湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（含答案）

2023—2024学年度下学期2022级
6月月考数学试卷
考试时间：2024年6月13日
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．已知随机变量，则（ ）
A． B． C．4 D．7
3．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
6．已知，则（ ）
A．722 B．729 C．-7 D．-729
7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若存在极值点，则 B．若，则有且只有一个极值点
C．若有两个极值点，则 D．若1是的极大值点，则
10．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间的最小值为
B．函数的图象关于点中心对称
C．已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为
D．若恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题
12．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则_______.
13．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则______．
14．已知，若存在，使得，则的取值范围是______.
四、解答题
15．在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
（1）求的分布列与期望；
（2）证明为等比数列，并求关于的表达式.
16．南澳县海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：
人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有．
（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
附：若随机变量，则，；样本的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果相关指数
17．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
18．ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
19．曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．
（1）时，求在极值点处的曲率；
（2）时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
（3），，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，求证：．
高二年级6月月考数学答案
1-8：BDAB；BADD 9.BCD 10.ABC 11.ABD 12. 13. 14.
15.【解】（1）的可能取值为2，3，4.
，，，
则的分布列为（略），故.
（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，
则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；
②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为.
故，，
则，所以是公比为的等比数列.
故，即.
16. 【解】（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，
由正态分布的对称性可知，
，
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故，
故，
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%．
（2）（i）由，有
， 且，
所以，模型②中关于的回归方程为
（ii）由表格中的数据，有，即模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当时，模型②的收益增量的预测值为（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．
17.【解】（1）的定义域为，，
若，则恒成立，∴在上单调递增； 若，则由，
当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减．综上可知：若，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减．
（2），令，，
，令，
①若，，在上单调递增，，
∴在上单调递增,，从而不符合题意．
②若，当，，∴在上单调递增，
从而，∴在上单调递增,，
从而不符合题意．
③若，在上恒成立，
∴在上单调递减，，
∴在上单调递减,，综上所述，a的取值范围是．
18. 【解】（1）易知的所有可能取值为
此时，，，
，所以的分布列为………（略）
则.
（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C，
则，，，.
.
（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为
.
19. 【解】（1）当时，可得，
令，可得，当时，，当时，，
所以当为在极小值点，又，所以，
所以；
（2）由，可得，
令，则，
令时，可得，令，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，则，
所以时，有解，且有两解且，
为的极小值点，为的极大值点，
当时，有解，且有唯一解，但此解不是极值点，
当时，无解，所以无极值点，
所以当时，存在极值点，所以；
（3）由题意可得，可得，
要，曲率为0，则，即，
可得，，
所以时，有两解，，可证，
由（2）可得，，可得，．
要证明，即证明，也就是．
因为，所以即证明，
即，令，则，于是，
令，则,
故函数在上是增函数，
所以，即成立．所以成立．
又因为，则，
由（2）可得在上单调递减，因为，，所以，