【高考真题】2024年数学新课标Ⅱ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2024·新课标Ⅱ卷）已知，则（ ）．
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据复数的求模公式求解即可.
2．（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题；命题．则（ ）．
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：命题，当，原不等式转化为，
不满足，故命题为假命题，即为真命题；
命题，当时，，满足，故命题为真命题，
则和都是真命题.
故答案为：B.
【分析】取特殊值判断命题的真假，从而得的真假，即可得到答案.
3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知向量满足，且．则（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为向量，满足，
所以，即①，
又因为，所以，即②，联立①②可得.
故答案为：B.
【分析】由两边平方化简可得，再由，可得，联立求解即可.
4．（2024·新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）.
A．100块稻田亩产量的中位数小于
B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过
C．100块稻田亩产量的极差介于至之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于至
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由表可知：
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 24 10
频率 0.06 0.12 0.18 0.24 0.1
A、根据频率可知0.06+0.12+0.18=0.36<0.50，则亩产量的中位数不小于 ，故A错误；
B、由表可知100块稻田中亩产量不低于的频数为24+10=34，则低于的稻田占比为，故B错误；
C、100块稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；
D、由频数分布表可得，亩产量在的频数为，
则100块稻田亩产量的平均值为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】计算出前三段频率即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
5．（2024·新课标Ⅱ卷）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，由题意可得，
因为点在圆上，所以，即，
则点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.
6．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数（为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）．
A．-1 B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
因为当时，曲线与恰有一个交点，所以在内有且仅有一个零点，因为，所以函数为偶函数，
由偶函数的对称性可知：的零点只能为0，即，解得，
下面验证：
若，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即有且仅有一个零点O，所以符合题意，则.
故答案为：D.
【分析】令，易知为偶函数，由偶函数的对称性可知的零点只能为0，求得，并代入检验即可.
7．（2024·新课标Ⅱ卷）已知正三棱台的体积为，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：分别取的中点分别为，
因为在正三棱台中 ，，所以，
则，
设正三棱台的为，
则，解得，
分别过作底面垂线，垂足为，如图所示，
设，则，，
可得，
因为为等腰梯形，所以，
即，解得，
则与平面ABC所成角的正切值为.
故答案为：B.
【分析】设正三棱台的为，由棱台的体积公式求得棱台的高，再作辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，最后根据线面夹角的定义求解即可.
8．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
令，解得；令，解得；
当时，，要使成立，则，故；
当时，，要使成立，则，故；
故， 则，当且仅当时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的性质分析的符号，再由成立确定的符号，即可得，代入结合二次函数的性质求最值即可.
二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分．
9．（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数和，下列正确的有（ ）．
A．与有相同的零点
B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期
D．与的图像有相同的对称轴
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数，则函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，故零点不同，故A错误；
B、显然与有相同的最大值 ，故B正确；
C、函数的最小正周期均为，故C正确；
D、由A可知，函数与的图像的对称轴不相同，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数图象的平移变换即可判断AD；根据函数的最值即可判断B；根据三角函数的最小周期计算即可判断C.
10．（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，P为上动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为．则（ ）．
A．与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点P有且仅有2个
【答案】A,B,D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A、易知抛物线的准线为，而的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离是，故准线和相切，故A正确；
B、当三点共线时，即，则的纵坐标，由，得，故，
则切线长，故B正确；
C、当时，，，故或，
当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
故不成立，故C错误；
D、设，因为，所以，又因为，，
所以，整理得，，
则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，满足 ，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线准线为，由题意，根据圆心到准线的距离即可判断A；当三点共线时，先求出的坐标，再切线长，即可判断B；根据先算出的坐标，再验证是否成立，即可判断C；设，将问题转化成的点的存在性问题求解即可判断D.
11．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（ ）．
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：函数定义域为，
A、当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，
则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，
又因为，，则，
则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；
B、当时，令，解得，函数单调递减；
令，解得，函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；
D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，
，即，
即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·新课标Ⅱ卷）记为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
13．（2024·新课标Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为为第一象限角，为第象限角，
所以，，
则，，
又因为，所以，，
所以，又因为， ，
所以 .
故答案为：.
【分析】由题意，根据两角和与差的正切公式可得，再由，的取值范围求得的范围，最后结合同角三角函数基本关系求解即可.
14．（2024·新课标Ⅱ卷）在下图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】24；112
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意知，从的方格表，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一行有4种选法，第二行有3种选法，第三行有2种选法，第四行有1种选法，共有种不同的选法；
则所有的可能选法结果为：
，
，
，
，
其中选法的4个数之和最大，最大值为.
故答案为：24；112.
【分析】由题意可知，根据分步乘法原理求解即可；列举法写出所有的可能结果，找和最大的求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024·新课标Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求．
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：因为，所以，即，即，
又因为，所以，故，解得.
（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，
又因为，所以，所以，解得，
由（1）可得：，
则，
由正弦定理，可得，解得，
故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；
（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.
16．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数，，
则，，
故切点坐标为，所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，，
当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值，
由题意可得：，即，
令，，则在上单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.
17．（2024·新课标Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，点E，F满足．将沿EF翻折至，使得．
（1）证明：．
（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：由，
得，又，在中，
由余弦定理得，
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故.
（2）解：连接，
由，则，
在中，，得，所以，
由（1）知，又因为，平面，所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，所以，
所以，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，，
令，得，
所以，所以，
设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，再利用勾股定理的逆定理可证得，则，最后结合线面垂直的判定定理与性质证明即可；
（2）由（1）的结论，根据线面垂直的判定定理与性质证得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.
18．（2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．
（1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设．
（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛
（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛
【答案】（1）解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二阶段也至少投中1次，
记甲在第一阶段至少投中1次的事件为A，乙在第二阶段也至少投中1次的事件为B，
则，，故比赛成绩不少于5分的概率.
（2）解：（i）若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
因为，所以
，
所以，故甲参加第一阶段比赛；
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
则，
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
故应该由甲参加第一阶段比赛.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率求法以及独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）（i）先计算甲、乙参加第一阶段比赛，成绩为15分的概率，，再作差因式分解即可判断；
(ii)由题意，先确定甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩和的所有可能取值，再计算相应的概率，列出分布列，计算出各自期望，最后作差比较大小即可.
19．（2024·新课标Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
（1）若，求．
（2）证明：数列是公比为的等比数列．
（3）设为的面积，证明：对任意的正整数．
【答案】（1）解：因为点在双曲线上，所以，故双曲线的方程为，
当时，过且斜率为的直线为，联立，整理得，
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上，
故，，.
（2）证明：由题可知，过且斜率为的直线为，联立直线与双曲线方程，得，化简整理可得，
由于是一根，则方程必有一根，
由根据韦达定理可得另一根，，
所以该直线与的另一个交点为，所以，
，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
（3）证明：由（2）可得，，
故，
由于，，则数列是公比为的等比数列，
所以对任意的正整数，都有
，
则①，
②，
①②两式相减可得，
化简整理得，
故，
因为，，
所以和平行，即，故.
【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据点在双曲线上求得双曲线方程，再根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；
（2）由题意，求得过且斜率为的直线为，联立直线与曲线方程，求交点坐标，结合等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）的结论，根据平面向量数量积以及等比数列的知识，证明的取值为与无关的定值即可.
1 / 1【高考真题】2024年数学新课标Ⅱ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2024·新课标Ⅱ卷）已知，则（ ）．
A．0 B．1 C． D．2
2．（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题；命题．则（ ）．
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知向量满足，且．则（ ）．
A． B． C． D．1
4．（2024·新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）.
A．100块稻田亩产量的中位数小于
B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过
C．100块稻田亩产量的极差介于至之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于至
5．（2024·新课标Ⅱ卷）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数（为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）．
A．-1 B． C．1 D．2
7．（2024·新课标Ⅱ卷）已知正三棱台的体积为，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．1
二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分．
9．（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数和，下列正确的有（ ）．
A．与有相同的零点
B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期
D．与的图像有相同的对称轴
10．（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，P为上动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为．则（ ）．
A．与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点P有且仅有2个
11．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（ ）．
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·新课标Ⅱ卷）记为等差数列的前项和，若，则 .
13．（2024·新课标Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，则 ．
14．（2024·新课标Ⅱ卷）在下图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024·新课标Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求．
（2）若，求的周长．
16．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
17．（2024·新课标Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，点E，F满足．将沿EF翻折至，使得．
（1）证明：．
（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
18．（2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．
（1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设．
（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛
（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛
19．（2024·新课标Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
（1）若，求．
（2）证明：数列是公比为的等比数列．
（3）设为的面积，证明：对任意的正整数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据复数的求模公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：命题，当，原不等式转化为，
不满足，故命题为假命题，即为真命题；
命题，当时，，满足，故命题为真命题，
则和都是真命题.
故答案为：B.
【分析】取特殊值判断命题的真假，从而得的真假，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为向量，满足，
所以，即①，
又因为，所以，即②，联立①②可得.
故答案为：B.
【分析】由两边平方化简可得，再由，可得，联立求解即可.
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由表可知：
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 24 10
频率 0.06 0.12 0.18 0.24 0.1
A、根据频率可知0.06+0.12+0.18=0.36<0.50，则亩产量的中位数不小于 ，故A错误；
B、由表可知100块稻田中亩产量不低于的频数为24+10=34，则低于的稻田占比为，故B错误；
C、100块稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；
D、由频数分布表可得，亩产量在的频数为，
则100块稻田亩产量的平均值为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】计算出前三段频率即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
5．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，由题意可得，
因为点在圆上，所以，即，
则点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
因为当时，曲线与恰有一个交点，所以在内有且仅有一个零点，因为，所以函数为偶函数，
由偶函数的对称性可知：的零点只能为0，即，解得，
下面验证：
若，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即有且仅有一个零点O，所以符合题意，则.
故答案为：D.
【分析】令，易知为偶函数，由偶函数的对称性可知的零点只能为0，求得，并代入检验即可.
7．【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：分别取的中点分别为，
因为在正三棱台中 ，，所以，
则，
设正三棱台的为，
则，解得，
分别过作底面垂线，垂足为，如图所示，
设，则，，
可得，
因为为等腰梯形，所以，
即，解得，
则与平面ABC所成角的正切值为.
故答案为：B.
【分析】设正三棱台的为，由棱台的体积公式求得棱台的高，再作辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，最后根据线面夹角的定义求解即可.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
令，解得；令，解得；
当时，，要使成立，则，故；
当时，，要使成立，则，故；
故， 则，当且仅当时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的性质分析的符号，再由成立确定的符号，即可得，代入结合二次函数的性质求最值即可.
9．【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数，则函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，故零点不同，故A错误；
B、显然与有相同的最大值 ，故B正确；
C、函数的最小正周期均为，故C正确；
D、由A可知，函数与的图像的对称轴不相同，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数图象的平移变换即可判断AD；根据函数的最值即可判断B；根据三角函数的最小周期计算即可判断C.
10．【答案】A,B,D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A、易知抛物线的准线为，而的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离是，故准线和相切，故A正确；
B、当三点共线时，即，则的纵坐标，由，得，故，
则切线长，故B正确；
C、当时，，，故或，
当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
故不成立，故C错误；
D、设，因为，所以，又因为，，
所以，整理得，，
则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，满足 ，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线准线为，由题意，根据圆心到准线的距离即可判断A；当三点共线时，先求出的坐标，再切线长，即可判断B；根据先算出的坐标，再验证是否成立，即可判断C；设，将问题转化成的点的存在性问题求解即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：函数定义域为，
A、当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，
则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，
又因为，，则，
则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；
B、当时，令，解得，函数单调递减；
令，解得，函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；
D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，
，即，
即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.
12．【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为为第一象限角，为第象限角，
所以，，
则，，
又因为，所以，，
所以，又因为， ，
所以 .
故答案为：.
【分析】由题意，根据两角和与差的正切公式可得，再由，的取值范围求得的范围，最后结合同角三角函数基本关系求解即可.
14．【答案】24；112
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意知，从的方格表，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一行有4种选法，第二行有3种选法，第三行有2种选法，第四行有1种选法，共有种不同的选法；
则所有的可能选法结果为：
，
，
，
，
其中选法的4个数之和最大，最大值为.
故答案为：24；112.
【分析】由题意可知，根据分步乘法原理求解即可；列举法写出所有的可能结果，找和最大的求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，即，即，
又因为，所以，故，解得.
（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，
又因为，所以，所以，解得，
由（1）可得：，
则，
由正弦定理，可得，解得，
故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；
（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.
16．【答案】（1）解：当时，函数，，
则，，
故切点坐标为，所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，，
当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值，
由题意可得：，即，
令，，则在上单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.
17．【答案】（1）证明：由，
得，又，在中，
由余弦定理得，
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故.
（2）解：连接，
由，则，
在中，，得，所以，
由（1）知，又因为，平面，所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，所以，
所以，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，，
令，得，
所以，所以，
设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，再利用勾股定理的逆定理可证得，则，最后结合线面垂直的判定定理与性质证明即可；
（2）由（1）的结论，根据线面垂直的判定定理与性质证得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.
18．【答案】（1）解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二阶段也至少投中1次，
记甲在第一阶段至少投中1次的事件为A，乙在第二阶段也至少投中1次的事件为B，
则，，故比赛成绩不少于5分的概率.
（2）解：（i）若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
因为，所以
，
所以，故甲参加第一阶段比赛；
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
则，
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
故应该由甲参加第一阶段比赛.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率求法以及独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）（i）先计算甲、乙参加第一阶段比赛，成绩为15分的概率，，再作差因式分解即可判断；
(ii)由题意，先确定甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩和的所有可能取值，再计算相应的概率，列出分布列，计算出各自期望，最后作差比较大小即可.
19．【答案】（1）解：因为点在双曲线上，所以，故双曲线的方程为，
当时，过且斜率为的直线为，联立，整理得，
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上，
故，，.
（2）证明：由题可知，过且斜率为的直线为，联立直线与双曲线方程，得，化简整理可得，
由于是一根，则方程必有一根，
由根据韦达定理可得另一根，，
所以该直线与的另一个交点为，所以，
，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
（3）证明：由（2）可得，，
故，
由于，，则数列是公比为的等比数列，
所以对任意的正整数，都有
，
则①，
②，
①②两式相减可得，
化简整理得，
故，
因为，，
所以和平行，即，故.
【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据点在双曲线上求得双曲线方程，再根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；
（2）由题意，求得过且斜率为的直线为，联立直线与曲线方程，求交点坐标，结合等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）的结论，根据平面向量数量积以及等比数列的知识，证明的取值为与无关的定值即可.
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