(共34张PPT)
4.1 认识三角形(3)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的 .
中线
数学
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典型例题
【例1】如图,D为AC上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是 ( )
A.DE是△BDC的中线
B.BD是△ABC的中线
C.D为AC的中点,E为BC的中点
D.DE是△ABC的中线
数学
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解题思路:由题意知,点D,E分别是AC,BC的中点,故根据中线的概念分析各个选项.
解析:因为BE=EC,所以DE是△BDC的中线,所以选项A说法正确,选项D说法不正确;因为AD=DC,所以BD是△ABC的中线,所以选项B说法正确;因为AD=DC,所以D为AC的中点,因为BE=EC,所以E为BC的中点,所以选项C说法正确.故选D.
答案:D
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对应练习
1.如图,BD=DE=EC,AF是△ADE的中线,则下列结论正确的有 ( )
①BE=CD;
②AD是△ABF的中线;
③AE是△ACD的中线;
④AF是△ABC的中线.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
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解析:因为BD=DE=EC,AF为△ADE的中线,
所以BD+DE=DE+CE,DF=EF,所以BE=CD,故①正确;
因为BD≠DF,所以AD不是△ABF的中线,故②错误;
因为DE=CE,所以AE是△ADC的中线,故③正确;
因为BD=CE,DF=EF,所以BD+DF=CE+EF,即BF=CF,所以AF是△ABC的中线,故④正确,
综上,正确的有①③④,共3个.故选B.
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2.如图,在△ABC中,D,E,F,G分别是AB,AC,EC,BC的中点,其中有一条线段将△ABC的面积平分,则该线段是 ( )
A.线段DE
B.线段FG
C.线段EF
D.线段BE
D
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解析:因为E是AC的中点,所以AE=CE,因为△ABE和△CBE同高,所以S△ABE=S△CBE,所以线段BE将△ABC的面积平分,故选D.
数学
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名师点拨:
(1)三角形的中线是一条线段,并且有一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在对边上;
(2)中线平分一条边;
(3)三角形有三条中线,无论三角形的形状如何,三条中线的交点都在三角形的内部;
(4)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
数学
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知识点二 三角形的重心
三角形的三条 交于一点,这个点称为三角形的重心.
中线
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典型例题
【例2】如图,已知点P是△ABC的重心,连接AP,并延长交BC于点D.若△ABC的面积为20,则△ADC的面积为 .
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解题思路:依据P是△ABC的重心,即可得到AD是△ABC的中线,进而得出△ADC的面积等于△ABC面积的一半.
解析:因为点P是△ABC的重心,所以AD是△ABC的中线,所以△ADC的面积等于△ABC面积的一半,又因为△ABC的面积为20,所以△ADC的面积为10.
答案:10
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对应练习
3.如图,点G是△ABC的重心,BG,CG的延长线分别交AC,AB边于点E,D,若△ABE的面积为12,则△BCD的面积为 .
12
数学
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4.如图,在△ABC中,E在AD上,且E是△ABC的重心,若S△ABC=36,则S△AEC等于 ( )
A.9
B.4
C.6
D.12
D
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名师点拨:
重心的性质:
(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
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知识点三 三角形的角平分线
1.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线.
2.三角形的三条角平分线相交于一点.
线段
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典型例题
【例3】如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,
则∠ADC的度数是 ( )
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
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解题思路:根据三角形的内角和定理可求得∠ACB,由角平分线的定义求出∠ACD,根据三角形的内角和定理即可求得∠ADC.
解析:因为∠A=30°,∠B=50°,
所以∠ACB=180°-30°-50°=100°.因为CD平分∠ACB,
所以∠ACD=∠BCD=∠ACB=×100°=50°,
所以∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-30°-50°=100°.故选C.
答案:C
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对应练习
5.如图所示,若有∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,则下列结论中错误的是 ( )
A.AD是△ABC的角平分线
B.CE是∠ACD的角平分线
C.∠BCE=∠ACB
D.∠ADB=∠ADC
D
数学
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6.如图,在△ABC中,点D是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,∠A=80°,∠ABD=30°,则∠ACD为 ( )
A.25°
B.20°
C.15°
D.10°
B
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名师点拨:三角形的角平分线与角平分线既有相同点也有不同点,相同点是:他们都能把一个角平分.不同点有两点,一是前者存在于三角形中,而后者存在于某个角内;二是前者为一条线段,而后者为一条射线.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.三角形的角平分线和中线都是射线
B.三角形的角平分线和中线都是线段
C.三角形的角平分线是射线,而中线是线段
D.三角形的角平分线是线段,而中线是射线
B
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2.如图所示,∠1=∠2=∠3=∠4,则AD是△ABC的( )
A.高
B.角平分线
C.中线
D.以上都不是
B
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3.若AD是△ABC的中线,则下列结论中错误的是( )
A.AB=BC B.BD=DC
C.D是BC的中点 D.BC=2DC
A
数学
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二、填空题
1.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线.若CE=9 cm,则BD= cm.
6
数学
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2.如图所示,已知AD是△ABC的中线,且△ABD的周长比△ACD的周长多4 cm,若AC=16 cm,则AB= cm.
20
数学
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3.如图,AE是△ABC的中线,AD是△ABE的中线,已知EC=4,
则BD的长为 ;若△ABC的面积为16,则△ABD的面积
为 .
2
4
数学
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三、解答题
1.如图,已知△ABC的周长为24 cm,AD是BC边上的中线,AD=AB,AD=5 cm,△ABD的周长是18 cm,求AC的长.
解:因为AD=AB,AD=5 cm,所以AB=8 cm.
又因为△ABD的周长是18 cm,所以BD=5 cm.
因为AD是BC边上的中线,所以BC=2BD=10 cm.
又因为△ABC的周长为24 cm,
所以AC=24-8-10=6(cm).
数学
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2.如图,BE是△ABC的角平分线,DE∥BC交AB于点D,∠A=126°,∠DEB=14°,求∠C的度数.
解:因为BE是△ABC的角平分线,
所以∠CBE=∠ABE,
因为DE∥BC,∠DEB=14°,
所以∠DEB=∠CBE=∠ABE=14°,
所以∠ABC=2∠ABE=2×14°=28°,
所以∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-126°-28°=26°.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图所示,在△ABC中,O是△ABC的重心,请你根据以上条件判断△AOF的面积与△AOE的面积有什么关系,并说明你的理由.
解:△AOF的面积与△AOE的面积相等.
理由:因为O是△ABC的重心,
所以AD,BE,CF是△ABC的三条中线,
所以S△ABD=S△ADC=S△ACF=S△BCF=S△ABE=S△BCE=S△ABC,
所以S△BOD=S△AOE,S△AFO=S△COD.
因为BD=CD,所以S△BOD=S△COD,所以S△AOE=S△AFO.
数学
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2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的中线,且BD将△ABC的周长分为12 cm与15 cm两部分,求△ABC的各边长.
解:因为BD是△ABC的中线,
所以AD=CD,
设AD=CD=x,则AB=AC=2x,
①当x+2x=12时,解得x=4,
则BC+x=15,解得BC=11,
所以△ABC的三边长为AB=AC=8 cm,BC=11 cm.
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②当x+2x=15,BC+x=12时,
解得x=5,BC=7,
所以此时△ABC三边长分别为AB=AC=10 cm,BC=7 cm.
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北师大版 七年级数学下册(共41张PPT)
4.1 认识三角形(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 三角形的概念及基本元素
1.概念:三角形是由不在同一直线上的 首尾顺次相接所组成的图形.
2.基本元素:如右图的三角形记作△ABC,△ABC的三边AB,AC,BC,三个内
角∠A,∠B,∠C,三个顶点A,B,C.
三条线段
数学
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典型例题
【例1】如图,图中三角形的个数共有 ( )
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
数学
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解题思路:根据三角形的定义,找出图中所有的三角形,数出其个数即可得出结论.
解析:图中三角形有: △ECA,△EBD,△FBA,△FCD,△AFD,△ABD,△ACD,△AED,共8个.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.如图,以AB为边的三角形有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
数学
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2.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中符合三角形概念的是 ( )
D
数学
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名师点拨:数三角形个数的技巧:①固定一个顶点,变换另外两个顶点数.②也可以从众多三角形的边所在的直线入手,按照一定的方向数.③还可以按大小顺序数.
数学
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知识点二 三角形的内角和
三角形三个内角的和等于 .
180°
数学
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典型例题
【例2】如图,直线BC∥AE,CD⊥AB于点D,若∠BCD=40°,
则∠1的度数是 ( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
数学
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解题思路:先在直角△CBD中可求得∠DBC的度数,然后根据平行线的性质可求得∠1的度数.
解析:因为CD⊥AB于点D,∠BCD=40°,
所以∠CDB=90°,所以∠BCD+∠DBC=90°,
即∠DBC+40°=90°.所以∠DBC=50°.
因为直线BC∥AE,所以∠1=∠DBC=50°.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
3.如图所示,∠A=40°,则∠1+∠2+∠B+∠C的度数为 ( )
A.100°
B.200°
C.280°
D.300°
C
解析:根据题意得∠1+∠2=180°-∠A,∠B+∠C=180°-∠A,所以∠1+∠2+∠B+∠C=360°-2∠A=280°.故选C.
数学
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4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,点D是AB延长线上一点,则∠CBD的度数是 .
140°
数学
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名师点拨:三角形三个内角和等于180°常常作为隐含条件用于已知两个角求第三个角,或已知三个角的关系用方程求角度问题.
数学
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知识点三 三角形的分类
三角形
数学
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典型例题
【例3】根据下列条件,判断△ABC的形状(按角分类).
(1)∠A=80°,∠B=25°;
(2)∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;
(3)∠A=∠B=∠C.
数学
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解题思路:
(1)直接根据三角形内角和定理求出∠C的度数,进而可得出结论.
(2)设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,再由三角形内角和定理求出x的值,进而得出∠C的值,由此可得出结论.
(3)设∠A=x,则∠B=2x,∠C=6x,再由三角形内角和定理求出x的值,进而得出∠C的值,由此可得出结论.
数学
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解:(1)因为∠A=80°,∠B=25°,所以∠C=180°-80°-25°=75°,
所以△ABC是锐角三角形;
(2)设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,
因为∠A+∠B+∠C=180°,即x+2x+3x=180°,解得x=30°,
所以∠C=3x=90°,所以△ABC是直角三角形;
(3)设∠A=x,则∠B=2x,∠C=6x,
因为∠A+∠B+∠C=180°,即x+2x+6x=180°,解得x=20°,
所以∠C=6x=120°,所以△ABC是钝角三角形.
数学
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5.△ABC的三角之比是5∶2∶3,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
B
对应练习
数学
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6.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
解析:从图中,只能看到一个角是锐角,其它的两个角中,可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角.故选D.
D
数学
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7.如果△ABC的三个内角的关系为6∠A=3∠B=∠C,求这个三角形中最大角的度数.
解:在△ABC中,6∠A=3∠B=∠C,
设∠A=x,则∠B=2x,∠C=6x,
因为∠A+∠B+∠C=180°,所以x+2x+6x=180°,解得x=20°,
所以∠C=6x=6×20°=120°,
所以这个三角形中最大的角是120°.
数学
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名师点拨:
(1)一个三角形中最多只能有一个钝角或一个直角,最少有两个锐角.
(2)判断三角形的形状一般只需求出三角形中各角的大小.由三角形的最大角就可以判定三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形.可根据三角形内角和定理结合角与角之间的关系达到求角的目的.
数学
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知识点四 直角三角形的两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角 .
互余
数学
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典型例题
【例4】 如图,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,分别交AC,BC于点E,F,∠CEF=50°,则∠B的度数是 .
数学
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解题思路:先根据三角形的内角和定理求出
∠CFE=90°-∠CEF=40°,再根据平行线的性质可得∠B=∠CFE,据此可得到答案.
解析:因为∠C=90°,所以∠CEF+∠CFE=90°,
又因为∠CEF=50°,所以∠CFE=40°.
因为EF∥AB,所以∠B=∠CFE=40°.
答案:40°
数学
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对应练习
8.如图,l1∥l2,点O在直线l1上,若∠AOB=90°,∠2=60°,求∠1的度数.
解:因为∠OBA=∠2=60°,
且∠AOB=90°,
所以∠OAB=90°-∠OBA=90°-60°=30°,
因为l1∥l2,所以∠1=∠OAB=30°.
数学
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名师点拨:
(1)直角三角形通常用“Rt△”来表示,“直角三角形ABC”表示为“Rt△ABC”.其中与直角相邻的两条边叫做直角边,直角所对的边叫做斜边.
(2)若已知直角三角形的一个锐角的角度,可直接利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角的度数.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,图中直角三角形共有( )
A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
D
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2.如图,在△ABC中,∠B=90°,MN∥AC,∠1=55°,则∠C的度数是( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
B
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3.下列说法中正确的是( )
A.三角形的内角中至少有两个锐角
B.三角形的内角中至少有两个钝角
C.三角形的内角中至少有一个直角
D.三角形的内角中至少有一个钝角
A
数学
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二、填空题
1.在△ABC中,若∠A=20°,∠B=60°,则∠C的补角为 .
2.在直角三角形中,若一个锐角比另外一个锐角的2倍还少30°,则这两个角的度数分别为 .
80°
40°, 50°
数学
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3.在三角形中,一个内角是另外一个内角的2倍,我们称这个三角形为“二倍角三角形”.在一个“二倍角三角形”中有一个内角为30°,则另外两个角的度数分别为 .
.
100°, 50
(或90°, 60°或135°, 15°)
数学
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解析:假设在△ABC中,∠A=30°,由题意可得3种可能:
①若∠B=2∠C,则3∠C=180°-30°=150°,解得∠C=50°,所以∠B=100°;②若∠C=2∠A,则∠C=60°,所以∠B=180°-30°-60°=90°;
③若∠A=2∠C,则∠C=15°,所以∠B=180°-30°-15°=135°.
故另外两个角的度数分别为100°, 50°或90°, 60°或135°, 15°.
数学
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三、解答题
1.如图,求△ABC各内角的度数.
解:因为x+x+2x=180°,
所以x=45°,
所以∠A=45°,∠B=45°,
∠C=90°.
数学
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2.已知:如图,CE⊥AD,垂足为点E,∠A=∠C,试说明AB⊥CD.
解:因为CE⊥AD,
所以∠CED=90°,
所以∠C+∠D=90°.
因为∠A=∠C,所以∠A+∠D=90°,
所以∠ABD=90°,所以AB⊥CD.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在△ABC中, ∠B=65°, ∠BAD=40°, ∠AED=100°, ∠CDE=45°,求∠CAD的度数.
数学
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解:在△ABD中,因为∠B=65°,∠BAD=40°,
所以∠BDA=180°-(∠B+∠BAD)=180°-(65°+40°)=75°.
因为∠CDE=45°,
所以∠ADE=180°-(∠BDA+∠CDE)=180°-(75°+45°)=60°.
在△ADE中,因为∠AED=100°,
所以∠CAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-60°-100°=20°.
数学
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2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB,CD⊥AB, AE,CD相交于点F.
(1)若∠DCB=50°,求∠CEF的度数;
(2)试说明:∠CEF=∠CFE.
数学
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解:(1)因为CD⊥AB,所以∠BDC=90°,
所以∠DCB+∠B=180°-∠BDC=90°,
因为∠ACB=90°,所以∠CAB+∠B=180°-∠ACB=90°,
又因为∠DCB=50°,所以∠CAB=∠DCB=50°,
因为AE平分∠CAB,所以∠CAE=∠CAB=25°,
所以∠CEF=90°-∠CAE=65°.
数学
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(2)因为AE平分∠CAB,所以∠BAE=∠CAE,
易得∠CAE+∠CEF=90°,∠BAE+∠AFD=90°,
所以∠CEF=∠AFD,
又因为∠CFE=∠AFD,所以∠CEF=∠CFE.
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北师大版 七年级数学下册(共32张PPT)
4.5 利用三角形全等测距离
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 利用三角形的全等测距离的方法
1.三角形全等的判定方法: “ ”,“ ”,“ ”,“ ”.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
SSS
SAS
ASA
AAS
数学
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典型例题
【例1】如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A,B的距离.我们可以证明出△ABC≌△DEC,进而得出AB=DE,那么判定△ABC和△DEC全等的依据是 ( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
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解题思路:从三角形全等的判定定理以及结合题目中的已知条件,图形中隐含对顶角的条件,利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等.
解析:在△ABC和△DEC中
所以△ABC≌△DCE(SAS).故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.如图,小明家有一个玻璃容器,他想测量一下它的内径是多少 但是他无法将刻度尺伸进去直接测量,于是他把两根长度相等的小木条AB,CD的中点连在一起,木条可以绕中点O自由转动,这样只要测量A,C的距离,就可以知道玻璃容器的内径,你知道其中的道理吗 请说明理由.
数学
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解:如图所示,连接AC,BD,
在△ODB和△OCA中,AO=BO,
∠AOC=∠BOD,CO=DO,
所以△ODB≌△OCA(SAS),
所以BD=AC.故只要测量A,C的距离,
就可以知道玻璃容器的内径.
数学
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名师点拨:合理运用SSS,SAS,ASA,AAS构造全等三角形,再利用全等三角形的性质得到对应边相等.
数学
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知识点二 利用三角形的全等测距离
利用三角形的全等测距离是对全等三角形知识的迁移和应用,是依据全等三角形的对应边相等这一性质,当测量不可直接到达的两物体之间的距离时,通过构造全等三角形,将其变为可直接测量的距离.
数学
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典型例题
【例2】如图,要在湖两岸A,B两点之间修建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接测量A,B两点间的距离,于是小明想出来这样一种方法:在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再定出BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上,这时测得DE=50米,则AB为 ( )
A.25米
B.50米
C.75米
D.100米
数学
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解题思路:由对顶角相等,两个直角相等及BC=CD,可以判断两个三角形全等;所以AB=DE=50米.
解析:根据题意可知∠B=∠CDE=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=DE=50米.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
2.如图,小明站在点C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.已知C,E,A三点在同一条直线上,B,C相距20米,D,C相距40米,乙楼高BE为15米,小明身高忽略不计,EF∥BC,EF⊥AD,则甲楼高AD为 ( )
A.20米
B.30米
C.40米
D.45米
B
数学
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3.在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=OD,OB=OC,测得AB=a,EF=b,则圆形容器的壁厚为 .
(b-a)
数学
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名师点拨:利用三角形全等解决实际问题的一般步骤:
(1)明确应用哪些知识来解决实际问题.
(2)根据实际问题抽象出几何图形.
(3)结合图形和题意分析已知条件.
(4)找到已知和未知的联系,寻找恰当的途径解决问题.
数学
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一、选择题
1.关于利用三角形全等测距离的叙述中正确的是( )
A.绝对准确
B.误差很大,不可信
C.可能有误差,但误差不大,结果可信
D.如果有误差的话就想办法直接测量,不能用三角形全等的方法测距离
C
数学
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2.如图所示,为了测量出A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度也就得到了A,B两点之间的距离,这样测量的依据是( )
A.AAS
B.SAS
C.ASA
D.SSS
B
数学
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3.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上,已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,且左边的滑梯与地面的夹角∠ABC=35°,则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE等于( )
A.60°
B.55°
C.65°
D.35°
B
数学
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二、填空题
1.如图所示,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降40 cm时,小明离地面的高度是 cm.
90
数学
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2.如图,两棵大树AB,DC之间相距13 m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5 m,小华行走的速度为1 m/s,小华走的时间是 .
8 s
数学
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3.如图,有两个滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等,测得BC=2.5 m,则EF= .
2.5 m
数学
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三、解答题
1.小杨同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语.其具体信息汇集如下:
如图所示,AB∥OH∥CD,OB=OD,AC,BD相交于点O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米.请根据上述信息求标语CD的长度.
数学
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解:因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°,
因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO=90°.
在△ABO和△CDO中,
所以△ABO≌△CDO(ASA).
所以CD=AB=20米.
数学
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2.小明制作的风筝形状如图所示,他根据DE=DF,EH=FH,不用测量就知道∠E=∠F,请你运用所学知识给予说明.
解:连接DH.在△DEH和△DFH中,
所以△DEH≌△DFH(SSS),
所以∠E=∠F.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图①所示为一张折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料的厚度忽略不计),其中,凳腿AB和CD的长相等, O是它们的中点,为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得BC的长度为
,试说明理由.
30 cm
数学
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解:理由如下:因为O是AB和CD的中点,
所以AO=BO,CO=DO,因为∠AOD=∠BOC,
所以△AOD≌△BOC,所以AD=BC,
所以BC=AD=30 cm.
数学
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2.如图所示,湖岸边竖立着A,B两根电线杆,现想在两根电线杆间架一条电话线路,需测量出A,B间的距离,但是A,B的距离又不能直接测量,你能用已学的知识和方法设计测量方案,求出A,B间的距离吗 并说明理由.
数学
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解:方案:先在平地上取一个可以直接到达A点和B点的C点,连接AC并延长到点D,使CD=AC,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,则DE的长度即AB的长度.(方案不唯一)
理由:因为在△ACB和△DCE中,
AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ACB≌△DCE(SAS),所以DE=AB.
数学
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3.如图,在△ABC中,D为AB的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.
(1)若点P在线段BC上以3 cm/s的速度从点B向终点C运动,同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动.
①若点Q的速度与点P的速度相等,经过1 s后,请说明△BPD≌△CQP;
②若点Q的速度与点P的速度不相等,
当点Q的速度为多少时,能使△BPD≌△CPQ
数学
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解:①因为BP=3×1=3 cm,CQ=3×1=3 cm,
所以BP=CQ.因为D为AB的中点,所以BD=AD=5 cm.
因为BC=8 cm,所以CP=BC-BP=5 cm,所以BD=CP.
又因为∠B=∠C,所以△BPD≌△CQP(SAS).
②设点Q的运动时间为t s,运动速度为v cm/s.因为△BPD≌△CPQ,所以BP=CP=4 cm,BD=CQ=5 cm.所以t==.所以v===.
所以当点Q的运动速度为cm/s时,能使△BPD≌△CPQ.
数学
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(2)若点P以3 cm/s的速度从点B向点C运动,同时点Q以5 cm/s的速度从点C向点A运动,它们都依次沿△ABC三边运动,则经过多长时间,点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P
数学
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解：(2)因为∠B=∠C,所以AB=AC,因为D是AB中点,
所以AB=2AD=10 cm,所以AC=10 cm,
设经过x秒后,点Q第一次追上点P时,Q比P多走AB+AC的长度,
所以由题意得5x-3x=10+10,解得:x=10,
所以点P运动的路程为3×10=30 cm,
因为△ABC的周长等于:AB+AC+BC=28 cm,
又因为30=28+2,所以此时点P在BC边上,
所以经过10秒,点Q第一次在BC边上追上点P.
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北师大版 七年级数学下册(共32张PPT)
4.3 探索三角形全等的条件(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 全等三角形判定方法“SSS”
全等三角形的判定:三边分别相等的两个三角形全等,简写为“ ”或“ ”.
边边边
SSS
数学
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典型例题
【例1】如图,下列三角形中,与△ABC全等的是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
数学
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解题思路:考查全等三角形的判定问题,即对应边相等的三角形相等.
解析:根据三边分别相等的两个三角形全等,可知与△ABC全等的是③.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.如图,已知AB=AC,AE=AD,点B,D,E,C在同一条直线上,要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE,还需要添加的一个条件可以是 ( )
A.BD=DE B.BE=CD
C.DE=CE D.以上都不对
B
数学
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名师点拨:在运用“边边边”判定三角形全等时,要注意必须是满足三边对应相等时,两个三角形才全等,只有一边或两边对应相等的三角形不一定全等.
数学
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知识点二 “SSS”判定全等三角形的简单应用
典型例题
【例2】如图,在△ABC和△DBC中,已知AB=DB,AC=DC,则下列结论中不一定正确的是 ( )
A.△ABC≌△DBC
B.∠A=∠D
C.CB是∠ACD的平分线
D.∠A=∠BCD
数学
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解题思路:已知AB=DB,AC=DC,结合CB为公共边,利用SSS可证明△ABC≌△DBC,由此可得A的正误;利用全等三角形性质:对应角相等,可判断B的正误;利用全等三角形性质,可得∠ACB=∠DCB,结合平分线的判定方法,即可判断C的正误;对于D,首先需要确定∠A和∠BCD之间有没有数量关系,然后再进行判断.
数学
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解析:在△ABC和△DBC中,
所以△ABC≌△DBC(SSS),所以∠A=∠D,∠ACB=∠DCB,所以CB是∠ACD的平分线.由已知条件判断不出∠A=∠BCD.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
2.如图,已知AB=DC,AC=DB,试说明:∠B=∠C.
解:如图,连接AD.
在△ADC和△DAB中,
所以△ADC≌△DAB(SSS),
所以∠B=∠C.
数学
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3.如图,已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论:①∠C=∠B;
②∠D=∠E;③∠EAD=∠BAC;④∠B=∠E.其中错误的是 ( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.④
D
数学
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名师点拨:利用SSS证明三角形全等时,一定要找准对应边,且必须是两个三角形的边.找线段相等的方法:
(1)利用线段中点的定义,说明线段相等;
(2)图形中的隐含条件,如公共边(有时需要添加辅助线构造公共边);
(3)多条线段共线时,通过计算来寻找线段相等.
数学
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知识点三 三角形的稳定性
三角形的 和 是固定不变的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
大小
形状
数学
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典型例题
【例3】如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是 ( )
A.三角形的稳定性
B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
数学
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解题思路:根据加上窗钩,可以构成三角形的形状,故可用三角形的稳定性解释.
解析:一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是三角形的稳定性.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
4.我们用如图所示的方法(斜钉上一块木条)来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 .
稳定性
数学
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名师点拨:稳定性是三角形的特性,其他图形都不具有稳定性.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,线段AD与BC相交于点O,连接AB,AC,BD,若AC=BD, AD=BC,则下列结论中不正确的是( )
A.△ABC≌△BAD
B.∠CAB=∠DBA
C.OB=OC
D.∠C=∠D
C
数学
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2.如图,AB=DE,AC=DF,BC=EF,则∠D等于( )
A.30°
B.50°
C.60°
D.100°
D
数学
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3.如图,OA=OB,OC=OD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
数学
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解析:因为OA=OB,OC=OD,AD=BC,所以△DOA≌△COB(SSS),因为OA=OB,OC=OD,所以AC=BD,因为AB=AB,AD=BC,
所以△ABD≌△BAC(SSS),因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,
所以△ADC≌△BCD(SSS).故选C.
数学
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4.如图,△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可判定( )
A.△ABC ≌△ACD
B.△ABE ≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
解析:因为AB=AC,EB=EC,AE=AE,所以△ABE≌△ACE.故选B.
B
数学
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二、填空题
1.如图,在△ACD和△BCE中,AC=BC,AD=BE,CD=CE.若∠ACE=80°,∠BCD=160°,AD与BE相交于点P,则∠ACB的度数为 ,∠APB的度数为 .
60°
60°
数学
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2.如图,桥梁拉杆与桥面构成三角形的结构,依据的数学道理是
.
三角形具有稳定性
数学
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三、解答题
1.如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.试说明:∠C=∠F.
解:因为DA=EB,
所以DA+AE=EB+AE,
所以DE=AB.
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS),所以∠C=∠F.
数学
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2.如图,A,B,F,D四点在同一条直线上,且AC=DE,CB=EF,AF=DB.试说明:∠A=∠D.
解:因为AF=BD,
所以AF-FB=DB-FB,
即AB=DF.在△ABC和△DFE中,
所以△ABC≌△DFE(SSS).所以∠A=∠D.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC=ED,AC=AD.
(1)∠B与∠E相等吗 为什么
(2)若F为CD的中点,则AF与CD有怎样的位置关系 请说明理由.
数学
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解:(1)∠B=∠E,因为在△ABC和△AED中,
所以△ABC≌△AED,所以∠B=∠E.
(2)AF⊥CD.理由如下:
因为F为CD的中点,所以CF=DF,
又因为AC=AD,AF=AF,所以△ACF≌△ADF,所以∠AFC=∠AFD,
又因为∠AFC+∠AFD=180°,所以∠AFC=∠AFD=90°,所以AF⊥CD.
数学
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2.雨伞开闭过程中某时刻的截面如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=AB,AF=AC,当O沿AD滑动时,雨伞开闭,问雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD有何关系 说明理由.
数学
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解:∠BAD=∠CAD.理由:
因为AB=AC,AE=AB,AF=AC,所以AE=AF.
在△AOE和△AOF中,
所以△AOE≌△AOF(SSS),所以∠EAO=∠FAO,即∠BAD=∠CAD.
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北师大版 七年级数学下册(共29张PPT)
4.4 用尺规作三角形
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 已知两边及其夹角,求作三角形
已知三角形的两边及其夹角,作三角形,依据是“ ”.
边角边
数学
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典型例题
【例1】已知:线段a,b和∠β.求作:△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=∠β. (要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法及证明)
数学
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解题思路:作∠MCN=∠β,分别在射线CM,CN上截取CB,CA,使得CB=a,CA=b,连接AB,△ABC即为所求.
解:如图,△ABC即为所求.
数学
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对应练习
1.如图,已知线段a,b,直角α,求作Rt△ABC,使∠C=90°,CB=a, CA=b.
解:如图所示,作法:(1)作∠C=90°;
(2)分别在∠C的两边上截取CB,CA,
使得CB=a,CA=b;
(3)连接AB,则△ABC即为所求作的
Rt△ABC.
数学
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名师点拨:作图方法实际上就是作一个角与已知角相等,再作两条线段分别与两条已知线段相等,只不过两条线段的位置特殊,分别在所作角的两边上,且各有一个端点在所作角的顶点处.
数学
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知识点二 已知两角及其夹边,求作三角形
已知三角形的两角及其夹边,作三角形,依据是“ ”.
角边角
数学
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典型例题
【例2】用圆规,直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.已知: ∠β和线段a,求作△ABC,使得∠A=∠β,∠B=2∠β,边AB=a.
数学
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解题思路:作射线AM,在射线AN上截取AB=a,在AB的上方分别作∠EAB=β,以B为顶点,在∠CAB内作∠FBA=2β,AE交BF于点C, △ABC即为所求.
解:如图,△ABC即为所求.
数学
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对应练习
2.如图,已知∠α,∠β,用直尺和圆规作△ABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β, AB=c.(要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法及证明)
数学
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分析:先作∠MAD=∠α,再在AM上截取AB=c,接着作∠NBA=β,
BN与AD相交于点C,则△ABC满足条件.
解:如图,△ABC为所作.
数学
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名师点拨:作图方法实际上就是作两个角分别等于两个已知的角,只不过所作的两个角共用一条边,且公共边等于已知线段的长.
数学
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知识点三 已知三边,求作三角形
已知三边,作三角形,依据是“ ”.
边边边
典型例题
【例3】已知:线段a,b,c(如下图所示).求作:△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c.并写出作法.
数学
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解题思路:先从射线BD上截取线段BC=a,再分别以点B,C为
圆心,以c和b为半径画弧,两弧相交于点A,然后连接AB,AC,则△ABC为所求.
解:所求的△ABC如图所示,作法如下:
(1)作线段BC=a;
(2)以C为圆心,b为半径画弧;
(3)以B为圆心,c为半径画弧,两弧相交于点A;
(4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形.
数学
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对应练习
3.用圆规、直尺作图,不写作法,但要求保留作图痕迹.
已知:线段a如图.
求作:△ABC,使得AB=a,BC=AC=2a.
分析:先在射线AM上依次截取AB=BD=a,然后以A,B为圆心,AD为半径画弧.两弧相交于C点,则△ABC满足条件.
解:如图,△ABC为所作.
数学
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名师点拨:尺规作图的作法叙述必须使用规范、精炼的语言.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.根据下列已知条件,不能画出唯一△ABC的是( )
A.∠A=36°,∠B=45°,AB=4
B.AB=4,BC=3,∠B=36°
C.AB=3,BC=4,CA=1
D.∠C=90°,BC=6,AC=3
C
数学
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2.已知∠AOB,用尺规作∠A'O'B'等于已知∠AOB的作图痕迹如图,则判断∠AOB=∠A'O'B'所用到的三角形全等的判定方法是
( )
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
D
数学
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3.如图是作△ABC的作图痕迹,则此作图的已知条件是
( )
A.已知两边及夹角
B.已知三边
C.已知两角及夹边
D.已知两边及一边对角
C
数学
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4.如图所示,用尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,连接OP,则射线OP为∠AOB的平分线.由作法得△OCP≌△ODP,其根据是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
A
数学
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解析:由“以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于点C,D”可知OC=OD;由“以点C,D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧交于点P”可知PC=PD;由“OP为公共边”可知,OP=OP,在△OCP与△ODP中,有故△OCP≌△ODP(SSS),故选A.
数学
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二、填空题
1.如图所示,说明∠A'O'B'=∠AOB的依据是全等三角形的
相等,其全等的依据是 .
对应角
SSS
数学
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2.对于尺规作图:已知∠α和线段m,n,求作△ABC,使BC=m, AB=n, ∠ABC=∠α,有下列步骤:①在射线BD上截取线段BA=n;②作一条线段BC=m;③以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α;④连接AC,△ABC就是所求作的三角形.作法的合理顺序为 .(填序号)
②③①④
数学
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三、作图题。
1.如图,△ABC被墨迹污染了,请你重新作一个△A1B1C1,使△A1B1C1≌△ABC.(要求:用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
解:如图所示,
△A1B1C1即为所求.
数学
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2.如图,已知线段a,b.求作△ABC,使得AB=2a,BC=b,AC=a(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,△ABC即为所作.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图①,已知线段a和∠1,求作△ABC,使BC=a, ∠ABC=∠BCA=∠1,张蕾的作法如图②所示,则下列说法中一定正确的是( )
A.作△ABC的依据为ASA
B.弧EF是以AC长为半径画的
C.弧MN是以点A为圆心,a为半径画的
D.弧GH是以CP长为半径画的
A
数学
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2.已知∠α和线段a,求作△ABC,使∠A=∠α,∠B=2∠α,AB=2a.
(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图,△ABC即为所作.
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北师大版 七年级数学下册(共29张PPT)
4.1 认识三角形(4)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 ,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的 .
垂线
高
数学
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典型例题
【例1】作△ABC的边AB上的高,下列作法中,正确的是( )
数学
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解题思路:作哪一条边上的高,即从所对的顶点向这条边或者这条边的延长线作垂线即可.
解析:从三角形的顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高,过点C作边AB的垂线段,即作AB边上的高CD,所以作法正确的是D.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
1.在下图中,正确画出△ABC中边BC上高的是 ( )
C
数学
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2.如图,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,图中可以作为三角形“高”的线段有 ( )
A.1条
B.2条
C.4条
D.5条
D
数学
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名师点拨:三角形任意一边上的高必须满足:
(1)过该边所对的顶点;
(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上.
数学
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知识点二 三角形的高的位置
三角形的三条高所在的直线交于一点.
数学
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典型例题
【例2】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
数学
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解题思路:直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;作出一个直角三角形的高线进行判断,就可以得到.
解析:因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高的交点,所以可以得出这个三角形是直角三角形.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.下列说法中正确的是 ( )
A.三角形的三条高都在三角形内
B.直角三角形只有一条高
C.锐角三角形的三条高都在三角形内
D.三角形每一边上的高都小于其他两边
C
数学
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4.在直角△ABC中,若其三条边上的高相交于点O,则点O在△ABC的 ( )
A.内部 B.外部 C.边上 D.无法确定
C
数学
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名师点拨:锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在的直线相交于三角形外一点.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,在△ABC中,BC边上的高是( )
A.AD
B.BE
C.BF
D.CF
A
数学
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2.如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,图中线段中可以作为△ABC的高的有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
B
数学
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3.下列说法:(1)三角形的角平分线、中线、高都是线段;
(2)钝角三角形只有一条高;
(3)三角形的中线在三角形外部;
(4)三角形的高都在三角形内部且交于一点.
其中说法正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
数学
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4.如图,CD,CE,CF分别是△ABC的中线、角平分线、高,那么下列结论错误的是( )
A.AD=DB
B.∠ACE=∠ECB
C.∠AFC=∠BFC=90°
D.∠ECF=∠BCF
D
数学
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二、填空题
1.如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠B的度数是 .
40°
数学
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2.如图,若H是△ABC三条高AD,BE,CF的交点,则△HBC中BC边上的高是 ,△BHA中BH边上的高是 .
HD
AE
数学
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3.如图,在△ABC中,高AD, BE交于点O.若∠C=75°,
则∠AOE= 度.
75
解析:因为AD,BE是△ABC的高,所以∠AEO=∠ADC=90°,
所以∠EAO+∠AOE=90°, ∠EAO+∠C=90°,
所以∠AOE=∠C=75°.
数学
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三、解答题
1.画出下面三角形的高线.
数学
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2.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=110°,AD是BC边上的高线,AE平分∠BAC,求∠DAE的度数.
解:因为∠B=30°,∠ACB=110°,
所以∠BAC=180°-30°-110°=40°.
因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=∠BAC=20°.
又因为AD是BC边上的高线,
所以∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,
所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-20°=40°.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高线, ∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠ADB的度数.
解:因为AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,
所以∠DAC=∠BAD=30°.
因为CE是△ABC的高线,∠BCE=40°,
所以∠B=90-∠BCE=50°.
所以∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°.
数学
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2.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)试说明:CD是△ABC的高;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
解:(1)因为∠ACB=∠1+∠BCD=90°,
∠1=∠B,所以∠B+∠BCD=90°,
所以△BDC是直角三角形,即CD⊥AB,
所以CD是△ABC的高.
数学
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(2)因为∠ACB=∠CDB=90°,
所以S△ABC=AC·BC=AB·CD.
因为AC=8,BC=6,AB=10,
所以CD===.
数学
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3.如图,BD,CE是△ABC的角平分线,其交点为O,OF是△OCB的高.试说明:∠BOF=∠BEC-∠A.
解:因为OF是△OCB的高,
所以OF⊥BC.所以∠OFB=90°.
所以∠BOF=90°-∠OBF.
因为BD,CE是△ABC的角平分线,
所以∠OBF=∠ABC,∠ACE=∠ACB.所以∠BOF=90°-∠ABC.
数学
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因为∠A+∠ACE+∠AEC=180°,∠BEC+∠AEC=180°,
所以∠BEC=∠A+∠ACE.所以∠BEC=∠A+∠ACB.
所以∠BEC-∠A=∠A+∠ACB=(∠A+∠ACB).
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠BEC-∠A=(180°-∠ABC)=90°-∠ABC.
所以∠BOF=∠BEC-∠A.
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北师大版 七年级数学下册(共27张PPT)
4.1 认识三角形(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 按边对三角形进行分类
三角形
不相等
两边
不相等
三边
数学
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【拓展延伸】
①等腰三角形相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,腰所对的角叫做底角,底边所对的角叫做顶角.
②等边三角形是特殊的等腰三角形,三个角都是60°.
数学
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典型例题
【例1】下列说法正确的有 ( )
①等腰三角形是等边三角形;
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;
③等腰三角形至少有两边相等;
④等边三角形是特殊的等腰三角形.
A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④
数学
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解题思路:根据等腰三角形的判定、三角形的分类、等边三角形的判定一一判断即可.
解析:①:因为有两边相等的三角形叫等腰三角形,三边都相等的三角形叫等边三角形,所以等腰三角形不一定是等边三角形,所以①错误;②:因为三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形,所以②错误;③:因为两边相等的三角形称为等腰三角形,所以③正确;④:因为等边三角形是特殊的等腰三角形,所以④正确.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.如图,在△ABC中,BC=BA,点D在AB上,且AC=CD=DB,则图中的等腰三角形有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
数学
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2.下列关于三角形按边分类的集合中,正确的是 ( )
D
解析:三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形,其中等腰三角形包含等边三角形.故选D.
数学
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名师点拨:如果所判断三角形存在两种情况:既可能是等边三角形,也可能是等腰三角形,那就判断这个三角形为等腰三角形.
数学
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知识点二 三角形的三边关系
1.三角形的任意两边之和 第三边.
2.三角形的任意两边之差 第三边.
3.即两边之差<第三边<两边之和.
大于
小于
数学
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典型例题
【例2】等腰三角形的一边长为6,一边长为2,则该等腰三角形的周长为 ( )
A.8 B.10 C.14 D.10或14
数学
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典型例题
解题思路:因为已知长度为6和2两边,没有明确是底边还是腰,所以有两种情况,需要分类讨论.
解析:①当2为底时,其它两边都为6,因为2+6>6,所以2, 6, 6可以构成三角形,则该等腰三角形的周长为14;②当2为腰时,其它两边为2和6,因为2+2<6,所以不能构成三角形,故舍去.所以这个等腰三角形的周长为14.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
3.下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( )
A.3 cm, 5 cm, 4 cm
B.3 cm, 3 cm, 7 cm
C.4 cm, 4 cm, 8 cm
D.4 cm, 5 cm, 9 cm
A
数学
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4.若长度分别为a, 3, 5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.8
C
数学
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名师点拨:
(1)判断三条线段能否组成三角形时,根据三边关系的性质,通常只比较较短的两边的和与最长边的大小关系,若较短两边的和>最长边,则能组成三角形,若较短两边的和≤最长边,则不能组成三角形;
(2)给出等腰三角形的两边,没有明确是底边还是腰,需要分类讨论,所以有两种情况.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,为估计池塘岸边两点A,B的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=6 m,OB=4 m,则点A,B间的距离不可能是
( )
A.10 m
B.8 m
C.6 m
D.4 m
A
数学
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2.一个三角形两边长分别为3, 7,则第三边的长为( )
A.1 B.3 C.5 D.10
C
3.已知三角形的两边长分别是2 cm,3 cm,则该三角形的周长l的取值范围是( )
A.1 cmC.5 cm解析:设三角形第三边的长为x cm,则l=2+3+x=(5+x)cm.
因为3-2D
数学
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4.一个三角形的周长为20 cm,若其中两边都等于第三边的2倍,则最短边的长是( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
D
解析:设这个三角形的最短边为x cm,依题意有x+2x+2x=20,解得x=4. 故选D.
数学
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二、填空题
1.若三角形三边长分别为2, x, 3,且x为正整数,则这样的三角形个数为 .
2.一个等腰三角形的两边长分别是1和4,则这个等腰三角形的周长为 .
3.在△ABC中,AC=10 cm,AB=8 cm,那么BC的最大长度应小于
cm,最小长度应大于 cm.
3
9
18
2
数学
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三、解答题
1.若a,b,c为三角形的三条边,化简:|a-b-c|+|a-c+b|+|a+b+c|.
解:由三角形三边关系得a-b-c<0,
a-c+b>0,a+b+c>0,
所以|a-b-c|+|a-c+b|+|a+b+c|=-(a-b-c)+a-c+b+a+b+c
=b+c-a+a-c+b+a+b+c=a+3b+c.
数学
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2.已知等腰三角形的两边长分别为4和10,求这个等腰三角形的周长.
解:因为等腰三角形的两边长分别为4和10,
所以等腰三角形的周长为4+4+10=18.
判断以上解法是否正确,如不正确,写出正确的解法.
数学
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解:解法不正确,正确的解法如下:①若腰长为4,则三角形的三边长为4, 4, 10, 4+4<10,不符合三角形的三边关系,故舍去;②若腰长为10,则三角形的三边长为10, 10, 4,4+10>10,符合三角形的三边关系,此时三角形的周长为24.综上所述,这个等腰三角形的周长为24.
数学
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3.已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解.求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
解:由题意,得b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3.
因为a为方程|x-4|=2的解,
所以解|a-4|=2得a=6或a=2.
①当a=6时,2+3<6,所以a=6不符合题意,舍去;
②当a=2时,2+2>3,满足三角形的三边关系.
所以△ABC的周长为2+2+3=7,
△ABC是等腰三角形.
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知等腰三角形的周长是16 cm,若其中一边是6 cm,求另外两边长.
解:①当腰长为6 cm时,底边为16-6-6=4(cm),
三边长分别为4 cm,6 cm,6 cm,符合三角形三边关系定理,
所以另两边长分别为6 cm,4 cm.
②当底边长为6 cm时,腰长为(16-6)÷2=5(cm),
则三边长分别为5 cm,5 cm,6 cm,
符合三角形三边关系定理,所以另两边长分别是5 cm,5 cm.
综上所述,另外两边长分别为6 cm,4 cm或5 cm,5 cm.
数学
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2.如图,在△ABC中,AB=AC,若D为AC上一点,试说明AC>(BD+DC).
解:因为AC=AD+DC,所以AC+AB=AB+AD+DC,
因为AB=AC,所以2AC=AB+AD+DC,
因为在△ABD中,AB+AD>BD,
所以2AC>BD+DC,所以AC>(BD+DC).
数学
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3.周长为20,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个
解:设最长边为x,因为各边互不相等,所以x>,
因为三角形任意两边之和大于第三边,
所以x<,解得x<10,所以又因为x是整数,所以x=7或8或9,
所以由题意可得,符合要求的三角形三边长度分别为8, 7, 5或9, 8, 3或9, 7, 4或9, 6, 5.所以符合要求的三角形共有4个.
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北师大版 七年级数学下册(共25张PPT)
4.3 探索三角形全等的条件(3)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 全等三角形判定方法“SAS”
1.边角边:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“ ”或“ ”.
2.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
边角边
SAS
数学
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典型例题
【例1】下列条件中,不能说明△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
B.AB=DE,∠A=∠D,AC=DF
C.BC=EF,∠B=∠E,AC=DF
D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
数学
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解题思路:根据三角形全等的判定方法结合各选项提供的已知条件进行判断,逐条排除再确定.
解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF,应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角,只有选项C的条件不符合.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.如图,线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE,
试说明:△ABE≌△DCE.
解:在△ABE和△DCE中,
所以△ABE≌△DCE(SAS).
数学
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名师点拨:判断三角形全等时,注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的位置来考虑,只具备SSA时是不能判定三角形全等的.在用“SAS”判定三角形全等时,一定要把夹角相等写在中间,以突出此角是两边的夹角.
数学
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知识点二 “SAS”判定全等三角形的简单应用
典型例题
【例2】如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为 ( )
A.8
B.7
C.6
D.5
数学
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解题思路:利用已知条件证明△ADE≌△ADC(SAS),得到ED=CD,从而BC=BD+CD=DE+BD=5,即可求得△BDE的周长.
数学
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解析:因为AD是∠BAC的平分线,所以∠EAD=∠CAD.
在△ADE和△ADC中,
所以△ADE≌△ADC(SAS),所以ED=CD,
所以BC=BD+CD=BD+DE=5,
所以△BDE的周长为BE+BD+ED=(6-4)+5=7.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
2.如图,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.试说明:AB=DE.
解:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠ECA=∠2+∠ACE,即∠ACB=∠DCE,
在△ABC和△DEC中,
所以△ABC≌△DEC(SAS).所以AB=DE.
数学
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3.在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,则 ( )
A.△ABC和△DEF全等
B.△ABC和△DEF不一定全等
C.△ABC和△DEF一定不全等
D.以上都不正确
B
数学
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名师点拨:判断两个三角形全等时,至少要有一条边相等,反过来要说明两个角或两条线段相等时,常判定他们所在的两个三角形全等,再利用全等三角形的性质得出对应角相等和对应边相等.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,a,b,c分别是△ABC的三边长,则下列三角形中,与△ABC一定全等的是( )
B
数学
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2.如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,
不能判断△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AB=DE
B.∠A=∠D
C.AC=DF
D.AC∥FD
C
数学
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3.如图所示为一种金属框架,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3 cm,则制成整个金属框架所需材料的总长度为( )
A.45 cm
B.48 cm
C.51 cm
D.54 cm
A
数学
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二、填空题
1.如图,已知AB=AC,用“SAS”判定△ABD≌△ACE,还需添加条件 .
AD=AE
数学
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2.根据下列条件:①AB=3,AC=4,AB=8;②∠A=60°,∠B=45°, AB=4;③AB=5,BC=3,∠A=30°;④AB=3,BC=4,AC=5,
其中能画出唯一三角形的是 .(填序号)
②④
解析:①因为3+4<8,所以不能画出三角形,错误;②符合全等三角形的判定定理ASA,即能画出唯一三角形,正确;③根据条件SSA不能画出唯一三角形,错误;④3+4>5且符合全等三角形的判定定理SSS,即能画出唯一三角形,正确.故答案为:②④.
数学
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3.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=50°,点B,D,E在同一直线上,则∠BEC的度数为 °.
50
数学
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解析:因为∠BAC=∠DAE=50°,
所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,所以∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
所以△ABD≌△ACE(SAS),所以∠ABD=∠ACE,
因为AD=AE,∠DAE=50°,所以∠ADE=∠AED==65°,
因为∠BAD+∠ABD=∠ADE,所以∠CAE+∠ACE=∠ADE=65°,
在△ACE中,∠BEC=180°-∠AED-(∠CAE+∠ACE)=180°-65°-65°=50°.
数学
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三、解答题
1.如图,A,D,F,B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.试说明:△AEF≌△BCD.
解:因为AE∥BC,所以∠A=∠B,因为AD=BF,
所以AD+DF=DF+BF,即AF=BD,
在△AEF和△BCD中,
所以△AEF≌△BCD(SAS).
数学
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2.如图,∠ABC=∠DCB,AB=DC.请说明△BEC是等腰三角形.
解:在△ABC和△DCB中,
所以△ABC≌△DCB(SAS),
所以∠ACB=∠DBC,
所以BE=CE.所以△BEC是等腰三角形.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB的同侧,连接BE,试说明:△DEB≌△ABC.
解:因为DE∥AC,所以∠EDB=∠A.
在△DEB和△ABC中,
所以△DEB≌△ABC.
数学
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2.如图,已知AC,BD相交于点O,AO=DO,BO=CO.试说明:△ABC≌△DCB.
解:在△ABO和△DCO中,
所以△ABO≌△DCO(SAS).所以AB=DC.
由题意可得AO+CO=DO+BO,即AC=DB.
在△ABC和△DCB中,所以△ABC≌△DCB(SSS).
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北师大版 七年级数学下册(共29张PPT)
4.3 探索三角形全等的条件(2)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
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知识点一 全等三角形判定方法“ASA”
角边角:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成
“ ”或“ ”.
角边角
ASA
◆ 名师导学 ◆
数学
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典型例题
【例1】如图,已知AB=AD,∠1=∠2,∠B=∠D.试说明: △ABC≌△ADE.
数学
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解题思路:由已知可得有两个角相等,考虑用两角一边,注意∠1,∠2并不是△ABC,△ADE的角,要进一步推导,∠DAC是公共部分,所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,刚好就是∠BAC=∠DAE,从而得到△ABC, △ADE的另一对角相等.
解:因为∠1=∠2,所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,所以∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中,
所以△ABC≌△ADE(ASA)
数学
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对应练习
1.如图,在△ABD与△ACD中,已知∠CAD=∠BAD,在不添加任何辅助线的前提下,依据“ASA”证明△ABD≌△ACD,需再添加一个条件,正确的是 ( )
A.∠B=∠C
B.∠BDE=∠CDE
C.AB=AC
D.BD=CD
B
数学
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2.如图,在△ABC中,高AD与BE相交于点H,且AD=BD,问△BHD≌△ACD吗 为什么
解:△BHD≌△ACD.理由如下:
因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以∠ADC=∠BEC=90°.
所以∠DAC=∠EBC,即∠DAC=∠DBH.
在△BHD和△ACD中,
所以△BHD≌△ACD(ASA).
数学
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名师点拨:证明三角形全等的三类条件:
①直接条件:已知中直接给出的三角形的对应边或对应角;
②隐含条件:已知中没有给出,但通过读图得到的条件,如公共边、公共角、对顶角;
③间接条件:已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角,需要进一步推导,如给出直线平行或者垂直,需进一步推导对应角相等.
数学
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知识点二 “ASA”判定全等三角形的简单应用
典型例题
【例2】如图,AB∥FC,DE=EF,AB=15,CF=7,则BD等于( )
A.8
B.7
C.6
D.5
数学
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解题思路:根据AB∥FC,DE=EF可以证明△ADE≌△CFE,
易证AD=CF,进而就可求得BD的值.
解析:因为AB∥FC,所以∠ADE=∠F.
又因为DE=EF,∠AED=∠CEF,所以△ADE≌△CFE(ASA).
所以AD=CF=7.所以BD=AB-AD=15-7=8.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.如图,AB∥CD,点E是线段CD上的一点,BE交AD于点F, EF=BF,CD=10,AB=8,则CE= .
2
数学
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4.下图四个三角形中,根据右图中所标条件,能判断与已知的三角形全等的三角形是 ( )
B
数学
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名师点拨:在运用“ASA”证明三角形全等时,常见的隐含的等角有:①公共角;②对顶角;③等角加(或减)等角,其和(或差)仍相等;④同角或等角的余角(补角)相等;⑤由角平分线的定义得出角相等;⑥由垂直的定义得出角相等;⑦由平行线得到同位角或内错角相等.
数学
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知识点三 全等三角形判定方法“AAS”及其应用
角角边:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“ ”或“ ”.
角角边
AAS
数学
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典型例题
【例3】如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,且BD⊥直线l于点D,CE⊥直线l于点E,若BD=5 cm, CE=4 cm,求DE的长度.
数学
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解题思路:根据AAS证明△ABD≌△CAE,由全等三角形的性质得出AD=CE,BD=AE,得出DE=BD+CE=9 cm即可.
解:因为在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ADB=∠CEA=90°,
所以∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°,所以∠EAC=∠DBA,
在△ABD和△CAE中,,
所以△ABD≌△CAE(AAS),所以AD=CE,BD=AE,
所以DE=AD+AE=CE+BD=9(cm).
数学
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对应练习
5.如图,∠1=∠2,AD=AB,∠AED=∠C,试说明:△ADE≌△ABC.
解:因为∠1=∠2,所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC,
在△ADE和△ABC中,
所以△ADE≌△ABC(AAS).
数学
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名师点拨:在证明三角形全等时,要注意挖掘题目中没有直接给出的隐含条件,当两个三角形中有两个角分别相等时,必须寻找一组对应边相等,利用“ASA”或“AAS”来证明.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠D
B.AC=DF
C.AB=DE
D.BF=EC
A
数学
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2.如图,在△ABC中,F为AC的中点,E为AB上一点,D为EF延长线上一点,∠A=∠ACD,则CD与AE的关系为( )
A.相等
B.平行
C.平行且相等
D.以上都不是
C
数学
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解析:因为∠A=∠ACD,所以AE∥CD.因为F为AC的中点,
所以AF=CF.因为∠A=∠ACD,∠AFE=∠CFD,AF=CF,
所以△AEF≌△CDF(ASA),所以AE=CD.故选C.
数学
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二、填空题
1.如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D.要使△ABF≌△DCE,应添加的条件是 .(只需要写出一个条件)
∠B=∠C
数学
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2.如图,小明把一块三角形的玻璃片打碎成三块,现要到玻璃店去配一块完全相同的玻璃片,那么只带编号为 的玻璃片就可以配成功.
③
数学
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三、解答题
1.如图,已知Rt△AEB与Rt△AFC中,∠E=∠F=90°,∠1=∠2,AC=AB.试说明:△AEB≌△AFC.
解:因为∠1=∠2,所以∠1+∠BAC=∠2+∠BAC,即∠EAB=∠FAC.
在△AEB和△AFC中,
所以△AEB≌△AFC(AAS).
数学
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2.如图,AD,BC分别平分∠CAB,∠DBA,且∠1=∠2,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由.
解:AC=BD.理由:
因为AD,BC分别平分∠CAB,∠DBA,
所以∠CAB=2∠1,∠DBA=2∠2,
又因为∠1=∠2,所以∠CAB=∠DBA.
在△ABC与△BAD中,
所以△ABC≌△BAD(ASA),所以AC=BD.
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF,试说明:AD=CF.
证明:因为AB∥DE,所以∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(AAS).所以AC=DF,
所以AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
数学
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2.如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)试说明:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
数学
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解:(1)因为AC平分∠BAD,所以∠BAC=∠DAC.
因为CB⊥AB,CD⊥AD,所以∠B=∠D=90°.
在△ABC和△ADC中,
所以△ABC≌△ADC(AAS).
(2)由(1)知,△ABC≌△ADC,所以BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,
所以S△ABC=AB·BC=×4×3=6,所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12.
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北师大版 七年级数学下册(共33张PPT)
4.2 图形的全等
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 全等图形
1.全等图形的概念:两个能够完全重合的图形称为 .
(1)无论是经过旋转、平移、还是折叠,只要两个图形能够
就是全等图形.
(2)这里的重合是两个图形的完全的重合,不能是一个图形与另一个图形的一部分重合,也不能是一个图形的一部分与另一个图形的一部分重合.
全等图形
完全重合
数学
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2.全等图形的性质:
(1)全等图形的 和 都完全相同.
(2)全等图形的 、 也都相等.
形状
大小
周长
面积
数学
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典型例题
【例1】下列各组图形是全等图形的是 ( )
数学
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解题思路:由全等图形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等图形可得答案.
解析:能够完全重合的两个图形称为全等图形.结合选项,知只有D项中的两个图形能够完全重合.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
1.下列各学科使用的教学器具中,属于全等图形的是 ( )
A
数学
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名师点拨:判断两个图形是不是全等图形的方法:依据是形状和大小是否相同,通过平移、翻折、旋转等方法,将两个图形叠合在一起观察是否完全重合,若重合,则是全等图形,否则不是.有时还可以借助网格背景来观察比较.注意:周长或面积分别相等的两个图形不一定是全等图形.
数学
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知识点二 全等三角形的概念及表示方法
1.全等三角形的定义:两个能够 的三角形叫做全等三角形,相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角.
2.全等三角形的表示方法:全等用符号“ ”表示,读作“全等于”,如△ABC和△A1B1C1全等,记作△ABC≌△A1B1C1.
完全重合
≌
数学
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典型例题
【例2】如图,△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,则BC的对应边是 ( )
A.CD
B.CA
C.DA
D.AB
数学
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解题思路:根据全等全角形中对应角所对的边是对应边,可知BC=DA.
解析:因为△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,所以∠BAC与∠DCA是对应角,所以BC与DA是对应边(对应角对的边是对应边).故选C.
答案:C
数学
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对应练习
2.如图,已知△ABE≌△ACD,∠AEB=∠ADC,指出对应边和其他的对应角.
解:因为△ABE≌△ACD,所以这两个三角形的对应边为AB与AC, AE与AD,BE与CD,其他的对应角为∠BAE与∠CAD,∠B与∠C.
数学
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名师点拨:确定全等三角形对应元素的方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
(3)全等三角形中有公共边的,公共边一定是对应边;
(4)全等三角形中有公共角的,公共角一定是对应角;
(5)全等三角形中有对顶角的,对顶角一定是对应角;
(6)两个全等三角形中,一对最长的边(或最大的角)是对应边(或对应角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角).
数学
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知识点三 全等三角形的性质
全等三角形的对应边 ,对应角 .
【拓展延伸】
全等三角形的周长相等,面积相等,对应边上的中线相等,对应角的平分线相等,对应边上的高相等.
相等
相等
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典型例题
【例3】如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是 ( )
A.AC=DE
B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE
D.∠ABC=∠AED
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解题思路:根据全等三角形的性质即可得到结论.
解析:因为△ABC≌△ADE,
所以AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE,
所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
由题中所给条件无法得到A,C,D选项中的结论,而B选项一定成立.故选B.
答案:B
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对应练习
3.如图,若△ABC≌△DEF,BC=6,EC=4,则CF的长为 ( )
A.1
B.2
C.2.5
D.3
B
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4.如图是两个全等三角形,则∠1的度数为 .
72°
数学
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名师点拨:利用全等三角形的性质,可以求角的度数、说明两个角相等、说明两条线段相等、由角的关系判断两条直线的位置关系等;关键要准确确定全等三角形的对应关系.用字母表示图形时,既可按顺时针也可按逆时针的顺序表示.如确定的四边形ABCD就不能写成四边形ADCB.
数学
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一、选择题
1.在下列每组图形中,全等图形是( )
C
◆ 基础巩固◆
数学
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2.如图,△ABC≌△ADE,如果AB=5 cm,BC=7 cm,AC=6 cm,那么AE的长是( )
A.6 cm
B.5 cm
C.7 cm
D.无法确定
A
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3.下列说法中,错误的是( )
A.全等三角形对应角相等
B.全等三角形对应边相等
C.全等三角形的面积相等
D.面积相等的两个三角形一定全等
D
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4.如图,已知点D在AC上,点B在AE上,△ABC≌△DBE,
若∠A=50°,∠C=30°,则∠DBC为( )
A.30°
B.25°
C.20°
D.15°
C
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二、填空题
1.如图,△ABC≌△DEF,BE=3.AE=2,则DE的长是 .
5
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2.如图,△ABC≌△AED,∠C=40°,∠EAC=30°,∠B=30°,
则∠D= °,∠EAD= °.
40
110
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3.如果△ABC≌△ADC,AB=AD,∠B=70°,BC=3 cm,
那么∠D= ,DC= .
70°
3 cm
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三、解答题
1.如图所示,△ABD≌△ACD,∠BAC=90°,BC=18 cm.
(1)求∠B的大小、CD的长;
(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由.
数学
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解:(1)因为△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C,BD=CD,
又因为∠BAC=90°,BC=18 cm,
所以∠B=∠C=45°,CD=9 cm.
(2)AD⊥BC.理由:因为△ABD≌△ACD,
所以∠BDA=∠CDA,
因为∠BDA+∠CDA=180°,
所以∠BDA=∠CDA=90°,所以AD⊥BC.
数学
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2.如图,△EFG≌△NHM,且EF=2.4 cm,FH=1.9 cm,HM=3.5 cm, ∠F=30°,∠N=105°.求线段NH,线段HG的长度和∠FGE的度数.
解:因为△EFG≌△NHM,所以NH=EF=2.4 cm,
FG=HM=3.5 cm,∠E=∠N=105°,
所以∠FGE=180°-∠E-∠F=45°,
因为FH=1.9 cm,
所以HG=FG-FH=3.5-1.9=1.6(cm).
数学
◆ 能力提升◆
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1.如下图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,△ABE≌△ACD, ∠C=20°,AB=10,AD=4,G为AB延长线上一点,求∠EBG的度数和CE的长.
解:因为△ABE≌△ACD,∠C=20°,
所以∠ABE=∠C=20°,
所以∠EBG=180°-20°=160°,
所以AC=AB=10,AE=AD=4,
所以CE=AC-AE=10-4=6.
数学
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2.如图,在△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上以a cm/s的速度由点C向点A运动,设运动的时间为t s.
(1)求CP的长(用含t的式子表示);
(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和
以B,D,P为顶点的三角形全等,且
∠B和∠C是对应角,求a的值.
数学
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解:(1)由题意,得BP=3t cm.
因为BC=8 cm,所以CP=BC-BP=(8-3t)cm.
(2)因为AB=10 cm,D为AB的中点,所以BD=AB=5 cm.
①当△BDP≌△CPQ,即BD=CP时,5=8-3t,解得t=1.
所以BP=CQ,即3×1=a×1,解得a=3.
②当△BDP≌△CQP,即BP=CP时,3t=8-3t,解得t=.
所以BD=CQ,即5=a×,a=,
综上所述,a的值为3或.
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