(共81张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
三种函数的增长趋势
y=a*(a>1)y=logax(a>1)
y=x“(a>0)
在(0，十∞)
增函数
上的增减性
a值较小(a<1),
随x增大，
随x增大，近
图象的变
增长较慢；a值较
近似与y
似与x轴
化趋势
大(a>1)时，增
轴平行.
平行.
长较快.
①随x增大，y=a”增长速度越来越快，并且当
a越大时，y=-a'增长的速度越快.
增长速度
②随x增大，y=logx增长速度越来越慢，并且
当a越大时，y=logx增长速度越慢.
③当x足够大时，一定有a'>x“>logax.
自我测评
思考辨析（正确的打“”，错误的打“×”）
(1)当x1时，y=x2比y=2x增长得更快.
(
(2)存在xo,使得当a>1,n>0,x>x0时，logax<
x”
(3)函数y=log1x衰减的速度越来越慢.
[答案](1)/
(2)/
(3)
知识点1>
几类函数模型的比较
兴趣探究
[思考]存在一个xo,当x>x。时，为什么a">
x">logax(a1,n>0)一定成立？
[答案]当a>1,n>0时，由y=a,y=x”,y=
logax的增长速度，存在xo,当x>x。时，三个函数的
图象由上到下依次为指数函数，幂函数，对数函数，故
定有a>x">logax.
知识归纳
一般地，在(0，十o)上，尽管函数y=ax(0≤a<
1),y=x”(n<0),y=logax(0≤a≤1)都是减函数，但
它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大，函数y=a(0≤a≤1)的衰减速度
会越来越慢，并且一开始远远大于函数y=x”(n<0)
的衰减速度，但是它们的函数值始终大于0；而对于函
数y=logx(0当x>1时，函数值小于0，会越来越小.
因此，总会存在一个xo,当x>xo时，就有1ogax
[提醒]
由指数函数、对数函数和幂函数的增长
与衰减差异可知，总会存在一个x0,使得当x>x。时，
若a>1,n>0,则logax则logax≠0)的大小关系不确定(共64张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
1 对数的概念
1.对数的概念
一般地，如果a2=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫
做以a为底N的对数，记作x=logV,其中a叫做
对数的底数，V叫做真数.
[温馨提示]1og.N是一个数，是一种取对数的
运算，结果仍是一个数，不可分开书写.
2.对数式与指数式的关系
指数
以a为底
N的对数
幂
真数
N
loga N
=x
底数
3.常用对数与自然对数
常用对数
Ig N
以10为底
常见的
对数
自然对数
In N
以e为底
4.对数的基本性质
(1)负数和0没有对数.
(2)log。1=0(a>0,且a≠1).
(3)log a=1(a>0,且a≠1).
自我测评
思考辨析（正确的打“、/”，错误的打“×”）
(1)根据对数的定义，因为(-2)=16，所以1og(-2)
16=4.
(
(2)因为2=3，所以1og32=x.
(
(3)1og(-2)(-2)=1.
(
(4)对数式1og32与1og23的意义一样.
(
(5)因为1a=1,所以1og11=a.
(
)
[答案]
(1)×
(2)X
(3)×
(4)×
(5)×
[思考]
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好
者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法
解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的
方法，醒后他真的把此题解出来了.莱蒙托夫把梦中老
人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔.“对数”
一词就是纳皮尔首先创造的，意思是比数，他最早用
“人造的数”来表示对数，那么“对数”到底是什么呢？
知识归纳
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是
互逆的，即a=N←台→log.N=b(a>0,且a≠1，N>0).
ab=N台→b=log,V(a>0且a≠1)是解决指数、对数
问题的有利工具.
2.在关系式ax=N中，已知a和x求N的运算
称为求幂运算；而如果已知α和N求x的运算就是对
数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
老向例题
考向
对数的概念的应用
【例1】(1)若a2o20=b(a>0,且a≠1)，则
(
A.1ogb=2020
B.logia=2 020
C.1082 020a=b
D.1082 0206=a(共75张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
2 对数的运算
1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么：
(1)log (MN)=l0gM+logN.
(2)loga
log.Mg.N
M
(3)logM”=n log.M(n∈R).
[温馨提示]对数的这三条运算性质，都要注意
只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.例
如，1og2[(-3)·(-5)]=1og2(-3)+1og2(-5)是错
误的.
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)1g (x+y)=1g x+lg y.
(2)1og2(16-8)=1og216-1og28.
(
(3)logaxy=logax.logay.
(
(4)1og。(-2)3=31og。(-2).
(
)
氵
(5)7
(
[答案](1)×
(2)×
(3)X
(4)×
(5)/
知识点1>
对数的运算法则
兴趣探究
[思考](1)在积的对数运算性质中，三项的乘积
式1og,(MVQ)是否适用？你可以得到一个什么样的
结论？
(2)利用对数运算法则化简的一般顺序是什么？
知识归纳
1.对数的运算性质要注意：
(1)对于对数的三条运算性质，要特别注意它的前
提条件：a>0,且a≠1，M>0,N>0.尤其要注意M,
V都是正数这一条件，因为M,N中有一个小于或等
于0，都会导致1og.M或log。V无意义，另外还要注意
M>0,N>0与M·V>0并不等价.
(2)要正确把握运算性质的本质特征，防止应用时
出现错误.初学者易犯的错误有：log。(M士N)=
log M士logN;loga(M·N)=log M·logaN;
M
log M
N
log.N
;logM”=(log M)”等等.
2.对数式的化简求值的常用方法
(1)利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先
使各项底数相同，再找真数间的联系.
(2)对于复杂的运算式，可先化简再计算.对数式
的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，
选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便
于真数化简的原则进行.
老向例题
考向一
利用对数的运算法则求值
【例1】化简下列各式：
(1)4lg2+31g5-1g5
020g21og+0g8-5
(3)log2W8+4V3十log2W8-4√3.(共20张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
本章整合提升
对数的概念
对数的运算性质
对数运算性质
换底公式
对数运算的应用
对数函数
对数函数
对数函数的概念
y=log2x的图象与性质
互为反函数
y=logx的图象与性质
指数函数
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
专题1>
指数、对数的运算问题
【典例探究1】(
>求值：
g
1g√245.
(2)已知21g
x。y=lgx+lgy,求log8-2
2
[解析](1)原式-21g32-1g49)-
3g2+
3
1g2452
(ag221g0-8×21g2lg7+g5
4
3
5
1g2+2lg5-2lg2
e10-g02k5-
1
2
(2)由已知得e(2)-gw…
任22）-y.即r-6y十y.
5〉兮+1=0.8+22
y
x-y>0,
x>0,.>1,.=3十22，
y>0,
y
.log(3-22)y
=l0g,（3+22)=log8-322
=-1.
方法技巧：对数式的化简与求值的两种思路
(1)利用幂的运算把底数或真数化成分数指数幂
的形式，然后正用对数运算法则化简.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运
算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数
的积、商、幂再运算
专题2>
由解析式判断函数图象
【典例探究2】
已知f(x)是函数y=log2x的反
函数，则y=f(1一x)的图象是
B
[解析]因为函数y=1og2x的反函数是y=2”,
所以f(x)=2.故f(1一x)=2-x,因为此函数在R
上是减函数，且过点(0,2).因此选C
[答案]C
专题3>
应用函数图象研究函数性质
【典例探究3】
已知函数f(x)
lnl,02-In x,x>e,
(b)=f(c),求abc的取值范围.
[解析]函数f(x)的图象如图：
y=m
0
al b e c e2
x
设f(a)=f(b)=f(c)=m,
不妨设ab标从左到右依次为a,b,c,由图象易知0.'f (a)=In a=-In a,f (b)=In b =In 6.
.。-lna=lnb,lna+lnb=0,lnab=ln1,.∴.ab
=1，
∴.abc=c∈(e,e2).
方法技巧：函数的图象直观形象地显示了函数的性
质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大
都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想
使问题简单化(共47张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
第四章 素养检测
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1.已知集合A={yy=log2x,x>1〉，B
y=(2）广x>1.则AnB-
(
A.e
B.{y0D.O
解折们A=yyo,B=0号
AnB=ye<号
[答案]A
2.函数y=/Iog1x的定义域为
(
A.(0,十∞)
B.(-∞，1)
C.(0,1]
D.(0,1)
[解析]由题意1og1x≥0,0[答案]C
3.函数f(x)=21
的图象大致是
(
1
01x
1
01x
1
12x
A
B
C
D
x,x≥1，
[解析]f()=2
,0<21选C
C
工答案
C
4.0.32,1og20.3,2.3三个数的大小关系为
A.0.32<2.3<1og20.3
B.0.32<1og20.32.3
C.1og20.3<0.32<2.3D.l0g20.32.3<0.32
[解析]0.32=0.09，log20.3<0,2.31,.1og20.
3<0.32<20.3」
[答案](
5.若1g(a十1)>lg(b十1)>0，则下列命题中不正确的
是
(
A.
B.
2
26
1
1
D
lg a
lg b
[解析]因为lg(a+1)>l1g(b+1)>0,所以a+1
>b十1>1，g即ab>0,
对于A:因为y一(2)
在定义域上单调递减，又
>b>0,所以
对于B:因为y=x
在(0，十∞)单调递减，又ab
>0,所以
<1,
故B正确；
对于C:因为y=x-2在(0，十∞)单调递减，又a>b
0,所以
故C正确；
对于D:当a=1(或b=1)时1ga=0(或lgb=0),比
)无意义，故D错误；故选D
[答案]
D
y
6.“k=
”是“函数f(x)=1og1(4十1)一x为偶函
2
数”的
(
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析]
时，f(x)=1og1(4+1)一kx,其
定义域为R,
f(-x)-f(x)-1og,(4+1)十21-log,(1十
所以∫(x)为偶函数；
当f(x)=log4(4+1)一kx是偶函数时，f(一x)一
f(x)=1og4(4x+1+kx-1og4(4+1)+kx=0,(共68张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y=log x的图象和性质
1.对数函数的概念
函数y=log.x(a>0,且a≠1)叫作对数函数，其中
α叫作对数函数的底数，x是自变量.
2.对数函数的基本性质
(1)定义域是(0，十∞)；
(2)图象过定点(1,0).
3.特殊的对数函数
常用对数函数
以10为底的对数函数y=1gx
以无理数e为底的对数函数y=
自然对数函数
In x
4.反函数
指数函数y=a是对数函数y-logax的反函数.对
数函数y=logx也是指数函数y=a'的反函数，即
它们互为反函数.
5.对数函数y=log2x的图象与性质
函数
y=logzx
图象
2
定义域
(0,十∞)
性质
值域
R
单调性
在(0，十∞)上是增函数
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)y=log,5是对数函数.
(2)函数y=21og3x是对数函数.
(3)函数y=log(x+1)的定义域是(0，十∞).
(4)对数函数的图象都过定点(0,1).
(
(5)对数函数的图象都在y轴的右侧.
(
[答案](1)×
(2)×
(3)×
(4)×
知识点1>
对数函数定义
兴趣探究
[思考](1)对数函数的定义域是什么？为什么？
(2)对数函数的解析式有何特征？
[答案](1)定义域为(0，十∞)，因为负数和零没
有对数.
(2)①a0,且a≠1；②log.x的系数为1；③自变
量x的系数为1
知识归纳
1.判断一个函数是对数函数必须是形如y一
logax（a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)底数a0且a≠1；
(2)自变量x在真数的位置上，且x>0;
(3)在解析式y=logax中，logax的系数必须是
1,真数必须是x.
2.求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循
的原则
(1)要保证根式有意义；
(2)要保证分母不为0；
(3)要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，
则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底
数大于0且不等于1.
[提醒]定义域是使解析式有意义的自变量的取
值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对
数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大
于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等
于1.(共75张PPT)
第四章 对数运算与对数函数
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
1.回顾对数函数的图象及性质
a的范围
0a>1
1x=1
y
x=ly=logx(a>1）
图象
(1,0)
0
0
1(1,0)
y=logx(0定义域
(0,十∞)
值域
R
性质
定点
(1,0),即x=1时，y=0
在(0，十∞)上是减
在(0，十∞)上
单调性
函数
是增函数
2.反函数
指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=
log.x(a>0,且a≠1)互为反函数.
自我测评
思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)y=log2x2在[0，十∞)上为增函数.
(2)y=log1x2在(0，十∞)上为增函数.
(
2
(3)lnx<1的解集为(-oo,e).
(
)
(4)函数y=log1(x2+1)的值域为[0，+∞).
知识点1>
对数函数的性质的应用
兴趣探究
[思考]1.类比y=af)单调性的判断法，你能
分析一下y=logL(2x一1)的单调性吗？
2.如何求形如y=log。f(x)的值域？
[答案]1.形如y=afx)的单调性满足“同增异
减”的原则，由于y=log1(2x一1)由函数y=1og1t及
x-1复合而成，且定义域为2x-1>0,即x7
结合“同增异减”可知，
y=1og(2x-1)的诚区回为(2，十∞)：
2.先求y=∫(x)的值域，注意f(x)>0,在此基
础上，分a>1和0单调性求函数y=log。∫(x)的值域.
知识归纳
1.数的大小比较常用方法
(1)比较两数（式）或几个数（式）大小问题是本章
的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函
数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应
用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差
法、作商法
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对
数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数
的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分
界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于
1”,“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性
质比较大小.