(共53张PPT)
第二章 函数
第二章 素养检测
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)》
1.下列各对函数中，图象完全相同的是
(
)
A.y=x与y=(xT)
B.y=(Wx)2与y=|x|
C.y-r与y=x°
C
x+1
1
D.y
x2
与
i y
-1
[解析]
对于A,.y=x的定义域为R,y=
(xT)3的定义域为R,两个函数的对应法则不相
同，。。不是同一个函数
对于B,.y=(Wx)2的定义域[0，十∞)，y=x的
定义域为R,,。两个函数不是同一个函数.
对于C,:y-C的定义域{xlx∈R,且1≠0，y=
x的定义域为{xx∈R,且x≠0}，对应法则相同，
。两个函数是同一个函数
x+1
对于D,y=
x2-1
的定义域是{xx≠士1〉，y=
1
的定义域是{xx≠1}，定义域不相同，。。不是
1
2C
同一个函数.
[答案]
C
2.已知/(-1)=2x十3，则(6)的值为
(
A.15
B.7
C.31
D.17
[解析]
令2=1=1，则x2L十
将x=21+2代入f(2-1)=2x+3,
得f(t)=2(2t+2)+3=4t+7.
所以f(x)=4x十7，所以f(6)=4×6+7=31.
[答案]C
3.若函数f(x的定义域为[一1,4]，则函数f(2x一1)
的定义域为
(
B.[-7,3]
2
D.-1,4
[解析门.f(x)的定义域为[一1,4们，
.f(2x-1)满足-1≤2x-1≤4，
解程0c云多
f(2x一1)的定义域为
o.
[答案]A
4.已知函数f(x)是（一∞，0）U(0,十∞)上的奇函数，
且当x≤0时，函数图象如图所示，则不等式xf(x)
≤0的解集是
(
-2
-1
0
x
A.(-2,-1)U(1,2)
B.(-2,-1)U(0,1)U(2,+∞)
C.(-∞，-2)U(-1,0)U(1,2)
D.(-∞，-2)U(-1,0)U(0,1)U(2,+∞)
[解]当x0时，f(x)>0.由图象关于原，点对
称，.x∈(0,1)U(2,十∞)；
当x≤0时，f(x≤0，.x∈（一∞，-2）U(-1,0).
[答案]D
5.若函数f(x)=ax2十(a-2b)x十a-1是定义在
-Uc,23a-21的偶数则士）=
(
5
7
A.1
B.3
C,
D.
2
2(共85张PPT)
第二章 函数
2.2 函数的表示法
1.函数的常用表示方法
表示方法
定义
列出表格来表示两个变量之间的对应
列表法
关系
图象法
用“图形”表示两个变量之间的对应关系
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应
(公式法)
关系
[温馨提示]三种常用方法的优缺点
表示
方法
列表法
图象法
解析法
比较
一是简明、全面地
具体易用，不需
概括了变量间的
要计算就可以
能直观、形象
关系；二是可以通
优点
直接看出自变地表示函数
过解析式求出任
量的值与相对的变化趋势
意一个自变量所
应的函数值
对应的函数值
不够全面，只能只能近似地
不够直观、形象、
表示有限的很求出自变量具体，而且并不是
缺点
少个自变量与所对应的函所有的函数都能
函数值的对应
数值，且有时用解析式表达
关系
误差较大
出来
同时，函数的三种表示方法互相兼容和补充，许多函数
是可以用三种方法表示，在实际运用时，以解析法
为主
2.函数图象的作法
(1)函数y=f(x)与其图象F的关系：
①图象F上任一点的坐标(x,y)都满足y=∫(x);
②满足y=f(x)关系式的点(x,y)都在F上.
(2)作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
3.分段函数
定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值
区间，有不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段
函数。
(自我测评
思考辨析（正确的打“”，错误的打“×”）
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.
)
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.
(
)
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的
曲线.
(
(4)分段函数至少由两个函数构成.
(
(5)分段函数的段，可以是等长的，也可以是不等长
的.
(
[答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)
知识点1>
函数的三种表示方法
兴趣探究
[思考]
某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，
你能分别用列表法、图象法、解析法把x与收款数y之
间的关系表示出来吗？
[答案]①列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3000
6000
9000
12000
15000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18000
21000
24000
27000
30000(共75张PPT)
第二章 函数
1 生活中的变量关系
2.1 函数的概念
1.生活中的变量关系
(1)在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关
系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一确定的值和它对应”.
(2)函数关系可用表格、表达式、图象及分段函数形
式表达.
2.函数的概念
给定实数集R中的两个非空数集A
和B,如果存在一个对应关系，使
对于集合A中的每一个数x,在集
定义
合B中都有唯一确定的数y和它
对应，那么就把对应关系f称为定
义在集合A上的一个函数.
对应关系
y=f(x),x∈A
三要素
定义域
自变量x的取值范围A
与x值对应的y值的集合{f(x)x
值域
∈A》
3.同一个函数
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一
致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两
个函数是同一个函数.
自我测评
思考辨析（正确的打“”，错误的打“×”）
(1)函数y=f(x)=x2,x∈A与u=f(t)=t2,t∈
A表示的是同一个函数.
(
(2)函数y=f(x)=x2,x∈[0,2]与g(x)=2x,x
∈[0,2]表示的是同一个函数.
(3)函数f(x)=x2,x∈[0,2]与h(x)=x2,x∈(0，
2)表示同一个函数.
(
(4)两个函数的定义域相同值域也相同，则两个函数
表示同一个函数.
(5)f(x)=√/1一x十√/x-2是一个函数.
(
[答案](1)/
(2)X
(3)×
(4)
(5
X
知识点1>
函数的定义与函数相等
兴趣探究
[思考]1.电路中的电压U=220w,电流I与电
220
阻R之间的变化规律，用欧姆定律表示，即I=
中
R
(1)I是R的函数吗？(2)R是I的函数吗？
2.炮弹的运动轨迹中，炮弹的高度H与时间t的
关系H=vot一
gt
(t>0)中(1)H是t的函数吗？(2)
2
t是H的函数吗？
[解析]1.每一个R对应一个1，而且每一个1
对应一个R,满足函数定义.故1中两问都是函数.
2.每一个t对应一个H,而且每一个H对应两个
,不满足函数定义.故2中两问(1)是函数，(2)不是
函数.
[答案]1.(1)是
(2)是2.(1)是
(2)不是(共21张PPT)
第二章 函数
本章整合提升
定义域
概念
对应关系
值域
解析法
分段函数
函数
表示
图象法
列表法
定义
单调性
图象特征
最值
性质
上升或下降
定义
奇偶性
图象特征：对称性
定义
幂函数
图象
性质
专题1抽象函数的定义域
【典例探究1】
(1)已知函数y=f(x)的定义域
为[一2,3]，求函数y=f(2x一3)的定义域；
(2)已知函数y=f(2x一3)的定义域是[一2,3]，
求函数y=f(x+2)的定义域.
[解析]
(1)因为函数y一f(x)的定义域为[一
2,3],即x∈[-2,3]，
函数y=f(2x一3)中2x一3的范围与函数y=
f(x)中x的范围相同，
所以一2≤2x一3≤3，解得)≤x≤3，
所以函数y=f(2x一3)的定义域为
(2)因为x∈[一2,3]，所以2x一3∈一7,3]，
即函数y=∫(x)的定义域为[一7,3]，
令一7≤x十2≤3，解得一9≤x1,
所以函数y=f(x+2)的定义域为[一9,1].
方法技巧：求抽象函数定义域的方法
(1)已知f(x)的定义域为D,求f(g(x)的定
义域：由g(x)∈D,解不等式得出x的范围，即得到
f(g(x)的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为D,求f(x)的定
义域：由x∈D,求出g(x)的值域，即g(x)的值域就
是f(x)的定义域.
专题2>
函数的值域
【典例探究2】求下列函数的值域：
①y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}；
②y=W/x十1；
3x十2
、之
③
x-1
④函数y=5-x+√/3x一1.
[解析]①因为y=2x+1,且x∈{1,2,3,4,5}，
所以y∈{3,5,7,9,11〉.
所以函数的值域为{3,5,7,9,11〉.
②因为x≥0，所以x十1≥1.
所以函数的值域为1，十∞).
3x+2
3(x-1)+5
③分离常数法y=
=3+
x-1
x-1
5
≠3.所以函数的值域为{yy≠3〉.
④换元法令t=3x-1,则x=。(t2十1)且t
3
≥0，
y=5-名0+1)+4-〔-2）+
>0y
65
ax
12
值域为
专题3>
求解析式
【典例探究3】(1)已知f(x)是二次函数，且f
(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x);
(2)已知f(√x+1)=x十2Wx,求f(x).(共78张PPT)
第二章 函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
2.幂函数的图象与性质
(1)五个常见幂函数的图象：
y=x2
y=x3
y=x
y=x2
1
21
y=x2
-2-1
y=x-1
012
X
y=x-1
(2)幂函数的性质：
函数
y=x
12
2
y=x
3
性质
y=x
y=x
y=x
-1
(-∞，0)U
定义域
R
[0,十∞)
R
R
(0,十∞)
(-∞，0)U
值域
R
[0,+∞)
[0,十∞)
R
(0,十∞)
奇偶性
奇
非奇非偶
偶
奇
奇
R上
[0,+∞)
(一∞，0)上减
R上
(一∞，0)上减
单调性
增
上增
[0,十∞)上增
增
(0,十∞)上减
公共点
(1,1)
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)函数y=2x是幂函数.
(
)
(2)函数y=x
是幂函数.
(
(3)幂函数的图象在四个象限均有可能出现.(
(4)幂函数的图象都不过第二、四象限.
(
(5)a<0时，幂函数在R上是减函数，
(
[答案](1)×
(2)
(3)×
(4)×
知识点1>
幂函数的概念
兴趣探究
[思考](1)我们以前学过的哪些函数是幂函数？
(2)幂函数的解析式有什么特征？
[答案](1)学过的y=x,y=x,
y=
1
等都是
幂函数.
(2)系数为1，底数x为自变量，幂指数为常数.
知识归纳
幂函数的特征
(1)x的系数是1；(2)x的底数x是自变量；(3)
x“的指数a为常数.
只有满足这三个条件，才是幂函数.对于形如y=
(2x)°，y=2x,y=x十6等的函数都不是幂函数.
老向例题
考向一
幂函数概念的理解
【例1】(
1)在函数y=x2,y=2x2,y=(x+
1)2,y=3x中，幂函数的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)幂函数∫(x)=(m2-22-2).xm+m
在(0，
十∞)上是减函数，则m=
[解析](1)根据幂函数定义可知，只有y=x2
是幂函数，所以选B.
12
(2)f(x）=(m2-2m-2)xm+m
在(0，十∞）
上是减函数，
(m2-2m-2=1,
2m2+m0,
..m=-1.
[答案]
(1)B
(2)-1(共95张PPT)
第二章 函数
4.1 函数的奇偶性
1.函数奇偶性的定义
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果廿x∈
I,都有一x∈I,且f(一x)=f(x),那么函数f(x)
就叫做偶函数，
2.奇、偶函数图象的对称性
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，
如果一个函数的图象是以坐标原，点为对称中心的中
心对称图形，则这个函数是奇函数.
(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；
反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函
数是偶函数.
自我测评
思考辨析（正确的打“、/”，错误的打“×”）
(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(一x)=一
(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是
奇函数就是偶函数.
(4)奇函数f(x)=
,当x>0时的解析式与x<0
C
时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，十∞)
上的解析式与（一∞，0）上的解析式也相同.
(
(5)若奇函数f(x)在(0，十∞)上有最小值a,则f
(x)在（一∞，0）上有最大值一a.
(
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)
[思考]1.如图所示，它们分别是哪种对称的
图形？
2.观察函数f(x)=x和f(x)=
的图象（如
C
图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
y
y
f(x)=x
3
3
2
2
1
f=文
1
-3-2-1
123
x
-3-2-1
10123x
-1
-2
2
-3
知识归纳
1.奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定
义域内的每一个值x,都有f(一x)=一∫(x)(或∫(
x)=f(x)),才能说f(x)是奇函数（或偶函数）.
2.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反
映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上
函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用
老向例题
考向一
用定义判断函数的奇偶性
【例1】
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=/x-1+/1-x;
W/36-x2
(3)f(x)=
x+3-39(共90张PPT)
第二章 函数
3 函数的单调性和最值
课标要点
核心素养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能借助函数图象理解和
1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻
研究函数的单调性.
辑推理、直观想象素养.
2.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，
2.借助求单调区间求函数最值、培养数学运
会求一些具体函数的单调区间.
算素养。
3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和3.借助函数的最值解决实际问题，强化学生
单调性，求一些简单函数的最值
的应用意识，培养数学建模素养
1.增函数与减函数的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,区间D三I:
如果对任意x1,x2∈D,当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，
我们称它为增函数.
如果对任意x1,x2∈D,当x1
f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，
我们称它为减函数.
[温馨提示]定义中的x1,x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不
能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1x2;
(3)属于同一个单调区间.
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递
减，那么就说函数y=∫(x)在这一区间具有（严格
的)单调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
3.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数
M满足
(1)任意x∈I,都有f(x)M,
(2)存在xo∈I,f(xo)=M,
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数
m满足
(1)任意x∈I,都有f(x)≥m,
(2)存在xo∈I,f(xo)=m,
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值，
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)已知/(x)=1,因为∫(-1)<(2)，所以函数
r
f(x)是增函数.
(
(2)增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x1、
x2”可以改为“存在两个自变量的值x1、x2”.
