吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期联合考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期联合考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-14 12:51:10 | ||
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文档简介
高一数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部为（ ）
A.1 B. C.3 D.
2.某纺织厂4月份生产了三种类型的纱线，分别为大卷纱线 中卷纱线和小卷纱线，其中大卷纱线有2000卷，中卷纱线有8000卷，小卷纱线有20000卷.为检查该纺织厂4月份生产的这三种类型纱线的质量，按比例用分层随机抽样的方法从中抽检240卷，则被抽检的小卷纱线有（ ）
A.120卷 B.150卷 C.160卷 D.200卷
3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（ ）
A.海里 B.海里 C.50海里 D.海里
4.小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（ ）
A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72
B.小唐这7天每天运动时长的极差题42
C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75
D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92
5.若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（ ）
A.-18 B.-12 C.12 D.18
7.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数，则（ ）
A. B.
C.为实数 D.
10.在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则二面角是
B.若二面角是，则正三棱锥的体积是
C.荅，则正三棱锥内切球的半径是.
D.若，则正三梭锥外接球的表面积为
11.欧拉线定理指出三角形的外心 垂心 重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心 垂心和重心，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知复数在复平面内对应的点分别为，若，则实数__________；若，则实数__________.
13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________.
14.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在直四梭柱中，底面为菱形，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
16.（15分）
在中，角的对边分别是，已知，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
17.（15分）
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的取均日利润（单位：百元）进行统计，所得的频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并估计该直播平台商家平均日利润的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数.
（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖淤方案，方案一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，方案二是对平均日利润从高到低排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由.
18.（17分）
对任意两个非零向量，定义：.
（1）若向量，求的值；
（2）若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值；
（3）若非零向量满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围.
19.（17分）
如图，在四棱锥中，在线段上（不含端点），底面.
（1）证明：平面平面.
（2）设，请写出三棱锥的体积关于的函数表达式，并求出的最大值.
高一数学试卷参考答案
1.A 因为，所以的虚部为1.
2.C 依题意得被抽检的小卷纱线有卷.
3.A 由题可知海里.在中，由正弦定理可得，则海里.
4.D ，A错误.小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误.将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为，则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，错误.因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确.
5.B 设该圆台的高为，则该圆台的体积.因为该圆台的体积不小于，所以，解得.
6.A 由题意可得.
7.B 如图，取棱的中点，连接，易证四边形是平行四边形，则，故是异面直线与所成的角或补角.设，则.在中，由余弦定理可得.
8.B （方法一）设，则，因为，所以.四边形的面积为.，当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为.
（方法二）四边形的面积.
9.BC 由，得，A错误.，B正确.因为
，所以为实数，C正确.D错误.
10.ABD 如图，取的中点，连接，则是二面角的平面角.作平面，垂足为，易证在上，且.对于A，由，得，则，从而，故A正确.对于B，二面角是，即，得，则3，从而三棱锥的体积，故B正确.由，得.对于，设三棱锥内切球的半径为，则，所以，故C错误.设三棱锥外接球的半径为，球心为，且在上，连接，则，即，解得，所以，所以，故D正确.
11.BCD 连接并延长，交于点（图略），则是的中点.因为是的中点，所以，所以.当时，不共线，则，故A错误.由欧拉线定理可知，则，从而，故B正确.因为是的垂心，所以，所以，所以，则，故C正确.由欧拉线定理可知，则，即，故D正确.
12.； 依题意得，则.若，则，解得；若，则，解得.
13.20 依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为，方差为.
14. 如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得，则周长的最小值即的最小值.
将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则
，故的周长的最小值为.
15.（1）证明：连接，设与交于点，易得为的中点，连接.
因为为的中点，所以为的中位线，则，
因为平面平面，所以平面.
（2）解：延长交于点，连接，取的中点，连接，
易得.
由题意易得为等边三角形，所以.因为平面，所以，所以平面，则点到平面的距离为.
.
因为，所以.
设点到平面的距离为，则.
由，得，解得.
故点到平面的距离为.
16.解：（1）因为，所以.
因为，所以，
所以，解得或.
因为，所以，则.
（2）因为，所以，即，则.
因为，所以.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
则的面积，故面积的最大值为.
17.解：（1）由题意可知，解得.
由，解得，所以中位数约为74，
平均数约为.
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为，所以方案一受到奖励的商家更多.
18.解：（1）因为，所以，
则，
故.
（2）因为，所以，所以，
所以，解得.
因为，所以，
则.
（3）设向量与的夹角为，由题意可知，则.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
因为是整数，所以，所以，
所以.
因为，所以，所以，所以，所以，
所以，即的取值范围是.
19.（1）证明：因为底面底面，所以.
又因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：过点作，交于，连接.
由，得，因为
，所以，则，所以，
则，
.
因为底面，所以，所以平面，
所以.
因为，所以，
则，
所以.
因为，所以
所以当时，取得最大值，最大值为.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部为（ ）
A.1 B. C.3 D.
2.某纺织厂4月份生产了三种类型的纱线，分别为大卷纱线 中卷纱线和小卷纱线，其中大卷纱线有2000卷，中卷纱线有8000卷，小卷纱线有20000卷.为检查该纺织厂4月份生产的这三种类型纱线的质量，按比例用分层随机抽样的方法从中抽检240卷，则被抽检的小卷纱线有（ ）
A.120卷 B.150卷 C.160卷 D.200卷
3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（ ）
A.海里 B.海里 C.50海里 D.海里
4.小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（ ）
A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72
B.小唐这7天每天运动时长的极差题42
C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75
D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92
5.若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（ ）
A.-18 B.-12 C.12 D.18
7.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数，则（ ）
A. B.
C.为实数 D.
10.在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则二面角是
B.若二面角是，则正三棱锥的体积是
C.荅，则正三棱锥内切球的半径是.
D.若，则正三梭锥外接球的表面积为
11.欧拉线定理指出三角形的外心 垂心 重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心 垂心和重心，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知复数在复平面内对应的点分别为，若，则实数__________；若，则实数__________.
13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________.
14.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在直四梭柱中，底面为菱形，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
16.（15分）
在中，角的对边分别是，已知，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
17.（15分）
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的取均日利润（单位：百元）进行统计，所得的频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并估计该直播平台商家平均日利润的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数.
（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖淤方案，方案一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，方案二是对平均日利润从高到低排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由.
18.（17分）
对任意两个非零向量，定义：.
（1）若向量，求的值；
（2）若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值；
（3）若非零向量满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围.
19.（17分）
如图，在四棱锥中，在线段上（不含端点），底面.
（1）证明：平面平面.
（2）设，请写出三棱锥的体积关于的函数表达式，并求出的最大值.
高一数学试卷参考答案
1.A 因为，所以的虚部为1.
2.C 依题意得被抽检的小卷纱线有卷.
3.A 由题可知海里.在中，由正弦定理可得，则海里.
4.D ，A错误.小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误.将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为，则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，错误.因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确.
5.B 设该圆台的高为，则该圆台的体积.因为该圆台的体积不小于，所以，解得.
6.A 由题意可得.
7.B 如图，取棱的中点，连接，易证四边形是平行四边形，则，故是异面直线与所成的角或补角.设，则.在中，由余弦定理可得.
8.B （方法一）设，则，因为，所以.四边形的面积为.，当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为.
（方法二）四边形的面积.
9.BC 由，得，A错误.，B正确.因为
，所以为实数，C正确.D错误.
10.ABD 如图，取的中点，连接，则是二面角的平面角.作平面，垂足为，易证在上，且.对于A，由，得，则，从而，故A正确.对于B，二面角是，即，得，则3，从而三棱锥的体积，故B正确.由，得.对于，设三棱锥内切球的半径为，则，所以，故C错误.设三棱锥外接球的半径为，球心为，且在上，连接，则，即，解得，所以，所以，故D正确.
11.BCD 连接并延长，交于点（图略），则是的中点.因为是的中点，所以，所以.当时，不共线，则，故A错误.由欧拉线定理可知，则，从而，故B正确.因为是的垂心，所以，所以，所以，则，故C正确.由欧拉线定理可知，则，即，故D正确.
12.； 依题意得，则.若，则，解得；若，则，解得.
13.20 依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为，方差为.
14. 如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得，则周长的最小值即的最小值.
将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则
，故的周长的最小值为.
15.（1）证明：连接，设与交于点，易得为的中点，连接.
因为为的中点，所以为的中位线，则，
因为平面平面，所以平面.
（2）解：延长交于点，连接，取的中点，连接，
易得.
由题意易得为等边三角形，所以.因为平面，所以，所以平面，则点到平面的距离为.
.
因为，所以.
设点到平面的距离为，则.
由，得，解得.
故点到平面的距离为.
16.解：（1）因为，所以.
因为，所以，
所以，解得或.
因为，所以，则.
（2）因为，所以，即，则.
因为，所以.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
则的面积，故面积的最大值为.
17.解：（1）由题意可知，解得.
由，解得，所以中位数约为74，
平均数约为.
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为，所以方案一受到奖励的商家更多.
18.解：（1）因为，所以，
则，
故.
（2）因为，所以，所以，
所以，解得.
因为，所以，
则.
（3）设向量与的夹角为，由题意可知，则.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
因为是整数，所以，所以，
所以.
因为，所以，所以，所以，所以，
所以，即的取值范围是.
19.（1）证明：因为底面底面，所以.
又因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：过点作，交于，连接.
由，得，因为
，所以，则，所以，
则，
.
因为底面，所以，所以平面，
所以.
因为，所以，
则，
所以.
因为，所以
所以当时，取得最大值，最大值为.
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