2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.个班分别从个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，第_____项的二项式系数与第项的二项式系数相等( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.已知等差数列，则“”是“”成立的_____条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
4.两个单位向量与满足，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，所有的二项式系数之和为，则所有项的系数和为( )
A. B. C. D.
6.学校决定于月日月日举行为期天的“数学节”活动，现安排，，，，五位同学担任本次活动的志愿者已知五位志愿者要全部安排且每天只安排位志愿者，要求月日、月日做志愿者的同学每人安排一天，月日到月日做志愿者的同学每人安排两天，则不同的安排方法一共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.下列不等式中，所有正确的序号是( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程，则( )
A. 存在实数，使得该方程对应的图形是圆
B. 存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线
C. 存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线
D. 存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆
10.在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.在下列底面为平行四边形的四棱锥中，，，，，是四棱锥的顶点或棱的中点如图，则平面的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含的项的系数是______．
13.对于随机事件，，记为事件的对立事件，且，则 ______．
14.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，与底面所成的角为，为的中点．
求证：平面；
若，为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
是研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确某科技公司在使用对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，的回答是否正确相互独立该公司科技人员小张想挑战一下，小张和各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个．
在小张和的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列；
给输入一个问题，求该问题能被回答正确的概率；
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在处的切线方程；
Ⅱ设，求函数的最小值；
Ⅲ若，求实数的值．
18.本小题分
如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
求的值；
求的值；
求的取值范围．
19.本小题分
已知且，函数．
记，，为数列的前项和当时，试比较与的大小，并说明理由；
当时，证明：；
当且时，试讨论的零点个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为第个班有种选法，第个班有种选法，第个班有种选法，第个班有种选法，第个班有种选法，第个班有种选法，
所以由分步计数原理可得不同的选法有：种，
故选：．
由分步相乘原理直接得结论．
本题考查分步相乘计数原理，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数相等，
故，整理得．
故选：．
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由等差数列的性质可知，若，则一定成立，
若，则不一定有，例如等差数列为常数列，
所以“”是“”成立的充分不必要条件．
故选：．
利用等差数列的性质求解．
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：两个单位向量与满足，
则，
，
，，
可得向量与的夹角为．
故选：．
由向量数量积的性质和夹角公式，计算可得所求值．
本题考查向量的夹角公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于所有的二项式系数之和为，则，解得；
令，解得所有项的系数和为．
故选：．
直接利用二项式的展开式的二项式系数，进一步利用赋值法求出结果．
本题考查的知识点：二项式系数和系数的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：已知五位志愿者要全部安排且每天只安排位志愿者，要求月日、月日做志愿者的同学每人安排一天，月日到月日做志愿者的同学每人安排两天，
则不同的安排方法一共有种．
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：对于，令，，，
，则在上恒成立，
则，即，故正确；
对于，，而，则，
而，则成立，故正确；
对于，设，，则，
再令，则，，
则在上恒成立，则在上单调递减，
则，则在上恒成立，则在上单调递减，
因为，则，则成立，故正确；
对于，根据余弦函数单调性知，故正确．
故选：．
构造函数，，利用其单调性即可判断；和分别利用正切函数和余弦函数单调即可比较大小；利用函数，的单调性即可．
本题主要考查导数的应用，三角函数的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，两边同时求导可得：，
又，即，
可得关于对称，对两边同时求导可得，
则关于对称，又为奇函数，则，
求导可得，所以关于对称，
同时求导得，则关于对称，
由关于对称，关于对称得，的周期为；
同理的周期也为，
因此，
又关于对称，；由关于对称，可得，
所以．
故选：．
根据复合函数的导数，根据函数的对称性，奇偶性，周期性即可求值．
本题考查复合函数的导数，考查函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，方程表示圆，故A正确；
对于：不存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线，所以不正确；
对于：当，焦点在轴上的双曲线，故C正确；
对于：当，该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确．
故选：．
对于利用方程表示圆的条件判断；对于判断直线是否与轴平行；对于利用方程表示双曲线的条件判断；对于利用方程表示椭圆的条件判断．
本题主要考查曲线的方程，双曲线的性质及其应用等知识，属于中等题．
10.【答案】
【解析】解：不妨设，，
则，，
若，
此时，
即，
因为，，
所以，故选项A正确；
若，
此时，
而，，故选项B错误；
若，
此时两复数中至少一个为零，
即，中至少一个的坐标为，
则，故选项C正确；
若，
此时，
由
可得，故选项D错．
故选：．
由题意，根据复数的运算，模的定义，向量的数量积的坐标表示对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查复数的运算和平面数量向量积的性质及运算，考查了逻辑推理和运算能力．
11.【答案】
【解析】解：对于，设为的中点，底面为平行四边形，连接，，
则，，而，，
所以，，即四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面，故A正确；
对于，设为的中点，底面为平行四边形，连接，，
则，，而，，
所以，，即四边形为平行四边形，
所以，而平面，平面，
故平面，故B正确；
对于，设为的中点，底面为平行四边形，连接，，
设，连接，
则，，而，，
所以，，即四边形为平行四边形，
故A，又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，即在平面内过点有两条直线和都平行，
这是不可能的，故此时假设不成立，故C错误；
对于，设底面为平行四边形，连接，交于点，，
则为的中点，连接，，
由于为的中点，故，
又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，
故此时假设不成立，故D错误．
故选：．
根据线面平行的判定定理可判断，；假设平面，利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断，．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与逻辑能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据二项式的展开式，
当时，的项的系数为．
故答案为：．
直接利用二项式的展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
则，
又由，
则有，
变形可得：．
故答案为：．
根据题意，由概率的乘法公式求出，进而求出，结合条件概率公式可得，变形可得答案．
本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：不等式对恒成立，等价于，即，
所以，
设，其中，
则，令得，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，又，，
所以存在使得，
所以若，则或，
即或对恒成立，
又因为，，
所以在上，，单调递增，在上，，单调场减，
所以，
又因为当时，；当时，，
所以对恒成立不可能，
所以对恒成立，只有才能满足要求，
即，
又因为，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
不等式变形为，令，，求导得到其单调性，结合特殊函数值，得到若，则或，即或，再对求导，得到其单调性和最值，得到，求出答案．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
15.【答案】证明：因为平面，平面，
所以，而，，
所以平面，平面，
所以，
因为，为的中点，与底面所成的角为，
所以，又因为，
所以平面；
解：以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
因为正方形中，，由可得，
则，，，，
，，，
由可知平面的法向量为，
因为为的内心，设圆与切于，，，如图所示：
由为等腰直角三角形，可得在对角线上，
设，的交点为，则为圆的切点，圆的半径为，
，
则，而，
可得，
可得，
所以
，，，
所以，．
直线与平面所成的角为，，
所以，．
【解析】因为平面，进而可证得平面，可得，再由与底面所成的角为，可证得，进而可证得平面；
建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，可得平面的法向量的坐标，由为的内心，可得点的坐标，求出的坐标，可得，的值，进而求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查空间向量的方法求线面角的正弦值，属于中档题．
16.【答案】解：设小张答对的题数为，则的可能取值是，，
，
所以小张答对题数的分布列为：


设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被正确回答”，
由题意知，
则，
．
【解析】设小张答对的题数为，则的可能取值是，，求出各自对应的概率，即可求解；
设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被正确回答”，利用对立事件和条件概率的计算公式即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与条件概率的计算，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ，
曲线在处的切线的斜率．
又因为，所以切点为．
曲线在处的切线方程为．
Ⅱ设，
，
当变化时，和的变化如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以当时，．
Ⅲ若，则，不合题意；
若，设，
由Ⅱ知，，
所以在上单调递增．
又，所以当时，，，，；
当时，，，，，
所以符合题意．
综上所述．
【解析】Ⅰ对求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，求出切点坐标，从而可得切线方程；
Ⅱ对求导，利用导数判断函数的单调性，从而可得最小值；
Ⅲ若，则，不合题意；若，构造函数，利用导数判断函数单调性，从而判断，即可得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数判断函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：抛物线的焦点为，故．
若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，
联立，可得，
恒成立，则，
．
设直线、的斜率分别为、，其中，，
联立，可得，解得，
点在第三象限，则，
点在第四象限，同理可得，
且，
，
当且仅当时，等号成立．
的取值范围为．
【解析】根据题意即可求出的值．
设直线的方程为，点、，联立直线与抛物线，即可得出的值．
联立直线与椭圆方程，根据点所在象限和均值不等式，即可得出答案．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
19.【答案】解：，
为数列的前项和，
．
证明：当时，．
记，．
当时，；当时．，
在上单调递减，在上单调递增．
，即，当且仅当时，取等号，
在上单调递增，
当时，；当时，．
．
，，
当时，，是上的增函数，
又当时，；当时，，
故有个零点．
当时，记，
则，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
．
若，则，即，
故在上单调递增，
又当时，；当时，，
故有个零点．
Ⅱ若，，，，
易证任意，，从而．
故存在，，使得．
当，或时，，即；
当时，，即．
在，上单调递增，在上单调递减．
又，，，
又当时，；当时，，
有个零点．
综上，当时，有个零点；
当且时，有个零点．
【解析】利用等比数列和等差数列的求和公式即可；
在上单调递增，且，即可证明；
利用的单调性即可求解．
本题考查了等比数列和等差数列的求和公式，利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
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