人教版八年级数学上册 第十一章 三角形 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册 第十一章 三角形 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-14 15:59:14 | ||
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文档简介
第十一章 《三角形》单元测试
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边上的高作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（ ）的小棒才能围成一个三角形
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，的面积为4，取的中点D，E，连接，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C．3 D．
5．如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知四边形，求证：．在证明该结论时，需要添加辅助线，则添加辅助线不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A，B，C，D，E分别在的两条边上，若，，，，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，直线，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令，用含的式子表示∠EBC为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且，连接，点D、E分别为的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为5，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11如果一个多边形的每个外角都等于，那么它的内角和为 °．
12如图，∠1= ．
13．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B，C，D都在直线l上，点A是直线外一点，．若，，，则长的最小值为 ．
14．如图，点E是长方形纸片AD边的中点，过E点将∠A和∠D分别翻折，得到折痕EM和EN，且折后A、D两点均与MN上的点H重合．若∠DEN=62°，则∠AEM= ．
15．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．
16．如图，两条交叉水管的接口在处，为了测量两条交叉水管所在直线和的夹角，工程师傅在直线上选取点，并过点作直线，量得与的夹角，由此可知：的度数为 ．
17．如图，三角形是由三角形平移得到的，点在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的倍，，则的度数为 ．
18．有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于，求这个多边形的边数及对角线的条数．
20．（8分）已知 的周长为，
（1）若，求的长；
（2）若，求三条边的长．
21．（10分）如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．
（1），，求的度数；
（2）试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论．
22．（10分）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若、、分别是、、边上的中点，，则______．
23．（10分）如图，在中，于点，平分．
（1）若，则 ；
（2）与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；
（3）点是线段上任一点（不与重合），作，交的延长线于点，点在的延长线上．若，求（用含代数式表示）．
24．（12分）（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究
①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论）
②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论）
③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论）
一、单选题
1．B
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】解：A、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
B、具有稳定性，故此选项符合题意；
C、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
D、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】中边上的高线是过C点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：中边上的高线是过C点作的垂线，四个选项中只有D选项正确，符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案．
【详解】解：设三角形的第三边长为，
则，
即，
故选：C
4．C
【分析】连接，根据三角形中线平分三角形的面积求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵点D是的中点，
∴是的中线
∴
∵点E是的中点
∴是的中点
∴
∴．
故选：C．
5．D
【分析】根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，
∴
即
，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
6．C
【分析】如解析图所示，中，，，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案．
【详解】解：如图所示，在中，，，
∴，
∴，
∴被测物体表面的倾斜角为，
故选C．
7．D
【分析】根据三角形的内角和定理，在四边形中添加辅助线构成三角形即可求解．
【详解】解：、根据图示可得，的内角和为，的内角和为，由此可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然后减去平角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然减去以点为圆心的周角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、不能证明，故原选项不正确，符合题意；
故选：．
8．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，根据平角180度，得出；根据三角形的内角和定理求出，然后根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形内角和定理求出，根据平角的定义列式计算求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故B选项错误，符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
9．D
【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=50°．
延长CE，交AB于点G，
∵，
∴，∠ACM=∠BAC=40°，
∴∠ACE=-40°，
∴∠BCE=90°-（-40°）=130°-．
∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，
∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（-40°）=-20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=，
∴∠CEB=，
∴∠EBC=．
故选：D．
10．C
【分析】连接，如图，利用三角形中线的性质依次求出与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为5求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值.
【详解】解：连接，如图，
∵点D为的中点，
∴，
∵为的中线，
∴，，
∵点E为中点，
∴，
∵四边形的面积为5，
∴，即，
解得，
作于点G，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是4；
故选：C.
二、填空题
11．
【分析】根据多边形的外角和可求出多边形的边数，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和为，每个外角都等于，
∴多边形的边数为，
∴多边形的内角和为：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查多边形的内角和定理与外角和的综合应用，掌握多边形的内角和的计算公式，外角和是360度是解题的关键．
12．
【分析】根据三角形的外角，可以求出另一个角的度数，进而得出结论．
【详解】在三角形中：
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．/
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最短，再根据面积相等即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短，可知当时，最短，
∵，，，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
14．28°
【分析】根据折叠的性质得出∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，根据题意结合图形即可得出结果．
【详解】解：过E点将∠A和∠D分别翻折，得到折痕EM和EN，
∴∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，
又∵∠DEN=62°，
∴∠HEN=62°，
∴∠AEM=×(180°-62°-62°)=28°，
故答案为：28°．
15．
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
16．125°
【分析】根据垂直的性质和对顶角的性质求出∠AOB、∠ABO的度数，即可求出β．
【详解】解：如图，设l3与l1的交点为O，
∵l3⊥l1，
∴∠AOB＝90°，
∵α＝35°，
∴∠ABO＝35°，
∴β＝∠ABO+∠AOB＝125°．
故答案为：125°．
17．
【分析】根据图形的平移，可知，，是的外角，可得，分类讨论，当时；当时；根据角的和差倍分关系即可求解．
【详解】解：如图所示，设与交于点，
∵三角形平移得到三角形，
∴，，
∴，
∵是的外角，
∴，
当时，，解得，；
当时，则，
∴，解得，；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
18．①③④
【分析】①由即可判断；②过点C作，即可判断；③分别讨论当直线与线段相交、直线与线段的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断．
【详解】解：①∵，点E、C、D始终保持在一条直线上
∴
∵
∴
故①正确；
②如图1：过点C作
当点E从点A移动到点H位置时，的度数在逐渐增大
∴的度数在逐渐减小
当点E从点H移动到点B位置时，的度数在逐渐增大
故②错误；
③当直线与线段交于点M，如图2：
∵
∴
∴
当直线与线段的延长线交于点M，如图3：
∵
∴
∴
故若直线与直线交于点M，则为定值
故③正确；
④当点E在线段上时，且，则；
当点E在线段上时，且，则；
当时，则；
∴若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个
故④正确；
故答案为：①③④
三、解答题
19．解：设这是边形，则
，
，
．
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54．
20．（1）由题意，得，
解得．
即的长是．
（2）设，则，，
由题意，得，
解得．
故，，．
所以，，．
21．（1）解：，，
，
平分，
，
，
又∵，
；
（2）解：．
设，，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
°，
．
．
22．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
（2）由（）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
又，即，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故答案为：．
23．（1）解：在中，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11；
（2）解：，
证明：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，
即②，
①、②组成方程组得，
解得，
，．
24．解（1）∵，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）①，理由如下：
∵，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
∵，
∴，
∵分别是两个外角和的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
③，理由如下：
∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线，，
∴，
又∵是的一外角，
∴，
∴，
∵是的一外角，
∴，
故答案为：．
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边上的高作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（ ）的小棒才能围成一个三角形
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，的面积为4，取的中点D，E，连接，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C．3 D．
5．如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知四边形，求证：．在证明该结论时，需要添加辅助线，则添加辅助线不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A，B，C，D，E分别在的两条边上，若，，，，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，直线，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令，用含的式子表示∠EBC为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且，连接，点D、E分别为的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为5，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11如果一个多边形的每个外角都等于，那么它的内角和为 °．
12如图，∠1= ．
13．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B，C，D都在直线l上，点A是直线外一点，．若，，，则长的最小值为 ．
14．如图，点E是长方形纸片AD边的中点，过E点将∠A和∠D分别翻折，得到折痕EM和EN，且折后A、D两点均与MN上的点H重合．若∠DEN=62°，则∠AEM= ．
15．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．
16．如图，两条交叉水管的接口在处，为了测量两条交叉水管所在直线和的夹角，工程师傅在直线上选取点，并过点作直线，量得与的夹角，由此可知：的度数为 ．
17．如图，三角形是由三角形平移得到的，点在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的倍，，则的度数为 ．
18．有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于，求这个多边形的边数及对角线的条数．
20．（8分）已知 的周长为，
（1）若，求的长；
（2）若，求三条边的长．
21．（10分）如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．
（1），，求的度数；
（2）试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论．
22．（10分）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若、、分别是、、边上的中点，，则______．
23．（10分）如图，在中，于点，平分．
（1）若，则 ；
（2）与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；
（3）点是线段上任一点（不与重合），作，交的延长线于点，点在的延长线上．若，求（用含代数式表示）．
24．（12分）（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究
①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论）
②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论）
③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论）
一、单选题
1．B
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】解：A、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
B、具有稳定性，故此选项符合题意；
C、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
D、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】中边上的高线是过C点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：中边上的高线是过C点作的垂线，四个选项中只有D选项正确，符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案．
【详解】解：设三角形的第三边长为，
则，
即，
故选：C
4．C
【分析】连接，根据三角形中线平分三角形的面积求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵点D是的中点，
∴是的中线
∴
∵点E是的中点
∴是的中点
∴
∴．
故选：C．
5．D
【分析】根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，
∴
即
，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
6．C
【分析】如解析图所示，中，，，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案．
【详解】解：如图所示，在中，，，
∴，
∴，
∴被测物体表面的倾斜角为，
故选C．
7．D
【分析】根据三角形的内角和定理，在四边形中添加辅助线构成三角形即可求解．
【详解】解：、根据图示可得，的内角和为，的内角和为，由此可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然后减去平角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然减去以点为圆心的周角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、不能证明，故原选项不正确，符合题意；
故选：．
8．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，根据平角180度，得出；根据三角形的内角和定理求出，然后根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形内角和定理求出，根据平角的定义列式计算求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故B选项错误，符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
9．D
【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=50°．
延长CE，交AB于点G，
∵，
∴，∠ACM=∠BAC=40°，
∴∠ACE=-40°，
∴∠BCE=90°-（-40°）=130°-．
∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，
∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（-40°）=-20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=，
∴∠CEB=，
∴∠EBC=．
故选：D．
10．C
【分析】连接，如图，利用三角形中线的性质依次求出与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为5求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值.
【详解】解：连接，如图，
∵点D为的中点，
∴，
∵为的中线，
∴，，
∵点E为中点，
∴，
∵四边形的面积为5，
∴，即，
解得，
作于点G，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是4；
故选：C.
二、填空题
11．
【分析】根据多边形的外角和可求出多边形的边数，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和为，每个外角都等于，
∴多边形的边数为，
∴多边形的内角和为：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查多边形的内角和定理与外角和的综合应用，掌握多边形的内角和的计算公式，外角和是360度是解题的关键．
12．
【分析】根据三角形的外角，可以求出另一个角的度数，进而得出结论．
【详解】在三角形中：
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．/
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最短，再根据面积相等即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短，可知当时，最短，
∵，，，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
14．28°
【分析】根据折叠的性质得出∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，根据题意结合图形即可得出结果．
【详解】解：过E点将∠A和∠D分别翻折，得到折痕EM和EN，
∴∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，
又∵∠DEN=62°，
∴∠HEN=62°，
∴∠AEM=×(180°-62°-62°)=28°，
故答案为：28°．
15．
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
16．125°
【分析】根据垂直的性质和对顶角的性质求出∠AOB、∠ABO的度数，即可求出β．
【详解】解：如图，设l3与l1的交点为O，
∵l3⊥l1，
∴∠AOB＝90°，
∵α＝35°，
∴∠ABO＝35°，
∴β＝∠ABO+∠AOB＝125°．
故答案为：125°．
17．
【分析】根据图形的平移，可知，，是的外角，可得，分类讨论，当时；当时；根据角的和差倍分关系即可求解．
【详解】解：如图所示，设与交于点，
∵三角形平移得到三角形，
∴，，
∴，
∵是的外角，
∴，
当时，，解得，；
当时，则，
∴，解得，；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
18．①③④
【分析】①由即可判断；②过点C作，即可判断；③分别讨论当直线与线段相交、直线与线段的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断．
【详解】解：①∵，点E、C、D始终保持在一条直线上
∴
∵
∴
故①正确；
②如图1：过点C作
当点E从点A移动到点H位置时，的度数在逐渐增大
∴的度数在逐渐减小
当点E从点H移动到点B位置时，的度数在逐渐增大
故②错误；
③当直线与线段交于点M，如图2：
∵
∴
∴
当直线与线段的延长线交于点M，如图3：
∵
∴
∴
故若直线与直线交于点M，则为定值
故③正确；
④当点E在线段上时，且，则；
当点E在线段上时，且，则；
当时，则；
∴若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个
故④正确；
故答案为：①③④
三、解答题
19．解：设这是边形，则
，
，
．
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54．
20．（1）由题意，得，
解得．
即的长是．
（2）设，则，，
由题意，得，
解得．
故，，．
所以，，．
21．（1）解：，，
，
平分，
，
，
又∵，
；
（2）解：．
设，，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
°，
．
．
22．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
（2）由（）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
又，即，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故答案为：．
23．（1）解：在中，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11；
（2）解：，
证明：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，
即②，
①、②组成方程组得，
解得，
，．
24．解（1）∵，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）①，理由如下：
∵，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
∵，
∴，
∵分别是两个外角和的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
③，理由如下：
∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线，，
∴，
又∵是的一外角，
∴，
∴，
∵是的一外角，
∴，
故答案为：．