中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年北师大版七年级下学期期末专项提优数学卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，直线，被直线所截，则的同旁内角是（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在灌溉农田时，要把河直线表示一条河中的水引剩农田处，设计了四条路线，，，其中，要使控渠的路线最短，可以选择的路线为（ ）
A． B． C． D．
4．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
5．如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，已知，在轴上，点，，，…在射线轴上，点，，，…在射线OF上，，，，…均为等边三角形，若，则的横坐标为（ ）
A．512 B．768 C．1536 D．3072
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（ ）
A．20是“完美数”
B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍
D．小于30的所有“完美数”之和是60
10．一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④ B．② ③ ④
C．① ② ③ D．① ②
11．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，已知 ，则∠1=（ ）
A．28° B．30° C．38° D．45°
12．如图（1）是长方形纸片， ，将纸片沿AC折叠成图（2），再沿EC折叠成图（3），则图（3）中 为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算： .
14．已知，则的补角为 ．
15．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的度数是 ．
16．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）；（2）是无理数；（3）方程不是二元一次方程；（4）不等式组的解集是．其中正确的是 （填序号）．
17．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
18．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自世纪中叶（约公元年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第行中所有数字之和为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．下表记录了一名篮球运动员在罚球线上练习投篮的结果：
投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350
投中次数(m) 28 60 78 104 123 153 175
投中频率(m/n) 0.56 0.60 0.52 a 0.49 0.51 b
根据表格中的数据，解答下列问题：
（1）求a、b的值；
（2）若这名篮球运动员在罚球线上再投篮一次，估计他投中的概率.(结果精确到0.1)
20．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2=180°.
（1）试说明：DF∥AC；
（2）若∠1=110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
21．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．
22．今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指 针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖；指向其余数字不中奖.
（1）顾客中奖的概率是多少？
（2）“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？
23．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
24．如图，已知，直线交于点，交于点点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图，若，，则 ， ；
（2）如图，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，当时，若，，过点作交的延长线于点将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的的值．
25．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为 ；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求．
26．阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年北师大版七年级下学期期末专项提优数学卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，直线，被直线所截，则的同旁内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解： A、∠2与∠1是对顶角，故A不符合题意；
B、∠3与∠1是内错角，故B不符合题意；
C、∠4与∠1是同旁内角，故C符合题意；
D、∠5与∠1不是同旁内角，故D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】 两条直线被第三条直线所截，在两直线之间，并在第三条直线同旁的两个角叫做同旁内角，利用定义判断．
2．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：A、，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加进行计算，再判断即可.
3．如图，在灌溉农田时，要把河直线表示一条河中的水引剩农田处，设计了四条路线，，，其中，要使控渠的路线最短，可以选择的路线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据“垂线段最短”可知：选择路线MC；
故答案为：C.
【分析】根据“垂线段最短”进行解答即可.
4．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式x2-mx+16=x2-mx+42是一个完全平方式，
∴-m=±2×4，
∴m=±8.
故答案为：D.
【分析】由于16=（±4）2，多项式x2-mx+16是一个完全平方式，根据完全平方式的规律可知：一次项是二次项和常数项底数乘积的2倍，从而列出关于字母m的方程，求解即可.
5．如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∵，∴AB//CD，故①不符合题意；
∵，∴AD//BC，故②符合题意；
∵，∴AB//CD，故③不符合题意；
∵，∴，故④符合题意；
故答案为：D。
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
6．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】根据轴对称图形的定义：翻折180度可重合，只有C选项符合。
故答案为：C
【分析】由轴对称图形的定义判定即可。
7．对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】 ①、两个图形的周长相等的图形不一定是全等图形，所以①符合题意；
②、两个图形的面积相等的图形不一定是全等图形，所以②符合题意；
③、能够完全重合的两个图形是全等图形，所以③符合题意；
故答案为：B。
【分析】利用全等图形的判定方法逐项判断即可。
8．如图，已知，在轴上，点，，，…在射线轴上，点，，，…在射线OF上，，，，…均为等边三角形，若，则的横坐标为（ ）
A．512 B．768 C．1536 D．3072
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：过 点作 于H点，如图，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的横坐标为： ，
同理可求得：
的横坐标为： ，
的横坐标为： ，
的横坐标为： ，
，
即 的横坐标为： ，
即：当 ， 的横坐标为： ，
故选：C．
【分析】先求出 的横坐标为： ， 的横坐标为： ， 的横坐标为： ， 的横坐标为： ，再求出规律 的横坐标为： ，最后求解即可.
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（ ）
A．20是“完美数”
B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍
D．小于30的所有“完美数”之和是60
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：A、∵62-42=20，∴ 20是“完美数”，故此项不符合题意；
B、∵ 两个连续偶数的平方差最小值为4，∴ 最小的“完美数”是4 ，故此项不符合题意；
C、设两个连续偶数为2n，2n+2，
∴（2n+2）2-（2n）2=4（2n+1），
∴“完美数”一定是4的奇数倍 ，故此项不符合题意；
D、小于30的“完美数”有4、12、20、28，
∴4+12+20+28=64，故此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据 “完美数” 的定义逐一判断即可.
10．一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④ B．② ③ ④
C．① ② ③ D．① ②
【答案】A
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF = ∠EFB = 35°，
由折叠的性质可得：∠GEF=∠DEF=35°，
∴结论①正确，
∴∠DEG=35°x2=70°，
∴∠AEG=180°-70°= 110°，
∴结论③正确，
∵AD//BC，
∴∠EGB= ∠DEG=70°，
∴结论②正确，
∵∠EFC =180°-∠EFB= 180°-35°=145°，
∴由折叠的性质可得：∠EFC'= ∠EFC = 145°，
∴∠CFC'= 360°-145°x2 = 70°，
∴结论④正确，
综上所述：结论正确的有①②③④，
故答案为：A.
【分析】利用长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质等计算求解即可。
11．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，已知 ，则∠1=（ ）
A．28° B．30° C．38° D．45°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将一条两边沿互相平行的纸带折叠
∴∠2+∠α=∠3
∵纸带两边沿互相平行
∴∠1=∠2
∵ ，∠α+∠3=180°
∴∠1 =28°
故答案为：A
【分析】本题主要根据折叠的性质，折叠前后的两个图形全等以及两直线平行，同位角相等即可得到答案.
12．如图（1）是长方形纸片， ，将纸片沿AC折叠成图（2），再沿EC折叠成图（3），则图（3）中 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图(1)，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=m°，
∴∠DCA=90°-m°，
如图(2)，∠DCE=90°-2m°，
如图(3)，∠ACD=90°-3m°，
故答案为：D.
【分析】证明∠ACB=∠DAC=m°，∠DCA=90°-m°，进而证明∠DCE=90° -2m°，即可解决问题.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算： .
【答案】a5
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：a2×a3=a2+3=a5.
故答案为：a5.
【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可.
14．已知，则的补角为 ．
【答案】148°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α=32°，
∴∠α的补角为：180°-32°=148°．
故答案为：148°.
【分析】利用互补的定义即可求出答案.
15．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE=55°，
∴∠AEF=∠CFE=55°，∠DEF=125°，
∴图②中的∠GEF=55°，∠DEG=180°-2×55°=70°，
∴图③中∠GEF=55°，∠DEF=70°-55°=15°．
故答案为：15°.
【分析】根据两条直线平行，内错角相等；折叠的性质：折叠前后的两个图形是全等图形，同时也是轴对称图形；全等图形的对应角相等，即可求解．
16．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）；（2）是无理数；（3）方程不是二元一次方程；（4）不等式组的解集是．其中正确的是 （填序号）．
【答案】（1）（3）（4）
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1），故（1）正确；
（2）是有理数，故（2）不正确；
（3）方程得是二元二次方程，故（3）正确；
（4）不等式组等价于，解得
，故（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
【分析】根据所给的定义运算法则对每个结论一一判断即可。
17．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
18．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自世纪中叶（约公元年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第行中所有数字之和为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；有理数的乘方法则；单项式的次数与系数
【解析】【解答】杨辉三角形的规律公式是：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2n-1。
5、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
6、第n行的第m个数和第n-m个数相等。
依据第4个公式，第2022行数字之和是22022-1=22021
故填：22021
【分析】了解杨辉三角形的相关公式。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．下表记录了一名篮球运动员在罚球线上练习投篮的结果：
投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350
投中次数(m) 28 60 78 104 123 153 175
投中频率(m/n) 0.56 0.60 0.52 a 0.49 0.51 b
根据表格中的数据，解答下列问题：
（1）求a、b的值；
（2）若这名篮球运动员在罚球线上再投篮一次，估计他投中的概率.(结果精确到0.1)
【答案】（1）解：由表格中的数据可得
（2）解：这名篮球运动员在罚球线上再投篮一次，估计他投中的概率为0.5
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1) 用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案；
（2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率.
20．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2=180°.
（1）试说明：DF∥AC；
（2）若∠1=110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
【答案】（1）解：∵DE∥AB，∴∠A=∠2，
∵∠1+∠2=180°，∴∠A+∠1=180°，∴DF∥AC
（2）解：∵∠1=110°，
∴∠2=70°，
∵AC∥DF，∴∠FDE=∠2=70°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF=70°，∴∠C=∠BDF=70°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换即可证明；（2）先求出∠EDF=∠2=70°，再根据角平分线和平行线的性质即可得出∠C的度数.
21．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠C=∠2，
∴AF∥BC
（2）解：∵CA平分∠BAF，
∴∠BAC=∠2=∠C=∠1，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=∠C=65°，
∴∠1=65°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠C，结合∠1=∠2，可得∠C=∠2，根据内错角相等，两直线平行即证；
（2） 由角平分线的定义及（1）结论，可得∠BAC=∠2=∠C=∠1， 根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠BAC=∠C=65°， 继而得解.
22．今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指 针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖；指向其余数字不中奖.
（1）顾客中奖的概率是多少？
（2）“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？
【答案】（1）解：8，2，6，1，3，5 份数之和为 6，
转动圆盘中奖的概率为： ；
即顾客中奖的概率为
（2）解：∵共有8种等可能结果，其中顾客中一等奖的结果有1种.
∴P（顾客中一等奖）=
∴ =225
即获得一等奖的人数约为225人
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）由转盘可知：8，2，6，1，3，5 份数之和为6，总份数为8，然后根据概率公式进行计算；
（2）首先求出顾客中一等奖的概率，然后乘以1800即可.
23．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
【答案】（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
∴ ，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
又∵∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEB=∠EAC，
∴AC∥BE．
【知识点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．
24．如图，已知，直线交于点，交于点点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图，若，，则 ， ；
（2）如图，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，当时，若，，过点作交的延长线于点将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）27；135
（2）解：如图，延长交于，设，交于点，
设，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：
；
（3）解：或或或或
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）延长PE交CD于点G，设PE，FQ相交于点H.
∵PE 垂直于QE，
∴∠QEG = ∠PEQ = 90°
∵∠EQN = 63°，AB //CD
∴∠EQC=180°-∠EQN=117°，
∠BPE=∠EGQ=180°-∠EQN - ∠QEG = 27°
故（1）第一空答案为：26°
∵PF平分∠MPE，QF平分∠CQE，
∴∠FPH=∠BPE=13'，∠EQH=-∠EQC=58°
∴∠FHP=∠EHQ=180°-∠QEH-∠EQH=32°
∴∠PFQ=180°-∠FHP-∠FPH=135°
故第二空答案为：135°
（3）解：根据题意，需要分三种情况：
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
舍，
如图，当时，
，
，
综上所述：或或或或．
【分析】(1)延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点 H，设∠MPE = 2a，则∠FPE=∠BPE = α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和定理表示出∠EQC，进而得出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，最后得出答案.
（2）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H.然后设得出，根据平行线的性质得出∠PGQ=∠BPE=2α，根据∠GEQ=180°-∠PEQ，得出∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，由此得出：∠HQE=，最后根据三角形内角和定理即可得出：2∠PFQ-∠PEQ=180°
（3）本题分三种情况进行解答求值：①当时，②当时，③当时.
25．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为 ；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求．
【答案】（1）51
（2）解：，．
（3）解：，均为慧泉数，
，解得或或．
由，得的值等于的个位数字与十位数字之和，
，，
，
，解得．
或．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（1）根据“ 慧泉数 ”的定义可得：51是“ 慧泉数 ”，
故答案为：51.
【分析】（1）根据“ 慧泉数 ”的定义求解即可；
（2）根据题干中的计算方法求解即可；
（3）根据题意列出不等式组求解即可。
26．阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：如图2，过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥AB∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°.
（3）解：①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF=n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=n°+30°；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°-∠ABE，∠CDE＝∠DEF
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF＝180°-n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=180°-n°+30°=-n°+210°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC.
故答案为：∠EAB，∠DAC.
【分析】（1）过点A作ED∥BC，根据平行线性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，据此填空即可；
（2）如图2，过C作CF∥AB，易得CF∥AB∥DE，从而得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，等量换即可得∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（3）分两种情况：①如图3，过点E作EF∥AB；②如图4，过点E作EF∥AB，根据平行线性质分别表示出∠BEF与∠ABE的关系，∠DEF与∠CDE的关系，再根据角平分线定义得∠ABE＝n°，∠CDE＝30°，从而求得∠BEF和∠DEF的度数，再由∠BED＝∠BEF+∠DEF，代入数据计算，即可求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
