数学探究 杨辉三角的性质与应用 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
数学探究 杨辉三角的性质与应用
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历史探源
帕斯卡 （B.Pascal,1623--1662）
杨辉三角(1261年)
杨辉三角具有独特的魅力和丰富的性质，中西方的众多数学家都曾研究和运用它，印度数学家称它为“须弥山之梯”，在伊朗，它是“海亚姆三角”，意大利人称之为“塔塔利亚三角形”…
今天，让我们一起走进它，探究它吧！
历史探源
数学探究过程：
观察和实验
归纳和猜想
推理和论证
请同学们仔细观察下面这个杨辉三角，你能从中发现哪些规律呢？
观察和实验
1.对称性
观察和实验
2.最外层的数字始终是1，
即构成各项为1的常数列．
观察和实验
1，1，1，1，…
3.第二层是从1开始的自然数，
观察和实验
1，2，3，4，…
即首项与公差都为1的等差数列．
2阶等差数列
观察和实验
1， 3， 6， 10， 15， 21，…
2 3 4 5 6 …
1 1 1 1 …
4.第三层为三角形数数列，
5 将各条虚线上的数分别相加，得到
1，1，2，3，5，8，13，21，…
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
①
①
②
③
⑤
⑧



观察和实验
斐波那契数列.
观察和实验
第 0 行
第 1 行
第 2 行
第 3 行
第 4 行
第 5 行
第 6 行
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
第 0 行
第 1 行
第 2 行
第 3 行
第 4 行
第 5 行
第 6 行
第n-1行
第 n 行
第n行就是 的展开式的二项式系数，第n行的第r个数可以表示为 .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1




观察和实验
归纳和猜想
杨辉三角第 8 行
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
即120
直接写出杨辉三角的任意行、任意位置的数！
杨辉三角第 行，第 个数
杨辉三角第n行，第r+1个数
12 7
反过来，
数
形
请同学们继续观察每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连一连，算一算，你还能发现哪些结论呢？
归纳和猜想
2=1+1
3=1+2
4=1+3
6=3+3
归纳和猜想
猜想1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
第 0 行
第 1 行
第 2 行
第 3 行
第 4 行
第 5 行
第 6 行
第n-1行
第 n 行




归纳和猜想
猜想2 第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1+6+1=4+4
1+10+5=5+10+1
归纳和猜想
猜想3 第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即
1
1 1
12 + 22 + 12=6
12 + 32 + 32 + 12=20
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
第 0 行
第 1 行
第 2 行
第 3 行
第 4 行
第 5 行
第 6 行
归纳和猜想
猜想4 自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1+2+3+4=10
1+3+6+10=20
归纳和猜想
除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
递归性
证明：
猜想1
性质1
推理和论证
实际背景
从 这n个元素中取出r个元素的组合（共 个）可以分为两类，第一类含有某个元素 （共 个），第二类不含这个元素 （共 个）.根据分类加法计数原理，等式成立.
推理和论证
自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即
猜想4
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
推理和论证
证明：
猜想4
性质4
性质1
推理和论证
杨辉在《详解九章算法》中就记载有这样一道题目：“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何？”
题目大意： “有一个三角垛，最底层每条边上有12个圆球，最上层只有1个（上尖），问：总共有多少个圆球？”
应用： 1.堆垛问题：
一层 1 1
二层 1+2 3
三层 1+2+3 6

十二层 1+2+…+12 78
应用： 1.堆垛问题：
性质4 自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数.
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

应用： 1.堆垛问题：
答曰：三百六十四个.
术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一，本法.
垛积术
大意：
应用： 1.堆垛问题：
“垛积术”源于古人对堆积成各种不同形状“垛”的物品，如酒坛、圆球、棋子等数量的计算；
茭草垛
四隅垛
三角垛
“化垛为数，以数表形”体现了古人高超的直观想象与逻辑推理素养！
应用： 1.堆垛问题：
开方古算题（杨辉《详解九章算法》）：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何？
我国古代称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方，因此，本题相当于解方程： .
应用： 2.开方问题：
“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之”
请同学们查阅相关书籍或上网搜索相关资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古代数学的独特风格。
应用： 2.开方问题：
课堂小结：
通过今天的学习，同学们有了哪些收获呢？
杨辉三角
杨辉三角的性质
杨辉三角的应用
发现问题
提出问题
分析问题
解决问题
杨辉三角的历史
课后探究活动要求：
以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动.建议按如下步骤完成：
1.小组集体讨论探究方案，确定研究思路.
2.小组成员各自开展独立研究，并以专题作业的形式撰写研究报告.
3.小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告.
4.全班进行成果交流、评价.
研究报告的参考形式
杨辉三角的性质与应用
年级 班 完成时间：
1.课题组成员及分工
2.发现的数学结论及发现过程概述
3.证明思路及其形成过程描述
4.结论的证明或否定
5.杨辉三角的应用举例
6.收获与体会