10.2　事件的相互独立性 学案

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10.2　事件的相互独立性
班级 姓名
学习目标
1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．
2．结合古典概型，利用独立性计算概率．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 事件的相互独立性1．相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．2．相互独立事件的性质当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．【即时训练1】(1)思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)①不可能事件与任何一个事件相互独立． (　　)②必然事件与任何一个事件相互独立． (　　)③若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． (　　)(2)已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P()＝________．
独立性的判断 【例1】一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．【变式1】(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
相互独立事件概率的计算 【例2】甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．求：(1)3人同时被选中的概率； (2)3人中恰有1人被选中的概率．【变式2】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一个人译出密码的概率； (4)至多一个人译出密码的概率；(5)至少一个人译出密码的概率．
相互独立事件的概率的综合应用 【例3】三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的两个元件T2，T3并联后再和第三个元件T1串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率． INCLUDEPICTURE "TBXX23-832.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A数学必修第二册\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\冯成稳制作\\0701\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET 【变式3】甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
课后作业
一、基础训练题
1．从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
A．　 B．　 C．　 　　　 　　D．
2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　)
A．互斥事件　　　 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立的事件
3．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)
A．1－a－b B．1－ab C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(　　)
A． B． C． D．
5．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则下列关于事件A与B关系的判断，正确的是(　　)
A．事件A与B互斥 B．事件A与B相互对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥且相互独立
6．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A． B． C． D．
7．(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是(　　)
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
8．(多选题)甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以2∶0领先，则下列结论正确的是(　　)
A．甲队获胜的概率为 B．乙队以3∶0获胜的概率为
C．乙队以3∶1获胜的概率为 D．乙队以3∶2获胜的概率为
9．设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为________．
10．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
11．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
12．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．
13．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．
甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为在实际操作考试中“合格”的概率依次为甲、乙、丙每部分考试是否合格互不影响，且三人两部分考试结果也互不影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性更大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
14．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
二、综合训练题
15．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A． B．
C． D．
10.2　事件的相互独立性
参考答案
1、【答案】B　
【解析】由题意知三项标准互不影响，∴P＝××＝.
2、【答案】D
【解析】因为P(A1)＝，若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，
所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件．
3、【答案】C　
【解析】因为2道工序相互独立，所以产品的正品率为(1－a)(1－b)．
错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．
4、【答案】D　
【解析】设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件，
故概率为P＝××＋××＋××＝.
5、【答案】C　
【解析】因为P(A)＝1－P()＝1－＝，而P(B)＝，所以P(A)P(B)＝.
又因为P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．
6、【答案】D
【解析】由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．设P(A)＝x，P(B)＝y，
则即∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝.
7、【答案】ACD　
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立. 2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确； “2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误； 2个球中至少有1个红球的概率为1－P()＝1－×＝，C正确； 2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选ACD.]
8、【答案】AB　
【解析】对于A，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P1＝＝，故A正确；
对于B，乙队以3∶0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，乙队以3∶1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为×＝，故C错误；
对于D，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，
所以乙队以3∶2获胜的概率为××＝，故D错误．
9、【答案】　
【解析】因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为××＝.
10、【答案】0.46
【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，
且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，
故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)·P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
11、【答案】0.09　
【解析】乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，
∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
12、【答案】　
【解析】由题意知，青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.
青蛙跳三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按A→B→C→A，
此时停在A叶上的概率P1＝××＝；第二条，按A→C→B→A，
此时停在A叶上的概率P2＝××＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率P＝P1＋P2＝＋＝.
13、[解]　(1)记事件A＝“甲获得合格证书”，事件B＝“乙获得合格证书”，事件C＝“丙获得合格证书”，则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝.
因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性更大．
(2)设事件D＝“三人考试后恰有两人获得合格证书”，
则P(D)＝P(ABBC)
＝××＋××＋××＝，
即甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书的概率为.
14、[解]　(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝××＝.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝.
15、【答案】A　
【解析】设事件G＝“C闭合”，事件H＝“D闭合”，事件T＝“A与B中至少有一个不闭合”，事件R＝“E与F中至少有一个不闭合”，则P(G)＝P(H)＝，P(T)＝P(R)＝1－×＝，
所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()＝.
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