北师大七年级上册3.4 整式的加减讲义（无答案）

整式的概念
【学习目标】
1．掌握单项式系数及次数的概念
2．理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式
4．能准确而熟练地列式子表示一些数量关系
一、单项式
1．定义：数与字母的乘积，如-2xy2，-mn，－1，像这样的式子我们叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
注：（1）单项式三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子：②单独的一个数：③单独的一个字母。
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成st；但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积，这是分式。
2．单项式的系数、次数和名称
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
②圆周率 是常数。单项式中出现 时，应看作系数；
当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：1x2y写成x2y。
（2）次数:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做该单项式的次数。
注意：①没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
②数字的指数不能一同计算在内。
（3）名称： 次单项式（将算出来的次数直接填入 内）
例1．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数、次数和名称。
-，-a，24x4,，，3 a2y2，a-3，- ，-3108tm2，x2y
【变式1】单项式3x2y2的系数是 ＿，次数是
【变式2】下列结论正确的是（ ）
A．没有加减运算的代数式叫做单项式 B．单项式的系数是3，次数是2
C．单项式m既没有系数，也没有次数 D．单项式-xy2z的系数是－1，次数是4
二、多项式
1．定义：若干个单项式相加得出的式子叫做多项式。
2．多项式的项数、次数和名称
（1）项数：每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项叫做常数项。由单项式个数与常数项的个数相加起来得出的数字就是多项式的项数。
注意：①多项式的每一项包括它前面的符号；
②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2－2x－7是一个三项式。
（2）次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
注意：①多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，而不是所有项的次数之和；
②一个多项式中的最高次项有时不止一个。
③在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项，叫做常数项；每个单项式的次数就叫做这个多项式的几次项。例如，多项式3x2-2x+5有三项，它们是3x2，-2x，5。其中5是常数项；3x2是二次项；-2x是一次项。
（3）名称： ① 次 ② 项式（得出来的项数填入①，得出来的次数填入②）
例1．下列代数式①-1；②-；③ab3；④；⑤2x+x2y2-2x3y+y3，其中是单项式的是 ；是多项式的是 。
例2．多项式-x2y+x4y2-x+1，这个多项式的最高次项是 ，一次项的系数是 ；常数项是 ；这是 次 项式。
例3．已知多项式-6xy2-7x3m-1y2+y-x2y-5.
求多项式各项的系数和次数。
如果多项式是七次五项式，求m的值
【变式】多项式（a-4）x3-xb+x-b是关手x的二次三项式，求a与b的差的相反数。
三、项式的升(降)幂排列
一、升幂排列与降幂排列
1．概念：把多项式按照某个字母的指数变化顺序排列，从大到小称为降幂排列，从小到大称为升幂排列。
这两种排列有一个共同点，那就是字母的指数是逐渐变小(或变大)的。例如：把多项式5x2 +3x- 2x3-1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成-2x3+5x2+3x-1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列；若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成-1+3x+5x2-2x，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。
注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
(3)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动
例1．把多项式3x2y2-7xy3+2y-11x7y5-35x3按x的降幂排列
例2．把多项式2 r-1+4 r3- r2按r升幂排列
例3．把多项式a3-b3-3a2b+3ab2重新排列。
（1）按a升幂排列 （2）按b降幂排列
三、整式：单项式与多项式统称为整式。
注：①单项式、多项式一定是整式，但反过来就不一定成立；
②分母中含有字母的式子一定不是整式。
指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2+y2，-x，,，19，6xy+1， ，m2n，2x2-x-5，，a7
用整式填空
（1）某商场将一种商品A按标价的9折出售（即优惠10％）仍可获利10％，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为 元（列出式子即可，不用化简）。
（2）甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲： 乙： 。
【变式】有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块。这些男生和这些女生一共搬了 块砖（用含a、b的代数式表示）
例4. 如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子（ ）
？
第1个“口” 第二个“口” 第三个“口” 第n个“口”
A．4n枚 B．（4n－4）枚 C．(4n+4)枚 D．n2枚
【基础达标】
一、选择题
1．下列说法中错误的个数是（ ）
①单独一个数0不是单项式；
②单项式－a的次数为0；
③多项式－a2＋abc＋1是二次三项式；
④－a2b的系数是1。
A．1 B.2 C.3 D.4
2.已知单顶式-，下列说法正确的是（ ）
A．系数是-4，次数是3 B．系数是-，次数是3
C．系数是，次数是3 D．系数是-，次数是2
3.如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数（ ）
A．都小于3 B．都等于3 C．都不小于3 D．都不大于3
4.下列式子a＋2b，，(x2-y2)，，0中，整式的个数是（ ）
A.2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．关手单项式-23x2y2z，下列结论正确的是（ ）
A．系数是－2，次数是4 B．系数是－2，次数是5
C．系数是－2，次数是8 D．系数是－23，次数是5
7.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2-b3,a3+b5,a4-b7,…，其中第10个式子是（ ）
A.a10+b19 B. a10－b19 C．a10－b17 D.a10－b21
二、填空题
1.代数式mn，x2y3，，－ab2c3，0,a＋3a－1中是单项式的是 ,是多项式的是 .
2.关于x的多项式（m-1）x3－2xn+3x的次数是2，那么m= ，n= 。
3.多项式2x2-3x+5是 次 项式。
4.－ax2yb-1是关于x，y的五次单项式，且系数为3，则a+b的值为 。
5．有一组单项式：a2，-，，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式： 。
6．关于x的二次三项式的一次项的系数为5，二次项的系数为－3，常数项为－4，按照x的次数逐渐降低排列，这个二次三项式为 。
7．如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，，2n，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930则n= 。

三、解答题
1．把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幕排列：反之，叫做按这个字母的升幕排列。如2x3y－3x2y2＋xy3是按x的降幂排列（也是按y的升幂排列），请把多项式3x2y－3xy2+x3－5y3重新排列。
（1）按y降幂排列；
（2）按y升幂排列。
2．已知单项式-x4y3的次数与多项式a2+8am+1b+a2b2的次数相同，求m的值.
3．某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个
座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数。
4．已知多项式- a12+a11b－a10b2+ +ab11－b12，
（1）请你按照上述规律写出该多项式的第5项，并指出它的系数和次数；
（2）这个多项式是几次几项式？
【巩固提升】
一、填空题
1．若4x2y2a+1是关于x、y的5次单项式，则a的值为
2．若- ma2mb3-mc是关于a、b、c的6次单项式，m的值为 ，原单项式为
3．若-nx2my1+m是关于x、y的7次单项式，且系数为4，则3n-2m的值为
4．若多项式2m2x-4-(y+1)m-3是关于m的二次二项式，则x= y=
5．若l p+5-3l2 +(q-2)l3-2l+5是关于l的四次四项式，则-pq=
6．若关于y的多项式3y3+(3m+3)y2-(2n-1)y+2不含有二次项和一次项，则m= n =
7．若关于a、b的多项式(2q+5)ab2-4ab +(2-p)a3+3a2b2-7不含有三次项，则q=____ p=
二、解答题
1．若(n-2)xy|n|z2是关于x、y、z的5次单项式，则求代数式的值。
2．若2a|x|b3 -(x-2)a2b+ab是关于a、b的五次三项式，则试求常数x的值。
3．若(x+3)m2-(x2-9)m2 +2m-5是关于m的多项式。试求：①当多项式为三次三项式时，常数x的值；②当多项式为一次一项式时，常数x的值。
4．若(y-3)n3 +3nx +2n-xy是关于n的的二次三项式。试求：①x、y 的值；②当n=-5时，这个二次三项式的值。
整式的加减
【学习目标】
1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项并能进行合并。
2．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；
3．会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值。
一、合并同类项
例1．填空
(1)5个人+8个人=
(2)5只羊+8只羊=
(3)5个人+8只羊=
思考：你能得出什么？
例2．观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。
8x2y，-mn2，5a，-x2y，7mn，，9a，-，0， 0.4mn2，，2xy2。
你的分类标准是什么？
1．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。另外，所有的常数项都是同类项。
注意：（1）同类项满足“两同”、“两无关”，即字母相同，相同字母的指数相同；与系数无关，与字母排列顺序无关
（2）同类项只针对单项式而言
（3）常数项之间也称为同类项
（4）同类项之间可以直接进行相加减（可用于判断同类项）
例1．判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”
(1)3x与3mx是同类项。( ) (2)2ab与-5ab是同类项。( )
(3)3x2y与-9yx2是同类项。( ) (4)5ab2 与一2ab2c是同类项。( )
(5)23与32是同类项。 ( ) (6)3abcd与-8dcba ( )
例2．6x3ny6与-8x -9ym-2是同类项，则m+n=
A．-3 B．-1 C．4 D．5
【变式】已知单项式6xm-2y3与-8x -9yn-2是同类项，则|m-n|的值为多少
2．合并同类项
1．定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项
2．法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变。
注：①只有同类项才能进行合并；②合并时只是系数相加，字母及字母上的指数都不能改变；③系数相加时要注意各项系数的符号，尤其不要把“-”漏掉，④多项式中有同类项时，必须先合并后才能判断是几次几项式。
考点一：利用同类项的概念求未知数的值
已知单项式6ax-3b6与-4a-5b| y-2|是同类项，试求
若3am-2b6与-7ab2n的和仍是单项式，则mn的值是多少？
已知x、y为常数，两个单项式-a4b3-y，4axb2的和仍是单项式，则x+y=
考点二：化解题
例1．化解下列各题
（1）5x2-7x+3-2x2+5x-2 （2）-2ba2+3ab2-3ab+5a2b+ab+5
（3）2xy2-3xy3-2xy2+4y3x-7x3y2+5x2y3
二、去括号与添括号
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号不变；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
注意：（1）去括号时，首先要判断括号前面是“＋、－”，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。
（2）对于多重括号，依次去括号，注意是否变号。
例1．去括号：（1）d－2（3a－2b＋3c） （2）－（－xy－1）＋（－x＋y）
【变式1】去掉下列各式中的括号
（1）8m－（3n＋5）；（2）n－4（3－2m）；（3）2（a－2b）－3（2m-n）。
【变式2】下列运算正确的是（ ）
A. -3（x－1）=－3x－1 B. -3（x－1）=－3x+1
C．-3（x－1）=3x+3 D. -3（x－1）=－3x+3
二、添括号法则
添括号后，括号前面是“＋”号、括到括号里的各项都不变符号；
添括号后、括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要改变符号。
如：a＋b－c a＋（b－c），a－b＋c a－（b－c）
例1.在各式的括号中填上适当的项、使等式成立。
（1）2x+3y－4z+5t=－( )=+（ ）
=2x－( )=2x+3y－（ ）
（2）2x－3y+4z－5t=2x+( )=2x－( )
=2x－3y－( )=4z－5t－( )
【变式1】（1）a－b+c-d=a-（ ）；
（2）x+2y－z=－（ ）
【变式2】－a－b+c的相反数是（ ）
A．a+b+c B．a－b+c C．a+b－c D．c+a－b
三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项
注意：整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止②一般按照某一字母的降幂或升幕排列：③不能出现带分数，带分数要化成假分数
考点一：整式的求和及作差
例1．已知M＝3x2－2xy+y2，N＝2x2+xy－3y2，求：（1）M－N（2）2M－3N
【变式】一个多项式与m2-2m+1的和是3m-2，则这个多项式是多少？
考点二：化简
例：（1）15+3(1-x)-( 1－x+x2)+(1－x+x2－x3) （2）3x2y－[2x2z－2xyz－x2z+4x2y]
（3）－3[(a2+1)－(2a2+a)+(a－5)] （4）ab{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}
考点三：整式的代数求值（通常情况下要求先化解再代入）
例1．先化解，再求值：x+（－x+y2）－（2x－y2），其中x＝－2，y=；
【变式1】先化简再求值：（－x2+5x+4）+（5x－4+2x2），其中x＝－2
【变式2】先化简，再求值：3（y＋2x）－［3x－（x－y）］－2x，其中x，y互为相反数
【整体代入】
例2．已知xy＝2，x＋y＝3，求整式（3xy＋10y）＋[5x－（2xy＋2y－3x）]的值
【变式】已知代数式3y2－2y＋6的值为8，求y2－y+1的值.
考点四：求未知数的值
例4．如果关于x的多项式（8x2＋6ax＋14）－（8x2＋6x＋5）的值与x无关，求a的值。
【变式】多项式5x4-6x2+3x+2与多项式3x4-2m2-7x-2的差不含二次项，求m的值
已知x、y为常数，三个单项式3ab2，xab3-y，4ab3的和仍为单项式，则试求x+y的值
考点五：比较整式的大小（通常采用作差法）
例1．若M= -2x+5-x2，N= -2x2-2x+4，则M、N的大小关系是( )
A．MN C．M=N D．无法确定
【变式1】若A=3x3-x2-3x+1，B=3x3+x2-3x+1。若x取任意实数，则A与B的大小关系为（ ）
A．A≤B B．A>B C．A≥B D．A【变式2】若A= -2m2+3m-5，B= -3m2+3m-6。若m取任意实数，则下列关系中正确的是（ ）
A．A+ B≤1 B．A-B ≥1 C．A+ B≥1 D．A-B≤1
考点六：应用
有一种石棉瓦每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n（n为正整数）块石棉覆盖的宽度为（ ）
A．60n厘米 B．50n厘米 C．(50n＋10）厘米 D．（60n－10）厘米
【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a2（a＞0）
那么阴影部分的面积为 。
【基础达标】
一、选择题
1．将（a＋1）－（－b＋c）去括号应该等于（ ）
A．a+1－b－c B．a+1－b+c C．a+1+b+c D．a+l+b－c
2．下列各式中，去括号正确的是（ ）
A. x+2（y-1)=x+2y-1 B. x-2（y-1）=x+2y+2
C. x-2（y-1)=x-2y-2 D. x-2（y-1)=x-2y+2
3．计算－（a＋b）＋（2a＋b）的最后结果为（ ）
A．a B．a＋b C．a＋2b D．以上都不对
4．已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是（ ）
A.-5x-1 B.5x+1 C.-13x-1 D.13x+1
5．代数式-3x2y－10x3＋3（2x3y＋x2y）－（6x3y－7x3＋2）的值（ ）
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x，y都有关
二、填空题
1．添括号:
（1）-3p+3q-1=+（ ）=3q-（ ）。
（2）(a－b+c－d)( a+b－c+d) =[a-( )][a+( )].
2．化简：（1）a2－（2a2－b＋c）＝ ；
(2) 3x-[5x-(2x-1)]= .
3．若－2m＝1则2m－4m＋2006的值是
4．m=1时，－2m2－[－4m+ (－m)2]＝
5．已知a＝-(-2)2， b＝-(-3)3，c＝-(-4)4，则－[a－(b－c)]的值是
6．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由 个基础图形组成。
三、解答题
1．化简
（1）6a2b＋5b2－7a2b (2）－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2
(3)3m2n－mn2－mn+n2m－0.8mn－3n2m （4）3(2a2b-ab2)-2(5a2b-4ab2)
（5）3x2－[7x－(4x－3)－2x2] （6）－a－2(a－b2)－(a－b2)
2．化简求值：
（1）已知：a＝2010，求(a2－3－3a＋a) －(2a＋4a2＋a－8) ＋(a3＋3a2＋4a－4)的值
（2）－a2b－[a2b－3(abc－a2c)－4a2c ]－3abc，其中a＝－1，b＝－3，c＝1
（3）已知3x+5y2+3的值是6，求代数式－3x－4y2＋9x＋14y2－7的值
3.有一道题目：当a＝2，b＝－2时，求多项式：
3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)+( a3b3+a2b)－2b2+3的值．
甲同学做题时把a＝2错抄成a＝－2，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样。你能说明这是为什么吗？
整式知识点总结
1．单项式
在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。
2．单项式的系数与次数
单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数。系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数
注：圆周率 是数字不是字母
3．多项式
几个单项式的和叫多项式
4．多项式的项数与次数
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项。多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式
5．整式
凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式
6．同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
7．合并同类项法则
系数相加，字母与字母的指数不变
8．去(添)括号法则
去(添)括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号
9．整式的加减
整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。
10．多项式的升幕和降幕排列
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幕排列(或降幂排列)
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列。
11．列代数式
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等，抓住这些关键词语。
12．代数式的值
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代做式的值13. 列代数式要注意
①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；
②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的无式；
③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。