(共33张PPT)
3.3 用图象表示的变量间关系(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 用曲线型图象表示两个变量间的关系
图象法:用图象表示两个变量之间关系的方法叫做
.由图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示 ,用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示 .
图象法
自变量
因变量
数学
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典型例题
【例1】在一次足球比赛中,守门员用脚踢出去的球的高度h随时间t的变化而变化,可以近似地表示这一过程的图象是
( )
数学
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解题思路:足球受力后会升高,并向前运动,当足球升高到一定高度后开始逐渐下落,运动轨迹正好是一条抛物线.
解析:球在飞行过程中,受重力的影响,不会一直保持同一高度,总是先上后下,不会一开始就往下,也不会一味地上升,所以A、B、D项错误;踢出去的球高度首先慢慢升高,到达最高点时再慢慢下降,图象符合足球的运动轨迹.C项正确;故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.下列各情境,分别描述了两个变量之间的关系:
(1)一杯越来越凉的开水(水温与时间的关系);
(2)一面冉冉升起的旗子(高度与时间的关系);
(3)匀速行驶的汽车(速度与时间的关系).
依次用图象近似刻画以上变量之间的关系,排序正确的是( )
A.②③① B.①②③ C.②①③ D.③①②
A
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解析:一杯越来越凉的水,水温随着时间的增加而越来越低,故②图象符合要求;一面冉冉上升的旗子,高度随着时间的增加而越来越高,故③图象符合要求;匀速行驶的汽车,速度始终不变,故①图象符合要求;正确的顺序是②③①.故选A.
数学
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名师点拨:解此类题的关键是能够将实际问题与图象有机结合起来,曲线的倾斜程度决定了增长(降低)的幅度.注意先快后慢表现出的图象图形为先陡后缓,先慢后快表现出的图象图形则是先缓后陡.
数学
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知识点二 从曲线型图象中获取信息
解答图象信息题,需要灵活运用数形结合的思想,从横轴、纵轴及图象上的特殊点所表示的实际意义,图象的变化趋势或倾斜程度等方面,对图象进行细致的观察和分析,捕捉有用信息,然后运用有关知识解决问题.
数学
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典型例题
【例2】正常人的体温一般在36~37 ℃,但在一天中的不同时刻不尽相同.如图反映的是某一天内小明的体温T随时间t的变化情况,下列说法错误的是 ( )
A.凌晨5时体温最低
B.下午5时体温最高
C.这一天中小明体温T(单位:℃)变化的范围是36.2≤T≤37.2
D.从5时至24时,小明的体温一直是上升的
数学
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解题思路:利用数形结合的方法,分析折线统计图即可解答.
解析:由题中图象知,小明的体温在0时到5时下降,5时到17时上升,17时到24时下降,因此D错误.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
2.如图,是某地某年月平均气温随时间变化的图象.请回答下列问题:
数学
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(1)四月份平均气温是 ℃,十月份平均气温是 ℃;
(2)这一年中,月平均气温最高的是 月,温度大约是
℃;
15
20
八
33
(3)月平均最高气温与最低气温大约相差 ℃;
(4)月平均最高气温为10 ℃的月份是 月,它可能是 季;
(5)上述变化中,自变量是 ,因变量是 .
30
三月和十一
春和冬
时间
温度
数学
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名师点拨:当已知变量关系图象上的点时,必须找到其在横轴和纵轴上的对应位置才能准确反映其实际意义,即利用网格查找或过该点分别作横轴、纵轴的垂线,其垂足所对应的值是自变量和因变量的一个对应值.
数学
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一、选择题
1.2020年的新冠病毒疫情,武汉从高风险的红色,到中风险的黄色,再到低风险的绿色;从全国疫情“风暴眼”到院士、专家眼中的“目前全国最安全城市”,背后是英雄的武汉和武汉人民历经千辛万苦的英勇奋斗、咬牙坚守.若用横轴表示时间,纵轴表示人数,下面图象能够大致反应武汉在疫情期间确诊人数的是
( )
C
数学
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解析:AB项,图象显示确诊人数持续增加,不符合题意;C项,图象显示确诊人数先持续增加,然后增长速度放缓,最后持续下降至0,符合武汉疫情情况;D项,图象显示确诊人数先线性增长至最高点然后线性下降至0,不符合实际确诊人数增长方式.故选C.
数学
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2.小聪和小智兄弟俩骑自行车到离家2 000米的世博园游览,他们的骑车速度v(单位:米/秒)与行驶路程s(单位:米)的关系如图所示,下列说法错误的是( )
A.前1 000米小智一直骑行在小聪的前面
B.最后100米小智的速度比小聪快
C.第1 000米至第1 900米阶段小聪
的用时比小智短
D.第1 000米至第1 900米阶段小聪
一直骑行在小智的前面
D
数学
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3.在课外实验活动中,一位同学以固定的速度向某一容器中注水,若水深h(cm)与时间t(s)之间的关系的图象大致如图所示,则这个容器是下列图中的( )
D
数学
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解析:根据图象可知,水深h(cm)与时间t(s)之间的关系是水深h(cm)随着时间t(s)的增大而增加的速度逐渐减慢,可以得出开始容器由小逐渐变大,即开口越来越大,从图形容器可以看出D项符合.故选D.
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4.甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示,则下列说法中,错误的是( )
A.甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B.当温度升高至t2 ℃时,甲的溶解度比乙的溶解度大
C.当温度为0 ℃时,甲、乙的溶解度都小于20 g
D.当温度为30 ℃时,甲、乙的溶解度相等
D
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二、填空题
1.如图是北京春季某一天的气温随时间变化的图象,仔细观察图象并回答:
(1)这一天6 时的气温是 ,14时的气温是 ;
(2)这一天的最高气温是 ,最低气温是 ,温度差是 .
0 ℃
9 ℃
10 ℃
-2 ℃
12 ℃
数学
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2.小红帮弟弟荡秋千,秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图所示,则秋千摆动第一个来回需 s.
2.8
数学
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3.一天之中,海水的水深是不同的,如图是某港口从0时到12时的水深情况,结合图象回答下列问题.
(1)大约在 时港口的水最深,深度约是 米;
(2)图中A点表示的是 ;
(3)在 内,水深在增加.
3
7
6时海水的深度
0~3时,9~12时
数学
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三、解答题
1.如图所示,记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况,请你仔细观察图象回答下面的问题:
(1)0 时的温度是 ℃,温度是0 ℃时的时刻是 时,最暖和的时刻是 时,温度在-3 ℃以下的持续时间为 时;
-3
12和18
14
8
数学
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(2)从图象中还能获取哪些信息 (写出1~2条即可).
解:从图象中还能获取:从4时到14时,温度逐渐升高;最低气温约为-4.5 ℃;最高气温是2 ℃;温度在 0 ℃以上的时刻是在12时到18时等信息.
数学
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2.王亮到游乐园乘坐摩天轮后,将他在摩天轮上离地面的距离h(m)随时间t(min)的变化情况绘制成如图所示的图象.
(1)在这一问题中,研究的对象有几个 分别是什么
(2)从图象可知,摩天轮多长时间旋转一周 最高点离地面的距离是多少 最低点离地面的距离是多少
数学
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解:(1)研究的对象有两个,分别是时间t和王亮在摩天轮上离地面的距离h.
(2)从题中图象可知,摩天轮6 min旋转一周,最高点离地面的距离是45 m,最低点离地面的距离是3 m.
数学
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1.从某容器口以均匀的速度注入酒精,若液面高度h随时间t的变化情况如图所示,则对应容器的形状为( )
C
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解析:根据图象可知,容器大致为:容器底部比较粗,然后逐渐变细,然后又逐渐变粗,最后又变得细小,并且最后非常细,推断可能是C容器.故选C.
数学
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2.某日某港口内的水深随时间变化而变化的情况如图所示.一艘货轮于上午7时在该港的码头开始卸货,计划当天卸完货后离港,已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离),该港口规定,为保证航行安全,只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m时,船才能进出该港.根据题目所给条件,回答下列问题.
数学
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(1)要使该货轮能在当天卸完货并安全出港,出港时的水深不能少于多少米 卸货最多只能用多少时
(2)已知该货轮装有1 200 t货,先由甲装卸队单独卸货,每时卸货180 t,工作了一段时间后,交给乙装卸队,乙队每时卸货120 t,如果要保证该货轮能在当天卸完货并安全出港,则甲队至少应工作几时才能交给乙队
数学
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解:(1)2.5+3.5=6(m).由图象知,到15时,港内水深恰好为6 m.
15-7=8(时).
答:该船出港时港内水深不能少于6 m,卸货最多只能用8时.
(2)设甲队应工作x时交给乙队,则乙队可工作(8-x)时,
由题意得180x+(8-x)·120=1 200,解这个方程,得x=4.
答:甲装卸队至少应工作4时才能交给乙队.
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北师大版 七年级数学下册(共38张PPT)
3.3 用图象表示的变量间关系(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 用折线型图象表示两个变量间的关系
典型例题
【例1】小张的爷爷每天坚持体育锻炼,星期天爷爷从家里跑步到公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路慢步走到家,下面能反映当天爷爷离家的距离y(m)与时间t(min)之间关系的大致图象是 ( )
数学
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解题思路:生活中比较运动快慢通常有两种方法,即比较相同时间内通过的路程多少或通过相同路程所用时间的多少,但统一的方法是直接比较速度的大小.
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解析:根据题中信息可知,相同的路程,跑步比漫步的速度快;在一定时间内没有移动距离,则速度为零.故小张的爷爷跑步到公园的速度最快,即单位时间内通过的路程最大,打太极的过程中没有移动距离,因此通过的路程为零,还要注意出去和回来时的方向不同,故B项符合要求.
答案:B
数学
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对应练习
1.请找出符合以下情景的图象:小颖将一个球竖直向上抛起,球升到最高点后垂直下落,直到地面,在此过程中,球的速度与时间的关系的图象是 ( )
D
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解析:因为是小颖将一个球竖直向上抛,球的速度逐渐变小,球升到最高点时速度为0,球从最高点开始下落,球的速度逐渐变大,故选项D符合题意.故选D.
数学
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2.下面四幅图象表示某汽车在行驶过程中,速度与时间之间的关系在不同状况下的表现.请把图象的序号填在相应语句后的横线上.
数学
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(1)汽车启动速度越来越快 ;
(2)汽车在行驶过程中遇到一坑地速度逐步降下来,越过坑地起速度加大 ;
(3)行驶过程中速度保持不变 ;
(4)汽车到达目的地,速度逐步减小最后停下来 .
B
D
C
A
数学
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名师点拨:
(1)图象中上升线表示数值随自变量的增大而增大,下降线表示数值随自变量的增大而减小,水平线表示数值不随自变量的变化而变化.
(2)直线的倾斜程度表示数值随自变量的变化大小,倾斜程度大表示数值随自变量的变化迅速,反之,倾斜程度小表示数值随自变量的变化迅速缓慢.
数学
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知识点二 从折线型图象中获取信息
根据图象读取信息时要把握三个方面:
1.横轴和纵轴的意义.
2.对于某个具体点,可向横、纵轴作垂线,从而求得具体的值.
3.在实际问题中,要注意图象与横、纵轴的交点代表的实际意义.
数学
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典型例题
【例2】小明从家里跑步去体育场,在那里锻炼了一会儿后,又走到文具店去买笔,然后走回家,如图是小明离家的距离与时间的关系图象.根据图象回答下列问题:
数学
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(1)体育场离小明家 千米;
(2)小明在文具店逗留了 分.
(3)求小明从文具店到家的速度(千米/时)是多少
数学
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解题思路:
(1)纵轴表示离家的距离,图象中2.5 km时就不再增加了;
(2)文具店中是在回来途中,45~65分,路程没有变化;
(3)速度=路程÷时间,路程是1.5 km,时间的单位要转化为时,时间为35分.
数学
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解:(1)由图象可知,体育场离小明家2.5千米.
故答案为:2.5
(2)由图象可知,小明在文具店逗留了:
65-45=20(分).故答案为:20
(3)1.5÷=(km/h)
答:小明从文具店到家的速度为千米/时.
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对应练习
3.新冠肺炎抗疫期间,某市公交司机李师傅承担了人民医院医生和护士的接送工作,某天,李师傅驾驶公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,汽车到达一个接送点,医生护士们上车后,汽车开始加速后又匀速行驶,下列图象可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是 ( )
A.
B.
C.
D.
C
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名师点拨:根据图象读取信息时,要把握以下三个方面:
(1)横、纵轴的意义,以及横、纵轴分别表示的量;
(2)关于图象上的某个点,可以向横、纵轴作垂线来求得该点的值;
(3)在实际问题中,要注意图象与横、纵轴交点的值代表的实际意义.
数学
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一、选择题
1.某人驾车匀速从甲地前往乙地,中途停车休息了一段时间,出发时油箱中有40升油,到乙地后发现油箱中还剩4升油,则油箱中所剩油y(升)与时间t(时)之间的关系的图象大致是( )
C
数学
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2.小亮每天从家去学校上学行走的路程为900 m,某天他从家去上学时以30 m/min的速度行走了450 m,为了不迟到,他加快了速度,以45 m/min的速度行走完剩下的路程,那么小亮行走的路程s(m)与他行走的时间t(min)之间的关系用图象表示正确的是
( )
D
数学
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解析:小亮上学时以30 m/min的速度走450 m需15 min,以45 m/min的速度走450 m需10 min,整个过程先慢后快,共走900 m.故选D.
数学
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3.某天小明骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误一段时间后继续骑行,按时赶到了学校.如图描述了他上学情景,下列说法中错误的是( )
A.用了5分钟来修车
B.自行车发生故障时离家距离
为1 000米
C.学校离家的距离为2 000米
D.到达学校时骑行时间为20分
D
数学
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4.一个有进水管和出水管的容器,从某时刻开始4 min 内只进水不出水,在随后的8 min内既进水又出水,每分的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示,则每分的出水量为( )
A.5 L
B.3.75 L
C.2.5 L
D.1.25 L
B
数学
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解析:每分的进水量为20÷4=5(L),每分的出水量为5-(30-20)÷(12-4)=3.75(L).故选B.
数学
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二、填空题
1.匀速行驶的一辆汽车通过一座桥,车在桥上的长度y(m)与汽车行驶时间x(s)之间的关系可用如图所示的图象描述,则该桥的长度等于 m.
900
数学
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2.小明早上步行去车站,然后坐车去学校.如图象中,能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是 .(填序号)
④
数学
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3.用一水管向某容器内持续注水,设单位时间注入的水量保持不变;在注水过程中,表示容器内水深h与注水时间t的关系有如图所示的A,B,C,D四个图象,它们分别与E, F, G, H四种容器中的其中一种相对应,请你把相对应容器的字母填在下面的横线上.
A—
B—
C—
D—
G
E
H
F
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解析:A项,由图象可知,当向容器中注水时,水面先急剧升高,再缓慢升高,所以对应的容器应是底部较窄,缓慢变宽,故应对应G;B项,由图象可知,当向容器中注水时,一开始一段容器应较宽,且是直面,后一段较窄,也是直面,故应对应E;C项,图象先缓慢上升,再急剧上升,故应对应H;D项,由图象可知,当向容器中注水时,水的高度应先上升较快,再比较缓慢,最后急剧上升,故应对应F.
数学
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三、解答题
小明从家骑自行车上学,当他骑了一段路时,想起要买笔,于是折回刚经过的文具店,买到笔后,继续去学校,如图是他上学所用时间t(分)与离开家的距离y(米)的图象.
(1)小明家到学校的距离是 米;
(2)小明在文具店停留了 分;
1 500
4
数学
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(3)本次上学途中,小明一共骑行了多少米
(4)上学过程中,哪个时间段小明骑车速度最快
解:(3)1 200+(1 200-600)+(1 500-600)=2 700(米)
答:小明一共骑行了2 700米.
(4)当0≤t≤6时,速度为1 200÷6=200(米/分),
当6当12≤t≤14时,小明骑车速度为(1 500-600)÷(14-12)=450(米/分),
因为200<300<450,
所以在12≤t≤14时段,小明骑车速度最快.
数学
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1. 2018年5月14日川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂,机组临危不乱,果断应对.正确处置,顺利返航,避免了一场灾难的发生,创造了世界航空史上的奇迹!下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系.根据下表,请回答以下几个问题:
距离地面高度 (千米) 0 1 2 3 4 5
所在位置的温度(℃) 20 14 8 2 -4
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(1)上表反映的两个变量中, 是自变量,
是因变量;
(2)若用h表示距离地面的高度,用y表示温度,则y与h之间的关系式是: ;当距离地面高度5 千米时,所在位置的温度为:
℃.
距离地面高度
所在位置的温度
y=20-6h
-10
数学
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下图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用时间关系图.根据图象回答以下问题:
(3)返回途中飞机在2 千米高空水平大约盘旋了几分
(4)飞机发生事故时所在高空的温度是多少
解:(3)从图象上看,h=2 时,持续的时间为2 分,即返回途中飞机在2 千米高空水平大约盘旋了2 分.
(4)h=9.8 时,y=20-6×9.8=-38.8(℃),即飞机发生事故时所在高空的温度是-38.8 度.
数学
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2.如图所示,A,B两地相距50千米,甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地,乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地,如图所示,图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程s与该日下午时间t之间的关系.根据图象回答下列问题:
数学
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(1) 比 出发得更早,早出发 时;
(2) 比 更早到达B地,早 时;
(3)乙出发大约用 时就追上甲;
甲
乙
1
乙
甲
2
0.5
数学
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(4)请你根据图象上的数据,分别求出乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度.
解:乙骑摩托车的速度为
50÷(3-2)=50(千米/时),
甲骑自行车在全程的平均速度为50÷(5-1)=12.5(千米/时).
数学
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3.根据图象回答下列问题:
(1)下图反映是哪两个变量之间的关系
(2)点A,B分别表示什么
(3)说一说速度是怎样随时间的变化而变化的
数学
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解:(1)反映的是速度与时间之间的关系.
(2)点A表示3分时的速度是40千米/时,点B表示15分时的速度是0千米/时.
(3)从开始到3分,速度从0 km/h增加到40 km/h;3分到6分,速度保持40 km/h,6分到7.5分,速度从40 km/h增加到60 km/h;7.5分到9分,速度保持60 km/h;9分到10.5分,速度从60 km/h下降到40 km/h;10.5分到12分速度保持40 km/h;12分到15分,速度从40 km/h下降到0 km/h.
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北师大版 七年级数学下册(共40张PPT)
3.1 用表格表示的变量间关系
北师大版 七年级数学下册
名师导学
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01
02
CONTANTS
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能力提升
036
数学
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知识点一 变量与常量
1.在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做 .
2.在变化过程中数值始终保持不变的量叫做 .
变量
常量
数学
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典型例题
【例1】在圆的周长公式C=2πr中 ( )
A.常量为2,变量为C,π,r
B.常量为2π,变量为C,r
C.常量为2,π,r,变量为C
D.以上答案均不对
数学
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解题思路:根据变量与常量的定义,对式中的每个值按照一定的法则有一个确定的值与之对应来解答即可.
解析:在圆的周长公式C=2πr中,周长C随着半径r的变化而变化,因此周长C,半径r是变量,而2π是不变的量,是常量.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr,下列判断正确的是 ( )
A.2是变量 B.π是变量
C.r是变量 D.C是常量
C
数学
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2.圆的面积公式S=πr2,下列说法正确的是 ( )
A.S,π是变量,r是常量
B.S是变量,π,r是常量
C.r是变量,S,π是常量
D.S,r是变量,π是常量
D
数学
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名师点拨:①不要认为字母就是变量,例如π是常量;②判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一看它是否在变化过程中,二看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.③常量与变量是相对的,在不同的研究过程中,二者可以互相转化.④一般情况下,某一变化过程中,可能有一个或几个常量,不可能没有变量,也不一定只有一个变量.
数学
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知识点二 自变量与因变量
如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化,那么我们把x叫做 ,y叫做 ,自变量和因变量都是某一变化过程中的变量.
自变量
因变量
数学
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典型例题
【例2】在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里水的温度随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是 ( )
A.太阳光强弱 B.水的温度
C.所晒时间 D.热水器的容积
解析:根据题意,水的温度是随所晒时间的长短而变化的,可知水的温度是因变量,所晒时间是自变量.故选B.
答案:B
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对应练习
3.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍,6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁的2倍、
3倍,上述过程中,自变量是 ( )
A.年龄 B.婴儿 C.体重 D.倍数
A
解析:年龄在逐渐变大,体重在逐渐变重,年龄是自变量,体重是因变量.故选A.
数学
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名师点拨:
(1)主动变化的量是自变量,被动变化的量是因变量;
(2)自变量和因变量是相对的,在不同的研究过程中,二者可以相互转化.
数学
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知识点三 用表格表示两个变量间的关系
典型例题
【例3】下表是某人打长途电话的几次收费记录:
时间/min 1 2 3 4 5 6 7
电话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
数学
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(1)如果用x表示时间,y表示电话费,上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量
(2)随x的变化,y的变化趋势是什么
(3)如果通话5 min,那么电话费需付多少元
(4)预测一下,如果打10 min的电话,需付多少元电话费
数学
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解题思路:(1)结合变量的概念分析即可;
(2)由表格变化趋势分析即可;
(3)由表中数据可得;
(4)由表中数据变化趋势是每分电话费0.6元可计算得出.
解:(1)上表反映了通话时间与电话费两个变量之间的关系,其中通话时间为自变量,电话费是因变量.
(2)根据表格得出,随着x的增加,y逐渐增加.
(3)由表中数据直接得出:通话5 min,那么电话费需付3.0元.
(4)0.6×10=6.0(元),故需付6元电话费.
数学
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对应练习
4.一辆汽车以50 km/h的速度行驶,行驶时间为t时,行驶路程为S千米,请填表:
时间/h 1 2 3 … 10 …
路程/km … …
50
100
150
500
数学
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(1)变量有 ;常量有 ;
(2)自变量: ;因变量: ;
(3)当t=5时,S= ;
(4)当S=600时,t= .
时间、路程
速度
时间
路程
250
12
数学
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5.一辆汽车在公路上行驶,其所走的路程和所用的时间可用下表表示:
时间/t(min) 1 2.5 5 10 20 50 …
路程/s(km) 2 5 10 20 40 100 …
数学
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(1)自变量: ;因变量: ;
(2)当s=20时,t= ;
(3)从表中可知随着t逐渐变大,s的变化趋势是 ;
(4)当t=300时,s= .
时间
路程
10
逐渐变大
600
数学
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名师点拨:利用表格表示变量之间的关系时,一般表格的第一行表示自变量,第二行表示因变量,根据表格中的数据可以获得两个变量之间的信息,对它们的变化趋势进行预测.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.一个长方体的高是h,当长方体的底面积S发生变化时,长方体的体积V也发生了变化,在这个变化过程中( )
A.S是因变量,V是自变量
B.V是因变量,h是自变量
C.S是自变量,V是因变量
D.h是自变量,V是因变量
C
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2.一个容器中装有一定质量的糖.向容器中加入水,随着水量的增加,糖水的浓度将降低,这个问题中自变量和因变量分别是( )
A.糖,糖水的浓度 B.水,糖水
C.糖,糖水 D.水,糖水的浓度
D
数学
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3.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的关系如下表所示,则下列说法不正确的是( )
A.弹簧不挂重物时长度为0 cm
B.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量
C.物体质量每增加1 kg,弹簧长度增加0.5 cm
D.所挂物体质量为7 kg时,弹簧长度为23.5 cm
A
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
数学
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二、填空题
1.林老师骑摩托车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个表示“单价”,其数值固定不变,另外两个量分别表示“数量”和“金额”,数值一直在变化,在这三个量当中, 是常量, 是变量,其中自变量是 ,因变量是
.
单价
数量和金额
数量
金额
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2.“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中, 随 变化而变化,其中自变量是
,因变量是 .
温度
时间
时间
温度
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3.某校一课外小组准备进行“西乡县半程马拉松”的宣传活动,需要制作宣传单,校园附近有一家印刷社,收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系如表:
印刷数量x(张) … 50 100 200 300 …
收费y(元) … 7.5 15 30 45 …
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(1)上表反映了 和 之间的关系,自变量是
,因变量是 ;
(2)从上表可知:收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而 ;
(3)若要印刷10 000张宣传单,收费 元.
印刷数量
收费
印刷数量
收费
增加
1 500
数学
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三、解答题
1.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还将继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h),对这种汽车进行测试,测得数据如下表:
刹车时车速/(km·h-1) 20 40 60 80 100 120
刹车距离/m 1.0 3.6 7.8 13.6 21.0 30.0
数学
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(1)在上表中,自变量和因变量各是什么
(2)如果刹车时车速为60 km/h,那么刹车距离是多少米
(3)根据表中的数据,试分析刹车距离与刹车时车速之间的关系.
解:(1)在上表中,自变量是刹车时车速,因变量是刹车距离.
(2)由表格可得,当刹车时车速为60 km/h时,刹车距离为7.8 m.
(3)刹车距离随着刹车时车速的增大而增大.
数学
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2.有一个水池,它的容积是300 L,现要将水池注满,下面是注水时间和水池内水量之间的关系表:
注水时间/min 0 2 4 6 8
水池内水量/L 100 150 200 250 300
数学
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(1)在这个过程中,反映的是哪两个变量之间的关系 其中哪个是自变量 哪个是因变量
解:反映的是注水时间和水池内水量之间的关系,其中注水时间是自变量,水池内水量是因变量.
数学
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(2)水池内原有多少水 经过多长时间能把水池注满
解:因为当时间是0时,水量是100 L,所以水池内原有100 L水,经过8分能把水注满.
(3)平均每分注水多少升
解:(300-100)÷8=25(L/min)
答:平均每分注水25升.
数学
◆ 能力提升◆
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1.点燃一根蜡烛后,蜡烛的高度h(厘米)与燃烧时间t(分)之间的关系如下表:
t/分 0 2 4 6 8 10
h/厘米 30 29 28 27 26 25
数学
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(1)蜡烛未点燃前的高度是多少厘米
(2)写出蜡烛的高度h(厘米)与燃烧时间t(分)之间的关系式;
(3)求这根蜡烛能燃烧多长时间
解:(1)当t=0时,h=30,所以未点燃前的高度是30厘米.
(2)(30-29)÷2=0.5(厘米),h=30-0.5t.
(3)当h=0时,0=30-0.5t,解得t=60.
答:这根蜡烛能燃烧60分.
数学
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2.一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表:
时间 (秒) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度 (米/秒) 0 0.3 1.3 2.8 1.9 7.2 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
数学
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(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)如果用t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么
(3)当t每增加1秒,v的变化情况相同吗 在哪个时间段内,v增加得最快
数学
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解:(1)表中反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量.
(2)v的变化趋势是0到3秒和4到10秒v随着t的增大而增大,而3到4秒v随着t的增大而减小.
(3)当t每增加1秒,v的变化情况不相同,在8到9秒,v增加得最快.
数学
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3.某公司决定投资开发新项目,确定有6个项目可供选择,各项目所需资金及预计年利润如下表:
所需资金/亿元 1 2 4 6 7 8
预计年利润/ 千万元 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
数学
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如图投资一个4亿元的项目,那么其年利润预计有
;
(2)如果要预计获得0.9千万元的年利润,投资一个项目需要
资金;
(3)如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资,可以有
种投资方案,其中投资方案: .
预计年利润最大,最大年利润是 (要求资金全部进行投资).
0.55千万元
7亿元
3
项目1(所需资金1亿元)+项目2(所需资金2亿元)+项目5(所需资金7亿元)
1.45千万元
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北师大版 七年级数学下册(共35张PPT)
3.2 用关系式表示的变量间关系
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 用关系式表示两个变量间的关系
1.关系式法:两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示,这种表示变量之间关系的方法叫做 ,它的主要特点是对两个变量之间的依存关系描述得很明确,但不够直观,对具体数值的描述不够确切.
关系式法
数学
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2.关系式法的基本特征:
(1)等式的左边是 ,等式的右边是关于自变量的代数式.
(2)等式中只含有 和 两个变量,其他的量都是常量.
(3)自变量可以在允许的范围内任意取值.
因变量
自变量
因变量
数学
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典型例题
【例1】已知一个圆柱的底面半径是3 cm,当圆柱的高h(cm)变化时,圆柱的体积V(cm3)也随之变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是 ,因变量是 ;
(2)在这个变化过程中,圆柱的体积V与高h之间的关系式是 .
数学
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解题思路:(1)利用变量的定义进行回答;
(2)利用圆柱的体积公式求解.
解析:(1)在这个变化过程中,自变量是h,因变量是V;
(2)V=π·32·h=9πh.
答案:(1)h,V. (2)V=9πh.
数学
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对应练习
1.一个长方体的底面积是20 cm2,高为h cm,那么体积V(cm3)与h(cm)之间的关系式为 ;当h=5时,体积V= cm3.
V=20h
100
数学
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2.已知A,B两地相距3千米,小黄从A地到B地,平均速度为4千米/时,若用x表示行走的时间(时),y表示余下的路程(千米),则y与x的关系式是 ( )
A.y=4x (x≥0) B.y=4x-3
C.y=3-4x (x≥0) D.y=3-4x
D
数学
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解析:因为全程需要的时间为3÷4=(时),所以x的取值范围是0≤x≤,所以y=3-4x.故选D.
数学
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名师点拨:
(1)写关系式的关键是将表示因变量的字母单独写在等号的左边,右边为用自变量表示因变量的代数式.
(2)利用关系式表示变量之间的关系,最大的优点在于能比较方便地求出自变量为任意一个值时,相对应的因变量的值.利用表格表示变量之间的关系时,对于表中没有给出的对应值,在需要时往往只能估计,很难达到足够的精确度,使用关系式则没有这样的缺点.
(3)在一些问题中,自变量只能取某个范围内的值,例如:在解决关于三角形面积的问题时,自变量只能为正数.
数学
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知识点二 根据关系式求值
根据关系式求值,实际上就是求代数式的值,我们可以利用求代数式的值的方法来求值.
数学
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典型例题
【例2】变量x与y之间的关系是y=-x2+1,当自变量x=2时,因变量y的值是 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解题思路:把自变量x的值代入关系式进行计算即可得解.
解析:当x=2时,y=-×22+1=-2+1=-1.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
3.变量x与y之间的关系式是y=x2-3,当自变量x=2时,因变量y是 ( )
A.-1 B.-5 C.5 D.1
A
数学
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4.如图是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为6时,则输出的数值为 .
输入x 平方 -6 输出
30
数学
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名师点拨:
(1)已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值,已知因变量的值利用关系式求自变量的值实际是解方程.
(2)自变量和因变量的值是相互对应的,已知两变量之间的关系式,既可以由自变量的值去求因变量的值,也可以由因变量的值去求自变量的值.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.已知两个变量之间的关系满足y=-x2+2x,则当x=2时,对应的y的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
B
数学
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2.百货大楼进了一批花布,出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定的利润,其长度x与售价y如下表:
下列用长度x表示售价y的关系式中,正确的是( )
A.y=8x+0.3 B.y=(8+0.3)x
C.y=8+0.3x D.y=8+0.3+x
长度x/m 1 2 3 4 …
售价y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 …
B
数学
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解析:当x=1时,y=8+0.3;
当x=2时,y=16+0.6=8×2+0.3×2;
当x=3时,y=24+0.9=8×3+0.3×3;
当x=4时,y=32+1.2=8×4+0.3×4;
所以长度x与售价y的关系为y=(8+0.3)x.故选B.
数学
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3.如图,长方形的两边长分别为8 cm和4 cm,截去一边长为x cm的小长方形(阴影部分),余下长方形的面积S(cm2)与x(cm)之间的关系可表示为( )
A.S=4x
B.S=8(4-x)
C.S=4(8-x)
D.S=8x
C
数学
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4.如图所示,若输入的x值为,则输出的y值为( )
A.
B.
C.
D.
C
数学
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解析:因为x=在1数学
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二、填空题
1.一位老师带领a名学生去游乐园玩,已知成年人票每张20元,学生票每张10元,设门票总费用为y元,则y与a之间的关系式为
.
y=10a+20
数学
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2.圆柱的高为2 cm,当圆柱的底面半径r(cm)由小到大变化时,圆柱的体积V(cm3)随之发生变化.
(1)在这变化中,自变量是 ,因变量是 ;
(2)V(cm3)与r(cm)的关系式是 .
半径r
体积V
V=2πr2
数学
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三、解答题
1.用100 m长的篱笆在地上围成一个矩形,当矩形的宽由小到大变化时,矩形的面积也随之发生变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么
(2)设矩形的宽为x(m),求矩形的面积y(m2)与x的关系式;
(3)当矩形的宽由1 m变化到25 m时,矩形面积由y1(m2)变化到y2(m2),求y1和y2的值.
数学
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解:(1)矩形的宽是自变量,矩形的面积是因变量.
(2)y=(50-x)x.
(3)当x=1时,50-x=49,y1=1×49=49 m2;
当x=25时,50-x=25,y2=25×25=625 m2;
所以y1=49,y2=625.
数学
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2.某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费1.6元.
(1)写出收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式(其中x>3,不足1 km的部分按1 km收费);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付车费多少元
(3)小波付车费16元,那么出租车最多行驶了多少千米
数学
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解:(1)根据题意,可得y=8+(x-3)×1.6,
即y=1.6x+3.2(x>3,且x为整数).
(2)当x=4时,y=1.6x+3.2=1.6×4+3.2=9.6.
答:应付车费9.6元.
(3)当y=16时,16=1.6x+3.2,解得x=8.
答:出租车最多行驶了8 km.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,梯形ABCD的上底长是4,下底长是x,高是6.
(1)求梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式;
(2)用表格表示当x从10变到16时(每次增加1),y的相应值;
(3)当x每增加1时,y如何变化 说明你的理由.
数学
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解:(1)因为梯形ABCD的上底长是4,下底长是x,高是6,所以梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式为y=(4+x)×6=12+3x.
(2)如下表所示.
(3)由上表可得,当x每增加1时,y增加3.
理由:因为y1=12+3x,y2=12+3(x+1)=12+3x+3=15+3x,
所以y2-y1=15+3x-(12+3x)=3,即当x每增加1时,y增加3.
x 10 11 12 13 14 15 16
y 42 45 48 51 54 57 60
数学
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2.一个长方形的宽为x cm,长比宽多2 cm,面积为S cm2.
(1)求S与x之间的关系;
(2)当x=8时,求长方形的面积;
(3)当x由1增加到4时,S增加了多少
数学
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解:(1)由题意可得S=(x+2)x=x2+2x,所以S=x2+2x.
(2)当x=8时,S=82+2×8=80(cm2)
答:当x=8时,长方形面积是80 cm2.
(3)当x=1时,S=12+2×1=3(cm3),
当x=4时,S=42+2×4=24(cm3),
24-3=21(cm3).
答:S增加了21 cm3.
数学
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3.为了了解某种车的耗油量,我们对这种车在高速公路上做了耗油试验(匀速100 km/h),并把试验的数据记录下来,制成下表.
汽车行驶时间t/h 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q/L 100 94 88 82 …
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(1)根据上表的数据,写出用t表示Q的关系式;
(2)汽车行驶5 h后,油箱中的剩余油量是多少
(3)汽车油箱中剩余油量为55 L,求汽车的行驶时长;
(4)若该种汽车油箱只装了46 L汽油,汽车以100 km/h的速度在一条全长700千米的高速路上匀速行驶,请问:它的中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗 为什么
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解:(1)Q=100-6t.
(2)当t=5时,Q=100-6×5=100-30=70,所以汽车行驶5 h后,油箱中的剩余油量是70 L.
(3)当Q=55时,55=100-6t,解得t=7.5,所以汽车油箱中剩余油量为55 L时,汽车行驶了7.5 h.
(4)能.理由:因为700÷100=7(h),由题意可得该种汽车在行驶过程中,每时耗油6 L,7×6=42(L),42 L<46 L,所以在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点.
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北师大版 七年级数学下册
