吉林省部分名校2023-2024学年高二下学期联合考试数学试题（含解析）

高二数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章占40%，选择性必修第三册第六 七章占60%.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则质点在秒时的瞬时速度为（ ）
A.1米/秒 B.2米/秒 C.3米/秒 D.4米/秒
2.的展开式中的常数项为（ ）
A.12 B.8 C.-12 D.-8
3.某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A.12万斤 B.10万斤 C.8万斤 D.6万斤
4.某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（ ）
A.240 B.360 C.480 D.640
5.函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（ ）
A. B. C. D.
7.2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村 口寨村 忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（ ）
A.354 B.368 C.336 D.420
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10.不透明袋子中装有5个编号为的小球，这5个小球除编号外其余完全相同，从袋子中随机取出3个小球，记取出的3个小球的编号之和为，编号之积为，则（ ）
A.是3的倍数的概率为0.4
B.是3的倍数的概率为0.6
C.是3的倍数的概率为0.4
D.是3的倍数的概率为0.6
11.已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值可以为（ ）
A. B. C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知随机变量，则__________，__________.
13.在数轴上，一质点从原点0出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有__________种.
14.已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者.
（1）若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
（2）先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？
（3）若男 女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？
16.（15分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
（2）讨论的单调性.
17.（15分）
在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为.
（1）若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为，求的分布列与期望；
（2）若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.
18.（17分）
甲 乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立.
（1）在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率.
（2）已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）设，证明：.
高二数学试卷参考答案
1.C 由，得，则，故质点在秒时的瞬时速度为3米/秒.
2.D 展开式的通项.令，得，所以展开式中的常数项为.
3.A 设销售利润为，则，所以，可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，销售利润最大.
4.B 每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目.
第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，
第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，
由分步计数原理得共有报名方法种.
5.B 设的零点分别为，其中，当时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，选项B符合条件.
6.C 白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，则向左的次数服从二项分布.因为，
，
所以，
.
7.C 因为6人分成三组，且每组至多3人，所以可分成或两类.
当6人分成三组时，有种情况；
当6人分成三组时，有种情况.
故共有种不同的安排方法.
8.D 令，则在（0，上恒成立，则在上单调递减，所以，即.因
为，所以，从而.
9.BC 因为，所以，所以.因为，所以.
10.AD 从5个小球中随机取出3个，共有种不同的取法，其中编号之和是3的倍数的有，共4种不同的取法，编号之积是3的倍数的有6种不同的取法，故是3的倍数的概率为是3的倍数的概率为0.6.
11.CD 因为，所以，所以.
令，则.
因为，所以在上单调递增.
因为，所以，所以.
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.
12.3；6 因为，所以，故1）.
13.330 从原点0出发，平移11次最终达到3的位置，则可知这11次有7次向右平移，4次向左平移，故不同的平移方法共有种.
14. 令，则，所以在定义域内单调递增.因为，所以关于的不等式可化为，
即.因为，所以，即不等式的解集为.
15.解：（1）从这11人中任选4人的选法有种，
其中只有男生的选法有种，
只有女生的选法有种，
故4人中必须既有男生又有女生的选法有种.
（2）从这11人中任选4人的选法有种，
若人数按1，3分配，则安排方法有种，
若人数按2，2分配，则安排方法有种，
所以共有种安排方法.
（3）因为男 女生各需要2人，所以选出4人的方法有种.
先排2名男生与2名组织者，有种排法，
再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法，
所以共有种不同的合影方法.
16.解：（1）因为，所以.
由，
得曲线在点处的切线方程为，即
，
则
解得
（2）.
若，则当时，，当时，.
若，则当时，，当时，.
若，则在上恒成立.
若，则当时，，当时，.
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
17.解：（1）由题可知，的所有可能取值为，且，
的分布列为
0 1 2 3
则.
（2）设“考生甲答对第道试题”，
则，
，
则.
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
则，即他第10道试题也答对的概率为.
18.解：（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，设结束时甲获胜为事件，即2轮结束或4轮结束或5轮结束，即甲与乙的比分为或或结束比赛.
若甲与乙的比分为，则；
若甲与乙的比分为，则
若甲与乙的比分为，则
.
所以.
设结束时甲比乙多2分为事件，则，
所以，即在结束时甲获胜的条件下，甲比乙多2分的概率为
（2）因为在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率，
所以，即.
因为，所以.
因为，
所以，即得，
所以
即.
又因为，所以.
因为，
所以，即得证.
19.（1）解：当时，等价于.
令，则.
令，则.
当时，单调递增，则，从而在，上恒成立，则在上单调递增，
故，则的取值范围为.
（2）证明：令，由（1）可得，在上恒成立，当且仅当时，等号成立.
令，则，，则，
即.
因为，
所以.