江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（含解析）

数学
一 单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.若 是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设 相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有（ ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值 方差和第60百分位数分别是（ ）
A.6，，5 B.5，5，5 C.5，，6 D.4，5，6
7.在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则取最小值时，则（ ）
A.2 B. C.6 D.4
8.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是（ ）
A.，
B.
C.若，，则的最小值为1
D.若是关于x的方程的根，则
10.某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A.招商引资后，工资净收入较前一年增加
B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
11.已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A. B.
C.若A与B互斥，则 D.一定有
三 填空题（本大题共3小题，共15.0分）
12.为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为__________.
13.设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动.O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为___________.
14.如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为__________.
四 解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
（1）估计两组测试的平均成绩，
（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正 副队长都来自“田径队”的概率.
16.（本小题15分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求；
（2）求事件“且甲获胜”的概率.
17.（本小题15分）
龙光塔始建于明朝万历二年，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.
（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；
（2）计算龙光塔的高度.
18.（本小题17分）
如图所示，在平行四边形中，为的中点，将沿直线翻折
成，使平面平面为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）已知为线段的中点，求直线与平面所成的角的正切值.
19.（本小题17分）
在棱长均为的正三棱柱中，为的中点.过的截面与棱，分别交于点，.
（1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比；
（2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值；
（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围.
高一数学阶段检测答案
一 单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.【答案】D
【详解】
2.【答案】C
【详解】若，则
若，则，
将两式子相加可得，
化简得，
由两角和的正弦公式得，故C正确.
3.【答案】A
【详解】由，得，
所以在方向上的投影向量为.
4.【答案】C
【详解】对①，面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；
对②，根据平面与平面垂直的判定定理，一个平面经过另一个平面的垂线可得平面与平面垂直，②错误；
对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确.
5.【答案】D
【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为.
6.【答案】C
【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，，
则中位数，众数为，
由题意知，解得，
所以这组数据的平均数为，
则这组数据的方差是，
因为，所以这组数据的第百分位数是；
7.【答案】D
【详解】在中，由，的面积为，得，则，
由是边的中点，是线段的中点，得，
，
则
，
当且仅当，即时取等号，
在中，由余弦定理得：，
所以.
8.【答案】B
【详解】连接，交于点，取的中点，则平面，，取的中点，连接，作，垂足为，如图所示
由题意可知，，所以，
所以，，所以，又，
所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，
所以这个几何体的外接球的体积为.
9.【答案】ACD
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
10.【答案】AD
【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D，招商引资 经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
11.【答案】AB
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
又且，则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以，
则，故C错误；
对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但不成立，故D错误；
12.【答案】275
13.【答案】
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，
则，
，
由于，所以，故，
故的取值范围为，
故答案为：
14.【答案】
【详解】在三棱锥中，，
所以，，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
平面平面，
因为平面，
平面，所以，二面角的平面角为，在中，，
由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因为平面平面，所以，，故，因此，二面角的余弦值为.
15.（1）“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71
（2）
【详解】（1）由田径队的频率分布直方图得：，
解得，同理可得.
其中“田径队”的平均成绩为：
，
“足球队”的平均成绩为：
.
（2）“田径队”中90分以上的有（人），
“足球队”中90分以上有（人）.
所以抽取的比例为，在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d；
在“足球队”抽取（人）.记作A，B，C.
从中任选2人包含的基本事件有：
ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，
正 副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，
故正 副队长都来自“田径队”的概率为.
16.（1）；（2）0.1
【详解】（1）由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
（2）由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
17.（1）
（2）
【详解】（1）依题意，过作交于，过作，交于，如图，
则，
所以在中，，
又，所以，
所以的余弦值为.
（2）由（1）得，，
设龙光塔的高度，则在中，，则，
易知四边形是矩形，则，，
又在中，，则，
所以，即，故.
所以龙光塔的高度为.
18.（1）见解析（2）
【详解】（1）取PD的中点，连接，，
∵F，分别为PC，PD的中点，∴
又∵E为AB的中点，∴，
∴，∴FGEB为平行四边形，∴，
又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE.
（2）在平行四边形中，因为，所以，
又因为A=45°，可得即，
因为平面PDE⊥平面BCD，平面PDE平面BCD=，
所以平面⊥平面，
由（1）可知，，所以平面，连接，
即为直线MF与平面PDE所成的角，
因为，
所以，
即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为.
19.【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】解：（1）连接，并延长分别交，延长线于点，，
连接交于点，连接，.
易得.
故为靠近的三等分点.，.
下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比.
三棱柱的体积.
连接，.由平面知，为定值.
.
.
.故.
（2）由及得，.
又，所以.
即点到的距离为，为靠近的四等分点.
因为平面平面，
所以截面与平面所成角即为截面与平面所成角，
在中，，，故.
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面.则即为截面与底面所成的二面角.
在中，，，.
故.
因此，截面与平面所成二面角的正弦值为.
（3）设，则，.
设的面积为，所以.
又因为，所以.
且.令则
故.
令则，所以在上单调递减，所以，，所以，
所以