(共23张PPT)
5.1 轴对称现象
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够 ,那么这个图形叫做 ,这条直线叫做这个图形的 .
互相重合
轴对称图形
对称轴
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典型例题
【例1】改革开放以来,我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就,大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表.上述四个企业的标志是轴对称图形的是 ( )
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解题思路:根据轴对称图形的概念求解.
解析:根据轴对称图形的定义,只有B项满足要求.故选B.
答案:B
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对应练习
1.如图,下列图形中,轴对称图形的个数是 ( )
B
A.4 B.3 C.2 D.1
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2.下列四种图形中,对称轴条数最多的是 ( )
A.等边三角形 B.圆
C.长方形 D.正方形
B
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名师点拨:
(1)判断一个图形是否为轴对称图形,关键是看能否找到一条直线,使它两旁的部分折叠后能够完全重合.
(2)轴对称图形的对称轴是直线,可能只有一条,也可能有多条.
(3)定义中的“能够互相重合”反映出轴对称图形与全等图形有密切的联系:把轴对称图形在一条对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两个图形是全等的.
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知识点二 两个图形成轴对称
1.轴对称:如果两个图形,沿一条直线对折后,它们能完全重合,那么称这两个图形成 ,这条直线就是 ,两个图形中的对应点叫做 .
轴对称
对称轴
对称点
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2.轴对称和轴对称图形的区别和联系
(1)区别:①轴对称是针对两个图形而言的,而轴对称图形是针对一个特殊形状的图形而言的;②轴对称的对称轴可能在两个图形之外,而轴对称图形的对称轴一定穿过这个图形.
(2)联系:①都是沿着一条直线折叠后两边能够完全重合;②如果成轴对称的两个图形看成一个整体,那么这个整体反映出来的图形就是一个轴对称图形.
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典型例题
【例2】观察下列各组图形,其中成轴对称的有 .(只填序号)
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解题思路:认真观察所给的图形,按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求.
解析:根据成轴对称图形的定义可知第②个图形成轴对称.故答案为:②.易错:③,误以为两个图形大小、形状相同就成轴对称.
答案:②
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对应练习
3.如图所示的四幅图中,左边图形与右边图形成轴对称的是 ( )
D
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名师点拨:
(1)判断两个图形是否成轴对称,先观察两个图形的形状和大小,如果形状和大小相同,再看是否能找到一条直线,将两个图形沿这条直线对折,如果能够重合,那么这两个图形成轴对称,否则不是.
(2)成轴对称的两个图形一定是全等的,但全等的两个图形不一定成轴对称.
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一、选择题
1.下列4个汉字中,属于轴对称图形的是( )
爱 国 敬 业
A B C D
D
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2.北京2022年冬奥会会徽如图所示,组成会徽的四个图案中,是轴对称图形的是( )
D
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3.下列图形中,对称轴条数最多的是( )
C
解析:A项,有2条对称轴;B项,有4条对称轴;C项,有6条对称轴;
D项,有3条对称轴,对称轴条数最多的是C.故选C.
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二、填空题
1.给出下面4个图形,对称轴条数不少于2条的为 .
(填序号)
①②④
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2.在“线段、钝角、三角形、等腰三角形、圆”这五个图形中,是轴对称图形的有 个.
3.请找出下列符号所蕴含的内在规律,然后在后面填上一个恰当的图形.
4
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三、解答题
下面四个图形中,哪些是轴对称图形 如果是轴对称图形,各有几条对称轴 分别画出来.
解:②③④都是轴对称图形.其中②有3条对称轴;③有2条对称轴;④有1条对称轴,如上图所示.
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1.下图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.5
D
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2.下图是由三个相同的小正方形组成的图形,请你用三种方法在图中补画一个相同的小正方形,使补画后的四个小正方形所组成的图形为轴对称图形,并画出其对称轴.
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北师大版 七年级数学下册(共42张PPT)
5.3 简单的轴对称图形(1)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
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01
02
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目 录
能力提升
036
数学
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知识点一 等腰三角形的对称性、“三线合一”
1.定义:有两条边相等的三角形是 .相等的两边叫做等腰三角形的 ,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做等腰三角形的 ,腰与底边的夹角叫做等腰三角形的
.
2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角平分线所在的直线;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合(简称“ ”).
等腰三角形
腰
顶角
底角
三线合一
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典型例题
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结论中:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC.其中正确的是 ( )
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
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解题思路:根据等腰三角形“三线合一”的性质,角平分线的性质及线段的中垂线的性质判断可求解.
解析:因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,
又因为AD⊥BC于点D,所以∠BAD=∠CAD,BD=CD,故①③正确;因为∠BAD=∠CAD,所以AD上任意一点到AB,AC的距离相等,
故②正确;因为AD是BC的中垂线,所以若点P在直线AD上,则PB=PC,故④正确.故选D.
答案:D
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对应练习
1.下列各图中,已知AB=AC,求图中的x.
解:(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C=65°.
所以∠A=180°-∠B-∠C=50°,即x=50.
(2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.又因为∠A=90°,
所以∠C=∠B=(180°-∠A)÷2=45°,即x=45.
(1)
(2)
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2.如图,以下推理正确的是 ( )
A.因为△ABC是等腰三角形,所以∠B=∠C
B.因为AB=AC,所以AD是高
C.因为AD是△ABC的角平分
线,所以AD是高
D.因为AD是BC的中垂线,所以AB=AC
D
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名师点拨:等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义:
(1)已知等腰三角形底边上的高,则它平分底边,平分顶角;
(2)已知等腰三角形底边上的中线,则它平分顶角,垂直于底边;
(3)已知等腰三角形顶角的平分线,则它垂直平分底边.
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知识点二 等腰三角形的边角性质
1.等腰三角形的两个底角相等(简称“ ”).
2.判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“ ”).
等边对等角
等角对等边
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典型例题
【例2】等腰三角形的一个角是80度,则这个等腰三角形的底角是 度.
解题思路:先分情况讨论:①80°是等腰三角形的顶角;
②80°是等腰三角形的底角.
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解析:
①当80°是等腰三角形的顶角时,则底角为(180°-80°)=50°;
②当80°是等腰三角形的底角时,则顶角是180°-80°×2=20°.
所以等腰三角形的底角为50°或80°.
答案:50°或80°
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对应练习
3.已知等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个角的度数为
.
55°, 55°或70°, 40°
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则其顶角为
.
45°或135°
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5.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点, ∠BAD=40°,AD=AE,则∠CDE= .
20°
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名师点拨:
(1)若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论计算;
(2)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角,而底角只能是锐角.
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知识点三 等边三角形的定义和性质
1.定义:三边都相等的三角形是 ,也叫正三角形.
2.性质:等边三角形是特殊的等腰三角形,它除了具有等腰三角形的所有性质外,还具有:①等边三角形有 条对称轴,是等边三角形的三条角平分线(或高线或中线)所在的直线;②等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于 .
等边三角形
三
60°
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典型例题
【例3】如图,等边△ABC中,BE和CD分别是AC和AB边上的高,且相交于点F,则∠BFC的度数为 .
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解题思路:根据等边三角形的性质求出∠A=60°,根据高的定义得出∠BEC=90°,∠ADC=90°,根据三角形内角和定理求出∠ACD=180°-∠A-∠ADC=30°,根据三角形的外角性质求出答案即可.
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解析:因为△ABC是等边三角形,所以∠A=60°,
因为BE和CD分别是AC和AB边上的高,
所以∠BEC=90°,∠ADC=90°,
所以∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-60°-90°=30°,
所以∠BFC=∠BEC+∠ACD=90°+30°=120°.
故答案为:120°.
答案:120°
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对应练习
6.如图,点A,D,E是直线BC同侧的三个点,已知△ABD,△AEC都是等边三角形,连接BE,CD.试说明:BE=CD.
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解:因为△ABD,△AEC都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°.
所以∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE.
在△ABE和△ADC中,
所以△ABE≌△ADC(SAS).所以BE=CD.
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名师点拨:
(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质,但等腰三角形不一定是等边三角形.
(2)等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线互相重合,即“三线合一”,它们的长度相等,且所在的直线都是等边三角形的对称轴.
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一、选择题
1.下列选项中是等腰三角形的对称轴的是( )
A.顶角的平分钱 B.底边上的中线
C.底边的垂直平分线 D.底边上的高
C
解析:等腰三角形的对称轴即为其底边上的高所在的直线,也是顶角平分线所在的直线,也是底边上的中线所在的直线,也是底边垂直平分线.故选C.
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2.如果一个等腰三角形的两边长为3和5,那么这个三角形的周长是( )
A.11
B.13
C.11或13
D.不确定
C
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3.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠C=32°,则∠B的度数是
( )
A.30°
B.32°
C.40°
D.64°
D
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4.如图,在△ABE中,BA=BE,F为AE的中点,若∠ABC=34°,
∠C=50°,则∠CAE的度数为 ( )
A.30°
B.23°
C.17°
D.34°
B
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5.如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
D
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解析:因为∠ABC,∠ACB的平分线相交于点E,
所以∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
因为MN∥BC,所以∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,
所以∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,所以BM=ME,EN=CN,
所以MN=ME+EN=BM+CN.
因为BM+CN=9,所以MN=9.故选D.
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二、填空题
1.等腰三角形的一个角是70°,那么它的顶角的度数是
.
70°或40°
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2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE.若BD=9,则CE的长为 .
9
数学
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3.如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA的长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为
°.
34
数学
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4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是 .
3
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三、解答题
1.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且∠2=36°,BD=2,求∠BAC,∠B的度数及BC的长.
解:因为AD为∠BAC的平分线,∠2=36°,
所以∠1=∠2=36°,∠BAC=2∠2=72°.
又因为AB=AC,所以AD⊥BC,BD=CD,
所以∠B=90°-∠1=90°-36°=54°,BC=2BD=4.
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2.已知:如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB,AC于点D,E.
(1)找出图中所有的等腰三角形,并且加以说明;
(2)如果AB=3,AC=2,求△ADE的周长是多少
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解:(1)因为∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F,
所以∠DBF=∠CBF,∠ECF=∠BCF,
因为DE∥BC,所以∠DFB=∠CBF,∠BCF=∠EFC,
所以∠DBF=∠DFB,∠ECF=∠EFC,所以DB=DF,EF=EC,
所以△BDF和△CEF是等腰三角形.
(2)由(1)得DB=DF,EF=EC,所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC=3+2=5,即△ADE的周长是5.
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1.若等腰三角形的一个内角是40°,则它的顶角是( )
A.100° B.40°
C.100°或40° D.60°
C
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2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,CD∥AB,
则∠BCD= .
65°
数学
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3.等腰三角形两内角度数之比为1∶2,则它的顶角度数为
.
4.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠B=25°,则∠C= .
36°或90°
50°
数学
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5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,若△ABD的周长为12,△ABC的周长为16,求AD的长.
解:因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
所以BD=CD.
因为△ABC的周长为16,
所以AB+BD=×16=8.
因为△ABD的周长为12,所以AD=12-8=4.
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6.如图,A,B是直线l同侧的两点.请在直线l上找一点C,使得AC+CB最小,并说明理由.
解:如图,点C即为所求.
理由:在l上任取一点C’,
可得AC'+B'C'>AB’,
即AC'+BC'>AC+BC,
所以点C即为所求.
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7.数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题;
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
数学
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解:(1)若∠A为顶角,∠B为底角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×80°=20°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°.综上可知,∠B=50°或20°或80°.
(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,此时∠B的度数只有一个.②当0谢谢观看
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北师大版 七年级数学下册(共36张PPT)
5.3 简单的轴对称图形(2)
北师大版 七年级数学下册
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01
02
CONTANTS
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能力提升
036
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知识点一 线段垂直平分线的定义
1.线段是轴对称图形, 并且 线段的直线是它的一条对称轴.
2.线段垂直平分线的定义:
垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的
,简称( ).
3.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .
垂直
平分
垂直平分线
中垂线
相等
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典型例题
【例1】如图,在△ABC中,AC=4,BC边上的垂直平分线DE分别交BC,AB于点D,E,若△AEC的周长是11,则AB等于 ( )
A.28
B.18
C.10
D.7
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解题思路:从垂直平分线的性质和已知△AEC的周长=AE+EC+CA计算即可.
解析:因为DE是BC的垂直平分线,所以BE=EC,
则AB=EB+AE=CE+EA,
又因为△ACE的周长=AE+EC+CA=11,
故AB=11-4=7.故选D.
答案:D
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【例2】如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为点E,下列结论不一定成立的是 ( )
A.AB=AD
B.CA平分∠BCD
C.AB=BD
D.△BEC≌△DEC
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解题思路:先根据线段垂直平分线的性质得出AB=AD,BC=CD,再对各选项进行逐一分析即可.
解析:因为AC垂直平分BD,所以AB=AD,BC=CD,EB=DE,
所以CA平分∠BCD.在△BEC和△DEC中,
所以△BEC≌△DEC(SSS),
所以A,B,D项都成立.故选C.
答案:C
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对应练习
1.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于点D,AC的中垂线交BC于点E,求△ADE的周长.
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解:因为点D在线段AB的垂直平分线上,
所以DA=DB,
因为点E在线段AC的垂直平分线上,
所以EA=EC,
所以△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8.
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2.如图,在△ABC中,AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E,交边AB于点D,若AC长为8 cm,BE长为6 cm,则EC的长为 ( )
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm
C
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3.如图∠ABC=50°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是 ( )
A.115°
B.75°
C.105°
D.50°
A
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名师点拨:
(1)线段垂直平分线的性质是证明两条线段相等的依据之一;
(2)应用该性质,一定要注意:点一定在垂直平分线上.
(3)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,其中“线段垂直平分线上的点”是指线段垂直平分线上的任意一点,而“距离”是指线段的垂直平分线上的点与线段两端点间线段的长度,是点与点之间的距离.
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(4)计算三角形的周长时一般有两种方法:
一是直接计算出三边长进行求解;
二是将三角形的三边长转移或转化到其他线段中,化未知线段为已知线段进行求解.
(5)线段垂直平分线的性质定理是说明两条线段相等的常用方法之一,同时也给出了作辅助线的方法:分别将线段垂直平分线上的某点与线段的两个端点相连,这样就出现了相等线段,直接或间接地为构造全等三角形提供了条件.
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知识点二 线段垂直平分线的尺规作图
典型例题
【例3】如图,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,试问:该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等
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解题思路:根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,连接AB,BC,△ABC两边垂直平分线的交点就是购物中心的位置.
解:如图,连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线DE,GF,两直线交于点M,则点M就是所要确定的购物中心的位置.
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对应练习
4.如图,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,与村庄M,N的距离相等.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)
解:如图,C点即为所求.
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5.通过作图发现△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上,则△ABC的形状为 .
直角三角形
名师点拨:解决作图选点类问题,若要找到某两个点的距离相等的点,一般在这两点所连接线段的垂直平分线上去找.
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一、选择题
1.关于线段的垂直平分线有以下说法:
①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;
②线段的垂直平分线是一条直线;
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.
其中,正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
B
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2.如图,在△ABC中,BC=8,AB,AC的垂直平分线与BC分别交于E,F两点,则△AEF的周长为( )
A.2
B.4
C.8
D.不能确定
C
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3.如图,等腰△ABC的周长为13,底边BC=3,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为( )
A.5
B.5.5
C.8
D.10
C
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4.如图,是求作线段AB中点的作图痕迹,则下列结论不一定成立的是( )
A.∠B=45°
B.AE=EB
C.AC=BC
D.AB⊥CD
A
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5.已知在△ABC中,ABD
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解析:因为BC=BD+CD,AD+CD=BC,所以AD=BD.
由作图痕迹可知,
在选项A中,AB=BD,不符合题意;
在选项B中,AD=CD,不符合题意.
在选项C中,AC=CD,不符合题意;
在选项D中,AD=BD,符合题意.
故选D.
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二、填空题
1.如图,AB是△ABC的一条边,DE是AB的垂直平分线,垂足为E,并交BC于点D,已知AB=8 cm,BD=6 cm,那么EA= , DA= .
4 cm
6 cm
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2.如图,若△ACD的周长为50,DE为AB的垂直平分线,则AC+BC= .
50
数学
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3.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为 .
70°
数学
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三、解答题
1.如图,直线l表示一条公路,点A,B表示两个村庄,现要在公路l上造一个加油站,并使加油站到两个村庄A,B的距离相等,问加油站应建在何处 请在图上标明这个地点,并说明理由.
解:因为加油站到两个村庄A,B的距离相等,所以车站应建在线段AB的垂直平分线和l的交点P处.理由是:到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
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2.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,若CE平分∠ACB,∠B=40°,求∠A的度数.
解:因为DE是线段BC的垂直平分线,
所以BE=CE.所以∠B=∠BCE.
因为∠B=40°,所以∠BCE=40°.
因为CE平分∠ACB,
所以∠ACB=2∠BCE=80°.
所以∠A=180°-∠B-∠ACB=60°.
数学
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3.如图,在锐角三角形ABC中,直线PL为BC的垂直平分线,射线BM为∠ABC的平分线,PL与BM相交于点P.若∠PBC=30°,∠ACP=20°,求∠A的度数.
解:因为射线BM为∠ABC的平分线,∠PBC=30°,
所以∠ABC=2∠PBC=60°.
因为直线PL为BC的垂直平分线,
所以PB=PC.所以∠PBC=∠PCB=30°.
因为∠ACP=20°,
所以∠ACB=∠PCB+∠ACP=30°+20°=50°.
所以∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-50°=70°.
数学
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4.如图,点P为∠MON内一点,分别在OM与ON上找点A,B,使△ABP的周长最小(保留作图痕迹,不写作法及理由).
解:如图,①分别作点P关于OM,ON的对称点P',P″;②连接P'P″,分别交OM,ON于点A,点B,则点A,点B即为所求作.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,一张纸上有A,B,C,D四个点,请找出一点M,使得MA=MB,MC=MD.
解:如图所示,点M就是所求的点.
数学
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2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)试说明:CF=AD;
(2)若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上 为什么
数学
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解:(1)因为AD∥BC,所以∠ECF=∠EDA.
因为E为CD的中点,所以CE=DE.
在△FEC与△AED中,
所以△FEC≌△AED(ASA).所以CF=AD.
数学
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(2)当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.理由:
因为BC=6,AD=2,AB=8,
所以AB=BC+AD.
又因为CF=AD,BC+CF=BF,所以AB=BF,
所以点B在线段AF的垂直平分线上.
数学
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3.如图,BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为点E,交BD于点P,AE=7 cm,AP=4 cm,则点P到直线AB的距离是多少
解:如图,过点P作PM⊥AB于点M.
因为BD垂直平分线段AC,所以AB=CB.
所以∠ABD=∠CBD.
因为AE=7 cm,AP=4 cm,所以PE=AE-AP=3 cm.
因为PM⊥AB,PE⊥CB,所以易证△BPM ≌△BPE.
所以PM=PE=3 cm,即点P到直线AB的距离是3 cm.
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北师大版 七年级数学下册(共25张PPT)
5.4 利用轴对称进行设计
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 剪纸中的轴对称
典型例题
【例1】剪纸是中国的民间艺术之一,剪纸的方法有很多.下图是一种剪纸的方法:先将纸折叠,然后剪出图形,再展开,即可得到图案.
下列四个图案中,不能用上述方法剪出的是 ( )
数学
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解题思路:根据轴对称图形的定义判断即可.
解析:将纸对折再对折将会出现两条互相垂直的折痕,剪出的图形是以这两条折痕为对称轴的轴对称图形,图A、图B、图D均能用上述方法剪出.图C是轴对称图形,但只有一条对称轴,所以将纸折叠不会剪出此图形.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个心形小孔,则展开铺平后的图案是 ( )
B
数学
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2.将一张长方形纸对折,然后用笔尖在上面扎出B,再把它铺平,你可见到的是 ( )
C
数学
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名师点拨:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形,折痕所在的这条直线叫做对称轴,利用对称轴裁剪得到的图形一定是轴对称图形.解决剪纸类问题要熟知轴对称图形的特点,关键是准确地找到对称轴.一般方法是动手操作,拿张纸按照题目的要求剪出图案,展开即可得到正确的图案.
数学
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知识点二 利用轴对称设计图案
典型例题
【例2】如图,已知要在一块长方形的空地上修建一个花坛,要求花坛图案(阴影部分)为轴对称图形,图中的设计符合要求的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
数学
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解题思路:根据轴对称图形的定义逐项识别即可.
解析:一个图形的一部分,以某条直线为对称轴,经过轴对称能与图形的另一部分重合,这样的图形叫做轴对称图形.据此解答即可.综上,①②③④均为轴对称图形.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.如图,在网格图中选择一个格子涂色,使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形,则应涂色的格子的序号是 ( )
A.①
B.②
C.③
D.④
C
数学
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名师点拨:利用轴对称设计图案的步骤:首先要画出对称轴;其次要画出图形形状的部分线条;最后根据对称性画出对称图形.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.剪纸是中国的民间艺术,剪纸的方法有很多,下面是一种剪纸的方法:如图,先将纸折叠,然后剪出图形,再展开,即可得到图案.
下面四个图案中,不能用上述方法剪出的是( )
C
数学
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2.如图,仔细观察下列图形,并按规律在横线上画出合适的图形.
数学
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3.剪纸与扎染、龚扇被称为“自贡小三绝”,下列学生剪纸作品中,属于轴对称图形的是( )
D
数学
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二、填空题
1.如下图,是轴对称图形的是 ,有一条对称轴的是 ,有两条对称轴的是 ,有三条对称轴的是
,有无数条对称轴的是 .
①②③④⑤⑥
①②
⑤⑥
③
④
数学
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2.如图,将一张长为16,宽为8的长方形纸片先从下向上,再从左向右对折后,沿过所得长方形较长一边中点所在的直线剪掉一部分,再将剩下的部分展开,得到一个正方形,则这个正方形的面积是 .
32或64
数学
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解析:如图,沿着AB方向剪掉一部分,剩下的部分展开可得正方形ABCD. 由题可得BD=AC=8,所以这个正方形的面积是×8×8=32.如图,沿着AE方向剪掉一部分,剩下的部分展开可得正方形EFGH. 由题可得EF=FG=8,所以这个正方形的面积是8×8=64.
数学
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3.将图①中的等边三角形ABC沿对称轴对折,得到图②,再按图③所示方式沿虚线剪掉一个45°的角,展开铺平后得到如图④所示的形状(AD为折痕),则∠ADB= .
135°
数学
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三、解答题
1.如图所示,是由两个全等的小正方形组成的图形,请你在图中补画两个小正方形,使补画后的图形为轴对称图形.
解:答案不唯一,以下为其中的几种.
数学
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2.请在如图所示的四个3×3的正方形网格中,画出与格点三角形(阴影部分)成轴对称且以格点为顶点的三角形,并将所画三角形涂上阴影.(注:所画的四个图不能重复)
解:如图.(答案不唯一)
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,将一张正方形纸片沿箭头所示的方向依次折叠后得到一个三角形,再将三角形纸片剪去一个小等腰直角三角形和一个半圆后展开,得到的图形为( )
D
数学
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2.在如图的方格纸上画有2条线段,若再画1条线段,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,则这条线段的画法有 种.
4
数学
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3.如图,在正方形网格上有一个△ABC.
(1)作△ABC关于直线MN的对称图形(不写作法);
解:如图所示.
数学
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(2)若网格上的最小正方形的边长为1,求△ABC的面积.
解:S△ABC=S长方形DECF-S△ABD-S△ACF-S△BEC=2×3-2×-×1×3=6-2-=.
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北师大版 七年级数学下册(共28张PPT)
5.3 简单的轴对称图形(3)
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 角平分线的性质
1.角是轴对称图形, 所在的直线是它的对称轴.
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
角平分线
相等
数学
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典型例题
【例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,若AB=10 cm,则△DBE的周长等于 ( )
A.10 cm
B.9 cm
C.8 cm
D.6 cm
数学
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解题思路:△DBE的周长等于BD+DE+BE,关键是求出AE=AC=BC,CD=DE,从而转化为BD+DE+BE=AE+BE=AB=10.
解析:因为AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,所以CD=DE, ∠BAD=∠DAC,在△ACD和△AED中, ∠BAD=∠DAC, ∠C=∠DEA=90°,CD=DE,△ACD≌△AED(AAS),所以AE=AC,
所以DE+BD=CD+BD=BC,因为AC=BC,所以BD+DE=AC=AE,
所以△DBE的周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=10.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
1.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E, DF⊥AC交AC于点F,若S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
A
数学
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解析:因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
所以DF=DE=2,因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,
所以×2×4+×2×AC=7,所以AC=3.故选A.
数学
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2.如图,P是∠BAC的平分线AD上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,下列结论不一定正确的是 ( )
A.PE=PF
B.AE=AF
C.△APE≌△APF
D.AP=PE+PF
D
数学
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解析:因为P是∠BAC的平分线AD上的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,
所以PE=PF,∠PAE=∠PAF,∠PEA=∠PFA=90°,
所以△APE≌△APF,所以AE=AF.
根据题中信息,无法判断AP与PE+PF的关系.故选D.
数学
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名师点拨:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,其中“角平分线上的点”是指角平分线上任意一点,“距离”是指这一点到角两边垂线段的长.注意:该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;使用该结论的前提条件是图中有角平分线,题目有垂直角平分线的性质语言.
数学
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知识点二 角平分线的尺规作图
典型例题
【例2】如图,已知∠AOB,求作:∠AOB的角平分线.
数学
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解题思路:作法如下:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点E,交OB于点D;②分别以点E,D为圆心,大于ED的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC,OC即为所求.
解:如图所示.
数学
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对应练习
3.如图所示,M,N是一个总厂的两个分厂,现要在道路AB,AC的交叉区域内建一个仓库P,使P到两条道路的距离相等,且使PM=PN.你能设计出点P的位置吗
解:作∠BAC的平分线和MN的垂直平分线,其交点即为所求点P.如图所示.
数学
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4.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是 ( )
A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C,D到OE的距离不相等
D.∠AOE=∠BOE
C
数学
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名师点拨:作已知角的角平分线原理是连接各个交点所得到的两个三角形可以利用“边边边”证明出全等,进而利用全等三角形的性质得到对应角相等,从而可以说明是角平分线.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
B
数学
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2.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是( )
A.PC=PD
B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
B
数学
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3.在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=3,则DE的长为( )
A.3
B.
C.2
D.6
A
数学
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4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=2, AB=7,则△ABD的面积是( )
A.7
B.30
C.14
D.60
A
数学
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解析: 如图,过点D作DH⊥AB于点H.
因为AP平分∠CAB,
DC⊥AC,DH⊥AB,
所以DC=DH=2,
所以S△ABD=×7×2=7,故选A.
数学
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5.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,DA=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为( )
A.8
B.7.5
C.15
D.无法确定
B
数学
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二、填空题
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D, DE⊥AB于点E,且AB=5 cm,AC=3 cm,BC=4 cm,则△DEB的周长为 .
6 cm
数学
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2.如图,在△ABC中,若AC=BC,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB,则图中与线段DC相等的所有线段是 .
DE,AE
数学
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三、解答题
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,CM=20 cm,AB=70 cm,求△ABM的面积.
解:过M作ME⊥AB于点E,
因为∠C=90°,AM平分∠CAB,CM=20 cm,
所以CM=ME=20 cm,
所以△ABM的面积是
×AB×ME=×70 cm×20 cm=700 cm2.
数学
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2.如图,有两条相交的公路,A,B两处是两个居民区,邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒,为了方便,要使邮筒到两条路的距离相等,并且到两个居民区的距离也相等,请你画出这个邮筒的位置所在的点.
解:如图,点P即为所求作.
数学
◆ 能力提升◆
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1.两城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部,那么点C应选在何处 请在图中用尺规作图找出符合条件的点C.(不写作法,只保留作图痕迹)
解:如图,点C即为所求作的点.
数学
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2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC. 试说明:BD=DF.
解:因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
所以DC=DE.在△DCF和△DEB中,
因为
所以△DCF≌△DEB(SAS),所以BD=DF.
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北师大版 七年级数学下册(共36张PPT)
5.2 探索轴对称的性质
北师大版 七年级数学下册
名师导学
基础巩固
01
02
CONTANTS
目 录
能力提升
036
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 轴对称的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴 ,对应线段 ,对应角
.
垂直平分
相等
相等
数学
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典型例题
【例1】如图,△ABC和△A'B'C'关于直线L对称,下列结论中正确的有 ( )
①△ABC与△A'B'C'大小形状相同
②∠BAC=∠B'A'C'
③直线L不一定垂直平分线段C C'
④点A的对称点在直线L上
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
数学
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解题思路:根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△A'B'C'全等,然后对各小题分析判断后求解.
解析:因为△ABC和△A'B'C'关于直线L对称,所以△ABC≌△A'B'C',①△ABC与△A'B'C'大小形状相同,正确;②∠BAC=∠B'A'C'正确;③直线L一定垂直平分线段C C',故本小题错误;④点A的对称点就是它本身,一定在直线L上,故本小题正确;综上所述,正确的结论有①②④共3个.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.如图,△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,BB'交MN于点O,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.AC=A'C'
B.BO=B'O
C.AA'⊥MN
D.AB∥B'C'
D
数学
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2.已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称,且BC与B1C1交于直线MN上一点O,则 ( )
A.点O是BC的中点
B.点O是B1C1的中点
C.线段OA与OA1关于直线MN对称
D.以上都不对
C
数学
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名师点拨:
(1)“对应点所连的线段被对称轴垂直平分”包含两层含义:一是对应点所连的线段垂直对称轴;二是对应点到对称轴的距离相等,即对称轴是对应点所连线段的垂直平分线。
(2)对应点的连线互相平行或在同一条直线上.
(3)成轴对称的两条线段的位置是互相平行或者它们所在的直线相交且交点在对称轴上.
(4)只要两点关于某条直线对称,那么这条直线就是这两点所连线段的垂直平分线.
数学
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知识点二 画轴对称图形
画轴对称图形的方法:
(1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点);
(2)画——画各个特殊点关于对称轴的对称点;
(3)连——依次连接各对称点.
数学
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典型例题
【例2】如图,已知四边形ABCD及直线l,画出其关于直线l的对称图形.
数学
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解题思路:找出点A,B,C,D关于直线l的对称点的位置,然后顺次连接即可.
解:如图所示.
数学
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对应练习
3.把下列图形补成关于直线l对称的图形.
数学
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4.如图所示,下面两个轴对称图形分别只画出一半,请画出它的另一半.(直线l为对称轴)
数学
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名师点拨:
(1)连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分,是画一个图形关于指定对称轴对称的图形的依据.
(2)画轴对称图形时,首先确定原图形的关键点,然后画出对称点,最后利用轴对称图形的性质求解相关问题.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称,那么线段AC的对应线段是( )
A.AB
B.DF
C.DE
D.EF
B
数学
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2.下列说法正确的是( )
A.轴对称图形是两个图形组成的
B.等边三角形有三条对称轴
C.两个全等的三角形组成一个轴对称图形
D.直角三角形一定是轴对称图形
B
数学
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3.如图,△ABC与△DEF关于直线l成轴对称,下列结论正确的是
( )
A.AC=DE
B.∠B=∠F
C.直线l⊥AD
D.AD=3AP
C
数学
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4.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示,则实际时间是( )
A.21∶10
B.10∶21
C.10∶51
D.12∶01
C
数学
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5.如图,∠A=30°,∠C'=60°,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,则∠B的度数为( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
C
数学
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二、填空题
1.距离为20 cm的两点A和A'关于直线MN成轴对称,则点A到直线MN的距离为 .
10 cm
数学
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2.如图,AD是△ABC的对称轴,点E,F是AD的三等分点,若△ABC的面积为30 cm2,则图中阴影部分的面积是 cm2.
15
数学
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3. 如图,在△ABC中,∠A=35°,D为AB上一点.将△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的点E处,且满足BC+BD=AC,则∠B= .
70°
数学
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解析:由折叠的性质得到CE=BC,DE=BD,∠DEC=∠B,因为BC+BD=AC,CE+AE=AC,所以BD=AE,所以DE=AE,所以∠ADE=∠A=35°,所以∠DEC=∠A+∠ADE=70°,所以∠B=∠DEC=70°.
数学
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三、解答题
1.图①,图②,图③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点,在给定的网格中,按下列要求画图:
(1)在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M,N为格点;
解:如图①,MN即为所求.(答案不唯一)
数学
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(2)在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点;
解:如图②,PQ即为所求.
(答案不唯一)
数学
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(3)在图③中,画一个△DEF,使△DEF与△ABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.
解:如图③,△DEF即为所求.
(答案不唯一)
数学
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2.如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.
(1)请画出四边形ABCD关于直线m的对称图形;
解:如图所示,四边形A'B'C'D'即为所求.
数学
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(2)求四边形ABCD的面积.
解:四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=×4×1+×4×3=8.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图所示,在长方形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在长方形ABCD外部的点A1,D1处,则阴影部分图形的周长为( )
A.15
B.20
C.25
D.30
D
数学
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解析:根据折叠性质,得A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF,则阴影部分的周长=矩形的周长=2(10+5)=30.故选D.
数学
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2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为 .
10°
数学
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解析:因为∠B=50°,∠BAC=90°,
所以∠C=90°-50°=40°,
因为AD⊥BC,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,
所以∠AB'D=∠B=50°,
因为∠AB'D=∠C+∠CAB’,
所以∠CAB'=50°-40°=10°.
数学
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3.在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC上一点,将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交BC于点F.若∠C-∠B=50°, ∠BAD=x°(0(1)求∠B的度数;
(2)若△DEF中有两个角相等,求x的值.
数学
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解:(1)因为在△ABC中,∠BAC=90°,
所以∠C+∠B=90°,即∠C=90°-∠B,
又因为∠C-∠B=50°,所以90°-∠B-∠B=50°,解得∠B=20°.
(2)因为∠BAD=x°,∠B=20°,则∠ADF=∠B+∠BAD=20°+x°,
所以∠ADB=180°-∠ADF=180°-(20°+x°)=160°-x°,
根据折叠可得∠ADE=∠ADB=160°-x°,∠B=∠E=20°,
数学
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所以∠FDE=∠ADE-∠ADF=160°-x°-(20°+x°)=140°-2x°,
所以∠DFE=180°-∠E-∠FDE=180°-20°-(140°-2x°)=2x°+20°,
当∠FDE=∠DFE时,即140°-2x°=2x°+20°,解得x=30,
当∠DFE=∠E=20°时,即2x°+20°=20°,解得x=0,
因为0当∠FDE=∠E=20°时,即140°-2x°=20°,
解得x=60,因为0所以若△DEF中有两个角相等,x为30,∠BAD=30°.
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北师大版 七年级数学下册
