9.1　随机抽样 学案

中小学教育资源及组卷应用平台
9.1　随机抽样
班级 姓名
学习目标
1．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．
2．会计算样本均值，了解样本与总体的关系．
3．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．
4．知道获取数据的途径多种多样，包括统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1．全面调查与抽样调查(1)对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ.(2)在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ.(3)根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ.(4)把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ.(5)样本中包含的个体数称为样本量Ｗ.(6)调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.2．简单随机抽样(1)有放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n阅读教材，完成右边的内容 5．总体平均数与样本平均数(1)总体平均数①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数.②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYiＷ.(2)样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
阅读教材，完成右边的内容 6．分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．7．分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数(1)在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Xi， ＝＝xi.②第2层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Yi， ＝＝yi.③总体平均数和样本平均数分别为＝，＝Ｗ.(2)由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数.因此我们可以用eq \f(M×＋N×,M＋N)＝＋估计总体平均数.(3)在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得＋＝＋＝.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.8．进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系(1)＝；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：＝＋＝＋.
9．获取数据的基本途径获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量通过观察获取数据自然现象要通过长久的持续观察获取数据通过查询获得数据众多专家研究过，其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真
简单随机抽样的概念 【例1】(1)从52名学生中选取5名学生参加数学竞赛，若采用简单随机抽样抽取，则每人入选的可能性(　　)A．都相等，且为　　 B．都相等，且为C．都相等，且为 D．都不相等(2)对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为(　　)①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
抽签法及随机数法的应用 【例2】(1)下列抽样实验中，适合用抽签法的是(　　)A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验(2)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 7663 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 7933 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
用样本均值估计总体均值 【例3】从有400人参加的某项运动的达标测试中，通过简单随机抽样抽取50人的成绩统计成如下表格，则这400人成绩的平均数的估计值是________．分数54321人数5152055
对分层随机抽样概念的理解 【例4】(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，则下列方法最合适的是(　　)A．抽签法 B．随机数法C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取的个体数量相同
分层随机抽样中的计算问题 【例5】(1)一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是 ．(2)某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为　　　　20．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取　　　　人.
分层随机抽样中的平均数 【例6】(1)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为 ．(2)某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部抽取 人，高中部各抽取 人，整个学校平均视力是 .
获取数据途径的选择 【例7】(1)下列数据中是通过试验获取的是(　　)A．2022年济南市的降雨量B．2022年中国新生儿人口数量C．某学校2023级同学的数学期末测试成绩D．某种特效中成药的配方(2)“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是(　　)A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据(3)下列调查工作适合采用普查的是(　　)A．环保部门对淮河水域的水污染情况的调查B．电视台对某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查
课后作业
一、基础训练题
1．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．随机抽样法 D．以上都不对
2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的作业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
3．下面问题可以用普查的方式进行调查的是(　　)
A．检验一批钢材的抗拉强度 B．检验海水中微生物的含量
C．调查某小组10名成员的业余爱好 D．检验一批汽车的使用寿命
4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
5．某校为了解学生的课外阅读情况，通过简单随机抽样抽取了40名学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下：
读书时间(小时) 7 8 9 10 11
学生人数 6 10 9 8 7
则该校学生一周读书时间的平均数(　　)
A．一定为9小时 B．高于9小时
C．低于9小时 D．约为9小时
6．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为(　　)
A．110分 B．115分
C．116分 D．120分
7．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1 800名高一学生中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有(　　)
A．1 098人 B．1 008人
C．1 000人 D．918人
8．(多选题)某高中3 000名学生均已接种某疫苗，现按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：
高一 高二 高三
只接种第一、二剂疫苗人数 50 44 45
接种第一、二、三剂疫苗人数 0 1 10
则下列判断正确的是(　　)
A．该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11
B．该校高三学生的人数比高一人数多50
C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200
D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%
9．(多选题)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，三人各应付多少税？则下列说法正确的是(　　)
A．甲应付51 钱 B．乙应付32钱
C．丙应付16钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
10．一个总体共有60个个体，个体的编号为00,01,02，…，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请从随机数表的第8行第11列的数字开始，向右读，到最后一列后再从下一行左边开始继续向右读，依次获取样本号码，直到取满样本为止，则获得的第4个样本个体的编号是________．
附表：(第8行～第10行)
63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79(第8行)
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54(第9行)
57 60 86 32 44　09 47 27 96 54　49 17 46 09 62　90 52 84 77 27　08 02 73 43 28(第10行)
11．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于________．
12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于________．
13．某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：
直径(单位：cm) 12 13 14
频数 12 34 4
估计这50个零件的直径大约为________ cm.
14．某分层随机抽样中，有关数据如下：
样本量 平均数
第1层 45 3
第2层 35 4
此样本的平均数为________．
15．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分别为80分和90分，则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________．
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________分．
16．下列试验适合用抽样调查方法获取数据的序号是________．
①考察一片草皮的平均高度；
②检查某食品单位职工的身体状况；
③考察参加某次考试的3万考生的数学答题情况；
④检验一个人的血液中白细胞的含量是否正常．
9.1　随机抽样
参考答案
1、【答案】B　
【解析】由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．
2、【答案】C
【解析】根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．
3、【答案】C
【解析】A不能用普查的方式调查，因为这种试验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；
C可以用普查的方式进行调查；D该试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，
在实际生产中无法实现．
4、【答案】A　
【解析】根据简单随机抽样的定义知选A.
5、【答案】D　
【解析】由题目所给数据可知平均数为＝9(小时)，
用样本平均数估计总体平均数，故该校学生一周读书时间的平均数约为9小时．]
6、【答案】C　
【解析】由题意可得抽取的50人中，男生为30人，女生为20人，
所以样本平均数＝×120＋×110＝116，
所以可以估计高一年级学生的数学平均成绩为116分．
7、【答案】B　
【解析】设该校高一男生有x人．
法一：由题意可得＝，求得x＝1 008，故选B.
法二：＝，求得x＝1 008，故选B.
8、【答案】ACD　
【解析】由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55，
即10∶9∶11，A正确；高三学生人数为3 000×＝1 100人，
高一学生人数为3 000×＝1 000人，
故高三学生的人数比高一人数多1 100－1 000＝100人，故B错误；
高三接种第三剂疫苗的人数约为3 000×＝200人，C正确；
该校学生中第三剂疫苗的接种率约为≈7.33%，故D正确．
9、【答案】ACD　
【解析】依题意由分层随机抽样可知，＝，则甲应付×560＝51(钱)；
乙应付×350＝32(钱)；丙应付×180＝16(钱)．
10、【答案】50
【解析】第8行第11列的数字为1，由此开始，依次抽取号码，第一个号码为16，可取出；
第二个号码为95>59，舍去，按照这个规则抽取号码，
抽取的10个样本号码为16,55,19,10,50,12,58,07,44,39.
11、【答案】200　
【解析】由题意可知：＝0.2，解得n＝200.
12、【答案】13　
【解析】∵＝，∴n＝13.
13、【答案】12.84　
【解析】＝＝12.84 cm.
14、【答案】3.437 5　
【解析】＝×3＋×4＝3.437 5.
15、【答案】(1)90，70　(2)84.375　
【解析】(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为×160＝90，
高二年级抽取的样本量为×160＝70.
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为＝×80＋×90＝84.375分．
16、【答案】①③④　
【解析】①该问题用普查的方法很难实现，适合用抽样调查的方法获取数据；
②体检，必须了解每个职工的身体状况，不适合用抽样调查的方法获取数据；
③3万考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适，适合用抽样调查的方法获取数据；
④该问题只能用抽样调查的方法获取数据．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)