，
即，所以选项B不正确；
过D点作于E点，如图，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
即，
解得，所以选项C正确；
∵，，，
∴，，，
当时，，解得，（舍去），
当时，，解得，（舍去），
综上所述，a的值为或，所以选项D不正确．
故答案为：①③④．
10．（2020·安徽·模拟预测）将函数在轴下方的图像沿轴向上翻折，在轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【分析】令y=0，则，设抛物线于x轴右侧的交点A（，0），翻折后的函数表达式为：y′=x2+2x+m，当x=4时，y′=8m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解．
【详解】解：如下图，函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=1，故顶点P的坐标为（1，m+1），
令y=0，则，设抛物线于x轴右侧的交点A（，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：-y′=-x2+2x+m，
当x=4时，y′=8-m，
当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；
①当点A在直线x=4的左侧时（直线n所处的位置），
即＜4，解得：m＜8；
当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8-m，解得：m≥3.5，
当m=3.5时，此时最大值最小为3.5；
当函数在x=4处取得最大值时，即m+1≤8-m，解得：m≤3.5，
m最大为3.5时，此时最大值为m+1=4.5，
故m=3.5；
②当点A在直线x=4的右侧时（直线m所处的位置），
即＞4，解得：m＞8；
函数的最大为：m+1＞9＞3.5；
综上，m=3.5，
故选：C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二、填空题
11．（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”得到新的二次函数，再令即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：根据平移得新抛物线的解析为：，
令，则，
∴新抛物线与轴的交点为，
故答案为：．
12．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）下表为二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，可以判定的一个近似解x为 （精确到0.1）．
x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
-0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61
【答案】1.7
【分析】根据表格可知，方程的根在之间，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解．
【详解】时，，时，，则方程的根在之间，
而当时，更接近于0，
原方程的一个近似解为
故答案为：1.7．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解，理解二分法求近似解的值是解题的关键．
13．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ．
【答案】
【分析】设方程的两根分别为，， 可得，，利用，再解方程即可．
【详解】解：当，则，
设方程的两根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，经检验符合题意；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用建立方程求解是解本题的关键．
14．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴的正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，轴对称的性质．明确各点横纵坐标的等量关系是解题的关键．
将代入得，，解得，或，即，由对称可得的横坐标为1，将代入得，，即，由与轴平行，可得点纵坐标为2，将代入得，，解得，或，进而可得点坐标．
【详解】解：将代入得，，
解得，或，
∴，
∵点、关于点对称，点是轴的正半轴上一点，
∴的横坐标为1，
将代入得，，
∴，
∵与轴平行，
∴点纵坐标为2，
将代入得，，
解得，或，
∴．
三、解答题
15．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大3，那么称这样的方程为“友好方程”．例如:一元二次方程的两个根是2和5，则方程就是“友好方程”．
(1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值；
(2)若是“友好方程”，求代数式的值；
(3)若方程抛是“友好方程”，且相异两点M，N都在抛物线上，求一元二次方程的根．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，新定义，抛物线与轴的交点问题；
（1）将一元二次方程的根转化为抛物线与轴交点问题，由一个根比另一个根大可得抛物线与轴交点距离对称轴个单位，从而求解．
（2）由方程的一个解为可得另一根为或，然后根据根与对称轴的关系分类求解．
（3）由抛物线上点，坐标求得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
的解或，
把代入得，
解得，
故答案为：．
（2）解：∵的解为或
∴或
（3）解：∵相异两点M，N都在抛物线上，
∴的对称轴为直线，
∵是“友好方程”，
∴一元二次方程的根为或
16．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图像如图所示，根据图像填空：
(1)方程的两个根为_____________；
(2)不等式的解集为____________；
(3)函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为____________；
(4)若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为____________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
（1）根据图象可知二次函数与轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根；
（2）由图象可知二次函数在轴上方图象的自变量取值范围，即可得到不等式的解集；
（3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案；
（4）由方程有两个不相等的实数根可知，二次函数与直线有两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围．
【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与轴的交点坐标为，，
即方程的两个根为，，
故答案为: ，;
（2）解：由图象可知，二次函数在轴上方图象的自变量取值范围是，
即不等式的解集为，
故答案为：；
（3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
即函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为，
故答案为：；
（4）解：方程有两个不相等的实数根，
方程有两个不相等的实数根，
即二次函数与直线有两个交点，
由图象可知，抛物线的顶点坐标为，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为，
故答案为：．
17．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知直线与抛物线．
(1)求证：直线l与抛物线总有两个交点；
(2)当时，求直线l与抛物线的交点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)直线l与抛物线的交点坐标为，
【分析】（1）将二次函数表达式和一次函数表达式联立起来，根据一元二次方程根的判别式即可求证；
（2）将二次函数表达式和一次函数表达式联立求解即可．
【详解】（1）证明：联立，
化简，得．
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴直线l与抛物线总有两个交点．
（2）解：当时，直线．
联立，
解得或，
∴直线l与抛物线的交点坐标为，．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的交点问题，解题的关键是掌握解求二次函数和一次函数交点坐标的方法和步骤．
18．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为直线________，抛物线与y轴的交点坐标为________；
(2)若，且x满足时，y的最小值为，求此时y的最大值．
【答案】(1)，
(2)y的最大值为．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，求二次函数与坐标轴的交点坐标等等：
（1）利用对称轴计算公式求出对称轴，再求出，当时y的值，即可求出与y轴的交点坐标；
（2）根据开口向上，离对称轴越远函数值越小得到当时取得最小值，据此利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：；；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∴顶点在范围内．
又∵当x满足时，y的最小值为，且，即抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴当时取得最小值，
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
当时，，即此时y的最大值为．
19．（2021·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x-2ax+a-2与x轴交点为A、B，
(1)判断点（，-）是否在抛物线y=x-2ax+a-2上，并说明理由；
(2)当线段AB长度为4时，求a的值；
(3)若w= AB，w是否存在最值，若存在，请求出最值，若不存在，请说明由；
【答案】(1)在，理由见解析
(2)-1或2
(3)存在，最小值为7
【分析】（1）将x= 代入y=x-2ax+a-2判断y是否等于-即可；
（2）配方求出A、B交点坐标，利用两点间距离公式即可求出；
（3）由（2）确定解析式，然后利用配方法求出最小值．
【详解】（1）在；理由如下
将点（，-）代入抛物线y=x-2ax+a-2上，可得
y=（）-2×a×+a-2=-
所以，点（，-）在抛物线y=x-2ax+a-2上；
（2）令y=0，即y=x-2ax+a-2=0，
即（x-a）=a-a+2，
∴x=a±，
∵AB=4，
即2=4，
∴a-a-2=0，
解得a=-1或a=2；
（3）w存在最值，理由如下
若w= AB，由（2）可得
w=[2]=4（a-a+2）=4（x-）+7，
∵4＞0，
∴w有最小值，
当x=，最小值为7．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，两点间距离公式，配方法等，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
(3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不在，见解析
(3)y1＜y2，见解析
【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a，从而可求得函数解析式；
（2）把点P的纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x的二元一次方程，若方程有解，则点P在抛物线，否则不在抛物线上；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的增减性质即可比较大小．
【详解】（1）设抛物线的解析式为
把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3
∴
即抛物线的解析式为；
（2）动点P（x，5）不在抛物线上
理由如下：
在中，当y=5时，得
即
此方程无解
故点P不在抛物线上；
（3）y1＜y2
理由如下：
抛物线的对称轴为直线x=2
∵二次项系数 1<0，且
∴函数值随自变量的增大而增大
即y1＜y2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目．
21．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）对于抛物线．
(1)它与x轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线：
(3)利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，直接写出此时t的取值范围．
【答案】(1)，；；
(2)见解析
(3)t的取值范围为
【分析】（1）把抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标，令，解出的值，即可得到x轴交点的坐标；
（2）利用描点法画出函数图像即可；
（3）先利用一元二次方程根的判别式，求得，再将和分别代入方程，求出的值，即可得到t的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线，
令，则，
解得：，，
抛物线与x轴交点的坐标为，，顶点坐标为，
故答案为：，；；
（2）解：列表
…… 0 1 2 3 4 ……
…… 3 0 0 3 ……
利用描点法画抛物线如下图：
（3）解：关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，
，
解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
t的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点以及顶点坐标，画二次函数图象，结合图象判定一元二次方程解的情况，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
22．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．
(1)若，，求a的值；
(2)若，，
（ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况；
（ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；（ⅱ）当，a的取值范围为或
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，综合运用二次函数的知识是解题关键．
（1）如图：过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，代入得到方程组求解即可；
（2）将，代入可得；（ⅰ）列出方程再画成一般式，然后运用根的判别式判定即可；（ⅱ）分和两种情况，分别运用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：过C作轴于点D．
由题意可知，
∵，
∴，
设，则，，
抛物线解析式为，
把代入得：，解得．
（2）解：∵，，
∴，
（ⅰ）由题意可得：，即，
∵，
∴，
∴抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；
（ⅱ）∵，，
∴抛物线的对称轴为，
当时，由，则，解得：；
当时，由，则或，解得：；
综上，当，a的取值范围为或．
23．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求线段的长；
(2)若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用．掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）求出的自变量的值，得到两点的坐标，进一步求解即可；
（2）连接，设，根据，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）过点N作于点H，连接，求出点坐标，进而求出的解析式，推出，设，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：令，得，
解得，，即，B（3，0），
∴．
（2）∵，当时，，
∴点C的坐标为，
如图1，连接，设，
则
∵，
∴当时，，
此时，，
∴当的面积最大时，点P的坐标为．
（3）存在满足条件的点N，
如图2，过点N作于点H，连接，
∵，
∴，
∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，把代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线与轴的交点为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
设，则，，
∴，解得，
∴点N的坐标为或．
