(共24张PPT)
1.5 平方差公式(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 平方差公式的逆用
平方差公式的逆用:a2-b2= .
(a+b)(a-b)
数学
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典型例题
【例1】若a+b=1,则a2-b2+2b-2= .
解题思路:将式子a2-b2+2b-2利用平方差公式整理成(a+b)(a-b)+2b-2,代入a+b=1即可求解.
解析:因为a+b=1,所以a2-b2+2b-2=(a+b)(a-b)+2b-2=a-b+2b-2=a+b-2=1-2=-1.
答案:-1
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对应练习
1. 499×501可表示为 ( )
A.5002+12 B.5002-12
C.5002-4992 D.5002+4992
2.计算1012-992等于 ( )
A.400 B.2002 C.8 D.800
B
A
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名师点拨:要灵活应用平方差公式的逆用,确定a与b是关键,a是相同项,b是相反项.这样可使计算或化简更为简便,起到事半功倍的效果.
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知识点二 平方差公式的推导过程
(1)利用多项式的乘法法则计算:(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2= .
(2)利用拼图验证:如下图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,图①中阴影部分的面积为a2-b2;拼成图②后,阴影部分的面积为(a+b)(a-b).由于阴影部分的面积相等,所以(a+b)(a-b)=a2-b2.
a2-b2
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典型例题
【例2】如图,阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形,给出下列三种割、拼方法,其中能够验证平方差公式的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
数学
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解题思路:利用面积法,分别计算左图与右图的阴影部分面积进而可得出结论.
解析:题中的3组图中,左图的阴影部分面积为a2-b2.①中右图的阴影部分面积可表示为(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2,故①能验证平方差公式;②中右图的阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2,故②能验证平方差公式;③中右图的阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2,故③能验证平方差公式.故选D.
答案:D
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对应练习
3.如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是 ( )
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.a(a-b)=a2-ab
C.(a-b)2=a2-b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
D
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解析:第一个图形阴影部分的面积是a2-b2,第二个图形的面积是(a+b)(a-b).则a2-b2=(a+b)(a-b).故选D.
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4.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,求用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积差.
解:设较大的正方形的边长为x,较小的正方形的边长为y,
则x+y=5,x-y=2,则x2-y2=(x+y)(x-y)=5×2=10.
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名师点拨:本例题考查平方差公式的几何背景,理解拼图前后各部分之间的关系,掌握阴影部分面积的计算方法是解题的前提.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.对于任意的整数n,能整除(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )
A.4 B.3 C.5 D.2
C
解析:原式=(n2-9)-(n2-4)=n2-9-n2+4=-5.故能整除
(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是5.故选C.
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2.若(-5a+M)(4b+N)=16b2-25a2,则M,N分别为( )
A.4b,5a B.-4b,5a
C.4b,-5a D.-4b,-5a
A
解析:因为16b2-25a2=(4b)2-(5a)2=(4b+5a)(4b-5a),所以M=4b,N=5a.
故选A.
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3.计算899×901+1的结果是( )
A.810 000 B.810 001
C.81 000 D.81 001
A
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4.如图所示,在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a>2),将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为( )
A.a2+4 B.2a2+4a
C.3a2-4a-4 D.4a2-a-2
C
解析:方法一:平行四边形的面积等于两个正方形面积的差,即所求面积=(2a)2-(a+2)2=4a2-(a2+4a+4)=3a2-4a-4;
方法二:平行四边形的底边=2a+(a+2)=3a+2,高=2a-(a+2)=a-2,所以所求面积=(3a+2)(a-2)=3a2-4a-4.故选C.
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二、填空题
1.若x2-y2=18,x+y=6,则3x-3y= .
2.若(x-ay)(x+ay)=x2-16y2,则a= .
3.已知x2-y2=4,则(x+y)2(x-y)2= .
9
±4
16
数学
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三、解答题
1.计算:
(1) 99.8×100.2;
解:原式=(100-0.2)(100+0.2)=1002-0.22=10 000-0.04=9 999.96.
(2) 2 0232-2 022×2 024.
解:原式=2 0232-(2 023-1)(2 023+1)=2 0232-(2 0232-1)
=2 0232-2 0232+1=1.
数学
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2.先化简,再求值.
(x+2)(x-2)+x(1-x),其中x=-1.
解:原式=x2-4+x-x2=x-4,当x=-1时,原式=-5.
数学
◆ 能力提升◆
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1.计算:(-2a-7b)(-2a+7b)-(-a+5b)(-5b-a),其中a=-3,b=.
解:原式=(-2a)2-(7b)2-[(-a)2-(5b)2]=4a2-49b2-(a2-25b2)
=4a2-49b2-a2+25b2=3a2-24b2.
当a=-3,b=时,原式=3×(-3)2-24×=27-6=21.
数学
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2.阅读下列材料.
某同学在计算3(4+1)(42+1)时,把3写成4-1后,发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算:3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)
=(42-1)(42+1)=162-1=255.
请借鉴该同学的经验,计算:
(1)+;
(2)….
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解:(1)原式=2
+=2+=2.
(2)原式=
…
=××××××…××××=×=.
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北师大版 七年级数学下册(共20张PPT)
1.2 幂的乘方与积的乘方(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 幂的乘方
1.幂的乘方的意义:幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如(a2)3表示
个a2相乘,(am)n表示n个 相乘,读作a的m次幂的n次方.
2.幂的乘方的运算法则:幂的乘方,底数 ,指数 .
3.幂的乘方的运算法则的字母表示:(am)n= (m,n都是正整数).公式中的底数可以是单项式,也可以是多项式.如:[(a+b)m]n=(a+b)mn.
4.幂的乘方的运算法则的推导过程:
(am)n===amn.
3
am
不变
相乘
amn
数学
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典型例题
【例1】计算:(-x2)3·(-x5)2.
解题思路:先找出底数,再根据幂的乘方进行运算即可.
解:原式=-x2×3·x5×2
=-x6·x10
=-x6+10
=-x16.
数学
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对应练习
1.(x4)3·(-x)7;
解:原式=-x12·x7=-x19.
2.[(a-b)2]n·(a-b)3.
解:原式=(a-b)2n·(a-b)3=(a-b)2n+3.
数学
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名师点拨:不要混淆幂的乘方与同底数幂的乘法运算,幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变),同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算(底数不变).注意负数的奇次幂为负,负数的偶次幂为正.
数学
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知识点二 幂的乘方的运算性质的推广及运用
1.幂的乘方的运算性质可以推广为[(am)n]p= (m,n,p都是正整数).
2.幂的乘方的运算性质可以逆用:amn=(am)n= (m,n都是正整数).
amnp
(an)m
数学
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典型例题
【例2】计算:[(a2)m]5.
解题思路:根据幂的乘方运算性质求解.
解:原式=a2×m×5=a10m.
【例3】若2x=5,2y=3,求22x+y.
解题思路:根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加和幂的乘方底数不变,指数相乘,变形计算即可.
解:因为2x=5,2y=3,所以22x+y=22x·2y=(2x)2·2y=52×3=25×3=75.
数学
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3.计算:-[(-a3)2]3.
解:原式=-(a6)3=-a18.
4.若3m=9n=2,求3m+2n的值.
解:因为3m=9n=32n=2,所以3m+2n=3m·32n=2×2=4.
数学
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名师点拨:
(1)运用幂的乘方的运算性质进行计算时,指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中的“指数相加”区分开.
(2)灵活地逆用幂的乘方的运算性质,将要求的式子转化为已知条件是解题的关键.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.若(a3)2=64,则a等于( )
A.2 B.-2 C.±2 D.以上都不对
2.下列变形不正确的是( )
A.a20=(a4)5 B.a2xy=(axy)2
C.625=(65)2 D.(x+y)6=[(x+y)2]3
C
C
数学
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3.下列四个算式中正确的有( )
①(a4)4=a4+4=a8; ②[(b2)2]2=b2×2×2=b8;
③[(-x)3]2=(-x)6=x6; ④(-y2)3=y6.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.已知x3=m,x5=n,用含m,n的代数式表示x14,其中正确的是( )
A.mn3 B.m2n3 C.m3n D.m3n2
4. 解析:x14=x9+5=x9·x5=(x3)3·x5=m3n.故选C.
C
C
数学
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二、填空题
1. 212=(23)( )=(22)( )=( )3.
2.(-a3)2+(-a2)3= .
3.若ax=2,ay=3,则ax+y= = .
4
6
24
0
ax·ay
6
数学
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) -[(a+b)2]2·(a+b);
解:原式=-(a+b)4·(a+b)=-(a+b)4+1=-(a+b)5.
(2) -a2·(-a)4+a6;
解:原式=-a2·a4+a6=-a6+a6=0.
(3) (m4)2+m5·m3+(-m)4·m4.
解:原式=m4×2+m5+3+m4+4=3m8.
数学
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2.已知x2n=3,求(x3n)2的值.
解:因为x2n=3,所以(x3n)2=x6n=(x2n)3=33=27.
3.若9×27x=317,求x的值.
解:9×27x=32×(33)x=32+3x,由题意得,2+3x=17,解得x=5.
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知a3·am·a2m+1=a25,求m的值.
解:因为a3·am·a2m+1=a3+m+2m+1=a3m+4=a25.所以3m+4=25,解得m=7.
数学
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2.阅读下列材料:
若a3=2,b5=3,则a, b的大小关系是a b(填“<”或“>”).
解:因为a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33=27, 32>27,
所以a15>b15,所以a>b.
依照上述方法解答下列问题:
已知x7=2,y9=3,试比较x与y的大小.
解:因为x63=(x7)9=29=512,y63=(y9)7=37=2 187, 2 187>512,所以x63
数学
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3.阅读材料:
求1+2+22+23+24+…+22 020+22 021的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+22 020+22 021 ①,将等式两边同时乘2,得2S=2+22+23+24+25+…+22 021+22 022 ②,
②-①,得2S-S=22 022-1,即S=22 022-1,
所以1+2+22+23+24+…+22 020+22 021=22 022-1.
请你仿照此法计算:
(1)1+2+22+23+24+…+29+210;
(2)1+3+32+33+34+…+3n-1+3n(其中n为正整数).
数学
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解:(1)设M=1+2+22+23+24+…+29+210 ①,
将等式两边同时乘2,得2M=2+22+23+24+25+…+210+211 ②,
②-①,得2M-M=211-1,即M=211-1,
所以1+2+22+23+24+…+29+210=211-1.
(2)设N=1+3+32+33+34+…+3n-1+3n ①,
将等式两边同时乘3,得3N=3+32+33+34+35+…+3n+3n+1 ②,
②-①,得3N-N=3n+1-1,即N=(3n+1-1),
所以1+3+32+33+34+…+3n-1+3n=(3n+1-1).
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北师大版 七年级数学下册(共22张PPT)
1.2 幂的乘方与积的乘方(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 积的乘方
1.积的乘方的运算法则:积的乘方等于把积中的每一个因式分别
,再把所得的幂 .用公式表示为(ab)n= (n是正整数).公式中的底数可以是单项式也可以是多项式.
2.积的乘方的运算法则的推导过程:
(ab)n==·=anbn.
乘方
相乘
anbn
数学
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【例1】计算:(1) (4a2)n;(2) (-2a4)3.
解题思路:先根据积的乘方法则,把积中的每个因式分别乘方,然后利用幂的乘方法则底数不变指数相乘化简,并把所计算的结果相乘即可求出值.
解:(1)原式=(4)n·(a2)n
=4na2n.
(2)原式=(-2)3·(a4)3
=-8a12.
典型例题
数学
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1.计算:(m3n)2的结果是 ( )
A.m6n B.m5n2 C.m6n2 D.m3n2
2.计算.
(1) (-xy)4; (2) .
解:(1)原式=(-1)4x4y4=x4y4.
(2)原式=·x3=x3.
对应练习
C
数学
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名师点拨:运用积的乘方的运算性质解题时,要正确掌握其性质特征,积中各因式分别乘方时不能漏掉任何一个因式,同时注意符号变化,其中负号可看做-1与其余因式的积.
数学
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知识点二 积的乘方的运算性质的推广及逆用
1.积的乘方的运算性质可推广为:(abc)n= (n是正整数).对于三个或三个以上因式的积的乘方,也具有这一性质.
2.(1)运算性质的逆用:anbn= .
(2)逆用积的乘方的运算性质的条件:①必须是两个或两个以上的幂相乘;②这几个相乘的幂的指数必须相同.
anbncn
(ab)n
数学
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典型例题
【例2】计算:(-xy2)4.
解题思路:根据积的乘方运算法则的推广(abc)n=anbncn即可计算.
解:(-xy2)4=(-1)4·x4·(y2)4=x4y8.
【例3】若xy=-2,则x3y3= .
解题思路:本题考查两个单项式之间的关系,可利用积的乘方的逆用法则得出xy与x3y3的关系再代数求值.
解:因为xy=-2,
所以x3y3=(xy)3=(-2)3=-8.
答案:-8
数学
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对应练习
3.计算.
(1) (-x3y2)8;
解:原式=x3×8y2×8=x24y16.
(2) .
解:原式=a4b4=a4b4.
数学
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4.填空:(-8)10×0.12510= .
5.若(xy)n=6,求x2ny2n的值.
5. 解:因为(xy)n=6,所以xnyn=6,则x2ny2n=(xnyn)2=62=36.
1
数学
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名师点拨:
(1)运用积的乘方法则进行计算时,注意每个因式都要乘方,尤其是字母的系数不要漏乘方.几个因数的积的乘方,就是把这些因数分别乘方,再把所得的幂相乘.
(2)逆用积的乘方公式an·bn=(ab)n,要灵活运用,对于不符合公式的形式,要通过恒等变形,转化为公式的形式,再运用此公式即可进行简便运算.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.下列各式中,计算结果为-9x4y6的是( )
A.(-3x2y3)2 B.-(3x2y3)2
C.(-3x2y4)2 D.-(3x2y4)2
2.计算a·a5-(2a3)2的结果是( )
A.a6-2a5 B.-a6
C.a6-4a5 D.-3a6
B
D
数学
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3.下列计算正确的是( )
A.(-2a)2=-4a2
B.(2x)3=6x3
C.(-2a3)3=8a9
D.(-x2yz)3=-x6y3z3
4.若(-2a1+xb2)3=-8a9b6,则x的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4. 解析:因为原式=-8a3+3xb6=-8a9b6,所以3+3x=9,解得x=2.故选C.
D
C
数学
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5.如果(anb2)3=a6bm,那么m,n的值分别是( )
A.-6, 2 B.6, 2 C.5, 2 D.2, 6
B
数学
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二、填空题
1.( )3=-27x6y9.
2.已知-a2b3=3,则a6b9= .
3.一个正方体的棱长是3a2b3厘米,则这个正方体的体积是 立方厘米.
3. 解析:由题意,可得这个正方体的体积是(3a2b3)3=27a6b9(立方厘米).
-3x2y3
-27
27a6b9
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) (-2x2y3)2;
解:原式=(-2)2·(x2)2·(y3)2=4x4y6.
(2) (-2x2)3-x2·x4;
解:原式=-8x6-x6=-9x6.
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(3) (-2a2)2b2·(-2a2b2)3;
解:原式=(-2)2·(a2)2·b2·(-2)3·(a2)3·(b2)3=4a4b2·(-8a6b6)=-32a10b8.
(4) ×××42 022.
解:原式=×
×4=××4=4.
数学
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2.已知ax=2,bx=3,求(ab)3x的值.
解:(ab)3x=(ax·bx)3=(2×3)3=63=216.
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知23x+2×53x+2=102x+5,求x的值.
解:因为23x+2×53x+2=103x+2,所以3x+2=2x+5,解得x=3.
2.已知22=a,35=b,用a, b的代数式表示630.
解:因为22=a,35=b,所以630=230·330=(22)15·(35)6=a15b6.
数学
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3.已知x+y=1,求(x+y)3(2x+2y)3(3x+3y)3的值.
解:因为x+y=1,所以(x+y)3(2x+2y)3(3x+3y)3
=(x+y)3·[2(x+y)]3·[3(x+y)]3
=(x+y)3·8(x+y)3·27(x+y)3
=216(x+y)9=216.
数学
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4. 52·32n+1·2n-3n·6n+2(n为正整数)能被13整除吗 并说明理由.
解:52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除.理由如下:
52·32n+1·2n-3n·6n+2=52·(32n·3)·2n-3n·(6n·62)
=75·18n-36·18n=39·18n=13×3·18n.
因为n为正整数,所以3·18n是正整数.
所以52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除.
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北师大版 七年级数学下册(共19张PPT)
1.4 整式的乘法(3)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
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能力提升
03
数学
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知识点一 多项式与多项式相乘法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个
多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示是:(a+n)(b+m)=
.
注意:①多项式中每一项都包括它前面的符号,计算时要注意符号问题.②多项式乘多项式时要按照一定的顺序进行,防止漏项,在没有合并同类项之前,积的项数应该是两个多项式的项数的积.
ab+am+bn+mn
数学
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典型例题
【例1】计算(4a+1)(a+2)-(2a+1)(a-1).
解题思路:两个多项式相乘,准确运用公式,按照运算法则,先进行多项式乘多项式运算,再算减法.
解:原式=4a2+8a+a+2-(2a2-2a+a-1)
=2a2+10a+3.
数学
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对应练习
1.下列多项式相乘的结果为x2-4x-12的是 ( )
A.(x+3)(x-4) B.(x+2)(x-6)
C.(x-3)(x+4) D.(x+6)(x-2)
2.计算:(-2a-1)(a+1)+2(a2+1).
解:原式=-2a2-2a-a-1+2a2+2=-3a+1.
B
数学
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名师点拨:运用多项式与多项式相乘的法则时应注意:
(1)多项式与多项式相乘,要防止漏项,如例题中的“-1”;
(2)由于运算量较大,书写繁杂,所以应特别注意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号;
(3)多项式乘多项式,仍得多项式;
(4)最后的结果应合并所有的同类项.
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知识点二 多项式与多项式相乘法则的应用
典型例题
【例2】若(x+5)(2x-n)=2x2+mx-15,则 ( )
A.m=7,n=3 B.m=7,n=-3
C.m=-7,n=-3 D.m=-7,n=3
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解题思路:先根据多项式乘多项式法则展开,合并后得出
-n+10=m,5n=15,再求解即可.
解析:(x+5)(2x-n)=2x2-nx+10x-5n=2x2+(-n+10)x-5n,所以-n+10=m,5n=15,解得m=7,n=3.故选A.
答案:A
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对应练习
3.若(x+a)(x+b)=x2-kx+ab,则k的值为 ( )
A.a+b B.-a-b
C.a-b D.b-a
4.已知ab=a+b+1,求(a-1)(b-1)的值.
解:(a-1)(b-1)=ab-a-b+1,因为ab=a+b+1,
所以原式=ab-a-b+1=a+b+1-a-b+1=2.
B
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名师点拨:本例题考查了多项式乘多项式法则,能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键.
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一、选择题
1.下列计算中,正确的是( )
A.(x+1)(x+4)=x2-5x+4
B.(y-5)(y+4)=y2-9y-20
C.(-x+4)(x-2)=-x2+6x-8
D.(m+3)(m-1)=m2-2m-3
C
◆ 基础巩固◆
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2.若(x+2)(2x-n)=2x2+mx+2,则m-n的值是( )
A.6 B.4 C.2 D.-6
3.若(x-y+1)(x-y-4)=0,则x-y的值是( )
A.1 B.4
C.-1或4 D.1或-4
A
C
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二、填空题
1.已知:(x-2)(x+5)=x2+kx-10,则k= .
2. 4个数a, b, c, d排列成,我们称之为二阶行列式,规定它的运算法则为=ad-bc,若=13,则x= .
3
-
2. 解析:因为=13,所以(x-2)(x-2)-(x+3)(x+1)=13,
即x2-4x+4-x2-4x-3=13,即-8x=12,解得x=-.
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三、解答题
计算下列各题.
(1) (x+2)(3-x);
解:原式=3x-x2+6-2x=-x2+x+6.
(2) (2x-3y)(3x+y-1);
解:原式=6x2+2xy-2x-9xy-3y2+3y
=6x2-7xy-2x+3y-3y2.
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(3) (a+2)(a-3)-(a-1)(a-4);
解:原式=a2-3a+2a-6-(a2-4a-a+4)=a2-a-6-a2+4a+a-4=4a-10.
(4) 已知ab=4,a-b=2,求(2a-1)(2b+1)的值.
解:因为ab=4,a-b=2,
所以(2a-1)(2b+1)=4ab+2a-2b-1=4ab+2(a-b)-1=4×4+2×2-1=19.
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◆ 能力提升◆
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1.已知(x2+mx+n)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x项,求m,n的值.
解:(x2+mx+n)(x2-3x+2)=x4-3x3+2x2+mx3-3mx2+2mx+nx2-3nx+2n
=x4-(3-m)x3+(2-3m+n)x2+(2m-3n)x+2n.
由题意得3-m=0,2m-3n=0,解得m=3,n=2.
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2.如图,将一个长方形铁皮剪去一个小正方形.
(1)用含有a,b的式子表示阴影部分的面积;
(2)当a=4,b=2时,求阴影部分面积.
解:(1)S阴影=(a+b)(2a+b)-a2=2a2+ab+2ab+b2-a2=a2+3ab+b2.
(2)当a=4,b=2时,S阴影=42+3×4×2+22=44.
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3.在计算(x+a)(x+b)时,甲把b错看成了6,得到的结果是x2+8x+12.
(1)求a的值;
(2)在(1)的条件下,当b=-3时,计算(x+a)(x+b)的结果.
解:(1)因为(x+a)(x+6)=x2+6x+ax+6a=x2+(6+a)x+6a,
所以x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12.
所以6+a=8,6a=12,解得a=2.
(2)当a=2,b=-3时,(x+a)(x+b)=(x+2)(x-3)=x2-x-6.
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北师大版 七年级数学下册(共21张PPT)
1.1 同底数幂的乘法
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 同底数幂的乘法法则
1.同底数幂是指 的幂,例如32与34,a与a3,am与an,a2b与(a2b)5,(x-y)3与(x-y)5.
【拓展延伸】
①幂的意义是an=
②同底数幂是指几个幂的底数相同,如am,an,ap等.
③这里的底数a可以是单项式,也可以是多项式.如当a=x-y时,
(x-y)m,(x-y)n,(x-y)p也是同底数幂.
底数相同
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2.同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数 ,指数 .
3.同底数幂的乘法法则的字母表示:am·an= (m,n都是正整数).
4.法则的推导过程:
am·an=·==am+n.
不变
相加
am+n
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典型例题
【例1】计算(x-y)2(y-x)3.
解题思路1:将原式第二个因式提取-1变形后,利用同底数幂的乘法法则计算,即可得到结果.
解:(x-y)2(y-x)3=-(x-y)2(x-y)3
=-(x-y)5.
解题思路2:将原式第一个因式直接变形.
解:(x-y)2(y-x)3=(y-x)2(y-x)3
=(y-x)5.
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对应练习
1.计算(-a)4·(-a2)的结果正确的是 ( )
A.a2 B.-a2 C.a6 D.-a6
解析:(-a)4·(-a2)=-a4·a2=-a4+2=-a6.故选D.
D
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解析:A项,(-a)2底数为-a,a2底数为a;B项,-a2底数为a,(-a)3底数为-a;C项,-x5与x5的底数都是x,是同底数幂;D项,(a-b)3的底数是(a-b),(b-a)3的底数是(b-a).所以C项符合题意,故选C.
2.下列选项中,是同底数幂的是 ( )
A.(-a)2与a2 B.-a2与(-a)3
C.-x5与x5 D.(a-b)3与(b-a)3
C
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名师点拨:
(1)几个因式相乘时,先看可否转化为相同底数的幂,然后再相乘.
(2)注意a的指数是1,运算时不要漏掉.
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知识点二 同底数幂的乘法法则的推广及逆用
1.同底数幂的乘法法则可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即am·an·ap= (m,n,p都是正整数).如3·32·35=31+2+5=38.
2.同底数幂的乘法法则可以逆用,即am+n= (m,n都是正整数)也成立.
am+n+p
am·an
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典型例题
【例2】已知am=3,an=9,ap=2,求am+n+p.
解题思路:逆用同底数幂的乘法法则,将am+n+p化为am·an·ap,再代入计算即可.
解:am+n+p=am·an·ap,
因为am=3,an=9,ap=2,
所以am·an·ap=3×9×2=54,
所以am+n+p=54.
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对应练习
3.如果3x=5,那么3x+2等于 ( )
A.10 B.27
C.45 D.145
4.若a2·am+2=a9,则m= .
5.计算:(-c)3·(-c)2m+1= .
C
5
c2m+4
5.解析:(-c)3·(-c)2m+1=(-c)2m+4=c2m+4.
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名师点拨:当幂的指数是和的形式时,可逆用同底数幂的乘法法则,将其转化为同底数幂相乘,然后把幂作为一个整体代入变形后的幂的运算中求解.
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.x3m+3可以写成( )
A.3xm+1 B.x3m+x3 C.x3·xm+1 D.x3m·x3
2.在等式-x2· =x9中,“ ”所表示的代数式为( )
A.x6 B.-x6 C.(-x)7 D.x7
3.已知am=2,an=3,则a3m+n的值是( )
A.6 B.9 C.18 D.24
D
C
D
3.解析:因为am=2,an=3,所以a3m+n=am·am·am·an=2×2×2×3=24.
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4.下列各式中能用同底数幂的乘法法则进行计算的是( )
A.(x+y)2·(x-y)3
B.(-x-y)·(x+y)4
C.(x+y)2+(x+y)2
D.-(x-y)2·(-x-y)3
B
解析:A项,由于(x+y)2与(x-y)3不是同底数,所以不能运用同底数幂的乘法法则,错误;B项,对原式提取公因式-1,得-(x+y)(x+y)4,由于(x+y)与(x+y)4是同底数,所以可运用同底数幂的乘法法则进行计算,正确;C项,(x+y)2与(x+y)2是同底数,但进行的是加法运算,而不是乘法运算,错误;D项,由于-(x-y)2与(-x-y)3不是同底数,所以不能运用同底数幂的乘法法则,错误.故选B.
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二、填空题
1.计算:(-x)3·(-x)2= .
2.-a3·a2+a4·a= .
3.若25×52m×53m=522,则m等于 .
4.已知5m=x,5n=y,则5m+n+1= .
-x5
0
4
5xy
2. 解析:原式=-a3+2+a4+1=-a5+a5=0.
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) a·(-a)4·(-a)3;
原式=-a·a4·a3=-a1+4+3=-a8.
(2) (a-b)3·(b-a)3·(b-a)4.
原式=-(b-a)3·(b-a)3·(b-a)4=-(b-a)3+3+4=-(b-a)10.
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2.已知2x=5, 2y=4, 2z=80,求x,y,z的关系.
解:因为2z=80=5×4×4=2x×2y×2y=2x+2y,
所以z=x+2y.
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◆ 能力提升◆
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1.已知32x+1=m,求32x的值.
解:32x===.
2.已知4×22m=16,求(m-2)2 022-m的值.
解:因为4×22m=22×22m=22+2m=16=24,所以2+2m=4.所以m=1,
所以(m-2)2 022-m=(1-2)2 022-1=(-1)2 021=-1.
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3.已知M(2)=(-2)×(-2), M(3)=(-2)×(-2)×(-2), …, M(n)= (n为正整数).
(1)计算:M(5)+M(6);
(2)求2M(2 021)+M(2 022)的值;
(3)试说明2M(n)与M(n+1)互为相反数.
数学
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解:(1)M(5)+M(6)=(-2)5+(-2)6=-32+64=32.
(2)2M(2 021)+M(2 022)=2×(-2)2 021+(-2)2 022=-(-2)×(-2)2 021+(-2)2 022
=-(-2)2 022+(-2)2 022=0.
(3)2M(n)+M(n+1)=-(-2)×(-2)n+(-2)n+1=-(-2)n+1+(-2)n+1=0.
故2M(n)与M(n+1)互为相反数.
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北师大版 七年级数学下册(共21张PPT)
1.5 平方差公式(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
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能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 平方差公式的认识
平方差公式:(a+b)(a-b)= ,即两数 与这两数 的
,等于它们的平方差.
a2-b2
和
差
积
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典型例题
【例1】利用平方差公式计算:
(1) (2a+3)(2a-3);
(2) (-a+b)(-a-b).
解题思路:根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算即可.
解:(1)原式=(2a)2-32=4a2-9.
(2)原式=(-a)2-b2=a2-b2.
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对应练习
1.计算(-1-a)(1-a)的结果是 ( )
A.a2-1 B.1-a2
C.a2-2a+1 D.-a2+2a-1
A
解析:原式=(-a)2-12=a2-1.故选A.
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2.利用平方差公式计算:
(1) (3x-5)(3x+5);
解:原式=(3x)2-52=9x2-25.
(2) (-7m+8n)(-8n-7m).
解:原式=(-7m+8n)(-7m-8n)=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2.
数学
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名师点拨:认识公式的特征至关重要.平方差公式的左边是两个二项式的乘积,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反“数”.公式的右边是完全相同的项的平方减去互为相反“数”的项的平方.
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知识点二 平方差公式的变化
平方差公式常有以下几种变化:
(1)位置变化:(b+a)(-b+a)= ;
(2)符号变化:(-a-b)(-a+b)= ;
(3)系数变化:(3a+4b)(3a-4b)=(3a)2-(4b)2=9a2-16b2;
(4)指数变化:(a2+b3)(a2-b3)=a4-b6;
(5)整体变化:(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2.
a2-b2
a2-b2
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典型例题
【例2】计算(3-4k)(-3-4k).
解题思路:找出公式中的a和b分别是“-4k”和“3”,运用公式(b+a)(-b+a)=a2-b2进行计算即可.
解:原式=(-4k)2-32=16k2-9.
数学
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对应练习
3.计算(-2p-q)(q-2p).
解:原式=(-2p-q)(-2p+q)=(-2p)2-q2=4p2-q2.
数学
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名师点拨:找出公式中的a和b是解题的关键,a是完全相同的项,b是完全相反的项;在前面的不一定是a,不能靠位置决定a和b,而是看是否是相同项和相反项,但化积后相同的项在前面,相反的项则在后面.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.若( )=4a2-9b2,则括号内应填的代数式是( )
A.-2a-3b B.2a+3b
C.2a-3b D.3b-2a
2.下列式子中,和4x2+5y相乘能用平方差公式进行计算的是( )
A.4x2+5y B.-4x2+5y
C.(4x2-5y)2 D.(4x2+5y)2
A
B
数学
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3.下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是( )
A.(2x+3y)(3x-2y)
B.(x+y)(-x-y)
C.(-a+b)(a-b)
D.
D
数学
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4.已知2a+b=12,2a-b=10,则4a2-b2的值是( )
A.22 B.30 C.60 D.120
D
解析:因为2a+b=12,2a-b=10,所以4a2-b2=(2a+b)(2a-b)=12×10=120.故选D.
数学
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二、填空题
1.计算:(mn-3n)(mn+3n)= .
2.已知x-y=1,x+y=3,则y2-x2= .
3.(-2x+3y)(-2x-3y)的结果等于 .
m2n2-9n2
-3
4x2-9y2
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) (x-2y)(-x-2y);
解:原式=(-2y+x)(-2y-x)=(-2y)2-x2=4y2+x2.
(2) (a2b-c3)(c3+a2b).
解:原式=(a2b-c3)(a2b+c3)=(a2b)2-(c3)2=a4b2-c6.
数学
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2.计算:(a-b)(a+b)(a2+b2)-(a4+b4).
解:原式=(a2-b2)(a2+b2)-(a4+b4)=a4-b4-a4-b4=-2b4.
3.先化简,再求值.
(x-2)(2+x)-x(x-3),其中x=2.
解:原式=x2-4-(x2-3x)=x2-4-x2+3x=3x-4.
当x=2时,原式=3×2-4=2.
数学
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1.用简便方法计算,将99×101变形正确的是( )
A.99×101=1002+12 B.99×101=(100-1)2
C.99×101=1002-12 D.99×101=(100+1)2
C
解析:99×101=(100-1)(100+1)=1002-12.故选C.
◆ 能力提升◆
数学
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2.大正方形的周长比小正方形的周长长96 cm,它们的面积相差
960 cm2,求这两个正方形的边长.
解:设小正方形的边长是x cm,则大正方形的边长是(x+24)cm,
根据题意,得(x+24)2-x2=960,即48x+576=960,解得x=8,
所以x+24=32(cm).
答:小正方形的边长为8 cm,大正方形的边长为32 cm.
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3.定义新运算:对于任意数a, b,都有a b=(a-b)(a+b)-a2,比如:2 3=(2-3)×(2+3)-22=-9.
(1)求(-2) 3的值;
(2)求(-3) (-2)的值;
(3)猜想式子(a-b)(a+b)-a2化简的结果.
解:(1)(-2) 3=(-2-3)×(-2+3)-(-2)2
=(-5)×1-4=-9.
(2)(-3) (-2)=[-3-(-2)]×[-3+(-2)]-(-3)2=(-3+2)×(-5)-9=-4.
(3)(a-b)(a+b)-a2=-b2.
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北师大版 七年级数学下册(共20张PPT)
1.6 完全平方公式(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
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01
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能力提升
03
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知识点一 完全平方公式的认识
完全平方公式:(a+b)2= (a-b)2=
语言叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍.为了区别起见,我们把前者叫做完全平方和公式,后者叫做完全平方差公式.
【拓展延伸】①完全平方公式中的a, b既可以是具体的数,也可以是一个单项式或一个多项式.②公式拓展为三个数的和(或差),即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc.
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
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典型例题
【例1】计算:(-3a-2b)2.
解题思路:运用完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,先确定好公式中的a和b分别是-3a,-2b,再计算.
解:原式=[-(3a+2b)]2
=(3a+2b)2
=(3a)2+2×3a×2b+(2b)2
=9a2+12ab+4b2.
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对应练习
1.计算:
(1) (-a-2b)2;
解:原式=[-(a+2b)]2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2.
(2) -2a2+(2a+3)2.
解:原式=-2a2+4a2+12a+9=2a2+12a+9.
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名师点拨:公式的左边是一个二项式的完全平方的形式,右边是二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍,可简单记成“首平方,尾平方,加减积的2倍放中央,符号确定看前方”.切记不要把此公式与公式(ab)2=a2b2混淆,并且(a±b)2≠a2±b2,切勿把“乘积项2ab”中的“2”丢掉.
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知识点二 完全平方公式的变化
完全平方公式常有以下几种变化:
a2+b2=(a+b)2-2ab (2) a2+b2=(a-b)2+2ab
(3) (a+b)2=(a-b)2+4ab (4) (a-b)2=(a+b)2-4ab
(5) (a+b)2-(a-b)2=4ab (6) (a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2
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典型例题
【例2】已知a2+b2=5,a+b=1,则ab的值为 ( )
A.1 B.-2 C.-3 D.4
解题思路:先根据完全平方公式得出(a+b)2=a2+b2+2ab=12,再把a2+b2=5代入,即可求出答案.
解析:因为a2+b2=5,a+b=1
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=12,
所以5+2ab=1,解得ab=-2.故选B.
答案:B
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对应练习
2.已知x-y=3,xy=3,则(x+y)2的值为 ( )
A.24 B.18 C.21 D.12
C
解析:因为x-y=3,xy=3,所以(x+y)2=(x-y)2+4xy=32+4×3=21.故选C.
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3.已知(m+n)2=11,mn=2,求(m-n)2的值.
解:因为(m+n)2=11,mn=2,所以m2+n2+2mn=11,
所以m2+n2=11-2mn=11-4=7,所以(m-n)2=m2+n2-2mn=7-4=3.
名师点拨:熟悉完全平方公式的变形式,是相关整体代换求未知值的关键.
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一、选择题
1.下列计算中,错误的是( )
A.(-x-y)2=x2+2xy+y2
B.(m+2n)2=m2+4n2
C.(-3x+y)2=9x2-6xy+y2
D.=x2-x+
B
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2.如果(x+3)2=x2+ax+9,那么a的值为( )
A.3 B.±3 C.6 D.±6
C
解析:因为(x+3)2=x2+ax+9,所以(x+3)2=x2+6x+9=x2+ax+9,所以a=6.故选C.
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3.下列各式展开后结果为-m2-n2-2mn的是( )
A.(m+n)2 B.(-m+n)2
C.-(m-n)2 D.-(m+n)2
D
数学
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4.若(7x-a)2=49x2-bx+9,则|a+b|的值为( )
A.18 B.24 C.39 D.45
D
解析:因为(7x-a)2=49x2-bx+9,所以49x2-14ax+a2=49x2-bx+9,
所以-14a=-b,a2=9,解得a=±3,b=±42,
当a=3,b=42时, |a+b|=|3+42|=45,
当a=-3,b=-42时,|a+b|=|-3-42|=45.故选D.
数学
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二、填空题
1.若x2+y2=10,xy=3,则(x+y)2= ,(x-y)2= .
2.若(a-2)2-1=0,则2a2-8a的值为 .
3.若a+b=2,a2+b2=6,则ab的值是 .
16
4
-6
-1
数学
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) (2x-y)2;
解:原式=4x2-4xy+y2.
(2) (x-y)2-(x-y)(x+y).
解:原式=x2-2xy+y2-(x2-y2)=x2-2xy+y2-x2+y2=-2xy+2y2.
数学
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2.先化简,再求值.
(3x-1)2-8x,其中x=2.
解:原式=9x2-6x+1-8x2+6x=x2+1,当x=2时,原式=22+1=5.
数学
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1.如图,将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形,则可得出一个等式为( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
◆ 能力提升◆
解析:大正方形的面积S=(a+b)2或S=(a-b)2+4ab,
所以(a+b)2=(a-b)2+4ab.故选D.
D
数学
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2.已知x-=1,求x2+的值.
解:x2+=+2=12+2=3.
3.已知x+y=6,xy=4.求x2+y2和+的值.
解:因为x+y=6,xy=4,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×4=28.
+=+===.
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北师大版 七年级数学下册(共18张PPT)
1.3 同底数幂的除法(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 同底数幂的除法运算法则
同底数幂的除法法则及公式.
(1)法则:同底数幂相除,底数 ,指数 .
(2)公式:am÷an= (a≠0,m,n都是正整数,m>n).
其推导过程为:am÷an===am-n.
不变
相减
am-n
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【拓展延伸】
①公式中a可以是数,也可以是整式,如(a+2b)6÷(a+2b)2=(a+2b)4.
②当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质,例如:
am÷an÷ap=am-n-p(a≠0,m,n,p是正整数,且m>n+p).
数学
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典型例题
【例1】计算(x-y)7÷(y-x)3.
解题思路:根据同底数幂的除法法则,(x-y)7与(y-x)3的底数不相同,所以首先把(x-y)7的底数化为(y-x),但是(x-y)7的指数为奇数次方,所以要在(y-x)7前添加个负号,化为-(y-x)7.
解:(x-y)7÷(y-x)3
=-(y-x)7÷(y-x)3
=-(y-x)7-3
=-(y-x)4.
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对应练习
1.计算:
(1) (x-y)5÷(y-x)4;
解:原式=(x-y)5÷(x-y)4=x-y.
(2) (-a)6÷(-a2).
解:原式=a6÷(-a2)=-a6-2=-a4.
数学
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名师点拨:解题时应先注意是否为同底数幂,要把底数不同的幂化为同底数的幂后再相除.最后结果中幂的指数、底数都应是最简的,且底数中系数不能为负,如果幂的底数是积的形式时,要再用一次(ab)n=anbn.
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知识点二 同底数幂的除法运算性质的逆用
同底数幂除法公式的逆用:am-n= (a≠0,m,n为正整数,m>n).
am÷an
数学
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典型例题
【例2】已知am=64,an=16,求a3m-4n的值.
解题思路:根据已知条件不易求到a,m,n的值,观察a3m-4n的指数是差的形式,此时可思考逆用同底数幂的除法的法则,得到a3m-4n
=a3m÷a4n,然后再逆用幂的乘方法则,得到a3m÷a4n=(am)3÷(an)4,最后将已知条件代入即可.
解:因为am=64,an=16,所以a3m-4n=a3m÷a4n=(am)3÷(an)4=643÷164
=(26)3÷(24)4=218÷216=22=4.
数学
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对应练习
2.xa=2,x2b=3,求x2a-4b的值.
解:因为xa=2,x2b=3,所以x2a-4b=x2a÷x4b=(xa)2÷(x2b)2=22÷32=.
名师点拨:当待求的值是幂的形式,且指数为差的形式,此时可想到利用幂的运算法则进行变形求值.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.计算x3·x3÷x2的结果是( )
A.x7 B.x6 C.x5 D.x4
2.下列计算正确的是( )
A.a3·a2=a6 B.a2+a2=a4
C.(a3)2=a5 D.=a(a≠0)
3.如果3a=5, 3b=10,那么3a-b的值为( )
A. B. C. D.不能确定
D
D
A
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4.若2x=20,2y=5,则x-y的值为( )
A.5 B.2 C.6 D.4
B
解析:因为2x-y=2x÷2y=20÷5=4=22,所以x-y=2.故选B.
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二、填空题
1.(xy)5÷(xy)3= , (-a)6÷a2= .
2.若x-y=2,则3x÷3y的值为 .
3.若x2m+1÷x2=x5,则m的值为 .
4.已知xa=2,xb=-3,则x3a-2b= .
x2y2
a4
9
3
数学
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三、计算题
1. 2m+2÷2m+22.
解:原式=2m·22÷2m+22=22+22=4+4=8.
2.(a2n)2·(a2)3n÷(an)5.
解:原式=a4n·a6n÷a5n=a10n÷a5n=a5n.
3.(a·am+1)2-(a2)m+3÷a2.
解:原式=a2m+4-a2m+6÷a2=a2m+4-a2m+4=0.
4.已知2x=1,2y=2,求2x-2y+1的值.
解:因为2x=1, 2y=2,所以2x-2y+1=2x÷(2y)2×2=1÷22×2=.
数学
◆ 能力提升◆
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1.化简.
(1) (-a)8÷(-a5);
解:原式=a8÷(-a5)=-a8-5=-a3.
(2) (-3x2n+2yn)3÷[(-x3y)2]n.
解:原式=-27x6n+6y3n÷(-x3y)2n=-27x6n+6y3n÷x6ny2n=-27x6yn.
数学
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2.已知10x=20,10y=5-1,求9x÷32y.
解:因为10x-y=10x÷10y=20÷5-1=100,
所以x-y=2,所以9x÷32y=32x÷32y=32(x-y)=32×2=34=81.
3.已知4m+3·8m+1÷24m+7=16,求m的值.
解:因为原式=(22)m+3·(23)m+1÷24m+7=16,所以22m+6·23m+3÷24m+7=16,
所以22m+6+3m+3-(4m+7)=24,所以2m+2=24,所以m+2=4,解得m=2.
数学
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4.已知3a=4, 3b=10, 3c=25.
(1)求3c-b+a的值;
(2)试说明:2b=a+c.
解:(1)3c-b+a=3c÷3b·3a=25÷10×4=10.
(2)因为32b=(3b)2=102=100,3a+c=3a×3c=4×25=100,
所以32b=3a+c.所以2b=a+c.
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北师大版 七年级数学下册(共23张PPT)
1.3 同底数幂的除法(3)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 用科学记数法表示绝对值较小的数
1.科学记数法的定义:科学记数法是将一个数写成 的形式,其中 ,n为整数.
2.用科学记数法表示绝对值较小的数,是把这个数写成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为负整数.
a×10n
1≤|a|<10
数学
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典型例题
【例1】数字0.000 024 5用科学记数法表示为 ,数字4.3×10-8用小数表示为: .
解题思路:结合科学记数法的表示方法及指数|n|=从左数第一个不为0的数前面的0的个数可解答.
解析:0.000 024 5=2.45×10-5;4.3×10-8=0.000 000 043.
答案: 2.45×10-5 0.000 000 043
数学
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对应练习
1.-0.000 135用科学记数法表示为 ( )
A.-1.35×10-4 B.-1.35×104
C.1.35×10-4 D.-1.35×10-3
解析:把一个数表示成a×10-n(1≤|a|<10,且n为整数)的形式叫做科学记数法;-0.000 135用科学记数法表示为-1.35×10-4.故选A.
A
数学
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2.将数据0.000 48用科学记数法表示为4.8×10n,则n的值为( )
A.3 B.4 C.-3 D.-4
解析:0.000 48=4.8×10-4,所以n的值为-4.故选D.
D
数学
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名师点拨:
(1)n的绝对值恰好等于小数中从左数第一个不为0的数前面的0的个数(包括小数点前的0).
(2)当把a×10n形式的数(n为负整数)写成小数的形式时,a的小数点应向左移动|n|个数位.
(3)用科学记数法表示一个负数时,不要漏掉原数前的“-”.
数学
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知识点二 科学记数法在实际生活中的应用
典型例题
【例2】人民日报讯,2020年6月23日,中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星.至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署.北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟,使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒.十亿分之一用科学记数法可以表示为 ( )
A.10×10-10 B.1×10-9
C.0.1×10-8 D.1×109
数学
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解题思路:结合科学记数法的表示方法及指数|n|=从左数第一个不为0的数前面的0的个数可解答.
解析:十亿分之一==1×10-9.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
3.某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns),已知1纳秒=0.000 000 001秒,该计算机完成15次基本运算,所用时间用科学记数法表示为 ( )
A.1.5×10-9秒 B.15×10-9秒
C.1.5×10-8秒 D.15×10-8秒
C
解析:所用时间=15×0.000 000 001=1.5×10-8(秒).故选C.
数学
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4.自然界中的数学不胜枚举,如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料,其厚度为0.000 073米,将0.000 073用科学记数法表示为 ( )
A.73×10-6 B.0.73×10-4
C.7.3×10-4 D.7.3×10-5
D
数学
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名师点拨:用科学记数法表示绝对值较小的数的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为负整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点向左移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.据此解答即可.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.下列各数中一定是用科学记数法表示的为( )
A.15×10-5 B.1.56×10-8
C.0.5×10-5 D.a×10-7
B
解析:科学记数法表示成a×10n(1≤|a|<10,n为整数)的形式,符合要求的是B项.故选B.
数学
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2.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10-6 m的细颗粒物,将2.5×10-6用小数表示为 ( )
A.0.000 25 B.0.000 025
C.0.000 002 5 D.0.000 000 25
C
解析:2.5×10-6=0.000 002 5.故选C.
数学
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3. 4月24日是中国航天日,1970年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道,距地球最近点439 000米.将439 000用科学记数法表示应为( )
A.0.439×106 B.4.39×106
C.4.39×105 D.439×103
C
解析:科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,所以439 000用科学记数法可表示为4.39×105.故选C.
数学
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4.一个整数6 250…0用科学记数法表示为6.25×109,则原数中“0”的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
解析:用科学记数法表示为6.25×109的原数为6 250 000 000,所以原数中“0”的个数为7,故选C.
数学
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二、填空题
1.用科学记数法表示下列各数.
(1) -0.000 50= ;
(2) 0.060 6= ;
(3) -0.000 000 108= .
-5.0×10-4
6.06×10-2
-1.08×10-7
数学
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2.用小数表示下列各数.
(1) 10-3= ;
(2) 6.18×10-3= ;
(3) -3.05×10-4= .
0.001
0.006 18
-0.000 305
数学
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3. 230, 320, 410的大小关系是 .
4.新型冠状病毒是β属的冠状病毒,平均直径约为90纳米,已知1纳米=10-7 cm,则新型冠状病毒的平均直径约为 cm.( 用科学记数法表示)
3020>230>410
9×10-6
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知P=,Q=,那么P,Q的大小关系是( )
A.P>Q B.P=Q
C.PB
解析:因为999=(9×11)9=99×119,所以P====Q.故选B.
数学
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2.已知a,b,c,d均为正数,且a2=2,b3=3,c4=4,d5=5,那么a,b,c,d中最大的数是( )
A.a B.b C.c D.d
B
解析:因为a2=2,c4=4,所以c2=2=a2,所以a=c,又因为a6=(a2)3=23=8, b6=(b3)2=32=9,所以b>a=c,最后比较b与d的大小.
因为b15=(b3)5=(3)5=243,d15=(d5)3=53=125,所以b>d,所以a,b,c,d中b最大.故选B.
数学
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3.已知声音在空气中的传播速度是340 m/s,电磁波速度是3×108 m/s.春节晚会由中央电视台直播,是演播大厅内与舞台相距25 m的现场观众先听到歌声,还是距离北京2 900 km正坐在电视机前的边防战士先听到歌声 (结果用科学记数法表示)
解:因为与舞台相距25 m的演播大厅的观众听到歌声的时间为≈0.074=7.4×10-2(s),距离北京2 900 km正坐在电视机前的边防战士听到歌声的时间为≈9.7×10-3(s),所以距北京2 900 km正坐在电视机前的边防战士先听到歌声.
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北师大版 七年级数学下册(共24张PPT)
1.3 同底数幂的除法(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 零指数幂
零指数幂:任何不等于0的数的零次幂都等于 ,即a0= (a≠0).
1
1
数学
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【例1】若(x-1)0=1成立,则x的取值范围是 ( )
A.x=-1 B.x=1 C.x≠0 D.x≠1
解题思路:根据零指数幂的意义即可求解.
解析:由题意可知:x-1≠0,x≠1.故选D.
答案:D
典型例题
数学
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对应练习
1.如果a≠0,那么下列计算正确的是 ( )
A.(-a)0=0 B.(-a)0=-1
C.-a0=1 D.-a0=-1
D
解析:因为a≠0,所以a0=1,-a≠0,所以(-a)0=1,-a0=-1,所以选项A,B,C都不成立.故选D.
数学
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名师点拨:除0外,任何数的零次幂都等于1.要使a0=1有意义,底数a≠0;要使a0=1无意义,底数a=0.
数学
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知识点二 负整数指数幂
负整数指数幂:任何不等于0的数的-p(p是正整数)次幂,等于这个数的p次幂的 .即a-p= (a≠0,p是正整数).公式可以逆用:= (a≠0,p为正整数).
倒数
a-p
数学
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典型例题
【例2】将下列各式表示成只含有正整数指数幂的形式.
(1) (-x)-2; (2) 2x2y-3.
解题思路:根据负整数指数幂的意义进行转换即可解答.
解:(1)原式==.
(2)原式=2x2·=.
数学
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对应练习
2.计算:(a3b)-2= . ( )
A. B.a6b2 C. D.-2a3b
3.(1) 5xy(x+y)-3; (2) 4-3a-1b2.
解:(1)原式=5xy·=.
(2)原式=··b2=.
A
数学
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名师点拨:解答此类题目时,底数为负数时要特别注意结果的符号,负数的偶次幂是正数,正数的任何次幂都是正数.
数学
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知识点三 零指数幂与负整数指数幂的混合运算
典型例题
【例3】若式子(x+1)0-(x-2)-2有意义,则x的取值范围是 .
解题思路:根据零指数幂的运算方法以及负整数指数幂的运算方法,求出x的取值范围即可.
解析:由零指数幂和负整数指数幂的意义可知,x+1≠0且x-2≠0,所以x≠-1,且x≠2.
答案:x≠-1且x≠2
数学
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对应练习
4.若(x-2 023)10+(x+2 024)-2有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≠2 023
B.x≠-2 024
C.x≠2 023且x≠-2 024
D.任何数
C
解析:由题意知x-2 023≠0且x+2 024≠0,所以x≠2 023且x≠-2 024.故选C.
数学
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名师点拨:解答此类题时,关键是确保式子有意义,即是使零指数幂和负整数指数幂的底数不为0.再联合求解.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1. 2-3可以表示为( )
A.22÷25 B.25÷22
C.22×25 D.(-2)×(-2)×(-2)
A
解析:A项,22÷25=22-5=2-3,符合题意;B项,25÷22=23,不符合题意;
C项,22×25=27,不符合题意;D项,(-2)×(-2)×(-2)=(-2)3,不符合题意.故选A.
数学
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2.已知a=(-1)0,b=-2-2,c=(-2)-2,则a,b,c的大小关系是( )
A.cC.bD
解析:因为a=(-1)0=1,b=-2-2=-,c=(-2)-2=,所以b数学
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3.计算(a2)3+a2·a3-a2÷a-3,结果是( )
A.2a5-a B.2a5- C.a5 D.a6
D
解析:原式=a6+a2+3-a2-(-3)=a6+a5-a5=a6.故选D.
数学
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二、填空题
1.计算:+(π-5)0= .
2.已知(2x-3)0=1,则x的取值范围是 .
3.若7-2×7-1×70=7p,则p的值为 .
10
x≠
-3
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三、计算题
1.(a2)3÷(a0×a6);
解:原式=a6÷a6=1.
2.(2 023-π)0-(3.6-π)0;
解:原式=1-1=0.
数学
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3. 2+(-3)2-2 0240×|-4|+;
解:原式=2+9-1×4+6=13.
4.-(3.14-π)0+0.253×43.
解:原式=2-1+×64=2-1+1=2.
数学
◆ 能力提升◆
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1.我们规定:a-p=(a≠0),即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数.
例:4-2=.
(1)计算:6-2= ;(-3)-2= ;
(2)如果2-p=,那么p= ;如果a-2=,那么a= ;
3
4
数学
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(3)如果a-p=,且a,p为整数,求满足条件的a,p的取值.
解:因为a,p为整数,且a-p==9-1=3-2=(-3)-2,
所以当a=9时,p=1;当a=3时,p=2;当a=-3时,p=2.
数学
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2.若没有意义,求x-3的值.
解:因为没有意义,所以x-=0,
即x=,所以x-3===8.
数学
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3.若m,n满足|m-3|+(n+2 024)2=0,求m-1+n0的值.
解:因为|m-3|+(n+2 024)2=0,
所以m-3=0,n+2 024=0,解得m=3,n=-2 024,
所以m-1+n0=3-1+(-2 024)0=+1=1.
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北师大版 七年级数学下册(共22张PPT)
1.4 整式的乘法(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
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知识点一 单项式与多项式相乘法则
1.单项式乘多项式法则:单项式与多项式相乘,就是根据 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积 .
用式子表示是:m(a+b+c)= .
2.单项式与多项式相乘的步骤:
(1)按乘法分配律写成单项式与单项式乘积 的形式;
(2)进行单项式的乘法运算;
(3)再把所得的积 .
乘法分配律
相加
ma+mb+mc
和
相加
数学
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典型例题
【例1】计算·(-6xy).
解题思路:利用单项式乘多项式运算法则m(a+b+c)=ma+mb+mc进行计算.
解:原式=(3x2)·(-6xy)+·(-6xy)+1·(-6xy)=-18x3y+8xy2-6xy.
数学
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对应练习
1.计算x(y-z)-y(z-x)+z(x-y)等于 ( )
A.2xy-2yz B.-2yz
C.xy-2yz D.2xy-xz
1.A 解析:原式=xy-xz-yz+xy+xz-zy=2xy-2yz.故选A.
A
数学
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2.(1)计算:2x= .
(2)计算:-a(a3-2)= .
2x3-3x2+10x
-a4+2a
数学
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名师点拨:单项式乘多项式的注意事项:
(1)单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同.
(2)单项式分别与多项式的每一项相乘时要注意积的各项符号的确定:同号相乘得正,异号相乘得负.
(3)不要出现漏乘现象,运算要有顺序.
数学
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知识点二 单项式与多项式相乘法则的应用
典型例题
【例2】如果(-3x)2(x2-2nx+2)的展开式中不含x3项,求n的值.
解题思路:要使(-3x)2(x2-2nx+2)的展开式中不含x3项,只需展开式中含x3项的系数为零;利用单项式与多项式的乘法法则对式子展开,然后令式中含x3项的系数为零,即可列出关于n的方程,从而求出n的值.
解:(-3x)2(x2-2nx+2)=9x2(x2-2nx+2)=9x4-18nx3+18x2.因为展开式中不含x3项,所以n=0.
数学
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对应练习
3.要使(y2-ky+2y)·(-y)的展开式中不含y2项,则k的值为 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.3
解析:(y2-ky+2y)·(-y)=-y3+ky2-2y2=-y3+(k-2)y2,根据题意,得k-2=0,所以k=2.故选C.
C
数学
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4.如果(x2-a+1)x的展开式中只含有x3这一项,求a的值.
解:因为(x2-a+1)x=x3-ax+x,由题意知展开式中只含有x3这一项,
所以-ax+x=0,即(-a+1)x=0,所以-a+1=0,解得a=1.
数学
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名师点拨:此类题是有关多项式中不含某项的一类题,解题的方法是将所给式子先整理成按降幂或者升幂的形式排列,然后根据题意要使哪一项不存在,只需该项的系数为0即可.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.单项式与多项式相乘的依据是( )
A.加法的结合律 B.乘法的结合律
C.乘法的分配律 D.乘法的交换律
C
解析:加法结合律:a+b+c=(a+b)+c;乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c);乘法分配律:(a+b)×c=ac+bc;乘法交换律:a×b=b×a.故选C.
数学
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2.把2a(ab-b+c)化简后得( )
A.2a2b-ab+ac B.2a2-2ab+2ac
C.2a2b+2ab+2ac D.2a2b-2ab+2ac
D
数学
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3.已知ab2=-1,则-ab(a2b5-ab3-b)的值等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.无法确定
C
解析:因为ab2=-1,所以原式=-(ab2)3+(ab2)2+ab2=1+1-1=1.故选C.
数学
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4.若计算(x2+ax+5)·(-2x)-6x2的结果中不含有x2项,则a的值为( )
A.-3 B.- C.0 D.3
A
解析:(x2+ax+5)·(-2x)-6x2=-2x3-2ax2-10x-6x2=-2x3-(2a+6)x2-10x,因为此多项式不含有x2,所以2a+6=0,所以a=-3.故选A.
数学
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二、填空题
1.如果长方体的长为3a-4,宽为2a,高为2a,则它的体积是 .
2.当a-2b=2时,代数式4a-8b-6的值为 .
3.已知:(x4-n+ym+3)·xn=x4+x2y7,则m+n的值是 .
12a3-16a2
2
6
3. 解析:(x4-n+ym+3)·xn=x4+xnym+3=x4+x2y7,所以n=2,m+3=7,即m=4,n=2,则m+n=4+2=6.
数学
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) (-2mn);
解:原式=-10mn3+m2n2-2mn.
(2) (-3x)(2x2-3x+1);
解:原式=-6x3+9x2-3x.
数学
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(3) -3x2·-10x·(x2y-xy2).
解:原式=-x3y+3x2y2-10x3y+10x2y2
=13x2y2-11x3y.
数学
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2.计算图中阴影部分的面积.
解:π-π=πa2-πa2=πa2,
故阴影部分的面积为πa2.
数学
◆ 能力提升◆
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1.长方体的长、宽、高分别是(2a-1), 3a和a,求它的表面积.
解:S表面积=2(2a-1)·3a+2(2a-1)a+2×3a·a
=12a2-6a+4a2-2a+6a2
=(12a2+4a2+6a2)-(6a+2a)
=22a2-8a.
数学
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2.如图,两个正方形的边长分别为a,b,求阴影部分的面积.
解:S阴影=a2+b2-a2-(a+b)b
=a2+b2-a2-
=a2+b2-a2-ab-b2
=+-ab
=a2+b2-ab.
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北师大版 七年级数学下册(共20张PPT)
1.7 整式的除法(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 单项式除以单项式法则
单项式除以单项式的运算法则:单项式相除,把 、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的 ,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
【拓展延伸】
①单项式除以单项式的法则类比单项式乘单项式的法则来理解.
②单项式除法与单项式乘法互为逆运算,所以可以用单项式乘法来检验单项式除法的计算结果的正确性.
系数
字母
数学
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典型例题
【例1】计算:(-4x4y5z3)÷(2x2y3).
解题思路:系数进行相除,字母进行同底数幂相除.
解:原式=(-4÷2)(x4÷x2)(y5÷y3)z3=-2x2y2z3.
数学
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对应练习
1.计算:
(1)÷3x2y2= ;
(2)-10a4b3c2÷5a2b= ;
(3)若8a3b2÷M=4ab2,则M= .
-y3
-2a2b2c2
2a2
数学
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名师点拨:单项式除以单项式,解题的依据是单项式除法法则,计算时要弄清两个单项式的系数,哪些是同底数幂,哪些是只在被除式里出现的字母,不要漏掉只在被除式里出现的字母.
数学
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知识点二 单项式除以单项式法则的应用
典型例题
【例2】若a为正整数,且x2a=5,则(2x3a)2÷4x4a的值为 ( )
A.5 B. C.25 D.10
解题思路:根据积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘计算;再根据单项式除单项式的法则计算,然后将x2a=5代入即可求出原代数式的值.
解析:原式=4x6a÷4x4a=x2a,当x2a=5时,原式=x2a=5.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
2.已知a3b6÷a2b2=4,求a2b8的值.
解:因为a3b6÷a2b2=ab4=4,所以a2b8=(ab4)2=42=16.
3.已知9a7bmc2÷3a2b3=3anc2,求m,n的值.
解:因为9a7bmc2÷3a2b3=3a5bm-3c2=3anc2.
所以n=5,m-3=0,所以n=5,m=3.
数学
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名师点拨:本例题考查的是代数式的求值,应先用单项式除以单项式法则化简,再代入已知量求值.
数学
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一、选择题
1.计算(2a3b2)2÷2ab2的结果为( )
A.2a2 B.2a5b2 C.4a4b2 D.4a5b2
2.若□·2xy=16x3y2,则□内应填的单项式是( )
A.4x2y B.8x3y2 C.4x2y2 D.8x2y
B
D
◆ 基础巩固◆
数学
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3.下列算式计算错误的是( )
A.4x2y5÷4xy=xy4
B.16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c
C.9x8y2÷3x2y=3x6y
D.2x4y2÷2xy2=x3
B
数学
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4.已知28a3bm÷28anb2=b2,那么m,n的值分别为( )
A.4, 3 B.4, 1 C.1, 3 D.2, 3
解析:因为28a3bm÷28anb2=b2,所以a3-nbm-2=b2,所以3-n=0,m-2=2,所以m=4,n=3.故选A.
A
数学
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二、填空题
1. 6(a-b)5÷3(a-b)3= .
2.若(2a)3·M÷12a3b2=-b4,则M= .
3.一个三角形的面积为4a3b4,底边的长为2ab2,则这个三角形的高为
.
2a2-4ab+2b2
-b6
4a2b2
解析:因为(-b4)×12a3b2÷(2a)3=-12a3b6÷8a3=-b6,所以M=-b6.
数学
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三、解答题
计算下列各题.
(1) (-8x2y3z)2÷(8xy2)2 ;
解:原式=64x4y6z2÷64x2y4=x2y2z2.
(2) (4xy3)(-2x2y)÷(-8xy2);
解:原式=-8x3y4÷(-8xy2)=[-8÷(-8)]x3-1y4-2=x2y2.
数学
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(3) (4x5y3)÷;
解:原式=4÷x5-2y3-3=-16x3.
(4) 已知6am+5bm÷(-2abn)=-3a7b,求m,n的值.
解:因为6am+5bm÷(-2abn)=-3a7b,所以-3am+4bm-n=-3a7b,
所以m+4=7,m-n=1,解得m=3,n=2.
数学
◆ 能力提升◆
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1.计算:32a2by·÷a2b3y4.
解:原式=32a2by·÷a2b3y4
=-a2b7y7÷a2b3y4
=-4a2b7y7÷a2b3y4
=-b4y3
=-20b4y3.
数学
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2.已知(2m3na)2÷28mbn2=mn2, 试求(2a3b)2÷(-3a5b)的值.
解:由(2m3na)2÷28mbn2=m6-bn2a-2=mn2,
得6-b=1,2a-2=2,所以b=5,a=2.
所以(2a3b)2÷(-3a5b)=4a6b2÷(-3a5b)=-ab=-×2×5=-.
数学
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3.已知(a-2)2+(b+2)2+(c-3)2=0,求a2b3c4·(3ab2c2)2÷6(a2b3c4)2的值.
解:因为(a-2)2+(b+2)2+(c-3)2=0,所以a=2,b=-2,c=3.
所以a2b3c4·(3ab2c2)2÷6(a2b3c4)2=a2b3c4·9a2b4c4÷6a4b6c8
=a2+2-4b3+4-6c4+4-8=b=×(-2)=-1.
数学
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4.一圆柱形桶内装满了水,已知桶的底面直径和高都为m,另一长方体形容器的长为m,宽为m,若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中刚好倒满,求长方体形容器的高是多少
解:π·m÷=π·÷=mπ.
所以长方体形容器的高为mπ.
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北师大版 七年级数学下册(共20张PPT)
1.4 整式的乘法(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
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目 录
能力提升
03
数学
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知识点一 单项式与单项式相乘法则
1.单项式乘单项式法则:单项式与单项式相乘,把它们的 、
的幂分别相乘,其余字母连同它的 不变,作为积的
.
2.单项式乘单项式步骤:(1)系数 ;(2)相同字母的 相乘;
(3)只在一个单项式中出现的字母,连同它的指数,作为积的一个因式.
系数
相同字母
指数
因式
相乘
幂
数学
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典型例题
【例1】计算(-2x3y)2·(-2x).
解题思路:先算乘方(-2x3y)2,再进行单项式乘单项式.
解:原式=(4x6y2)·(-2x)=[4×(-2)]·(x6·x)·y2=-8x7y2.
数学
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对应练习
1.计算:2x2y3·.
解:原式=·(x2·x3)·(y3·y2)=-x5y5.
数学
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名师点拨:单项式与单项式相乘,把乘式分成系数、相同字母、不同字母三部分,其中积的系数是单项式系数的积,相同字母根据同底数幂的乘法法则进行运算,不同字母直接写下来即可,但要注意符号问题.注意:①有乘方运算,先算乘方,再算单项式相乘.②单项式乘单项式的结果仍是单项式.
数学
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知识点二 单项式与单项式相乘法则的应用
典型例题
【例2】已知-2x3m+1y2n与7xm-6y-3-n的积与x4y是同类项,求m和n的值.
解题思路:利用单项式与单项式相乘的运算法则进行乘法计算,根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同可得出答案.
解:(-2x3m+1y2n)·(7xm-6y-3-n)=-14x4m-5yn-3.
因为-14x4m-5yn-3与x4y是同类项,所以4m-5=4,n-3=1,解得m=,n=4.
数学
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对应练习
2.已知(x2y3)m·(2xyn+1)2=x4·y9,求m,n的值.
解:(x2y3)m·(2xyn+1)2
=x2my3m·4x2y2n+2
=x2m+2y3m+2n+2=x4·y9.
所以2m+2=4且3m+2n+2=9.解得m=1,n=2.
数学
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名师点拨:单项式乘单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘,结合同类项的定义,列出一元一次方程求出参数的值即可.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.计算2a2b3·(-3a)的结果是( )
A.-6a3b3 B.6a2b3
C.6a3b3 D.-6a2b3
2.若(8×106)×(5×102)×(2×10)=M×10a (1≤M<10,a为整数),则M, a的值为( )
A.M=8,a=10 B.M=8,a=8
C.M=2,a=9 D.M=5,a=10
A
A
数学
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3.下列计算正确的是( )
A.6x2y·3xy=9x3y2
B.(2ab2)·(-ab)=-a2b3
C.(mn)2·(-m2n)=-m3n3
D.(-3x2y)·(-3xy)=9x3y2
D
数学
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4.若ab3=-2,则(-3ab)·2ab5等于( )
A.-12 B.24 C.12 D.-24
D
解析:(-3ab)·2ab5=-6a2b6=-6(ab3)2=-6×(-2)2=-24.故选D.
数学
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二、填空题
1.x的m次方的5倍与x2的7倍的积为 .
2.有一块长为x m、宽为y m的长方形空地,现在要在这块空地中规划一块长x m,宽y m的长方形空地用于绿化,则绿化的面积为
m2,剩下的面积为 m2.
35xm+2
xy
xy
数学
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) (-3xy2)3·;
解:原式=-27x3y6·x3y=x3+3y6+1=-9x6y7.
(2) (-x2y)3··x;
解:原式=(-x6y3)··x=x8y4.
数学
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(3) 2x2·(-xy3).
解:原式=[2×(-1)]·(x2·x)·y3=-2x3y3.
数学
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2.先化简,再求值.
xy2·14(xy)2·x5,其中x=4,y=.
解:因为x=4,y=,所以原式=(xy)4x4=××44=8.
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知3x3y2与8xay的积为bx5y3,求a+b的值.
解:因为3x3y2·8xay=bx5y3,所以24x3+ay3=bx5y3,
所以3+a=5,b=24,所以a=2,所以a+b=2+24=26.
数学
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2.如图是一个长方形娱乐场的平面设计图,其宽为a,长为a.在这个娱乐场中有一个长为a,宽为a的长方形泳池和一个两直角边长分别为a与a的直角三角形活动场,剩下的部分为草坪,则草坪的面积是多少
解:S草坪=S娱乐场-S泳池-S活动场=a·a-a·a-·a·a
=a2-a2-a2=a2.
答:草坪的面积是a2.
数学
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3.已知甲数为a×10n,乙数是甲数的10倍,丙数是乙数的2倍,甲、乙、丙三数的积为1.6×1012,求a, n的值.(其中1≤a<10,n为正整数)
解:根据题意,得(a×10n)×(10×a×10n)×(2×10×a×10n)=2a3×103n+2=1.6×1012,
因为1≤a<10,n为正整数,所以2a3=16,即a=2.
所以103n+2=1011,即3n+2=11,解得n=3.
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北师大版 七年级数学下册(共32张PPT)
1.6 完全平方公式(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
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知识点一 完全平方公式的逆用
注意公式的可逆性,灵活逆用公式解决问题.
a2+2ab+b2= a2-2ab+b2=
【拓展延伸】
①a2+2ab+2b2+2bc+c2=a2+2ab+b2+b2+2bc+c2=(a+b)2+(b+c)2;
②a2+2ab-2bc-c2=a2+2ab+b2-b2-2bc-c2=(a+b)2-(b+c)2.
(a+b)2
(a-b)2
数学
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典型例题
【例1】若4x2-ax+25是完全平方式,求a的值.
解题思路:本题是完全平方公式的灵活应用,这里首末两项是2x和5的平方,那么中间项为加上或减去2x和5的乘积的2倍.
解:因为4x2-ax+25是完全平方式,
所以4x2-ax+25=(2x±5)2=4x2±20x+25，所以a=±20.
数学
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对应练习
1.如果9x2+kx+49是一个完全平方式,求k的值.
解:因为9x2+kx+49是一个完全平方式,
所以9x2+kx+49=(3x±7)2=9x2±42x+49.
所以k=±42.
数学
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名师点拨:套用公式a2±2ab+b2=(a±b)2,先确定公式中的a和b,分别是2x和5;然后是2ab;防止漏掉-2ab这一种情况.
数学
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知识点二 完全平方公式的推导过程
利用拼图法验证完全平方公式:
如图①所示的图形中的阴影部分可以看成边长为a+b的正方形,其面积可以表示为(a+b)2;也可以看成是由四部分组成的图形,其面积可以表示为a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
由此可得(a+b)2=a2+2ab+b2.
数学
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如图②所示的图形中的阴影部分可以看成边长为a-b的正方形,
其面积可以表示为(a-b)2;也可以用边长为a的正方形的面积减去2
个长为a,宽为b的长方形的面积,再加上边长为b的正方形的面积,
其面积可以表示为a2-2ab+b2.由此可得(a-b)2=a2-2ab+b2.
数学
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典型例题
【例2】如图,将图①中阴影部分拼成图②,根据两个图形中阴影部分的关系,可以验证下列哪个公式 ( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
数学
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解题思路:图①正方形的边长为(a-b),面积为(a-b)2,图②阴影部分的面积为大正方形的面积减去空白部分的面积用代数式表示即可.
解析:图①正方形的边长为(a-b),面积为(a-b)2,图②阴影部分
的面积为大正方形的面积减去空白部分的面积,即a2-2ab+b2,
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
2.图①是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空余部分的面积是 ( )
A.ab
B.(a-b)2
C.(a+b)2
D.ab
B
数学
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解析:图①是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,所以正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,因为原矩形的面积为4ab,所以中间空余部分的面积=(a+b)2-4ab=(a-b)2.故选B.
数学
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3.如图①,大正方形卡片的边长为a,小正方形卡片的边长为b,取出两张小卡片放入大卡片内拼成如图②所示图形,已知图②中的阴影部分A的面积等于阴影部分B, C的面积之和,那么a与b之间的关系为 .
2b2=a2
数学
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解析:阴影A的面积=(2b-a)2,阴影B的面积=阴影C的面积=(a-b)2.
根据题意,得(2b-a)2=2(a-b)2,即4b2-4ab+a2=2a2-4ab+2b2,所以2b2=a2.
数学
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名师点拨:利用几何图形验证完全平方公式的基本思路:分别用两种形式表示出两个图形的面积,利用面积相等得到一个等式,最后把等式进行化简整理,即可得到完全平方公式.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.下列变形中,错误的是( )
①(b-4c)2=b2-16c2;
②(a-2bc)2=a2+4abc+4b2c2;
③(x+y)2=x2+xy+y2;
④(4m-n)2=16m2-8mn+n2.
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
A
数学
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解析:因为(b-4c)2=b2-8bc+16c2,所以①错误;(a-2bc)2=a2-4abc+4b2c2,所以②错误;(x+y)2=x2+2xy+y2,所以③错误;(4m-n)2=16m2-8mn+n2,所以④正确.故选A.
数学
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2.化简(a+2)2-(a-2)2的结果是( )
A.2 B.4 C.8a D.2a2+2
3.若x2+6x+k(k为常数)满足a2+2ab+b2的形式,则k等于( )
A.9 B.-9 C.±9 D.±3
C
A
解析:据题意得x2+6x+k=(a+3)2=x2+6x+9.所以k=9.故选A.
数学
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二、填空题
1.将-a2+2ab-b2化为完全平方式为 .
2. 1+8y+ =( +4y)2.
-(a-b)2
16y2
1
数学
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3.如图所示,在下列横线上用含有a,b的代数式表示相应图形的面积.
通过拼图,你发现前三个图形的面积与第四个图形的面积之间有什么关系 请用数学式子表达: .
4.已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为 .
a2+2ab+b2=(a+b)2
49
数学
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三、解答题
1.计算:
(1) (99.9)2;
解:原式=(100-0.1)2=1002-2×100×0.1+0.12=10 000-20+0.01
=9 980.01.
(2) 2 0232-4 046×2 024+2 0242;
解:原式=2 0232-2×2 023×2 024+2 0242=(2 023-2 024)2=1.
数学
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(3) (2x-y)(x+2y)-(x-2y)2;
解:原式=2x2+4xy-xy-2y2-x2+4xy-4y2=x2+7xy-6y2.
(4) (x-y+5)(x-y-5).
解:原式=(x-y)2-52=x2-2xy+y2-25.
数学
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2. 已知-4x=5y,求(x+2y)2-(x+y)(x-y)的值.
解:原式=x2+4xy+4y2-(x2-y2)=x2+4xy+4y2-x2+y2=4xy+5y2=y(4x+5y).
因为-4x=5y,所以4x+5y=0,所以原式=y×0=0.
数学
◆ 能力提升◆
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1. 4张长为a,宽为b(a>b)的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形,图中空白部分的面积为S1,阴影部分的面积为S2,若S1=2S2,则a,b满足( )
A.2a=5b
B.2a=3b
C.a=3b
D.a=2b
D
数学
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解析:S1=b(a+b)×2+ab×2+(a-b)2=a2+2b2,
S2=(a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+2b2)=2ab-b2,
因为S1=2S2,所以a2+2b2=2(2ab-b2),整理,得(a-2b)2=0,
所以a-2b=0,所以a=2b,故选D.
数学
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2.若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求的值.
解:因为m2+2mn+2n2-6n+9=0,所以(m+n)2+(n-3)2=0,
所以n=3,m=-3,所以==-.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)若(x+2)2+y2+8y+16=0,求的值;
解:原等式即为(x+2)2+(y+4)2=0,
所以x=-2,y=-4,所以==2.
数学
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(2)若x2+2y2-2xy+2y+1=0,求x+2y的值.
解:因为x2+2y2-2xy+2y+1=0,
所以(x2+y2-2xy)+(y2+2y+1)=0,
(x-y)2+(y+1)2=0,所以x=y=-1,
所以x+2y=-1+2×(-1)=-3.
数学
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3.(1)阅读材料:
若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值.设9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,所以(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)2的值.
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解:设5-x=a,x-2=b,则(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3,
所以(5-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5.
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(2)观察下列式子:
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;
22+(2×3)2+32=(2×3+1)2;
32+(3×4)2+42=(3×4+1)2.
……
写出第n个式子,并验证.
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解:第n个式子:
n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2
验证:左边=n2+(n2+n)2+(n+1)2
=(n2+n)2+2n2+2n+1
=(n2+n)2+2(n2+n)+1
=(n2+n+1)2,
右边=(n2+n+1)2,所以左边=右边,
所以等式成立.
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北师大版 七年级数学下册(共21张PPT)
1.7 整式的除法(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
03
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 多项式除以单项式法则
多项式除以单项式的运算法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以 ,再把所得的 相加.
【拓展延伸】
①多项式除以单项式可以转化为单项式除以单项式来解决.
②多项式除以单项式与单项式乘多项式互为逆运算,所以可以用单项式乘多项式来检验多项式除以单项式的计算结果的正确性.
单项式
商
数学
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典型例题
【例1】计算:(-2x2y+6x3y4-2xy)÷(-2xy).
解题思路:把多项式的每一项分别除以单项式,从而转化为单项式除以单项式.
解:原式=(-2x2y)÷(-2xy)+6x3y4÷(-2xy)-2xy÷(-2xy)=x-3x2y3+1.
数学
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对应练习
1.计算(-4a2-12a3b)÷(4a2)的结果是 ( )
A.1-3ab B.-3ab
C.1+3ab D.-1-3ab
D
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名师点拨:转化为单项式除以单项式,先确定商的每一项的符号;相除的过程中不要漏掉1这一项;结果仍是一个多项式,原来多项式的项数是几项,结果仍是几项.
数学
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知识点二 多项式除以单项式法则的应用
典型例题
【例2】已知一个多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y7-28x7y4+7y(2x3y2)2,求这个多项式.
解题思路:由于这个多项式乘-7x5y4等于21x5y7-28x7y4+7y(2x3y2)2,所以这个多项式等于[21x5y7-28x7y4+7y(2x3y2)2]÷(-7x5y4),从而转化为多项式除以单项式.
数学
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解:[21x5y7-28x7y4+7y(2x3y2)2]÷(-7x5y4)
=(21x5y7-28x7y4+28x6y5)÷(-7x5y4)
=21x5y7÷(-7x5y4)+(-28x7y4)÷(-7x5y4)+28x6y5÷(-7x5y4)
=-3y3+4x2-4xy.
所以这个多项式为-3y3+4x2-4xy.
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对应练习
2.已知一个多项式与单项式-2xy的积为6x3y2-4x2y-2xy2,求这个多项式.
解:由题意可知(6x3y2-4x2y-2xy2)÷(-2xy)
=6x3y2÷(-2xy)-4x2y÷(-2xy)-2xy2÷(-2xy)=-3x2y+2x+y.
所以这个多项式为-3x2y+2x+y.
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名师点拨:本题主要考查多项式与单项式的除法运算,解题的关键是熟练运用多项式除以单项式的运算法则.
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一、选择题
1.计算[(a+b)2-(a-b)2]÷4ab的结果是( )
A. B. C.1 D.0
C
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2.下列运算中不正确的有( )
①(6ab+5a)÷a=6b+5;
②(8x2y-4xy2)÷(-4xy)=-2x-y;
③(15x2yz-10xy2)÷(5xy)=3x-2y;
④(3x2y-3xy2+x)÷x=3xy-3y2.
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
B
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解析:②原式=-2x+y,故②错误;③原式=3xz-2y,故③错误;
④原式=3xy-3y2+1,故④错误.故选B.
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3.若4x3-2x2+k-2x能被2x整除,则常数k的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
C
解析:因为4x3, -2x2, -2x均能被2x整除,所以k也能被2x整除,又因为k为常数,所以k=0.故选C.
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二、填空题
1.( )÷4x=2x2y-3xy+4y.
2.小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是
x4y2-2xy2,商式必须是2xy,则小亮报一个除式是 .
8x3y-12x2y+16xy
x3y-y
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3.已知△ABC的面积为6m4-3a2m3+a2m2,一边长为3m2,则这条边上的高为 .
4m2-2a2m+a2
解析:2(6m4-3a2m3+a2m2)÷(3m2)=(12m4-6a2m3+2a2m2)÷(3m2) =4m2-2a2m+a2.
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三、解答题
1.计算下列各题.
(1) ÷;
解:原式=-×y+6×xy3-1-×y5-1=-y+9xy2-y4.
(2) (-12a3-5a3b2-16a2b2)÷(-2a)2.
解:原式=(-12a3-5a3b2-16a2b2)÷4a2=-3a-ab2-4b2.
数学
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2.已知a=2 024,b=2,求:(2a-3b)2-(12a3b-36a2b2)÷3ab的值.
解:原式=4a2-12ab+9b2-(4a2-12ab)=4a2-12ab+9b2-4a2+12ab=9b2,
当b=2时,原式=9×22=36.
数学
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1.小明在做一个多项式除以a的题时,由于粗心误认为乘a,结果是8a4b-4a3+2a2,那么你能知道正确的结果是多少吗
解:原多项式为(8a4b-4a3+2a2)÷=16a3b-8a2+4a,
所以正确结果为(16a3b-8a2+4a)÷=32a2b-16a+8.
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2.老师给学生出了一道题:当x=2 021,y=2 020时,求[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y的值.题目出完后,小明看了看说:“老师给的条件y=2 020是多余的.”小敏说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理 为什么
解:小明说的有道理.理由如下:因为[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y =(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷x2y=x3y÷x2y=x.所以原式的值与y的取值无关,即y=2 020是多余的,故小明说的有道理.
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北师大版 七年级数学下册
