沪科版八年级数学下册试题 第十六章 二次根式 章节测试卷（含解析）

第十六章《二次根式》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是( )
A．0 B．2 C．3 D．7
3．已知a<0，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等
D．若，则
6．若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　）
A．6和7 B．7和8 C．8和9 D．9和11
7．设，若用含a、b的式子表示，则下列表示正确的是（　）
A．0.3ab B．3ab C．0.1ab D．0.1a３b
8．设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；
②若a是的小数部分，则的值为；
③比较两个二次根式的大小：；
④计算；
⑤若，，且，则整数．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．比较大小 ， ．
12．若最简根式与是同类二次根式，则 ．
13．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x，则 ．
14．若，则的值是 ．
15．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ．
1 b
3 a 2
6 c
16．已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）化简或计算：
(1) (2)
18．（6分）已知若，，求：
(1)求的值．
(2)求的值．
19．（8分）已知，；
(1)求的值；
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
20．（8分）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等．
(1)猜想：______；
(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；
(3)请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______．
21．（8分）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；

(3)已知a，b，c为的三边长．化简：．
22．（8分）阅读下列材料，并解决问题：
【观察发现】
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴．
【建立模型】形如的化简（其中p、q为正整数），只要找到两个正整数m、n（），使，，那么．
【问题解决】
（1）化简：①______；②______；
（2）已知正方形的边长为a，现有一个长为、宽为的矩形，当它们的面积相等，求正方形的边长a．
23．（8分）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算： ；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
答案
一．选择题
1．A
【分析】将原式变形为，然后将的值代入计算即可．
【详解】解：，
．
故选：．
2．D
【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数)
∴n的最小值是7．
故选：D．
3．D
【分析】结合已知条件、分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出b的取值范围，然后根据二次根式的乘除法公式化简即可．
【详解】解：由题意可知：
解得：b＞0
∴===
故选D．
4．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
B. 中，的取值范围是，故此项符合题意；
C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意；
D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
故选B．
5．C
【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．
【详解】A.，不是互为倒数，选项错误；
B.若，由于，则，选项错误；
C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；
D.由可得，结合可得，，则，选项错误；
故选：C
6．B
【分析】根据二次根式乘法运算、二次根式性质及无理数估算即可得到答案．
【详解】解：
，
，
，即，
，
故选：B．
7．A
【详解】∵==0.3××，a，=b，
∴=0.3ab.
故选：A.
8．D
【分析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵n为正整数，
∴
＝
＝
＝
＝
＝；
∴
＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）
＝2021+1﹣
＝2021+1﹣
＝．
故选：D．
9．B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
10．D
【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；
②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；
⑤与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值．
【详解】解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①对；
∵a是 的小数部分，
∴，
∴，
故②错误；
∵，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③对；
∵
，
故④错误；
⑤∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵，
∴，
即，
解得.
故⑤正确．
故选：D．
二．填空题
11． ＜ ＜
【分析】前一题先分别求得相应的倒数，通过比较倒数的大小从而判断原数的大小，后一题先分别求得对应的平方结果，进而可比较原数的大小．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∴；
∵，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：＜；＜．
12．1
【分析】根据同类二次根式的定义可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：最简根式与是同类二次根式，
，
，
，
故答案为：．
13．4
【详解】根据题意得AB=-1，
又∵AC=AB，
∴AC=-1，
∴x=1-(-1)=2-，
∴=(2-+2=4．
故答案为4．
14．7
【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案．
【详解】，
，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
15．18
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可．
【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴，
解得，，
故答案为：18．
16．
【分析】根据被开方数是非负数，确定出，，代入原式即可解决问题．
【详解】解：，，是两两不相等的实数且满足，
又 ，
，，，，
原式．
故答案为：
三．解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴
．
19．（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴，，
由（1）知，，
∴，，
又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴，，
∴
．
20．（1）解：，验证如下：
．
故答案为．
（2）解：根据已知等式的规律可写出：，…．
故答案为（答案不唯一，符合规律即可）．
（3）解：第一个等式为，即；
第二个等式为，即；
第三个等式为，即．
∴用含正整数的式子表示为：．
21．（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
22．解：（1）①令，
解得：或
②
令，
解得：或
（2）由题意得：
令，
解得：或
解得：
23．（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．