10.1.3 古典概型 学案

中小学教育资源及组卷应用平台
10.1.3 古典概型
班级 姓名
学习目标
1．结合具体实例，理解古典概型．
2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1、概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2、古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有 个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．3、古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝ ．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．【即时训练1】(1)思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)①在区间[0，10]上任取一个数的试验是古典概型． (　　)②任何一个事件都是一个样本点． (　　)③古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (　　)④古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (　　)(2)若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．
古典概型的判断 【例1】下列是古典概型的是(　　)A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
较简单的古典概型问题 【例2】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【变式】(1)定义：abcde＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e，当五位数abcde满足ad>e时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为 (2)某城市有8个商场A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往商场H，则他经过市中心O的概率为 ．
“放回”与“不放回”问题 【例3】从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
课后作业
一、基础训练题
1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为(　　)
A．　　 　B．　　 　C．　 　　D．
2．某天放学后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们随机依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是(　　)
A． B． C． D．
3．某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的国画的概率为(　　)
A． B． C． D．
4．图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是(　　)
A． B． C． D．1
5．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)
A． B． C． D．
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成( INCLUDEPICTURE "线1+.tif" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\线1+.tif" \* MERGEFORMATINET 表示一根阳线， INCLUDEPICTURE "线1.tif" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "线1.tif" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\线1.tif" \* MERGEFORMATINET 表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为(　　)
A． B． C． D．
7．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(　　)
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
8．(多选题)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，那么下列事件概率正确的是(　　)
A．P(AB)＝ B．P(A∪B)＝ C．P(B)＝ D．P()＝
9．从1，2，3，4四个数中，有放回地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
10．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
11．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．
12．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果：
(1)抽取是不放回的；
(2)抽取是有放回的．
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
13．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
10.1.3 古典概型
参考答案
1、【答案】C　
【解析】设一部三册的小说为1，2，3，所以试验的样本空间Ω＝ {(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P＝＝.
【答案】A
【解析】法一：2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
法二：只考虑第二位同学，出来男生或是女生是等可能的，故概率为.
3、【答案】D　
【解析】设2幅山水画为A1，A2，2幅花鸟画为B1，B2，从中随机抽取2幅所包含的样本点为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6个，满足条件的样本点有4个，故P＝＝.
4、【答案】A
【解析】由题意，可得样本点的总数为n＝4，
又由题图1中的正方形放在题图2中的①处时，所组成的图形不能围成正方体；
题图1中的正方形放在题图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，
所以将题图1中的正方形放在题图2中的①②③④的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率为P＝.
5、【答案】A　
【解析】设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为＝.
6、【答案】C　
【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，∴所求概率为P＝.
7、【答案】ACD　
【解析】记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．
8、【答案】ABC
【解析】对于选项A：n(AB)＝n(A)＋n(B)－n(A∪B)＝6＋4－8＝2，
所以P(AB)＝＝＝，故A正确；
对于选项B：P(A∪B)＝＝＝，故B正确；
对于选项C：n(B)＝＝＝，故C正确；
对于选项D：n()＝＝＝，故D错误．
9、【答案】　
【解析】用列举法知，有放回地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，
故所求的概率为＝.
10、【答案】　
【解析】甲、乙等5名同学分别标记为a1，a2，a3，a4，a5，其中甲标记为a1，乙标记为a2.从中随机选3名参加社区服务工作的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，{a2，a3，a4}，{a2，a3，a5}，{a3，a4，a5}，{a1，a3，a4}，{a1，a3，a5}，{a2，a4，a5}，{a1，a4，a5}，共计10种．甲、乙都入选的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，共计3种，故所求概率P＝.
11、【答案】　
【解析】用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝ {(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事件B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝＝.
12、[解]　设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A包括的样本点有(1，2),(2，3),(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18个．
(1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P(A)＝＝.
(2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P(A)＝＝.
所抽取2人的评分都在[40，50)内包含的样本点有1个，即(B1，B2)，故所求的概率为.
13、[解]　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，
则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
S＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}，所以样本点总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，
即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点共5个，即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
所以P(C)＝.因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)