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（二）
平面直角坐标系与函数命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题01
一次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 18
反比例函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 34
二次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 50
函数综合 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 69
平面直角坐标系
平面直角坐标系是初中数学中非常基础且重要的概念，尤其在中考数学中，关于平面直角坐标系的命题通常会涉及以下几个方面：点坐标的基本性质、 函数与坐标系的结合、与几何图形的结合、实际应用问题等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握基本概念、理解函数与坐标系的关系、掌握几何图形的性质、提高解题能力等。
在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图像、函数的应用等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注重函数的应用。
Ⅰ、平面上确定物体位置的方法
1. 行列定位法：用行数和列数表示物体的位置.
将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.
2. 经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.
3. 方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示.
PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.
4. 区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.
5. 方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.
Ⅱ、平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
1. 平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示：
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.
2. 点的坐标
（1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示：
（2）确定点的坐标的方法：
①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标；
②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标.
③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来.
（3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的.
（4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
（5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
二、象限的划分与点的坐标特征
1. 象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示：
2. 点的坐标特征
点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下：
点M（x，y）所处的位置 坐标特征
象限内的点 点M在第一象限 M（正，正）
点M在第二象限 M（负，正）
点M在第三象限 M（负，负）
点M在第四象限 M（正，负）
坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0）
在x轴负半轴上 M（负，0）
点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正）
在y轴负半轴上 M（0，负）
原点 M（0，）
象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y
点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y
两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等
MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等
PS：原点既在x轴上，又在y轴上.
三、图形变换与点的坐标变化
1. 对称点的坐标特征
（1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）；
（2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）；
（3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）.
2. 图形的变化与坐标特征
对于图形上任意一点A（a，b）
图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征
平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k
向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k
向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k
向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k
对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数
关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数
PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移.
Ⅲ、函数
一、变量与常量
1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
2. 判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量.
3. 常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示.
二、函数的概念
1. 函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数.
3. 函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应.
4. 函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数.
三、函数的三种常见表示方法
表示法 定义 优点 缺点
列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来
图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
四、函数的图像
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.
知识点五、函数的自变量与函数值
1. 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
2. 常见函数自变量取值范围的确定：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
3. 函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值.
（1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值.
（2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.
1．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
2．（2023 滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023 南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
4．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
5．（2023 河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
6．（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 ．
7．（2023 烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 ．
8．（2023 大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 ，△COA的面积是 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
1．（2023 武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2023 拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（ ）
A．a＜3 B．b＞3 C．a＞b D．a＜b
3．（2024 安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023 广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2023 盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2024 秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． B． C．17 D．5
7．（2023 甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．
1．（2024 秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． B． C．17 D．5
2．（2024 东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/s B．cm/s C．cm/s D．cm/s
3．（2024 广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023 肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 ．
5．（2023 铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 ．
6．（2024 北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
7．（2023 七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．
（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．
（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．
8．（2023 定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
1．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠3
C．x＞﹣1 D．x≥﹣1 且x≠3
2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2
3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0）， ，则A2025的坐标是（ ）
A．（23，﹣22） B．（22，﹣22） C．（45，﹣44） D．（44，﹣44）
4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底
5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为 ．
6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于 ．
7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：
输入x … 2 5 7 9 11 …
输出y … 5 4 10 16 22 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．
一次函数
一次函数在中考数学中的命题预测可能会涉及以下几个方面：一次函数的图像与性质、一次函数的解析式、一次函数的实际应用、一次函数与几何图形的结合。
针对这些可能的命题方向，建议学生：
熟练掌握一次函数的基本概念和性质，包括图像、解析式、斜率、截距等。
学会根据题目条件求一次函数的解析式，并判断函数的性质。
注重一次函数在实际问题中的应用，学会建立一次函数模型来解决实际问题。
加强一次函数与几何图形的结合，通过几何图形来理解和应用一次函数。
Ⅰ、一次函数
一、一次函数、正比例函数的定义
1. 一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
2. 正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数.
3. 正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
4. 一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
5. 判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数.
二、确定一次函数的表达式
1. 待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值.
2. 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤：
（1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）；
（2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）；
（3）解：解方程（组），求出k、b的值；
（4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式.
Ⅱ、一次函数的图像
一、一次函数的图像
1. 一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线.
2. 正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线.
3. 一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点.
4. 一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上.
5. 通过描点法画出对应一次函数的步骤：
（1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中；
（2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
（3）连线：将所描的点用直线连接起来.
二、一次函数的图像与性质
一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）
k、b的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右上升 从左向右下降
性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限
1. 一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号.
2. |k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.
三、正比例函数与一次函数图形的关系
1. 正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的.
2. 一次函数图像的平移规律
（1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减）
（2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）.
3. 同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下：
k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系
k1≠k2 l1与l2相交
k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2）
k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行
k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合
Ⅲ、用一次函数解决问题
一、一次函数的应用
应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.
1. 判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：
（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
（2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；
（3）观察图像特征，判断函数的类型.
2. 建立一次函数表达式的常用方法
（1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式；
（2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式；
用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
二、一次函数图像的应用
1. 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
2. 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
Ⅳ、一次函数与二元一次方程
一、一次函数与二元一次方程的关系
1. 一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上.
2. 二元一次方程与一次函数的区别：
（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系.
3. 二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）.
二、一次函数与二元一次方程组
1. 如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.
2. 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
3. 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
4. 当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立.
5. 当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
6. 方程组解的几何意义
（1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标；
（2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（）
（3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
（4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.
Ⅴ、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
一、一次函数与一元一次方程
1. 一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2. 从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值.
3. 对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
二、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1. 不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2. 不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3. 不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围；
4. 不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围；
5. 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围；
6. 不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围.
1．（2023 通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023 荆州）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
3．（2023 郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
4．（2023 苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ．
5．（2023 东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ．
6．（2023 济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 h后两人相遇．
7．（2023 齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 千米，a＝ ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
8．（2023 扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
1．（2023 随县模拟）甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从A地去往B地，如图表示其行驶过程中路程y（千米）随时间t（小时）的变化图象，下列说法：
①乙车比甲车先出发2小时；
②乙车速度为40千米/时；
③A、B两地相距200千米；
④甲车出发80分钟追上乙车．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024 龙马潭区一模）如图，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3，） B．（，） C．（3，） D．（，）
3．（2024 丰县一模）甲、乙两地相距540km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离s（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．100km/h B．120km/h C．80km/h D．60km/h
4．（2023 阳谷县二模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是 ．
5．（2023 城中区模拟）如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
6．（2023 自流井区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ ．
7．（2023 天宁区校级一模）已知购买1千克甲种水果和3千克乙种水果共需52元，购买2千克甲种水果和1千克乙种水果共需44元．
（1）求每千克甲种水果和每千克乙种水果的售价；
（2）如果购买甲、乙两种水果共20千克，且甲种水果的重量不少于乙种水果的重量．则购买多少千克甲种水果，总费用最少，最少总费用是多少？
8．（2023 兴庆区二模）如图：一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP．
（1）当△OPM为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标；
（2）当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
（3）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
1．（2023 蚌山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．6
2．（2023 青山区一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
3．（2023 南召县模拟）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
4．（2024 营山县一模）七年级某班因需要购买一种笔记本，已知总费用m（单位：元）和购买笔记本总数n（单位：本）的关系为m，如果需要100本笔记本，怎样购买能省钱？此时总费用最少m的值为 ．
5．（2023 新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
6．（2024 商河县一模）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸．
7．（2024 镇海区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C是y轴负半轴上一点，连结BC，将线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BD，连结AD交x轴于点E，若点E横坐标为3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）在x轴和直线AD上分别找点P，Q，使得B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，直接写出点P坐标．
8．（2024 河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b经过点A（﹣2，6），且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线l2：y＝2x相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线MN与直线l1、l2分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标；
（3）若直线l3：y＝mx+m与线段CD有交点（包括线段CD的两个端点），直接写出m的取值范围．
1．在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3） B．（2，6） C．（1，5） D．（0，3）
2．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0 B．y随x增大而增大
C．x＝4时，y＝0 D．x＞0时，y＞2
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
4．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
5．根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是 ．
6．小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小聪与小明出发 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 m/min．
7．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子数量a（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1，y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2，y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．
（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？ （填“过”或“不过”）．
（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；
（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值；
（4）当m＝1时，将点P（2，n）向右平移2.5个单位得到点N，当线段PN沿直线y＝mx﹣m+4向下平移时，请直接写出线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标．
反比例函数
在中考数学中，反比例函数的命题可能会从以下几个方面来考察：
反比例函数的图像和性质：可能会考察反比例函数的图像是双曲线，以及当k的值大于0或小于0时，双曲线的位置和增减性等性质。
反比例函数的解析式确定：通过给出图像上一点的坐标或x、y的对应值，来考察如何确定反比例函数的解析式。
反比例函数与其他函数的综合考察：可能会考察反比例函数与一次函数、二次函数等其他函数的图像交点、面积等问题。
反比例函数的实际应用：可能会通过一些实际问题，比如速度、时间、工作量等，来考察如何利用反比例函数来建立数学模型，并解决实际问题。
总之，反比例函数在中考数学中的命题可能会从多个角度来考察，需要同学们掌握反比例函数的图像、性质、解析式确定以及实际应用等方面的知识。同时，也需要注重与其他知识点的综合应用，提高自己的解题能力。
Ⅰ、反比例函数
一、反比例函数的定义
一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
1. 反比例函数（为常数，）也可以写成（为常数，）或（为常数，）的形式；
2. 反比例函数中，x、y、k均不能为0；
3. 成反比例关系的式子不一定是反比例函数，但是成反比例函数（为常数，）的两个变量一定成反比例关系.
二、反比例函数表达式的确定
1. 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式；
2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：
（1）设：设所求的反比例函数为：；
（2）列：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解：解方程求出待定系数k的值；
（4）代：把求得的k值代回所设的函数关系式 中.
三、列反比例函数表达式
对于一个实际问题，应根据已知条件或数量关系列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为反比例函数关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义.
Ⅱ、反比例函数的图像和性质
一、反比例函数的图像及画法
1. 反比例函数的图像
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2. 用描点法画反比例函数图像的一般步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
PS：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
二、反比例函数的图像和性质
反比例函数 （k为常数，）
x、y的取值范围
k的符号
图像
图像的位置 图像在第一、三象限 图像在第二、四象限
图像的特征 （1）图像是关于直线和对称的双曲线； （2）图像是关于原点对称的双曲线； （3）图像各分支的延伸部分无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.
性质 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大
三、反比例函数中比例系数k的几何意义
1. 如图所示，过双曲线上任意一点分别向两坐标轴作垂线，所得矩形PAOB的面积 ，；
2. 如图所示，过双曲线任意一点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为M，连接QO，则.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
Ⅲ、用反比例函数解决问题
反比例函数在实际问题中的应用
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
（1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
（2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
（1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
（3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
（4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
（5）运用函数的图像和性质解决问题.
PS：①在实际问题中，反比例函数的自变量与函数值的取值范围不再是非零实数，一般为正数或正整数；
②平面直角坐标系中的横轴和纵轴的单位长度要根据实际问题来确定，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致，但同一横轴（或纵轴）上的单位长度要一致
1．（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023 宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
3．（2023 邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
4．（2023 攀枝花）如图，在直角△ABO中，AO，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y的图象上，则k的值为 ．
5．（2023 烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 ．
6．（2023 鞍山）如图，在△ABC中，BA＝BC，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若点E为AC的中点，BD＝2AD，BF﹣CF＝3，则k的值为 ．
7．（2023 滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
8．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式ax+b的解集．
1．（2024 汕头校级模拟）对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
2．（2024 道里区模拟）若反比例函数y（k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣5，﹣2） C．（1，10） D．（10，﹣1）
3．（2024 荔湾区一模）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
4．（2024 石峰区一模）若函数y＝（m+1）xm2﹣4m﹣6是y关于x的反比例函数，则m＝ ．
5．（2023 霞山区校级一模）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC，反比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于 ．
6．（2024 南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
7．（2024 青海一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x和反比例函数y的图象交于A，B两点，AC⊥x轴，垂足是C．求：
（1）反比例函数y的解析式；
（2）△ABC的面积．
8．（2024 铁东区校级模拟）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
1．（2023 十堰二模）方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
2．（2024 全州县校级一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
3．（2023 泗水县四模）如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF BE的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．（2024 凉州区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k1＞0）与直线y＝k2x（k2≠0）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝a HP，HB＝b HQ，则a﹣b的值为 ．
5．（2024 南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
6．（2023 浙江模拟）如图，点P是反比例函数y1（x＞0）上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，则点P的坐标为 ．
7．（2024 临沂一模）如图，直线AC与函数y的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y的图象上，求点D的坐标．
8．（2024 河南模拟）如图所示，在平面直角坐标系中的y轴正半轴上取点A（0，3），x轴正半轴上取点B（a，0），以AB为边构造等腰直角△ABC，点P为AC的中点，反比例函数过P，C两点．
（1）求a的值及反比例函数的解析式；
（2）设直线AC为y＝mx+n，请依据图形直接写出不等式的解集．
1．已知点（2，﹣6）在函数y的图象上，则下列有关函数y的说法正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点（﹣3，﹣4）
B．该函数的图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y的值随x的增大增大
D．当x＞﹣1时，y＞4
2．从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在反比例函数图象上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10 B．4 C．3 D．5
4．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 ．
5．如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝ ．
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 ．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（6，10）．
（1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求m的值．
8．如图，已知反比例函数的图象与直线y2＝k2x+b相交于A（﹣1，3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＞y2时，对应的x的取值范围．
二次函数
预测二次函数在中考中会有以下几种命题趋势：
销售问题：这种题型一般会涉及到成本、售价、销售量、利润等概念，并且需要建立二次函数模型来求解最值问题。比如预测题中提到的那种，通过给定的销售量和销售单价的关系，来求解最大销售利润。
图象与性质：这是二次函数的核心考点，包括图象的开口方向、与坐标轴的交点、顶点的位置和对称轴等。这些性质都是决定函数图像在平面直角坐标系中位置的重要信息，对于求解最值、交点等问题至关重要。
大小比较：二次函数大小的比较，一般会通过两种方法进行比较，一是直接求出函数值进行比较，二是通过数形结合，观察点在图像上的位置来进行比较。
解析式：二次函数的解析式主要有三种形式，这是基础中的基础，对于后续的求解和应用都非常重要。
图像与系数的关系：这是深入考察二次函数性质的重要考点，需要理解系数对图像的影响，进而求解相关问题。
Ⅰ、二次函数
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
1. 任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式.
2. 在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数.
3. 二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
二、实际问题中的二次函数及自变量的取值范围
一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义.
Ⅱ、二次函数的图像和性质
一、画函数y＝ax2（a≠0）的图像
1. 画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线.
2. 列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况.
3. 由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值.
4. 一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像.
二、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质
二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下：
函数 y＝ax2
a的符号 a＞0 a＜0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0，0）
函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大
最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
函数 y=ax2+c(a≠0)
a的符号 a＞0 a＜0
图像 c＞0
c＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0，c） （0，c）
函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c
对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的.
四、二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
1. 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
五、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
六、二次函数图像的平移规律
平移规律：上加下减，左加右减.
1. 上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m.
2. 左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k.
Ⅲ、用待定系数法确定二次函数表达式
一、二次函数解析式的三种形式
1. 一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；
2. 顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；
3. 交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.
二、待定系数法求二次函数表达式
在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.
1. 二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.
2. 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.
3. 当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
Ⅳ、二次函数与一元二次方程
一、二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
2. 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
③当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.
二、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根
1. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下：
（1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像；
（2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点；
（3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围；
（4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值.
2. 由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值.
3. 在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间.
三、二次函数与不等式的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）：
判别式
抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集
△＞0 或
△＝0 （或） 无解
△＜0 全体实数 无解
抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.
Ⅴ、用二次函数解决问题
一、建立二次函数模型求生活中的最值问题
在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下：
1. 找：找等量，分析题目中的数量关系；
2. 列：列出函数表达式；
3. 求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值.
二、建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
1．（2023 杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
2．（2023 巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线yx2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1 x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023 遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023 镇江）二次函数y＝﹣2x2+9的最大值等于 ．
5．（2023 广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
6．（2023 无锡）二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M（3，1）的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为 ．
7．（2023 枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023 怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线l1：y＝kx+k交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y上总存在一点E，使得∠MEN为直角．
1．（2024 同安区模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1过四个点（0，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 滨海新区一模）抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不包括这两个点）．有下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③方程ax2+bx﹣b＝0没有实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2024 西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．若点P在抛物线的对称轴上，线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）
4．（2024 雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，，∠B＝60°，∠D＝120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为 ．
5．（2024 南宁模拟）如图，已知正方形ABCD的顶点A，C在二次函数第一象限的图象上，当点B在y轴上时，设点A，C的横坐标分别为m，n，且m＜n，则m，n满足的等量关系式是 （用含m的式子表示n）．
6．（2024 水磨沟区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 ．（填序号）
7．（2024 石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（2+m）x+2m的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值（用含m的代数式表示）；
（2）点A（﹣t，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
8．（2024 秀峰区校级模拟）二次函数解析式为y＝ax2﹣2x﹣3a．
（1）判断该函数图象与x轴交点的个数；
（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是（3，0），求直线CD的解析式；
（3）请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线CD于点R．若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且r＜m≤n，求m+n+r的取值范围．
1．（2024 长沙模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足：（1）当x＝﹣1时，y＝0，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 苏州一模）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＜0；③若（﹣2，y1）与是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024 广平县模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
4．（2024 武侯区校级一模）如图，二次函数y的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．现有一长为3的线段DE在直线y上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是 ．
5．（2023 宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，AM交BC于点N，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ．
6．（2023 青羊区校级模拟）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ．
7．（2024 官渡区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数y＝ax2﹣2a﹣3a（x≥0）的图象记为T1，将T1关于原点对称的图象记为T2，T1与T2合起来得到的图象记为T，完成以下问题：
①在网格中画出函数T的图象；
②若对于函数T上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x1≤﹣2，t≤x2≤t+1时，总有y1＞y2，求出t的取值范围．
8．（2024 高青县一模）如图，已知直线l：y＝kx+4与抛物线y＝ax2+bx+2交于点A，B（1，3），且点A在x轴上，P是y轴上一点，连接PA，PB．
（1）求k，a，b的值；
（2）当PA+PB取得最小值时，求点P的坐标；
（3）若直线x＝m交直线l于点C（点C在线段AB上，不与端点重合），交抛物线于点D，连接OC．设w＝OC2+CD，求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值．
1．抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 6 3 0 ﹣1 0 ……
则下列结论：①a＞0；②c＝3；③抛物线的对称轴为直线x＝2；④方程ax2+ax+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
5．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ ．
6．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 ．
7．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点．
（1）求m的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形．
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值．
函数综合
1．（2023 绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且ADAB，反比例函数y（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023 金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
4．（2023 达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y的图象过点C，则k的值为 ．
5．（2023 青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④ka．其中正确的是 .（只填写序号）
6．（2023 黄石）如图，点A（a，） 和B（b，）在反比例函数y（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为，则 ．
7．（2023 泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
8．（2023 眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
1．（2023 东莞市三模）如图， ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠A＝60°，动点P沿A﹣B﹣C﹣D匀速运动，运动速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为x（s），△APQ的面积为y（cm2），能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 江阳区模拟）已知关于x的方程ax2＝|x|﹣1有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，设x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论不正确的是（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝0
B．x2＜﹣1
C．x1 x2 x3 x4＞17
D．若﹣1＜m＜x3，则am2＞|m|﹣1
3．（2024 镇海区校级二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，连结AB交图象于点C，若C是AB的中点，则△AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023 庆云县模拟）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
n ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
5．（2024 绵阳模拟）如图，A、B是反比例函数图象上的两点，过点A、B分别作x轴的平行线交y轴于点C、D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标是4，CD＝3AC，，则A点的坐标是 ．
6．（2024 安徽模拟）如图，△ABC和△BOC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠OBC＝90°，反比例函数y（x＞0）经过点A，且AB＝2．
（1）k＝ ；
（2）连接OA，则S△ODC﹣S△ABD＝ ．
7．（2024 龙泉驿区模拟）某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于45元/千克．经市场调查发现每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
8．（2024 潮州一模）如图所示，直线y＝kx+b与抛物线y＝（x+1）2+m交于点B（1，0）和D（n，﹣3），点D在第三象限．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）抛物线y＝（x+1）2+m与x轴另一交点为A，直线y＝kx+b交抛物线对称轴于点E，求△ADE的面积．
1．（2024 广陵区一模）如图，抛物线y（x﹣t）（x﹣t+6）与直线y＝x﹣1有两个交点，这两个交点的纵坐标为m、n．双曲线y的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（ ）
A．t＜0 B．0＜t＜6 C．1＜t＜7 D．t＜1或t＞6
2．（2024 扶沟县一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
3．（2023 香洲区校级一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024 广西模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为 ．
5．（2023 天山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（﹣1，2）、（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为﹣2．在抛物线移动过程中，a﹣b+c的最小值是 ．
6．（2024 武威一模）如图，A、B是函数y上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 ．（填序号）
7．（2024 市中区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024 双流区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+1与y轴交于点A，与双曲线的交点为B（p，3），且△AOB的面积为．
（1）求a，k的值；
（2）直线y＝mx﹣8m+1与双曲线的交点为C，D（C在D的左边）．
①连接AC，AD，若△ACD的面积为24，求点C的坐标；
②直线y＝7与直线y＝mx﹣8m+1交于点E，过点D作DF⊥DE，交直线y＝7于点F，G为线段DF上一点，且，连接AG，求的最小值．
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象上，则k﹣2的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4
3．如图，直线y＝﹣x+b与直线y＝2x交于点A的横坐标为﹣1，则不等式﹣x+b＞2x的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜2
4．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 ．
5．如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 ．
6．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为 ；
（2）当△ABC是直角三角形时，a的值为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线CD：y＝﹣x﹣2与y轴交于点D，与反比例函数y在第二象限内的图象相交于点C（﹣4，a）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当﹣6≤x≤﹣1时，求y的函数值的取值范围；
（3）将直线CD向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且△ACD的面积为18，求平移后直线的关系式．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上目 录 contents
（二）
平面直角坐标系与函数命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题01
一次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 49
反比例函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 102
二次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 156
函数综合 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 227
平面直角坐标系
平面直角坐标系是初中数学中非常基础且重要的概念，尤其在中考数学中，关于平面直角坐标系的命题通常会涉及以下几个方面：点坐标的基本性质、 函数与坐标系的结合、与几何图形的结合、实际应用问题等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握基本概念、理解函数与坐标系的关系、掌握几何图形的性质、提高解题能力等。
在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图像、函数的应用等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注重函数的应用。
Ⅰ、平面上确定物体位置的方法
1. 行列定位法：用行数和列数表示物体的位置.
将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.
2. 经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.
3. 方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示.
PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.
4. 区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.
5. 方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.
Ⅱ、平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
1. 平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示：
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.
2. 点的坐标
（1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示：
（2）确定点的坐标的方法：
①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标；
②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标.
③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来.
（3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的.
（4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
（5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
二、象限的划分与点的坐标特征
1. 象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示：
2. 点的坐标特征
点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下：
点M（x，y）所处的位置 坐标特征
象限内的点 点M在第一象限 M（正，正）
点M在第二象限 M（负，正）
点M在第三象限 M（负，负）
点M在第四象限 M（正，负）
坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0）
在x轴负半轴上 M（负，0）
点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正）
在y轴负半轴上 M（0，负）
原点 M（0，）
象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y
点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y
两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等
MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等
PS：原点既在x轴上，又在y轴上.
三、图形变换与点的坐标变化
1. 对称点的坐标特征
（1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）；
（2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）；
（3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）.
2. 图形的变化与坐标特征
对于图形上任意一点A（a，b）
图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征
平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k
向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k
向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k
向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k
对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数
关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数
PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移.
Ⅲ、函数
一、变量与常量
1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
2. 判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量.
3. 常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示.
二、函数的概念
1. 函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数.
3. 函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应.
4. 函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数.
三、函数的三种常见表示方法
表示法 定义 优点 缺点
列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来
图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
四、函数的图像
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.
知识点五、函数的自变量与函数值
1. 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
2. 常见函数自变量取值范围的确定：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
3. 函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值.
（1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值.
（2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.
1．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
2．（2023 滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可．
【解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．
【点评】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可．
3．（2023 南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．
【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB25，
①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，
此时AD＝x，
∵ED⊥AB，
∴∠DEA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，
∴，
∴AE，
DE，
BE＝25，
∴yBE DE（25）10x，
当x＝10时，y＝76，
∴a＝76，
②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，
此时BD＝35﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
∴BE28，
DE21，
∴yDE BE（28）×（21）＝（14）（21），
当x＝25时，y＝24，
∴b＝24，
∴a﹣b＝76﹣24＝52，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
4．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD，
∴点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上，
在x轴的负半轴上取点D（，0），
连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA＝OB，
∴AD＝OD+OA，
∴，
∵CM：MA＝1：2，
∴，
∵∠OAM＝∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA＝OB，OD，
∴BD，
∴CD＝BC+BD＝9，
∵，
∴OM＝6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB＝∠DFC＝90°，
∵∠BDO＝∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴，即，
解得CF，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴，即，
解得ME，
∴OE，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），
故选D．
【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
5．（2023 河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
\
结合图象可知，当点P在AO上运动时，，
∴PB＝PC，，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO＝30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB，即AO＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD＝BD，则AD＝AO cos30°＝3，
∴AB＝AD+BD＝6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
6．（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 ．
【分析】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为，得出答案．
【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，
∵△A1A2O是边长为2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B，
∴点A1横坐标为1，
由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…
因此点A2023横坐标为2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，
∴点A2023在第一象限，
∴点A2023的纵坐标为，
即点A2023（2023，），
故答案为：（2023，）．
【点评】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
7．（2023 烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 ．
【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ．然后等面积法即可求解．
【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，
∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，
在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，
∴AQ，
∵S△ABCAB×CGAQ×BC，
∴CG．
故答案为：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
8．（2023 大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 ，△COA的面积是 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）从图2知，OA＝4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，S＝S△AOC，即可求解；
（2）当t＜4时，，则SAP×PDAP×PA tan∠BOA（4﹣t）2（t﹣4）2；当0≤t时，，
则S＝S△OCA﹣S△OPHPH OPt2，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，设PD交OC于点C，
从图2知，OA＝4，即点A（4，0），
当点D和点B重合时，S＝S△AOC；
故答案为：（4，0），；
（2）S＝S△AOCAO yC＝2yC，
则yC，
则点C（，），则m，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+2，
则点B（0，2）；
由直线AC的表达式知，tan∠BOA；
当t＜4时，
则SAP×PDAP×PA tan∠BOA（4﹣t）2（t﹣4）2；
当0≤t时，
如图1，则S＝S△OCA﹣S△OPHPH OPt2，
则S．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，分类求解和解直角三角形是解题的关键．
1．（2023 武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2023 拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（ ）
A．a＜3 B．b＞3 C．a＞b D．a＜b
3．（2024 安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023 广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2023 盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2024 秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． B． C．17 D．5
7．（2023 甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．
1．（2024 秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． B． C．17 D．5
2．（2024 东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/s B．cm/s C．cm/s D．cm/s
3．（2024 广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023 肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 ．
5．（2023 铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 ．
6．（2024 北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
7．（2023 七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．
（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．
（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．
8．（2023 定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
1．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠3
C．x＞﹣1 D．x≥﹣1 且x≠3
2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2
3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0）， ，则A2025的坐标是（ ）
A．（23，﹣22） B．（22，﹣22） C．（45，﹣44） D．（44，﹣44）
4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底
5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为 ．
6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于 ．
7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：
输入x … 2 5 7 9 11 …
输出y … 5 4 10 16 22 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．
1．（2023 武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】由点A在x轴上求出a的值，从而得出点B的坐标，继而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，a﹣1）在x轴上，
∴a﹣1＝0，即a＝1，
则点B坐标为（2，﹣1），
∴点B在第四象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．
2．（2023 拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（ ）
A．a＜3 B．b＞3 C．a＞b D．a＜b
【分析】根据点的坐标的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：如图：
A、a＜3，故A符合题意；
B、b＜3，故B不符合题意；
C、a与b的大小关系不能确定，故C不符合题意；
D、a与b的大小关系不能确定，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标的意义是解题的关键．
3．（2024 安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．
【解答】解：∵点B（﹣3，m），C（3，m），
∴B与C关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；
∵A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
4．（2023 广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝10；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．
【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，
设BE的长度为t，
则BA＝t+2，
∴（t+2）2+t2＝100，
即：t2+t﹣48＝0，
∴（t+8）（t﹣6）＝0，
由于t＞0，
∴t+8＞0，
∴t﹣6＝0，
∴t＝6．
∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．
5．（2023 盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①②通过观察函数图象判断即可；
③写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；
④通过观察函数图象判断即可．
【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，
∴①不正确．
②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，
∴②正确．
③令x＝m，y＝﹣m﹣1，
∴y＝﹣x﹣1，
∴点P（m，﹣m﹣1）在直线y＝﹣x﹣1上．
y＝﹣x﹣1的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
∴符合要求的点P有3个，
∴③不正确．
④将函数y的图象向右平移1个单位长度时，原图象上坐标为（﹣1，0）的点过原点；
将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（﹣3，0）的点过原点；
∴④正确．
综上，只有②④正确．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．
6．（2024 秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． B． C．17 D．5
【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．
7．（2023 甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2021÷4＝505余1，
∴P的坐标是（2021，1），
故答案为：（2021，1）．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
1．（2024 秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． B． C．17 D．5
【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．
2．（2024 东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/s B．cm/s C．cm/s D．cm/s
【分析】从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝1，当x＝0时，AP＝AB，故OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝1，走过的了角度为90°，进而求解．
【解答】解：从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为AP＝1，
当x＝0时，AP＝AB，
故OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，
此时x＝1，走过的了角度为90°，则走过的弧长为2π×r，
故点P的运动速度是1（cm/s），
故选：C．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
3．（2024 广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别延长AE，BF交于点H，则可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解．
【解答】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∴G为HP的中点，
∵EF的中点为G，
∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，
∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，
又∵MN∥CD，
∴G到直线AB的距离为一定值，
∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0）．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
4．（2023 肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 ．
【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．
【解答】解：（0，1），共1个，
（0，2），（1，2），共2个，
（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，
…，
依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，
1+2+3+…+n，
当n＝13时，91，
所以，第90个点的纵坐标为13，
（13﹣1）÷2＝6，
∴第91个点的坐标为（﹣6，13），
第90个点的坐标为（﹣5，13）．
故答案为：（﹣5，13）．
【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．
5．（2023 铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的性质分别求出C1C2，C2C3，C3C4，…，C2020C2021的边长即可解决问题．
【解答】解：∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，
∴OC＝1，C1C＝CDOC，
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2018C2019的长分别为1，，，，…，，
OC2023＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2022C2023＝1，
等边△A2023C2022C2023顶点A2023的横坐标，
等边△A2023C2022C2023顶点A2023的纵坐标．
∴等边△A2023C2022C2023的边A2023C2023中点D2023横坐标为（）．
D2023纵坐标为．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是An点的横坐标变化规律．
6．（2024 北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出m＝ 1 ，a＝ 4 ，b＝ 9 ；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
【分析】（1）由图象可知，BC的长度，在5≤x≤7时，S△ABP＝12，求出BC的长；
（2）当x＝a时，S△ABP＝8，从而得出a和m的值，当x＝b时，S△ABP＝4，从而求得b的值；
（3）分0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤4三种情况讨论．
【解答】解：（1）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变，
此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位，
∴AD＝BC＝2×2＝4，
在5≤x≤7时，△ABP的面积为12，
∴4×BC＝12，
∴BC＝6，
∴长方形的长为6．
（2）当x＝a时，S△ABP4×BP＝8，
∴BP＝4，
∴CP＝2，
∴a＝5﹣（2÷2）＝4，
∴m1，
当x＝b时，S△ABP4×AP＝4，
∴AP＝2，
∴DP＝4，
∴b＝7+（4÷2）＝9；
故答案为：1；4；9；
（3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；
当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x，
∴yBP CQ（3+x） xx2x；
当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x，
yBP CQ（2x+2） x＝x2+x；
当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x，
∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，
∴yBP CQ（4﹣x） 6＝12﹣3x；
∴y．
【点评】本题是函数综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积公式，学生观察图象的能力，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
7．（2023 七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．
（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．
（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．
【分析】（1）由函数图象可知，CD＝40﹣25＝15，此时SDM AD15×AD＝75，解得AD＝10，即可求解；
（2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为，而点P运动到D的时间为6，故只能有点P、Q都在AD边上，此时有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，再分按点P在Q上方、点P在点Q下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由函数图象可知，CD＝40﹣25＝15，
此时SDM AD15×AD＝75，解得：AD＝10，
∴AD＝10，CD＝15；
（2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为，而点P运动到D的时间为6，
当点P、Q都在AD边上，此时有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，
设运动的时间为t，则AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而t，
当点P在Q上方时，则PQ＝AD﹣AP﹣QD＝10﹣2t﹣5t+15＝25﹣7t，
△CPQ的面积PQ×CD（25﹣7t）×16＝8，解得：t（满足条件）；
当点P在点Q下方时，PQ＝DQ﹣（AD﹣AP）＝5t﹣15﹣（10﹣2t）＝7t﹣25，
△CPQ的面积PQ×CD（7t﹣25）×16＝8，解得：t（满足条件）；
当点P在CD上时，点Q运动到A时，（28﹣2t）×12＝8，解得t，
综上，t或或．
【点评】本题考查的是四边形动点问题与一次函数结合，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键．
8．（2023 定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；
（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．
（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．
【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，
则a秒时，点P在边AB上，则
∴AP＝6
则a＝6
（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6
∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12
（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，
（2x﹣6）＝3
解得x＝10
当P、Q两点相遇后相距3cm时
（2x﹣6）﹣（）＝3
解得x，
∴当x＝10或时，P、Q两点相距3cm
【点评】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．
1．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠3
C．x＞﹣1 D．x≥﹣1 且x≠3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2
【分析】根据第二象限内点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵点G（a，2﹣a）是第二象限的点，
∴，
解得a＜0．
故选：A．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键．
3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0）， ，则A2025的坐标是（ ）
A．（23，﹣22） B．（22，﹣22） C．（45，﹣44） D．（44，﹣44）
【分析】抓住这列点中，点A1，点A9，点A25，…，的坐标规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
点A1的坐标为（1，0）；
点A9的坐标为（2，﹣1）；
点A25的坐标为（3，﹣2）；
…，
由此可见，点的坐标为（n，﹣n+1）；
当n＝23时，
（2n﹣1）2＝2025，
所以点A2025的坐标为（23，﹣22）．
故选：A．
【点评】本题考查点的坐标变化规律，能抓住点A1，点A9，点A25，…，的坐标规律是解题的关键．
4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底
【分析】观察图象，解出6≤x10的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题．
【解答】解：A、由图得，当石块下降3cm时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意；
B、设F＝kx+b，代入（6，4）（10，2.5），得Fx，故B不符合题意；
C、将x＝8代入Fx，得F，4，故C不符合题意；
D、将F＝3代入Fx，得x，16，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的应用，对物理常识的掌握及数形结合的思想是解题关键．
5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为 （2，） ．
【分析】根据∠ACB＝60°得出点C的运动轨迹，再由BC最长即可解决问题．
【解答】解：因为A（2，0），B（5，0），且∠ACB＝60°，
所以可构造出以∠ACB为圆周角的圆．
如图所示，
当点C在BP的延长线与⊙P的交点处时，
BC取得最大值，即为⊙P的直径．
因为BC为⊙P的直径，
所以∠CAB＝90°，
又∵AB＝5﹣2＝3，且∠ACB＝60°，
在Rt△ABC中，tan∠ACB，
即，
所以AC，
因此点C的坐标为（2，）．
故答案为：（2，）．
【点评】本题考查坐标与图形性质，能根据∠ACB＝60°得出点C的运动轨迹是解题的关键．
6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于 4或 ．
【分析】作出三角形ABC，作CH⊥AB于H，由图象得当点P到达点B时的路程为4，即AB＝4，当点P到达点A时的路程为12，即BC+AC＝8，设BC＝x，BH＝y，表示AH＝4﹣y，AC＝8﹣x，在Rt△ACH和BCH中，利用勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式求出BC边高即可．
【解答】解：如图三角形ABC，
由图象得当点P到达点B时的路程为4，即AB＝4，
当点P到达点A时的路程为12，即BC+AC＝8，
作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝6，即AB CH＝6，
∴CH＝3，
设BC＝x，BH＝y，
∴AH＝4﹣y，AC＝8﹣x，
在Rt△ACH和BCH中，
，
解得，x1＝3，x2＝5，即BC＝3或5，
设BC边的高为h，由BC h＝6，得h＝4或，
故答案为：4或．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合题意分析图形是解题关键．
7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：
输入x … 2 5 7 9 11 …
输出y … 5 4 10 16 22 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 ﹣5 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．
【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝2x+1，即可得到结论；
（2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为y＝2x+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b，
得，
解得；
（3）把y＝6代入y＝2x+1，
得2x+1＝6，
解得，
把y＝6代入y＝3x﹣11，
得3x﹣11＝6，
解得，
∴输出的y值为6时，输入的x值为或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
一次函数
一次函数在中考数学中的命题预测可能会涉及以下几个方面：一次函数的图像与性质、一次函数的解析式、一次函数的实际应用、一次函数与几何图形的结合。
针对这些可能的命题方向，建议学生：
熟练掌握一次函数的基本概念和性质，包括图像、解析式、斜率、截距等。
学会根据题目条件求一次函数的解析式，并判断函数的性质。
注重一次函数在实际问题中的应用，学会建立一次函数模型来解决实际问题。
加强一次函数与几何图形的结合，通过几何图形来理解和应用一次函数。
Ⅰ、一次函数
一、一次函数、正比例函数的定义
1. 一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
2. 正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数.
3. 正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
4. 一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
5. 判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数.
二、确定一次函数的表达式
1. 待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值.
2. 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤：
（1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）；
（2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）；
（3）解：解方程（组），求出k、b的值；
（4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式.
Ⅱ、一次函数的图像
一、一次函数的图像
1. 一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线.
2. 正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线.
3. 一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点.
4. 一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上.
5. 通过描点法画出对应一次函数的步骤：
（1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中；
（2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
（3）连线：将所描的点用直线连接起来.
二、一次函数的图像与性质
一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）
k、b的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右上升 从左向右下降
性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限
1. 一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号.
2. |k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.
三、正比例函数与一次函数图形的关系
1. 正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的.
2. 一次函数图像的平移规律
（1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减）
（2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）.
3. 同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下：
k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系
k1≠k2 l1与l2相交
k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2）
k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行
k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合
Ⅲ、用一次函数解决问题
一、一次函数的应用
应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.
1. 判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：
（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
（2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；
（3）观察图像特征，判断函数的类型.
2. 建立一次函数表达式的常用方法
（1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式；
（2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式；
用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
二、一次函数图像的应用
1. 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
2. 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
Ⅳ、一次函数与二元一次方程
一、一次函数与二元一次方程的关系
1. 一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上.
2. 二元一次方程与一次函数的区别：
（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系.
3. 二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）.
二、一次函数与二元一次方程组
1. 如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.
2. 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
3. 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
4. 当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立.
5. 当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
6. 方程组解的几何意义
（1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标；
（2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（）
（3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
（4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.
Ⅴ、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
一、一次函数与一元一次方程
1. 一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2. 从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值.
3. 对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
二、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1. 不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2. 不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3. 不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围；
4. 不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围；
5. 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围；
6. 不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围.
1．（2023 通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝2x﹣3中的k、b的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
2．（2023 荆州）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，yx+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
3．（2023 郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．
【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），
故C不符合题意；
900÷600＝1.5，
∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键．
4．（2023 苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ﹣6 ．
【分析】利用待定系数法即可解得．
【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴，
另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
，
∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了待定系数法，二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题关键．
5．（2023 东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ﹣1 ．
【分析】点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式为：y＝2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），2m+1＝n，即可求出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），
∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），
设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+1，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A'B的解析式．
6．（2023 济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 0.35 h后两人相遇．
【分析】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令S1＝S2解方程即可．
【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，
则，
解得，
∴l1的函数解析式为S1＝5t+3.5；
设l2的函数解析式为S2＝mt，
则0.4m＝6，
解得m＝15，
∴l2的函数解析式为S2＝15t；
令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，
解得t＝0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇．
故答案为：0.35．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
7．（2023 齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 60 千米，a＝ 1 ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；
（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+2525x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵8060（千米），
∴A，B两地之间的距离是60千米；
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴a1，
故答案为：60，1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：
，
解得 ，
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；
（3）巡逻车速度为60÷（2）＝25（千米/小时），
∴线段CD的解析式为y＝25x+2525x+10（0≤x≤2），
当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，
解得x；
当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，
解得x；
当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，
解得x；
综上所述，货车出发小时或 小时或小时，两车相距15千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
8．（2023 扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出m取值范围，再表示出w与m的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可．
【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m（40﹣m），
解得m，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
1．（2023 随县模拟）甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从A地去往B地，如图表示其行驶过程中路程y（千米）随时间t（小时）的变化图象，下列说法：
①乙车比甲车先出发2小时；
②乙车速度为40千米/时；
③A、B两地相距200千米；
④甲车出发80分钟追上乙车．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024 龙马潭区一模）如图，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3，） B．（，） C．（3，） D．（，）
3．（2024 丰县一模）甲、乙两地相距540km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离s（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．100km/h B．120km/h C．80km/h D．60km/h
4．（2023 阳谷县二模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是 ．
5．（2023 城中区模拟）如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
6．（2023 自流井区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ ．
7．（2023 天宁区校级一模）已知购买1千克甲种水果和3千克乙种水果共需52元，购买2千克甲种水果和1千克乙种水果共需44元．
（1）求每千克甲种水果和每千克乙种水果的售价；
（2）如果购买甲、乙两种水果共20千克，且甲种水果的重量不少于乙种水果的重量．则购买多少千克甲种水果，总费用最少，最少总费用是多少？
8．（2023 兴庆区二模）如图：一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP．
（1）当△OPM为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标；
（2）当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
（3）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
1．（2023 蚌山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．6
2．（2023 青山区一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
3．（2023 南召县模拟）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
4．（2024 营山县一模）七年级某班因需要购买一种笔记本，已知总费用m（单位：元）和购买笔记本总数n（单位：本）的关系为m，如果需要100本笔记本，怎样购买能省钱？此时总费用最少m的值为 ．
5．（2023 新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
6．（2024 商河县一模）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸．
7．（2024 镇海区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C是y轴负半轴上一点，连结BC，将线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BD，连结AD交x轴于点E，若点E横坐标为3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）在x轴和直线AD上分别找点P，Q，使得B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，直接写出点P坐标．
8．（2024 河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b经过点A（﹣2，6），且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线l2：y＝2x相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线MN与直线l1、l2分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标；
（3）若直线l3：y＝mx+m与线段CD有交点（包括线段CD的两个端点），直接写出m的取值范围．
1．在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3） B．（2，6） C．（1，5） D．（0，3）
2．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0 B．y随x增大而增大
C．x＝4时，y＝0 D．x＞0时，y＞2
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
4．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
5．根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是 ．
6．小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小聪与小明出发 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 m/min．
7．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子数量a（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1，y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2，y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．
（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？ （填“过”或“不过”）．
（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；
（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值；
（4）当m＝1时，将点P（2，n）向右平移2.5个单位得到点N，当线段PN沿直线y＝mx﹣m+4向下平移时，请直接写出线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标．
1．（2023 随县模拟）甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从A地去往B地，如图表示其行驶过程中路程y（千米）随时间t（小时）的变化图象，下列说法：
①乙车比甲车先出发2小时；
②乙车速度为40千米/时；
③A、B两地相距200千米；
④甲车出发80分钟追上乙车．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与时间之间的函数关系，可知乙出发2小时后甲再出发，根据路程除以时间等于速度进行分析．
【解答】解：①乙车比甲车先出发2小时，正确；
②乙车速度为80÷2＝40千米/时，正确；
③A、B两地相距40×5＝200千米，正确；
④甲的速度为200÷2＝100千米/小时，
设甲车出发x小时追上乙车，可得：100x＝40（x+2）
解得：x，
小时＝80分钟，故正确，
故选：D．
【点评】本题考查学生观察图象的能力，关键是根据s﹣t图象可得出路程除以时间等于速度．
2．（2024 龙马潭区一模）如图，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3，） B．（，） C．（3，） D．（，）
【分析】过C作CE⊥x轴于E，则∠BEC＝90°，由旋转可得，BC＝AB，OB＝DB，∠DBO＝60°，∠DBC＝90°，再根据CE与OE的长，即可得到点C的坐标为（，）．
【解答】解：如图，过C作CE⊥x轴于E，则∠BEC＝90°，
∵点B的坐标为（1，0），直线经过点A，AB⊥x轴，
∴OB＝1，AB，∠ABO＝90°，
由旋转可得，BC＝AB，OB＝DB，∠DBO＝60°，∠DBC＝90°，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴CEBC，BECE，
∴OE＝1，
∴点C的坐标为（，），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变换，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
3．（2024 丰县一模）甲、乙两地相距540km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离s（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．100km/h B．120km/h C．80km/h D．60km/h
【分析】由题意可知，当t＝4.5时，快车到达乙地，根据“速度＝路程÷时间”求出快车的速度；设慢车的速度为v km/h，当x＝3时，两车相遇，根据此时两车行驶的总路程为540km列方程并求解即可．
【解答】解：根据题意可知，当t＝4.5时，快车到达乙地，
540÷4.5＝120（km/h），
∴快车的速度为120km/h．
设慢车的速度为v km/h．
当x＝3时，两车相遇，此时两车行驶的总路程为540km，得3（v+120）＝540，
解得v＝60，
∴慢车的速度为60km/h．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，判断快车到达乙地的时间并熟练掌握路程、速度、时间三者的关系是解题的关键．
4．（2023 阳谷县二模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是 （﹣1，5） ．
【分析】依据题意，由两个一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的解的意义：两个一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标对应二元一次方程组的解，从而可以得解．
【解答】解：由题意，由由两个一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的解的意义：两个一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标对应二元一次方程组的解，
∵关于x，y的方程组的解是，
∴3×（﹣1）+m﹣2＝0．
∴m＝5．
∴方程组的解是．
∴直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程的意义，解题时要能熟练掌握并理解．
5．（2023 城中区模拟）如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞2 ．
【分析】根据两图象的交点，求出图象中y1在y2上面的部分中x的范围即可，当x＜﹣1时，y1的图象在y2的上面；同理当x＞2时，y1的图象在y2的上面．
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，
∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．（2023 自流井区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ 或 ．
【分析】本题分两种情况分别讨论：如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，求出m，也就求出正方形的边长；如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，根据一次函数与坐标轴的特点求出45°角，再根据正方形的性质用x表示出边长，根据线段之和求出x的值，从而求出正方形的边长．
【解答】解：①如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，
∴CD＝DE，
设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，
得m＝﹣m+3，
m，
∴D（，）
∴正方形的边长是；
②如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，
令x＝0，y＝3，y＝0，x＝3，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD＝DE＝FE，CF∥BA，
∴∠OCF＝∠OBA＝45°，∠CFO＝∠OAB＝45°，
设OF＝x，则CFx，
∴EFx，
在Rt△FEA中，sin45°，
∴AF＝2x，
∵OF+AF＝OA，
∴x+2x＝3，
解得x＝1．
∴EF，
∴正方形的边长是；
综上所述：正方形的边长是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了过定点的直线、一次函数性质、正方形性质，掌握这几个知识点的综合应用，分情况讨论是解题关键．
7．（2023 天宁区校级一模）已知购买1千克甲种水果和3千克乙种水果共需52元，购买2千克甲种水果和1千克乙种水果共需44元．
（1）求每千克甲种水果和每千克乙种水果的售价；
（2）如果购买甲、乙两种水果共20千克，且甲种水果的重量不少于乙种水果的重量．则购买多少千克甲种水果，总费用最少，最少总费用是多少？
【分析】（1）设甲种水果的售价为x元/千克，乙种水果的售价为y元/千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据总费用＝售价×销售量，可以写出费用与购买的甲种水果重量的函数关系式，然后根据甲种水果的重量不少于乙种水果重量，即可得到甲种水果重量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总费用的最小值．
【解答】解：（1）设甲种水果的售价为x元/千克，乙种水果的售价为y元/千克，
由题意可得：，
解得，
答：甲种水果的售价为16元/千克，则乙种水果的售价为12元/千克．
（2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果（20﹣m）千克，总费用为w元，
由题意可得：w＝16m+12（20﹣m）＝4m+240，
∴w随m的增大而增大，
∵甲种水果的重量不少于乙种水果的重量，
∴m≥20﹣m，
解得m≥10，
∴当m＝10时，w取得最小，此时w＝280，20﹣m＝10，
答：购进甲种水果10千克，乙种水果10千克能使费用最少，最少费用为280元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
8．（2023 兴庆区二模）如图：一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP．
（1）当△OPM为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标；
（2）当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
（3）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
【分析】（1）设P（m，），由OM＝PM可得m，解方程即可．
（2）设P（a，），求出A（0，6），B（8，0），则OA＝6，OB＝8，然后分两种情况利用三角形相似的性质建立方程求解即可．
（3）设P（n，），则OM＝n，PM，即可得S△OPM，由此利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解（1）设P（m，），
∵△OPM为等腰直角三角形，
∴OM＝PM，
∴m，
解得m，
∴P（，）．
（2）设P（a，），
∵一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
当△PMO∽△AOB时，
∴，
∴
解得a＝4，
∴点P的坐标为（4，3），
当△PMO∽△BOA时，
∴，
∴，
解得a，
∴点P的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（4，3）或（，），
（3）设（n，），
∴OM＝n，PM，
∴S△OPM
，
∵0，
∴当n＝4时，S△OPM有最大值6，
∴此时点P的坐标为（4，3），
∴AP5，
∴当AP＝5时，△OPM的面积最大，最大值为6．
【点评】本题主要考查一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，相似三角形的性质，勾股定理等，灵活运用所学知识解题是关键．
1．（2023 蚌山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．6
【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可．
【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线yx可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA
