10.1 随机事件与概率 学案

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10.1 随机事件与概率（一）
有限样本空间与随机事件＆事件的关系和运算
班级 姓名
学习目标
1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．
2．理解随机事件与样本点的关系．
3．了解随机事件的并、交与互斥的含义．
4．能结合实例进行随机事件的并、交运算．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、随机试验1．定义：我们把对 的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．2．特点：(1)试验可以在 条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是 的，并且 ；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 ，但事先不能确定出现哪一个结果．二、样本空间定义样本点随机试验E的 基本结果称为样本点，用 表示样本点样本空间 的集合Ω称为试验E的样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝ 为有限样本空间三、事件的分类随机事件将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件不可能事件空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为不可能事件【即时训练1】(1)下列现象中，是随机现象的有________．(填序号)①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一枚炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．(2)从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________________．(3)在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)
阅读教材，完成右边的内容 四、事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B 发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B A(或A B) INCLUDEPICTURE "TBXX23-816.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-816.TIF" \* MERGEFORMATINET 相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等A＝B INCLUDEPICTURE "TBXX23-816+.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816+.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816+.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816+.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816+.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-816+.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-816+.TIF" \* MERGEFORMATINET 互斥事件如果事件A与事件B 发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若 ，则A与B互斥 INCLUDEPICTURE "TBXX23-817.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-817.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-817.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-817.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-817.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-817.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-817.TIF" \* MERGEFORMATINET 对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中 发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为若 ，且A∪B＝Ω，则A与B对立 INCLUDEPICTURE "TBXX23-818.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-818.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-818.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-818.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-818.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-818.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-818.TIF" \* MERGEFORMATINET 五、事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B ，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或 ) INCLUDEPICTURE "TBXX23-819.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-819.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-819.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-819.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-819.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-819.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-819.TIF" \* MERGEFORMATINET 交事件事件A与事件B ，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或 ) INCLUDEPICTURE "TBXX23-820.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-820.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-820.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-820.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-820.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-820.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-820.TIF" \* MERGEFORMATINET 【即时训练2】(1)思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)①若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件． (　　)②若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件． (　　)③若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生． (　　)④抛掷一枚骰子一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生． (　　)(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∪B表示的事件为________； A∩B表示的事件为________．
随机试验的样本空间 【例1】抛掷一枚骰子,观察其朝上面的点数，该试验的样本空间含6个样本点．(1)若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点；(2)“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？【变式1】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．
事件关系的判断 【例2】从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【变式2】(1)同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)A．A B　　B．A B　　C．A＝B　　D．A与B互斥(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(　　)A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球判断互斥事件、对立事件的两种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
事件的运算 【例3】掷一枚骰子，下列事件：A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记为事件H的对立事件，求,C，∪C，＋.【变式3】(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是( 　)A．A D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D(2)小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．事件关系或运算的含义事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝ 互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝ ，A∪B＝Ω
课后作业
一、基础训练题
1．下列现象中，不可能事件是(　　)
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
2．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为(　　)
A．{10，11，…，99}　 B．{1，2，…，18}
C．{0，1，…，18} D．{1，2，…，10}
3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
4．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为(　　)
A．6 B．17
C．19 D．21
5．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为6}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
6．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中　　 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．全部未击中
7．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为(　　)
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
8．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上说法都不对
9．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G互为对立
10．(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名学生去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是(　　)
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
11．(多选)(2022·江苏南京六校联考)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是(　　)
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
12．(多选)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是(　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，但不是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
13．设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}．则A∪B＝________； ∩B＝________．
14．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________．
15．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是互斥事件的为________，是对立事件的为________．
16．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？说明理由．
10.1 随机事件与概率（一）
参考答案
1、【答案】C　
【解析】锐角三角形中两内角和大于90°.
2、【答案】B
3、【答案】B
【解析】设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，
∴M含有4个样本点．
4、【答案】C
【解析】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a和b，
∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，∴Δ＝b2－4a≥0，
则M＝{(1，2),(1，3),(1，4),(1，5),(1，6),(2，3),(2，4),(2，5),(2，6),(3，4),(3，5),(3，6),
(4，4),(4，5),(4，6),(5，5),(5，6),(6，5),(6，6)}，共含19个样本点．
5、【答案】B　
【解析】由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.
故A∩B＝{出现的点数为6}．
6、【答案】B　
【解析】A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，
即可能击中1发、2发或3发.
7、【答案】C　
【解析】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，
则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．
其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．
所以事件A∪B包含的
样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个．
事件A∩B包含的样本点有：(2，4)，共1个．
8、【答案】B
【解析】因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．
9、【答案】D　
【解析】由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确；事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G互为对立，故B不正确，D正确．
10、【答案】AD　
【解析】A中两个事件是互斥事件，恰有一名男生即选出的两名学生中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B中两个事件不是互斥事件；C中两个事件不是互斥事件；D中两个事件是互斥事件，至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．
11、【答案】ABC　
【解析】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中．
“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中．∴A∪B≠B∪D.
12、【答案】BD　
【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的关系如图所示．
INCLUDEPICTURE "TBXX23-821.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-821.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-821.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-821.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-821.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-821.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-821.TIF" \* MERGEFORMATINET
由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B，D中的说法正确．
13、【答案】{2，3，4，5}　{5}
14、【答案】只有一人破译密码　B∪A∪AB
15、【答案】①②；②　
【解析】①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．
16、[解](1)由题意可知三个圆可能颜色一样，也可能有两个圆颜色一样，另一个圆异色，还可能三个圆异色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2)A＝{(红，黄，蓝)}．
B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．
D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3)由(2)可知C B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
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