(共78张PPT)
第三章 指数运算与指数函数
3 第1课时 指数函数的概念、图象与性质
课标要点
核心素养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、
1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数
值域的求法
学素养
2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图
2.借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑
象说明指数函数的性质
推理素养.
2.指数函数的图象和性质
a的范围
a>1
0
y个
y=ax
y=ax
图象
(0,)1
01.y=1
0
X
0
X
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
(0,1),即当x=0时，y=1
性
质
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
函数y=a与y=ax的图象关于y
对称性
轴对称
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)y=x5是指数函数
(2)函数y=一2是指数函数.
(3)函数y=2x+1是指数函数.
(
(4)函数y=(一2)x是指数函数.
(
(5)指数函数的图象一定在x轴上方.
(
[答案](1)×
(2)×
(3)×
(4)X
知识点1>
指数函数的概念
兴趣探究
[思考]
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算
奖赏国际象棋的发明人
宰相西萨·班·达依尔
国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋
盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里
给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格
加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，
都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了
就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来
开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的
麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.
西萨用了一个简单而又神秘的函数使数据产生了
爆炸性的增长.假设棋盘上第x十1个格子里应该放的
麦粒数为y粒，如何用一个式子表示y与x之间的函
数关系？
知识归纳
1.规定y=a中a>0,且a≠1的理由：
①当a≤0时，a可能无意义；②当a>0时，x可
以取任何实数；③当a=1时，a=1(x∈R),无研究价
值.因此规定y=ax中a>0,且a≠1.(共19张PPT)
第三章 指数运算与指数函数
本章整合提升
指数
正整数
整数指
有理数
实数指
概念
指数幂
数幂
指数幂
数幂
指数运算与指数函数
aaB=aa+B
指数运算
(aa)B-aaB
(ab)"-aba
指数函数
概念
y=2*
y=a*
y=3*
(a>1)
指数函数y=a
指数函数
(a>0,且a≠1)
图象
y=a*
(0指数函数
3
性质
专题1>
指数的运算
【典例探究1】化简：(1)（√8）言×(10)：
√10：(2)(a)(
3
[解析]
(1)原式=(2)3X(103)÷10
=21X103×10=21X102=10
5
2
(2)原式={[(a)]}4{[(a9)]i}1=a2·a2
方法技巧：指数运算应遵循的原则：指数式的运算首
先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式
化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分
子、分母因式分解，以达到约分的目的.
专题2
由解析式判断函数图象
a,ab,
【典例探究2】
定义运算a b={
则函
b,a-b.
数f(x)=1 2的图象是
(
)
B
C
[解析门，'当x≥0时，2≥1，当x<0时，2”<
2,x<0,
1,.f(x)=1 2x=
故选A.
1,x≥0，
[答案]A
专题3
应用函数图象研究函数性质
【典例探究3】
已知函数f(x)是定义在R上的
偶函数，当x≥0时，f(.x)=（
2以
一1
1
-2-1:0
112x
T
2
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数
的值域
[解析]
(1)如图所示，先作出当x≥0时，f(x〉
的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再
作出f(x)在x∈（一∞，0）时的图象.
-1
0
(2)函数f(x)的单调递增区间为（一∞，0），单调
递减区间为[0，十∞)，值域为(0,1.
专题4>
指数函数的性质及应用
【典例探究4】
比较数的大小：
(1)27,82;
(2)1.53,23.1,2
[解析]
(1).82=(23)2=26,
由指数函数y=2在R上单调递增知2<2，即
82<2.
(2).·幂函数y=x3.1在(0，十o∞)上是增函数，1.5
<2,
.1.5<21.又.指数函数y=2在(0，+∞)
」上是增函数
1∠3.1，
1
3.1
2
.1,.1.53.1<2
.1
.1(共66张PPT)
第三章 指数运算与指数函数
1 指数幂的拓展
2 指数幂的运算性质
1.正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m,n(n1,且m,n
互素)，若存在唯一的正数b,使得b”=αm,则称b为
a的仁幂，记作b=a".这就是正分数指数幂.
m
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a"满足：
km
kn
心人
2
m
2.负分数指数幂
给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素)，定
1
1
义a
m
m
3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有
意义
4.指数幂的运算性质
(1)a"a3=a+(a>0,a,3∈R);
(2)(a)=ag(a>0,a,3∈R);
(3)(ab)=ab(a>0,b>0,a∈R).
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数
(2)当n∈N时，（一16）”都有意义.
(
(3)√(3-π)=π-3.
(
(4)用分数指数幂表示J(a-b)3(a>b)为(a一
2
b
3
(5)0的任何指数幂都等于0.
(
)
[答案]
(1)×
(2)×
(3)/(4)×
知识点1>
分数指数幂与无理数指数幂
兴趣探究
[思考]
(1)分数指数幂a"能否理解为
-个a
相乘？
(2)在分数指数幂与根式的互化公式4
=/a'
中，为什么必须规定a0
[答案]
(1)不能.a°不可以理解为”m个a相乘，
事实上，它是根式的一种新写法.
(2)①若a=0,0的正分数指数幂恒等于0，即
17
n
=a”=0,无研究价值.
②若a<0,a"=am
不一定成立，如（一2）2
√（一2）3无意义，故为了避免上述情况规定了α0.
知识归纳
1.正确理解分数指数幂：
(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写
法，根式与分数指数幂可以相互转化；
(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知α≤
172
0时，a”可能会有意义.当a”有意义时可借助定义将
底数化为正数，再进行运算
(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整
数指数幂的运算性质完全一样.记忆有理指数幂的运
算性质的口决是：乘相加，除相减，幂相乘.
2.根式的运算中，常把根式化为分数指数幂，利用
指数幂的运算法则进行计算，最后将结果化为根式.解
题时一般认为宇母取正数，若允许字母取负数时，要注
意将分数指数幂的底数化为正数才能运用运算法则.(共46张PPT)
第三章 指数运算与指数函数
第三章 素养检测
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
2,x<0
1.已知函数f(x)=
则f(f(一1))=
3x,x>0,1
(
1
A.2
B.√3
C.0
D.
[解析]-)-2-21(-1)-1（兮〉-
1
3=W3.
[答案]
B
2.下列不等关系中，正确的是
(
)
3
2
c.1<(2)<(）
D.(
解析]“画故y=(）
在下上是减函数，而0<
1
2
3
3
安》22<
<1
[答案]
D
[解标](2)=2且=2在k上单调
递增，
。原不等式转化为x>x2一x,即x2一2x0,解得
0[答案]C
4.已知(0.7.3)m≤(1.3.7)m,则实数m的取值范围是
A.(0,十∞)
B.(1,十∞)
C.(0,1)
D.（-∞，0)
[解析]°0.71.3<0.7°=1=1.30<1.3.7，.0.
71.3<1.30.7,.m0.
[答案]A
5.下列各函数中，值域为(0，十∞)的是
(
A.y=2
B.y=W/1-2
C.y=x2+5x+3
D.y=3*+i
[解析]A中，y=2=
的值域为(0，十
o).
[答案]A
6.设3x=
6则
(
A.-2B.-3x-2
C.-1x0
D.0解析1日<6
3…831-2
<-1.
[答案]A
7.函数f(x)
2+1
2-i
的部分图象大致为
(
)
y
y
衣
A
B
文
C
D
[解析]
函数的定义域为{xx≠0〉，f(一x)=
2x十1
1+2
2+1
=-f(x),
2-x-1
1-2
22-1
2x+1
所以函数∫(x)=
为奇函数，故排除D,
2x-1
2+1
2x-1+2
2
由于f(x)=
=1十
,故当x
22-1
2x-1
2x-1
0时，f(x)1,故排除AB,故选C
答案]
C
8.已知函数∫(x)=x2十2x十ex+1,实数m满足：f
(m一2)>f(2m),则m的取值范围是
B.(0,2)
c(0
D.(2,0)
[解析]因为函数f(x)=(x十1)2十ex+1一1的
图象关于直线x=一1对称，且函数在[一1，十∞)上
单调递增.
又f(m-2)>f(2m),所以x=m一2到直线x=
1的距离大于x=2m到直线x=1的距离，
所以m-2-(-1)>2m-(-1),g即m-1
12m+1|,
所以(m-1)(2m十1)2，m2十2m≤0，解得一2<
m<0,故选D.
[答案]D(共67张PPT)
第三章 指数运算与指数函数
3 第2课时 指数函数性质及应用
1.比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数
函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指
数函数的图象的变化规律来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通
过中间值来判断.
2.简单指数不等式的解法
(1)形如afx)>a8()的不等式，可借助y=a的单
调性求解；
(2)形如ax)>b的不等式，可将b化为以a为底数
的指数幂的形式，再借助y=αx的单调性求解；
(3)形如a>bx的不等式，可借助两函数y=a”,y
=b的图象求解.
3.一般地，有形如y=a(x)(a>0,且a≠1)函数的
性质
(1)函数y=a)与函数y=f(x)有相同的定义域.
(2)当a>1时，函数y=af)与y=f(x)具有相同
的单调性；当0≤a<1时，函数y=afx)与函数y=
f(x)的单调性相反.
自我测评
思考辨析（正确的打“√/”，错误的打“×”）〉
(1)y=2-x是R上的增函数.
(2)若0.1a>0.1,则a>b.
(
(3)若指数函数y=ax是减函数，则0≤a≤1.
(
(4)a,b均大于0且不等于1，若a=b,则x=0.
(
(5)由于y=a(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶
函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇
偶性的函数.
[答案](1)×
(2)X
(3)/
(4)×
(5)×
兴趣探究
[思考]
(1)若x10且a
≠1)的大小关系如何？
(2)y-(写)的定义域与x=1
的定义域是什么
C
关系？y-(日》的前西任与y-
的单调性有什么
C
关系？
[答案](1)当a>1时，y=a在R上为增函数，
所以a1当0a<1时，y=a在R上为减函数，所以a1
(2)由于y=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,故
的定义域与y=
的定义域相同，故研究y
x
的单调性，只需在y=
的定义域内研究.若
x
设则安}安》
,不等号方
向的改变与y
,y-
的单调性均有关。
知识归纳
1.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与a”的大小，可运用指数函数y
=ax的单调性.
(2)比较形如αm与b”的大小，一般找一个“中间
值c”,若amc且c>
b”,则amb”.