(共27张PPT)
2.4 用尺规作角
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 尺规作图
尺规作图的概念:只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.
数学
返回目录
典型例题
【例1】在下列各题中,属于尺规作图的是 ( )
A.利用三角板画45°的角
B.用直尺和三角板画平行线
C.用直尺画一工件边缘的垂线
D.用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
数学
返回目录
解析:A项,利用三角板画45°的角不符合尺规作图的定义,错误;B项,用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义,错误;C项,用直尺画一工件边缘的垂线不符合尺规作图的定义,错误;D项,用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义,正确.
答案:D
数学
返回目录
对应练习
1.下列作图属于尺规作图的是 ( )
A.用量角器画出∠AOB的平分线OC
B.借助直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α
C.画线段AB=3 cm
D.用三角尺过点P作AB的垂线
B
解析:根据尺规作图的定义可知:借助直尺和圆规作∠AOB,
使∠AOB=2∠α属于尺规作图.故选B.
数学
返回目录
2.下列作图方法中,错误的是 ( )
A.过点A,B作直线AB
B.在射线AB上截取AC=a
C.以点O为圆心作弧
D.以点O为圆心,OA长为半径作弧
C
数学
返回目录
名师点拨:判断一种作图是否为尺规作图,关键是看它所使用的作图工具,如果作图工具是圆规和没有刻度的直尺,那么它属于尺规作图,否则就不是尺规作图.
数学
返回目录
知识点二 作一个角等于已知角
尺规作图一般有以下三步:
(1)已知:当作图是用文字语言叙述时,要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;
(2)求作:根据题目写出要求作的图形及此图形应满足的条件;
(3)作法:根据作图的过程写出每一步的操作过程,当不要求写作法时,要保留作图痕迹.
数学
返回目录
典型例题
【例2】尺规作图:已知∠AOB,求作∠A'O'B'.使∠A'O'B'=∠AOB. (保留作图痕迹,写出作法)
数学
返回目录
解:①以点O为圆心,以任意长度为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.②画射线O'M.③以点O'为圆心,以OC为半径画弧,交O'M于点B'.④以点B'为圆心,以CD长为半径画弧,与已画的弧交于点A'.⑤作射线O'A',如图∠A'O'B'即为所求作的角.
数学
返回目录
对应练习
3.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠BCD=∠AOB.以下是排乱的作图过程,则正确的作图顺序是 ( )
①以点C为圆心,OE长为半径画弧,交OB于点M.②作射线CD,则∠BCD=∠AOB.③以点M为圆心,EF长为半径画弧,交前面的弧于点D.④以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点E,F.
A.①②③④
B.③②④①
C.④①③②
D.④③①②
C
数学
返回目录
名师点拨:几何作图中,应掌握的几种作图语言:①过点 作直线 ;②连接 两点;③在 上截取 = ;④以点 为圆心, 的长为半径作弧,交 于点 ;⑤分别以点 , 为圆心, 的长为半径作弧,两弧相交于点 ;⑥延长 至点 ,使 = .
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.下列作图语句错误的是( )
A.作线段AB,使a=AB
B.延长线段AB到C,使AB=BC
C.作∠AOB,使∠AOB=∠α
D.以O为圆心OP为半径作弧
A
数学
返回目录
2.如图所示,已知∠AOB,以OB为边作∠BOC,使∠BOC=2∠AOB,那么下列说法正确的是( )
A.∠AOC=3∠AOB
B.∠AOC=∠AOB
C.∠AOC>∠BOC
D.∠AOB=∠AOC或∠AOC=3∠AOB
D
数学
返回目录
3.如图,用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA,OB交于点E,F,那么第二步的作图痕迹②的作法是( )
A.以点F为圆心,OE长为半径画弧
B.以点F为圆心,EF长为半径画弧
C.以点E为圆心,OE长为半径画弧
D.以点E为圆心,EF长为半径画弧
D
数学
返回目录
4.下列作图属于尺规作图的是( )
A.用刻度尺画线段AB=3 cm
B.用量角器画一个45°的角
C.用三角尺画一个90°的角
D.用没有刻度的直尺及圆规作一条线段等于已知线段
D
数学
返回目录
二、填空题
已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB,根据下图填空:
作法:
(1)作射线 ;
(2)以点 为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于点 ,交 于点 ;
O'A'
O
C
OB
D
数学
返回目录
(3)以点 为圆心,以 长为半径作弧,交O'A’于点 ;
(4)以点 为圆心,以 长为半径作弧,交前面的弧于点D';
(5)过点 作射线 , 就是所求作的角.
O'
OC或OD
C'
C'
CD
D'
O'B'
∠A'O'B’
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,已知∠AOB,利用尺规作∠B'O'D'使∠B'O'D'=180°-2∠AOB(保留作图痕迹,不要求写出作法).
解:如图,∠B'O'D'为所求.
数学
返回目录
2.已知∠α,∠β(∠α>∠β),如图所示,求作∠AOB,使∠AOB=∠α-∠β.
数学
返回目录
解:如图所示.作法:
①作射线OA;
②分别以点O和∠α,∠β的顶点为圆心,以相同的任意长为半径作弧,分别交OA于点C,交∠α的两边于点E,F,交∠β的两边于点M,N;
③以点C为圆心,以EF为半径作弧,两弧交于点D;
④过点D作射线OD,则∠AOD=∠α;
⑤以点D为圆心,以MN长为半径在∠AOD内部作弧,两弧相交于点B;
⑥过点B作射线OB,则∠DOB=∠β.则∠AOB就是所求作的角.
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图①,OA⊥OB,OC⊥OD.
(1)∠AOC与∠BOD有何数量关系 依据是什么
(2)小明做完(1)后受到启发,在图②中用尺规作出了OD⊥OC,请你也试一试.
数学
返回目录
解:(1)∠AOC=∠BOD.依据是同角的余角相等.
(2)如图所示(在∠AOB外部作∠BOD=∠AOC即可).
数学
返回目录
2.尺规作图(不写作法,只保留作图痕迹,写出结论).
已知:直线AB,点P在直线AB外.
(1)求作:直线MN,使直线MN经过点P,并且MN∥AB;
(2)试说明所作直线MN∥AB.
数学
返回目录
解:(1)如图,直线MN即为所求.
(2)因为∠EPF=∠PAB,
所以MN∥AB.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 七年级数学下册(共31张PPT)
2.3 平行线的性质(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 平行线判定的应用
典型例题
【例1】如图,∠B=∠C,∠A=∠D,有下列结论:①AB∥CD;
②AE∥DF;③AE⊥BC;④∠AMC=∠BND.其中正确的有 .(只填序号)
数学
返回目录
解题思路:由条件可先证明AB∥CD,再证明AE∥DF,结合平行线的性质及对顶角相等可得到∠AMC=∠BND,可得出答案.
解析:因为∠B=∠C,所以AB∥CD,所以∠A=∠AEC,
又因为∠A=∠D,所以∠AEC=∠D,所以AE∥DF,
所以∠AMC=∠FNM,又因为∠BND=∠FNM,
所以∠AMC=∠BND,故①②④正确,
由条件不能得出∠AMC=90°,故③不一定正确.
答案:①②④
数学
返回目录
对应练习
1.如图,在△ABC中,点D,E F分别在边BC,AB,AC上,下列能判定DE∥AC的条件是 ( )
A.∠1=∠3
B.∠3=∠C
C.∠2=∠4
D.∠1+∠2=180°
B
数学
返回目录
2.如图,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③AB∥CE,且∠ADC=∠B;④AB∥CE且∠BCD=∠BAD;其中能推出BC∥AD的条件为 ( )
A.①②
B.②④
C.②③
D.②③④
D
数学
返回目录
解析:①因为∠1=∠2,所以AB∥CD,不符合题意;
②因为∠3=∠4,所以BC∥AD,符合题意;
③因为AB∥CD,所以∠B+∠BCD=180°,因为∠ADC=∠B,
所以∠ADC+∠BCD=180°,由同旁内角互补,两直线平行可得BC∥AD,故符合题意;
④因为AB∥CE,所以∠B+∠BCD=180°,因为∠BCD=∠BAD,
所以∠B+∠BAD=180°,由同旁内角互补,两直线平行可得BC∥AD,故符合题意;故能推出BC∥AD的条件为②③④.
故选D.
数学
返回目录
名师点拨:应用平行线的性质和判定定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.在例题中,性质的题设是两条直线平行,结论是同位角相等,或内错角相等或同旁内角互补,是由直线的位置关系(平行)到角的数量关系的过程;判定与性质正好相反,是对直线是否平行的判定,因而角之间的数量关系(同位角相等,内错角相等,同旁内角互补)是题设,两直线平行是结论,是一个由角的数量关系到平行的过程.
数学
返回目录
知识点二 平行线的性质和判定的综合应用
综合利用平行线的条件与性质解题,通常有两种形式:
(1)由平行关系→角的 或 →直线平行;
(2)由角的相等或互补→直线 →新的角 或
→直线平行.
相等
平行
相等
互补
互补
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,已知AD∥BC,∠A=∠C,试说明:AB∥CD.
解题思路:要说明AB∥CD,要找∠A=∠EDC或者∠ABF=∠C,但题目中只给出了∠A=∠C,所以要从AD∥BC,得到∠A=∠ABF,再进行等量转换得到∠ABF=∠C.
数学
返回目录
解:因为AD∥BC(已知),
所以∠A=∠ABF(两直线平行,内错角相等),
因为∠A=∠C(已知),
所以∠ABF=∠C(等量代换),
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
数学
返回目录
对应练习
3.如图,∠1+∠2=180°,∠3=108°,则∠4的度数是 ( )
A.72°
B.80°
C.82°
D.108°
A
数学
返回目录
4.如图,直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分∠BEF,
FN平分∠CFE,且EM∥FN.试说明:AB∥CD.
数学
返回目录
解:因为EM∥FN,所以∠EFN=∠FEM,
又因为EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,
所以∠BEF=2∠FEM,∠EFC=2∠EFN,
所以∠FEB=∠EFC,所以AB∥CD.
数学
返回目录
名师点拨:平行线的判定和性质的综合应用解题方法有两种:
(1)先用判定方法再用性质;
(2)先用性质再用判定方法。两角间的数量关系→两直线间的位置关系;两直线间的位置关系→两角间的数量关系.
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.如图,下列判断中正确的是( )
A.如果EF∥GH,那么∠4+∠3=180°
B.如果∠1+∠3=180°,
那么AB∥CD
C.如果∠2=∠4,那么AB∥CD
D.如果∠1=∠2,那么AB∥CD
D
数学
返回目录
2.如图,∠F=∠FBC,∠A=∠C,则当∠ADC=α时,∠ABC的度数是
( )
A.α
B.2α
C.180°-α
D.90°+α
A
数学
返回目录
3.一把直尺与一块三角尺如图放置,若∠1=47°,则∠2的度数为
( )
A.43°
B.47°
C.133°
D.137°
D
数学
返回目录
4.阅读下列材料,①~④步中数学依据错误的是( )
如图:已知直线b∥c,a⊥b,试说明:a⊥c.
解:①因为a⊥b (已知),
所以∠1=90° (垂直的定义).
②又因为b∥c (已知),
所以∠1=∠2 (同位角相等,两直线平行).
③所以∠2=∠1=90° (等量代换).
④所以a⊥c (垂直的定义).
A.① B.② C.③ D.④
B
数学
返回目录
解析:①因为a⊥b(已知),所以∠1=90°(垂直的定义).
②又因为b∥c(已知),所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
③所以∠2=∠1=90°(等量代换).
④所以a⊥c(垂直的定义).
①~④步中数学依据错误的是②,故选B.
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,∠1=∠2=∠3=50°,则∠4的度数是 .
2.如图,AB∥CD∥EF,AC∥DF,若∠BAC=120°,则∠DFE的度数为 .
130°
60°
数学
返回目录
3.已知∠α的两边分别平行于∠β的两边,并且∠α比∠β的3倍少20°,则∠α的度数是 .
130°或10°
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,直线BD与直线AE,CF分别交于B,D,∠1+∠2=180°,∠A=∠C.
(1)试说明AE∥CF;
(2)若∠C=70°,求∠ADF.
数学
返回目录
解:(1)因为∠1+∠2=180°,∠BDC+∠2=180°,
所以∠1=∠BDC,所以AE∥CF.
(2)因为AE∥CF(已证),所以∠A=∠ADF,
因为∠A=∠C,所以∠ADF=∠C,
所以∠ADF=∠C=70°.
数学
返回目录
2.如图,在四边形ABCD中,BE平分∠ABC,CF平分∠DCB,AB∥CD,试判断BE与CF的位置关系.
解:因为BE平分∠ABC,CF平分∠DCB,
所以∠1=∠ABC,∠2=∠DCB,
因为AB∥DC,所以∠ABC+∠DCB=180°,
所以∠1+∠2=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°,
所以∠BOC=180°-(∠1+∠2)=90°,所以BE⊥CF.
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图所示为一条街道的路线图,AB∥CD,且∠ABC=130°,
BC∥DE,则∠CDE的度数为 ( )
A.40°
B.50°
C.70°
D.130°
B
数学
返回目录
2.如图,AC∥ED,EB平分∠AED,∠1=∠2,试说明AE∥BD.
解:因为AC∥ED,所以∠1=∠4,
因为∠1=∠2,所以∠2=∠4,
因为EB平分∠AED,所以∠3=∠4,
所以∠2=∠3,所以AE∥ED.
数学
返回目录
3.问题情境
如图①,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC的度数。思路:过点P作PE∥AB,通过平行线的性质,可得∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°.
数学
返回目录
问题解决
(2)在(1)的条件下,如果点P在线段MN或NM的延长线上运动,请直接写出∠APC,α,β之间的数量关系.
(1)如图②,AB∥CD,直线l分别与AB,CD交于点M,N,点P在直线l上运动,当点P在线段MN上运动时(不与点M,N重合),∠PAB=α, ∠PCD=β,判断∠APC,α,β,之间的数量关系,并说明理由;
数学
返回目录
解:(1)∠APC=α+β,理由:
如图,过点P作PE∥AB.
因为AB∥CD,所以PE∥CD,
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
(2)①如果点P在线段MN的延长线上运动时,∠APC=α-β,
②如果点P在线段NM的延长线上运动时,∠APC=β-α.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 七年级数学下册(共34张PPT)
2.1 两条直线的位置关系(1)
北师大版 七年级数学下册
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 直线与直线的位置关系
1.在同一平面内,直线与直线的位置关系只有两种: 和 .
2.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为 线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做 线.
【注意】
①平行线是指两条直线,而不是两条线段或射线.
②用交点个数判断同一平面内两条直线的位置关系的方法:相交有1个交点、平行没有交点.
相交
平行
相交
平行
数学
返回目录
典型例题
【例1】下列说法正确的是 ( )
A.若线段a,b不相交,则a∥b
B.若直线a,b不相交,则a∥b
C.在同一平面内,若线段a,b不相交,则a∥b
D.在同一平面内,若直线a,b不相交,则a∥b
数学
返回目录
解题思路:根据平行线的定义、性质、判定方法判断即可.
解析:A项,若线段a,b不相交,因为线段不能向两方延长,则a,b不一定平行,错误;B项,若直线a,b不相交,若不在同一平面内,则直线a,b不一定平行,错误;C项,在同一平面内,若线段a,b不相交,因为线段不能向两方延长,则a,b不一定平行,错误;D项,在同一平面内,若直线a,b不相交,则a∥b,正确.故选D.
答案:D
数学
返回目录
对应练习
1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是 ( )
A.垂直或平行
B.垂直或相交
C.平行或相交
D.平行、垂直或相交
C
解析:在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.故选C.
数学
返回目录
2.下列说法中正确的是 ( )
A.不相交的两条直线是平行线
B.在同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线
C.在同一平面内,两条直线不相交就重合
D.在同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线
D
解析:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.故选D.
数学
返回目录
名师点拨:平行线定义的三个特征:(1)在同一平面内;(2)两条直线;
(3)不相交.要特别注意“在同一平面内”这一条件.
数学
返回目录
知识点二 对顶角的定义和性质
1.如果两个角有公共顶点,并且它们的边互为反向延长线,那么这两个角叫做 .
2.对顶角的性质:对顶角 .
对顶角
相等
数学
返回目录
【例2】下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
解题思路:根据对顶角的定义、性质判断即可.
解析:A项中的∠1与∠2符合对顶角的概念;B项和D项中的∠1与∠2均有一边不互为反向延长线;C项中的∠1与∠2没有公共顶点,并且有一边不互为反向延长线.故选A.
答案:A
典型例题
数学
返回目录
对应练习
3.下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
D
解析:对顶角的概念:有公共顶点且两边都互为反向延长线的两个角.ABC项均不符合题意.故选D.
数学
返回目录
4.如图,直线AB与CD相交于点O,且∠AOC+∠BOD=120°,则∠AOD的度数为 ( )
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
B
数学
返回目录
名师点拨:对顶角是成对出现的,且具有特殊的位置关系,主要反映角的位置关系,对顶角必须具备的两个要素:有公共顶点、两边互为反向延长线.
数学
返回目录
知识点三 补角、余角的定义和性质
1.互余:如果两个角的和是 ,那么称这两个角互为余角;
2.互补:如果两个角的和是 ,那么称这两个角互为补角;
3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.
90°
180°
数学
返回目录
典型例题
【例3】下列说法中正确的是 ( )
A.若∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互余
B.若∠α+∠β+∠γ=180°,则∠α,∠β,∠γ互补
C.若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互余
D.若∠1+∠2=90°,则∠1=∠2=45°
数学
返回目录
解题思路:如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.
解析:互余和互补都是指两个角的关系,故A、B项错误;C项,若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互余,故本选项正确;D项,∠1+∠2=90°,只有∠1=∠2时才有∠1=∠2=45°,故本选项错误.故选C.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
5.如图所示,∠AOC=90°,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是 ( )
A.相等
B.互余
C.互补
D.以上答案均不对
B
数学
返回目录
解析:由图形可知∠2=∠COE.因为AB⊥CD,所以∠COB=∠1+∠COE=90°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.
故选B.
数学
返回目录
6.如图,O是直线BD上一点,∠BOC=36°,∠AOB=108°,则与∠AOB互补的角有 .
∠AOD,∠AOC
数学
返回目录
名师点拨:
(1)互余、互补都是指两个角之间的关系.如∠1+∠2+∠3=90°,不能说∠1,∠2,∠3互余.
(2)补角、余角都是成对出现的,不能单独说一个角是补角或余角.
(3)互补、互余都是指两个角之间的数量关系,跟位置无关.
(4)从补角、余角的定义可以看出只有小于平角的角才有补角,只有锐角才有余角.
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.如图,直线a,b相交于点O,如果∠1+∠2=60°,那么∠2的度数是( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
D
数学
返回目录
2.已知∠1和∠2互为余角,且∠2与∠3互补,∠1=30°,则∠3为( )
A.120° B.60° C.30° D.150°
3.已知∠A+∠B=90°,∠B+∠C=180°,则∠C-∠A的值是( )
A.180° B.135° C.90° D.45°
A
C
数学
返回目录
4.如图,将一张长方形纸对折三次,则产生的折痕间的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.无法确定
C
解析:前两次的折痕互相平行,第三次产生的折痕与前两次的折痕互相垂直.即产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行或垂直.故选C.
数学
返回目录
二、填空题
1.三条直线相交,交点最多有 个.
2.如图是一种测量角的仪器,它依据的原理是 .
3
对顶角相等
数学
返回目录
3.如果一个角的余角的2倍比这个角的补角少60°,那么这个角的度数为 .
4.如图,直线AB,CD相关于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=72°,则∠BOF的度数等于 °.
60°
36
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,直线a, b, c相交于一点,求∠1+∠2+∠3的度数.
解:如图,∠2=∠4,因为∠1+∠4+∠3=180°,
所以∠1+∠2+∠3=180°.
数学
返回目录
2.已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.
解:因为∠A与∠B互余,所以∠A+∠B=90°,
又因为∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,
所以∠A=3∠B+30°,
所以3∠B+30°+∠B=90°,
解得∠B=15°.故∠B的度数为15°.
数学
返回目录
3.如图,直线AB,CD相交于点O,∠DOE=∠AOD,OF平分∠BOE,如果∠BOC=35°,那么∠EOF的度数是多少
解::因为∠AOD=∠BOC=35°,
所以∠DOE=∠AOD=35°,
所以∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=110°.
因为OF平分∠BOE,
所以∠EOF=∠BOE=×110°=55°.
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图,点D,E在BC上,∠BDF和∠AEG都是直角,且∠1=∠2,那么∠3与∠4相等吗 为什么
解:∠3=∠4.因为∠BDF,∠AEG都是直角,
所以∠BDF=∠AEG=90°.
所以∠1+∠3=180°-∠BDF=180°-90°=90°,
∠2+∠4=180°-∠AEG=180°-90°=90°.
所以∠1与∠3互为余角,∠2与∠4互为余角.
因为∠1=∠2,由“等角的余角相等”可知∠3=∠4.
数学
返回目录
2.如图,两直线AB,CD相交于点O,已知OE平分∠BOD,且∠AOC∶∠AOD=3∶7.
(1)请写出与∠AOC互补的角;
(2)求∠DOE的度数;
(3)若∠EOF=90°,求∠COF的度数.
数学
返回目录
解:(1)与AOC互补的角有∠AOD,∠BOC.
(2)由∠AOC∶∠AOD=3∶7,得∠AOC=3x,∠AOD=7x,
由补角,得∠AOC+∠AOD=180°,即3x+7x=10x=180°.解得x=18°,
∠AOC=3x=54°,由对顶角相等,得∠BOD=∠AOC=54°,
由OE平分∠BOD,得∠DOE=∠BOD=27°.
(3)由角的和差,得∠DOF=90°-∠DOE=90°-27°=63°,
由角的和差,得∠COF=180°-∠DOF=180°-63°=117°.
数学
返回目录
3.如图①∠AOB,∠COD都是直角.
(1)试猜想∠AOD和∠BOC是否存在相等、互余或互补的关系,并说明理由;
(2)当∠COD绕点O旋转到如图②所示的位置时,(1)中的猜想依然成立吗 请说明理由.
数学
返回目录
解:(1)∠AOD与∠BOC互补,理由如下:
因为∠AOB,∠COD都是直角,
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD,
∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD,
所以∠AOD+∠BOC=90°+∠BOD+90°-∠BOD=180°,
所以∠AOD与∠BOC互补.
数学
返回目录
(2)∠AOD与∠BOC互补依然成立.
理由:因为∠AOB,∠COD都是直角,
所以∠AOB+∠COD=180°,
又因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,
所以∠BOC+∠AOD=360°-(∠AOB+∠COD)=360°-180°=180°,
所以∠AOD与∠BOC互补.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 七年级数学下册(共33张PPT)
2.2 探索直线平行的条件(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 同位角
1.三线八角:两条直线被第三条直线所截,构成八个角,常称为“三线八角”,其中第三条直线称为截线,另两条直线称为被截线.
2.同位角:如图所示,在直线c的同一侧,且都在直线a,b的同一侧,这样位置的一对角就是同位角,像∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8.
数学
返回目录
典型例题
【例1】如图所示的四个图形中,∠1和∠2是同位角的是 ( )
A.②③ B.①②③ C.①②④ D.①④
数学
返回目录
解题思路:根据同位角的知识判定即可.
解析:分别把构成∠1和∠2这两个角的两边从图中分离出来,发现只有③中的∠1和∠2这两个角的两边没有公共的直线.故选C.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
1.如图,下列各角中,与∠1是同位角的是 ( )
A.∠2和∠5
B.∠3和∠6
C.∠4和∠2
D.∠5和∠6
D
数学
返回目录
2.下列图形中,∠1和∠2不是同位角的是 ( )
C
解析:选项A,B,D中,∠1与∠2在截线的同侧,并且在被截线的同一方,是同位角;选项C中,∠1与∠2不是同位角.故选C.
数学
返回目录
名师点拨:找同位角:(1)看两个角的两边有没有一条边在公共直线上;(2)看两个角是否都在公共直线的同一旁,即是否构成“F”形状.
数学
返回目录
知识点二 利用同位角判定两条直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称为: 相等,两直线 .
同位角
平行
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=80°,∠2=60°.要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是 ( )
A.10°
B.20°
C.30°
D.50°
数学
返回目录
解题思路:根据同位角相等两直线平行,求出旋转后∠2的同位角度数,然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数.
解析:如图,当∠AOC=∠2=60°时, OA∥b,所以要使木条a与b平行,
木条a旋转的最小角是∠AOB.依题意可知∠AOB= ∠1-∠AOC=80°-60°=20°.故选B.
答案:B
数学
返回目录
对应练习
3.如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1+∠2=180°,试说明: AB∥CD.
解:如图,因为∠1+∠2=180°,
∠2+∠3=180°,所以∠1=∠3,
所以AB∥CD.
数学
返回目录
名师点拨:
(1)要判断直线平行,首先就要找到图中的同位角,如果同位角相等,那么两条直线就平行.
(2)并不是只要存在同位角就一定存在平行线,只有同位角相等时,才能判断两条直线平行.
数学
返回目录
知识点三 平行的公理及推论
1.过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行.
2.平行于同一条直线的两条直线 .
一条
平行
数学
返回目录
典型例题
【例3】下列说法中正确的个数是 ( )
①不相交的两条直线是平行线;
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
③平行于同一条直线的两条直线平行;
④与同一条直线相交的两条直线必相交.
A.0 B.1 C.2 D.3
数学
返回目录
解题思路:根据平行线的定义,平行公理以及平行线与线段的区别,分析判断后利用排除法求解.
解析:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,①错误;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,②错误;易知③正确;在同一平面内,与同一条直线相交的两条直线可能相交也可能平行,④错误.故选B.
答案:B
数学
返回目录
对应练习
4.如图,P是∠AOB内任意一点,过点P画OB的平行线,那么这样的直线 ( )
A.有且只有一条
B.有两条
C.有无数条
D.不存在
A
数学
返回目录
5.若直线a∥b,b∥c,则a∥c的依据是 ( )
A.平行公理
B.等量代换
C.等式的性质
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行
D
数学
返回目录
名师点拨:过任意一点都可以作一条直线的垂线,但只有过直线外一点,才能作一条直线的平行线,必须是“过直线外一点”,因为若点在直线上,则经过这个点不能作出已知直线的平行线.
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.如图,∠B的同位角可以是( )
A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4
C
数学
返回目录
2.如图,能判定EB∥AC的条件是( )
A.∠C=∠ABE
B.∠A=∠EBD
C.∠C=ABC
D.∠C=∠EBD
D
解析:同位角相等,两直线平行.故∠C=∠EBD,能判定EB∥AC.故选D.
数学
返回目录
3.如图,下列说法正确的是( )
A.若∠1=∠3,则AB∥CD
B.若∠1=∠3,则AE∥CF
C.若∠2=∠4,则AB∥CD
D.若∠2=∠4,则AE∥CF
D
解析:∠2与∠4是AE,CF被直线AC所截得到的一组同位角,若∠2=∠4,则根据同位角相等,两直线平行可得AE∥CF.故选D.
数学
返回目录
4.如图,经过直线a外一点O的4条直线中,与直线a平行的直线有
( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
D
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,AB∥CD,过点E画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是
,理由是 .
.
EF∥CD
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
数学
返回目录
2.两条直线被第三条直线所截,有一对同位角相等,则这对同位角的角平分线的位置关系是 .
互相平行
解析:如图,因为GH平分∠EGB,
MN平分∠EMD,
所以∠1=∠EGB,∠2=∠EMD.
因为∠EGB=∠EMD,所以∠1=∠2,
所以GH∥MN.
数学
返回目录
3.如图所示,∠EFB=∠GHD=53°,∠IGA=127°,由这些条件,能找到 对平行线.
2
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°,请说明AB与DE平行的理由.
解:因为∠2+∠3=180° ( ),
∠2+∠4= ° ( ),
所以∠3=∠4 ( ),
因为∠1=∠3 (已知),
所以 ( ),
所以AB∥DE ( ).
已知
180
邻补角的意义
同角的补角相等
∠1=∠4
等量代换
同位角相等,两直线平行
数学
返回目录
2.如图,AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=∠2=15°,AE与BF平行吗 为什么
解:AE∥BF,理由如下:
因为AC⊥AE,BD⊥BF,
所以∠EAC=∠FBD=90°,
又因为∠1=∠2=15°,
所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2,所以∠EAB=∠FBG,所以AE∥BF.
数学
返回目录
3.如图所示,∠1+∠2=180°,b∥c,直线a与b平行吗
解:a∥b,理由如下:
因为∠1+∠2=180°(已知),
∠2+∠3=180°(平角定义),
所以∠1=∠3(同角的补角相等),
所以a∥c(同位角相等,两直线平行),
又因为b∥c(已知)
所以a∥b(平行于同一条直线的两条直线平行).
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图,直线EF分别交CD,AB于点M,N,且∠EMC=65°,∠MNB=115°,AB与CD平行吗
解:AB∥CD,理由:因为∠EMC=65°,
所以∠EMD=180°-∠EMC=180°-65°=115°,
因为∠MNB=115°=∠EMD,所以AB∥CD.
数学
返回目录
2.如图,∠ABC=∠DEC,BP平分∠ABC,EF平分∠DEC,试着找出图中的各组平行线,并说明理由.
解:平行线:AB∥ED,BP∥EF.
理由:因为∠ABC=∠DEC,
所以AB∥ED (同位角相等,两直线平行).
因为BP平分∠ABC,EF平分∠DEC,
所以∠CBP=∠ABC,∠CEF=∠DEC.
因为∠ABC=∠DEC,所以∠CBP=∠CEF,
所以BP∥EF (同位角相等,两直线平行).
数学
返回目录
3.如图,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,则EC与DF平行吗 为什么
解:EC∥DF,理由:
因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
所以∠DBF=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
因为∠ABC=∠ACB,所以∠DBF=∠ECB,
又因为∠DBF=∠F,所以∠ECB=∠F,所以EC∥DF.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 七年级数学下册(共35张PPT)
2.1 两条直线的位置关系(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 垂线的定义
垂线的定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相 ,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做 .
垂直
垂足
数学
返回目录
典型例题
【例1】如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,若∠COA=30°,则∠EOD的大小是 .
数学
返回目录
解题思路:求∠EOD,需求∠EOC.由EO⊥AB,得∠AOE=90°,
进而求得∠EOC=60°.
解析:因为EO⊥AB,所以∠AOE=90°.
所以∠EOC=∠AOE-∠AOC=90°-∠AOC=90°-30°=60°.
所以∠EOD=180°-∠EOC=180°-60°=120°.
答案:120°
数学
返回目录
对应练习
1.如图,直线AB,CD相交于点O,过O作EO⊥CD,若∠EOA=50°,求∠BOD的度数.
解:因为EO⊥CD,所以∠EOD=90°.
所以∠BOD=180°-∠EOA-∠EOD=180°-50°-90°=40°.
数学
返回目录
名师点拨:
(1)由垂直可得90°角,反之由90°角也可以得到垂直.
(2)垂直和垂线是相互的,不是单独存在的.
数学
返回目录
知识点二 垂线的性质
1.在同一平面内,过一点有且只有 直线与已知直线垂直.
如图所示,点P分别为直线l外和直线l上一点,过点P有且只有一条直线m⊥l.
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.如图所示,PO⊥l,垂足为O,则PO叫做点P到直线l的垂线段.
一条
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,要把小河里的水引到田地A处,则作AB⊥l,垂足为点B,沿AB挖水沟,水沟最短,理由是 ( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.过一点可以作无数条直线
数学
返回目录
解题思路:利用垂线段的知识解答即可.
解析:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
2.如图,在线段PA,PB,PC,PD中,长度最小的是 ( )
A.线段PA
B.线段PB
C.线段PC
D.线段PD
B
数学
返回目录
名师点拨:
(1)直线外一点到这条直线的垂线段只有一条.
(2)点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度.
数学
返回目录
知识点三 垂线的画法
根据垂直的定义知,画垂线也就是作直角,因为直角的两条边所在的直线是垂直的,所以垂线的画法通常有两种:
(1)利用三角尺的两条直角边或刻度线与所在边的垂直关系画,它的基本步骤是一靠、二过、三画,即靠已知直线,过已知点(通常又叫做定点),沿三角尺的一边或刻度尺的边缘画线;
(2)利用量角器画,主要是画一个90°的角来得到垂线.
数学
返回目录
典型例题
【例3】如图,过点P画AB的垂线.
解题思路:按第一种画法,用三角尺的两条直角边或刻度线与所在边的垂直关系画.
解:如图所示.
数学
返回目录
对应练习
3.如图,直线l1, l2相交于点O,A,B分别是l1,l2上的点.用三角尺或量角器画图.
(1)经过点A画直线l2的垂线;
(2)经过点B画直线l1的垂线;
(3)经过点O分别画直线l1和l2的垂线.
数学
返回目录
名师点拨:
(1)让三角尺的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线.
(2)过一点画一条线段的垂线,垂足可能在线段上,也可能在线段的延长线上.
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.如图所示,直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是( )
A.若∠AOC=90°,则AB⊥CD
B.若AB⊥CD,垂足为O,则∠BOD=90°
C.当∠COB=90°时,称AB与CD互相垂直
D.AB与CD相交于点O,点O为垂足
D
数学
返回目录
解析:根据垂直定义的双重性可知,A,B,C项正确.当AB与CD相交于点O时,点O是交点;当AB⊥CD,AB与CD相交于点O时,点O叫做垂足,所以选项D说法错误.故选D.
数学
返回目录
2.如图,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB,则∠1与∠2一定满足的关系是( )
A.对顶角
B.相等
C.互补
D.互余
D
数学
返回目录
解析:因为OE⊥AB,所以∠EOA=90°,所以∠1+∠AOC=90°,
因为∠2=∠AOC,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互为余角.故选D.
数学
返回目录
3.经过平面内一点P,画∠AOB两边垂线段的画法正确的是
( )
B
数学
返回目录
4.如图,AB⊥CD于点B,BE是∠ABD的平分线,延长EB到F,则∠ABF的度数为( )
A.125°
B.130°
C.135°
D.150°
C
数学
返回目录
5.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,过点O作OF⊥OE,若∠AOC=42°,则∠BOF的度数为( )
A.48°
B.52°
C.64°
D.69°
D
数学
返回目录
解析:因为∠AOC=42°,所以∠BOD=42°,因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠BOD=21°,因为OF⊥OE,所以∠FOE=90°,
所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=69°.故选D.
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,想在河的两岸搭建一座桥,沿线段 搭建最短,理由是 .
PM
垂线段最短
数学
返回目录
2.如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列结论中,正确的为
(填序号).
①AB⊥AC;②AD与AC互相垂直;③点C到AB的垂线段是线段AB;④点A到BC的距离是线段AD的长度;⑤线段AB的长度是点B到AC的距离.
①④⑤
数学
返回目录
3.将两个直角三角尺的直角顶点重合,按右图所示放置,若∠AOD=110°,则∠BOC= .
70°
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,过点A画BC的垂线,过点C画AB的垂线.
解:如图所示:
数学
返回目录
2.如图,AO⊥CO于点O,BO⊥DO于点O,∠AOB=50°,试求∠AOD的度数.
解:因为AO⊥CO,BO⊥DO,
所以∠BOD=∠AOC=90°,因为∠AOB=50°,
所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=40°,
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=50°,
所以∠AOD=∠COD+∠AOC=50°+90°=140°.
数学
返回目录
1.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别是A,D,则图中能表示点到直线的距离的线段共有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
D
◆ 能力提升◆
数学
返回目录
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,判断ON与CD的位置关系,并说明理由;
(2)若∠1=∠BOC,求∠MOD的度数.
数学
返回目录
解:(1)ON⊥CD,理由如下:
因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°,
因为∠1+∠AOC=90°,又因为∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90°,即∠CON=90°,所以ON⊥CD.
(2)因为OM⊥AB,∠1=∠BOC,所以∠BOM=∠BOC=90°,
所以∠BOC=120°,所以∠1=×120°=30°,
又因为∠1+∠MOD=180°,所以∠MOD=180°-∠1=150°.
数学
返回目录
3.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.
(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大 在图上标出来;
(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大 哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大
数学
返回目录
解:(1)如图,作MC⊥AB于点C,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.
(2)由点A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 七年级数学下册(共34张PPT)
2.3 平行线的性质(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 平行线的性质
平行线的三个性质:
1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,简称为:
两直线 ,同位角 .
2.两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,简称为:
两直线 ,内错角 .
3.两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,简称为:
两直线 ,同旁内角 .
平行
相等
平行
相等
平行
互补
数学
返回目录
【拓展延伸】
①由平行线的性质可以推出同位角、内错角、同旁内角的关系,所以题目中如果给出两直线平行时,一定要结合图形认清角的类型,得出所要求的角的关系.
②两直线平行的条件是由角的“数量关系”推得直线的“位置关系”,而平行线的性质则是由直线的“位置关系”推得角的“数量关系”.口诀:“已知平行用性质,要得平行用条件”.
数学
返回目录
典型例题
【例1】如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°,那么你能说出∠2,∠3,∠4的度数吗 为什么
解题思路:结合平行线的性质可得∠1与∠2互补,∠1与∠4相等,∠2与∠3相等.
数学
返回目录
解:因为DE∥BC(已知),
所以∠4=∠1=65°(两直线平行,内错角相等),
∠2+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补),
所以∠2=180°-∠1=180°-65°=115°.
因为DF∥AB(已知),
所以∠3=∠2=115°(两直线平行,同位角相等).
数学
返回目录
对应练习
1.已知:如图,AD是∠BAC的平分线,点E在BC上,点F在CA的延长线上,EF∥AD,EF交AB于点G.则∠AGF与∠F有怎样的关系 请你根据已知条件补充推理过程,并在相应括号内注明理由.
数学
返回目录
解:∠AGF=∠F.理由如下:
因为 (已知),
所以∠BAD=∠CAD ( ).
因为EF∥AD(已知),
所以∠ =∠BAD ( ),
∠ =∠CAD ( ).
所以∠AGF=∠F ( )
AD是∠BAC的平分线
角平分线的定义
AGF
两直线平行,内错角相等
F
两直线平行,同位角相等
等量代换
数学
返回目录
名师点拨:
(1)运用平行线性质计算角的度数,要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角,才能进行计算,即“F”形,“Z”形,“U”形;
(2)要在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论,这是平行线特有的性质.
数学
返回目录
知识点二 平行线性质的应用
典型例题
【例2】如图,已知AD∥BC,∠B=30°,DB平分∠ADE,则∠DEC等于 ( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
数学
返回目录
解题思路:根据平行线的性质:两条直线平行,内错角相等及角平分线的性质,三角形内角和定理解答.
解析:因为AD∥BC,所以∠ADB=∠B=30°,再根据角平分线的概念,得∠BDE=∠ADB=30°,再根据两条直线平行,内错角相等得∠DEC=∠ADE=60°.故选B.
答案:B
数学
返回目录
对应练习
2.如图,a∥b,∠1=35°,则∠2的度数为 ( )
A.95°
B.135°
C.145°
D.125°
C
数学
返回目录
3.如图,l1∥l2,且分别与直线l交于C,D两点,把一块含30°角的三角尺按如图所示摆放,若∠1=53°,则∠2= . ( )
A.87°
B.97°
C.127°
D.60°
B
数学
返回目录
名师点拨:利用平行线的性质求角的度数时,一定是以两直线平行为前提,不具备两直线平行的前提,切不可滥用平行线的性质.
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.如图,将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上,若∠α=45°,则∠β等于( )
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
C
数学
返回目录
2.如图,已知∠AEF=∠EGH,AB∥CD,则下列判断中不正确的是
( )
A.∠BEF=∠EGH
B.∠AEF=∠EFD
C.AB∥GH
D.GH∥CD
A
数学
返回目录
解析:因为∠AEF=∠EGH,所以AB∥GH.因为AB∥CD,
所以AB∥GH∥CD,故C,D项正确;所以∠AEF=∠EFD, ∠BEF+∠EGH=180°,故B项正确,A项错误.故选A.
数学
返回目录
3.如图,直线a∥b,直线AB⊥AC,若∠1=50°,则∠4等于( )
A.50°
B.45°
C.40°
D.30°
C
数学
返回目录
4.如图,已知BE平分∠ABC,且BE∥DC,若∠ABC=50°,则∠C的度数是( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.50°
B
数学
返回目录
解析:因为BE平分∠ABC,∠ABC=50°,
所以∠ABE=∠EBC=25°.
因为BE∥DC,所以∠EBC=∠C=25°.
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,在四边形ABCD中,
AD∥BC,∠D=120°,
则∠C= .
60°
数学
返回目录
2.已知a∥b,将一块含30°角的三角尺ABC按如图所示的方式放置(∠BAC=30°),并且顶点A,C分别落在直线a,b上,若∠1=15°,则∠2= .
45°
数学
返回目录
3.将一副三角板如图所示摆放,当BC∥DE且点F落在AB边上时,则∠EFB的度数为 .
解析:延长DF,与BC交于点G,
因为BC∥DE,所以∠D=∠CGD=45°,因为∠B=30°,
所以∠BFG=45°-30°=15°,
所以∠EFB=90°-15°=75°.
75°
数学
返回目录
4.如图,直线l1∥l2,∠1=30°,∠3=35°,则∠2= .
65°
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,
∠5=∠6.试说明ED∥FB.
在下面的括号中填上推理依据.
解:因为∠3=∠4(已知),
所以CF∥BD ( ).
所以∠5+∠CAB=180° ( ),
内错角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
数学
返回目录
因为∠5=∠6(已知),
所以∠6+∠CAB=180°(等量代换),
所以AB∥CD ( ).
所以∠2=∠EGA ( ).
因为∠1=∠2 (已知),
所以∠1=∠EGA (等量代换).
所以ED∥FB ( ).
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,同位角相等
同位角相等,两直线平行
数学
返回目录
2.如图,B岛在A岛的南偏西40°方向,C岛在A岛的南偏东15°方向,C岛在B岛的北偏东80°方向,求从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度数.
解:由题意得BE∥AD,∠BAD=40°,
∠CAD=15°,∠EBC=80°,
所以∠EBA=∠BAD=40°,
所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+15°=55°,
所以∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°,
所以∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°.
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图,一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后,反射光线CD与AB平行,此时,∠ABM=∠OBC,∠BCO=∠DCN,当∠ABM=40°时,求∠DCN的度数.
数学
返回目录
解:因为∠ABM=∠OBC=40°,
所以∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-40°-40°=100°,
又因为AB∥CD,所以∠BCD=180°-∠ABC=80°,
因为∠BCO+∠DCN+∠BCD=180°,
所以∠BCO+∠DCN=180°-80°=100°,
又因为∠BCO=∠DCN,
所以∠DCN=×100°=50°.
数学
返回目录
2.有一条长方形纸带,按如图所示的方式折叠时,∠α的度数为
.
75°
数学
返回目录
3.阅读下列解题过程,然后解答后面的问题.
如图①,已知AB∥CD,∠B=35°,∠D=32°,求∠BED的度数.
解:如图①,过点E作EF∥AB.
则AB∥CD∥EF(平行公理的推论).
因为AB∥EF,所以∠1=∠B=35°.
因为CD∥EF,所以∠2=∠D=32°.
所以∠BED=∠1+∠2=35°+32°=67°.
数学
返回目录
如图②③,是明明设计的智力拼图玩具的一部分,现在明明遇到两个问题,请你帮他解决.
(1)如图②,已知∠D=30°,∠ACD=65°,为了保证AB∥DE,∠A应为多大
(2)如图③,要使GP∥HQ,则∠G,∠GFH,∠H之间有什么关系
数学
返回目录
解:(1)如图(a),过点C作CM∥DE,则∠2=∠D=30°.
因为∠ACD=65°,即∠1+∠2=65°,
所以∠1=65°-∠2=65°-30°=35°,
因为AB∥DE,CM∥DE,所以AB∥CM,
所以∠A=∠1=35°.
(2)如图(b),过点F作FI∥GP,则∠G+∠1=180°.
因为GP∥HQ,FI∥GP,所以HQ∥FI,
所以∠2+∠H=180°,所以∠G+∠1+∠2+∠H=360°,
即∠G+∠GFH+∠H=360°.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 七年级数学下册(共33张PPT)
2.2 探索直线平行的条件(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 内错角与同旁内角的判定
1.内错角:如图所示,在直线c的两侧,且都在直线a,b之间,
这样位置的一对角就是 ,像∠3与∠6,∠4与∠5.
2.同旁内角:如图所示,在直线c的同一侧,且都在直线a,b之间,这样位置的一对角就是 ,像∠3与∠5,∠4与∠6.
内错角
同旁内角
数学
返回目录
【拓展延伸】 “Z”“U”形判定法.
名称 同位角 内错角 同旁内角
截线 在截线的同一侧 在截线的两侧 在截线的同一侧
被截线 在被截线的同一旁 在两被截线之间 在两被截线之间
构成图形
数学
返回目录
典型例题
【例1】如图,下面结论正确的是 ( )
A.∠1和∠2是同位角
B.∠2和∠3是内错角
C.∠3和∠4是同旁内角
D.∠1和∠4是内错角
数学
返回目录
解题思路:根据同位角、内错角、同旁内角的概念.在截线的同旁找同位角和同旁内角,在截线的两旁找内错角.
解析:A项,∠1和∠2是邻补角,原说法错误,故A项不符合题意;
B项,∠2和∠3的邻补角是内错角,原说法错误,故B项不符合题意;C项,∠3和∠4是对顶角,原说法错误,故C项不符合题意;D项,∠1和∠4是内错角,原说法正确,故D项符合题意.故选D.
答案:D
数学
返回目录
对应练习
1.如图,与∠1是同旁内角的是 ( )
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
A
数学
返回目录
2.如图,下列说法正确的是 ( )
A.∠2与∠4是同位角
B.∠2与∠A是内错角
C.∠1与∠A是内错角
D.∠3与∠1是同旁内角
B
数学
返回目录
名师点拨:在复杂图形中分析内错角、同旁内角时,应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形,灵活运用“Z” “U”形来辨识.
数学
返回目录
知识点二 利用内错角判定两条直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称为:内错角 ,两直线 .
相等
平行
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,已知∠1=∠2,那么在下列结论中,正确的是( )
解题思路:内错角相等,两直线平行.
解析:因为∠1=∠2,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故选C.
答案:C
A.∠C=∠A B.∠3=∠4
C.AB∥CD D.AD∥BC
数学
返回目录
对应练习
3.小明把一副三角尺摆放在桌面上,如图所示,其中边BC,DF在同一条直线上,可以得到 ∥ ,依据是 .
.
AC
DE
内错角相等,两直线平行
数学
返回目录
名师点拨:判断两直线平行时,内错角和同位角都是相等的.
数学
返回目录
知识点三 利用同旁内角判定两条直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称为:同旁内角 ,两直线 .
互补
平行
数学
返回目录
典型例题
【例3】如图,工人师傅在工程施工中,需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD,若使其拐角∠ABC=135°,∠BCD=45°,则( )
A.AB∥BC
B.BC∥CD
C.AB∥CD
D.AB与CD相交
数学
返回目录
解题思路:根据同旁内角互补,两直线平行即可求解.
解析:由∠ABC=135°,∠BCD=45°,得∠ABC+∠BCD=180°,
所以AB∥CD.故选C.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
4.如图:直线AB,CD都和AE相交,且∠1+∠A=180°.
试说明:AB∥CD.
解:因为∠1+∠A=180°( ),
∠1=∠2( ),
所以∠2+∠A=180°( ).
所以AB∥CD ( ).
已知
对顶角相等
等量代换
同旁内角互补,两直线平行
数学
返回目录
名师点拨:
(1)判断两条直线平行时,同旁内角是互补的.
(2)判定两直线平行的方法有:①定义;②两直线平行的3种条件;③平行于同一条直线的两条直线平行.注意根据已知条件灵活选择不同的判定方法.
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.已知∠1和∠2是内错角,∠1=50°,则∠2等于( )
A.150° B.130° C.40° D.无法确定
D
数学
返回目录
2.如图所示,∠α的同旁内角有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
解析:如图所示,∠1,∠2,∠3,∠4均是∠α的同旁内角.故选C.
数学
返回目录
3.如图所示,下列条件中,可以判定直线a∥b的是( )
A.∠1=∠2
B.∠2=∠3
C.∠4=∠5
D.∠1+∠4=180°
C
数学
返回目录
4.如图,直线a,b被第三条直线c所截,下列条件不能判断a∥b的是( )
A.∠2+∠4=180°
B.∠3+∠1=180°
C.∠2+∠3=180°
D.∠2=79°,∠3=101°
A
数学
返回目录
5.如图,下面推理中错误的是( )
A.因为∠DAE=∠B,所以AD∥BC
B.因为∠DAE=∠D,所以AB∥CD
C.因为∠B+∠C=180°,所以AB∥CD
D.因为∠D+∠B=180°,所以AD∥BC
D
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,∠B=70°,需要添加条件 ,就可得AB∥DE.
∠BCE=70°
数学
返回目录
2.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,连接DE,CD,DF,则下列条件中,不能判定AC∥DF 的有 .
①∠1=∠3;②∠2=∠4;③∠ACB=∠5;④∠ADE=∠B;
⑤∠ACB+∠CED=180°
②④⑤
数学
返回目录
3.如图,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗 为什么
解:a与c平行.
理由:因为∠1=∠2 ( ),
所以a∥b ( ).
因为∠3+∠4=180° ( ),
所以b∥c ( ).
所以a∥c ( ).
已知
内错角相等,两直线平行
已知
同旁内角互补,两直线平行
平行于同一直线的两直线平行
数学
返回目录
三、解答题
1.已知:如图,点A,B,E在同一直线上,AD平分∠CAE,∠C=∠2,试说明:AD∥BC.
解:因为AD平分∠CAE,
所以∠1=∠2 ( ),
又因为∠C=∠2 (已知),
所以∠1= ( ),
所以AD∥BC ( ).
角平分线定义
∠C
等量代换
内错角相等,两直线平行
数学
返回目录
2.如图,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线, ∠1=∠2,试说明DC∥AB.
解:因为BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,
所以∠3=∠ADC,∠2=∠ABC.
因为∠ABC=∠ADC,所以∠3=∠2.
因为∠1=∠2,
所以∠1=∠3,所以DC∥AB.
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图,直线a∥b,∠1=60°,∠2=120°,a与c平行吗
解:a∥c,理由如下:
因为a∥b,所以∠4=∠2=120°,
因为∠3+∠4=180°,
所以∠3=180°-∠4=60°,
因为∠1=60°,所以∠1=∠3,所以a∥b.
数学
返回目录
2.如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2=90°,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
解:AB∥CD.理由:
因为BE,DE分别是∠ABD,∠BDC
的平分线,所以∠1=∠ABD,∠2=∠BDC,
因为∠1+∠2=90°,
所以∠ABD+∠BDC=2(∠1+∠2)=180°,
所以AB∥CD (同旁内角互补,两直线平行).
数学
返回目录
3.一副直角三角尺叠放如图(1)所示,现将含45°角的三角尺ADE固定不动,将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动,使两块三角尺至少有一组边互相平行,如图(2),此时BC∥DE, ∠BAD=15°.求旋转角∠BAD(0°<∠BAD<180°)符合条件的其他所有可能度数.
数学
返回目录
解:如图①,当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°;
如图②,当BC∥AD时,∠BAD=∠B=60°;
如图③,当BC∥AE时,因为∠EAB=∠B=60°,
所以∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°;
如图④,当AB∥DE时,因为∠E=∠EAB=90°,
所以∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90=135°.
综上,∠BAD其他可能的度数为45°, 60°, 105°, 135°.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 七年级数学下册
