人教版八年级数学上册试题 11.1.2 《三角形的高、中线和角平分线》同步练习（含解析）

11.1.2 《三角形的高、中线和角平分线》
一、单选题
1．下列多边形具有稳定性的是（　　　）
A． B． C． D．
2．请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是( )
A． B． C． D．
3．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
5．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的面积为30，，E为的中点，则 ADE的面积等于（ ）

A．15 B．12 C．10 D．9
7．如图，是中线，，．若的周长为10，则的周长为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，在四边形中，，对角线相交于点E，若，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，是的中线．看到图形，甲、乙、丙、丁四名同学给出四个不同的结论，其中正确的是（ ）
甲：
乙：
丙：
丁：

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
11．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．
13．如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______．
14．如图，是的中线，若，，则与的周长之差为____________．
15如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则__________ (填“＞”，“＜”或“＝”)．

16．如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°．
17．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为 .
18．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则阴影部分面积_______．

三、解答题
19．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，EG平分，FG平分，且.求证：．
20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
求证：AE=DE．
22．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
23．如图，中，，，，．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
(1) 当t=___________时，把的周长分成相等的两部分？
(2) 当t=___________时，把的面积分成相等的两部分？
(3) 当t为何值时，的面积为12？
24．阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式﹣﹣﹣﹣海伦公式S＝（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴＝6
∴S＝＝＝6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝7，AC＝8，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）如图，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
答案
一、单选题
1．D
【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．
解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，
故选D．
2．D
【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．
解：如图所示，过点A作AO⊥BC，
用刻度尺直接量得AO更接近2cm，
故选：D．
3．D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
解：如图，
∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
4．B
【分析】根据高线的定义注意判断即可．
解：∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
5．D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
6．C
【分析】根据三角形的中线的性质与面积公式即可得到结论．
解：∵的面积为30，，
∴，
又E为的中点，
∴．
故选：C．
7．D
【分析】根据中线的定义可得，结合的周长可得，进而得出，即可求解．
解：∵是中线，
∴，
∵的周长为10，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
8．A
【分析】由四边形中， ，可得，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案．
解：∵四边形中， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故选：A．
9．D
【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；
解：A．∵是的中线
∴，
故选项正确，不符合题意；
B．∵是的角平分线
∴
故选项正确，不符合题意；
C．∵分别是的高，
∴
故选项正确，不符合题意；
D．不一定成立，故选项错误，符合题意．
故选：D．
10．D
【分析】根据三角形中线的定义可直接得出答案．
解：是的中线，
点D为边的中点，
，
因此丁同学的结论正确，
故选：D．
二、填空题
11．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
12．
【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴，
∴，
∴CE：AD：BF=，
故答案是：．
13．2
【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积．
解：是边上的中线，为的中点，
根据等底同高可知，的面积的面积，
的面积的面积的面积，
故答案为：2．
14．1
【分析】利用三角形的中线的定义可知，所以两个三角形的周长差即为．
解：∵，，
∴．
又∵是中线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：1．
15．＜
解：由题意，
，
，
∴；
故答案为：＜．
16．50
【分析】根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解．
解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，
∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°，
∴∠B=180°-90°-40°=50°，
故答案为：50．
17．
【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC．
∴S△ABD=S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5．
∴ AB ED= AC DF，
∴×6×ED=×2.5×DF，
∴．
故答案为：．
18．4
解：∵点D为中点，
∴，
∵点E为中点，
∴，，
∴，
∵点F为中点，
∴．
故答案为：4．
三、解答题
19．
解：因为EG平分，FG平分（已知），
所以，（角平分线的定义），
所以（等式的性质）．
又因为（已知），
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
20．60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=85°-50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°.
三、解答题
21．
解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
22．
（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，
则，
∵AE=AE，
∴．
（2）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（3）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
23．
解：（1）中，∵，，，
∴的周长，
∴当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，
∴，
解得．
故答案为：6；
（2）当点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，此时，
∴，
解得．
故答案为：6.5；
（3）分两种情况：
①当P在上时，
∵的面积=12，
∴，
∴，
∴，；
②当P在上时，
∵的面积=12=面积的一半，
∴P为中点，
∴，．
故t为2或6.5秒时，的面积为12．
24．
解：（1）∵BC＝7，AC＝8，AB＝9，
∴
答：△ABC面积是；
（2）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴（9 IF+8 IF+7 IF）＝
解得IF＝
故S△ABI＝AB FI＝×9×＝．