(共82张PPT)
第五章 函数应用
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
1.函数的零点
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函
数y=f(x)的零点.
2.方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象与
x轴有交点台函数y=f(x)有零点.
3.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连
续不断的曲线，且有f(a)f(b)≤<0，那么，函数y=
f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈
(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0
的解.
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“X”)
(1)函数f(x)=3x一2的零点是
)
(2)函数y=∫(x)零点的个数与方程∫(x)=0根的
个数相等.
(
(3)函数y=2一1，x∈[2,3]的零点为0.
)
(4)所有的函数都有零点.
(
(5)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数
y=f(x)的零点为(x1.0),(x2.0).
)
[答案]
(1)×
(2)/
(3)×
(4)×
(5)×
知识点1
函数的零点
兴趣探究
[思考]《三国志·魏书》记载：“邓哀王冲字仓
舒，少聪察岐嶷，生五六岁，智意及，有若成人之智
时孙权曾致巨象，太祖（曹操）欲知其斤重，访之群下，
咸莫能出其理.冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所
至，称物以载之，则校可知矣.’太祖大悦，即施行焉.”
这就是千古传诵、妇孺皆知的曹冲称象的故事.抛开物
理学中浮力的原理不谈，显然转化的数学思想起了重
要的作用.那么函数的零点与方程的根可以相互转
化吗？
[答案]
函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的
根，也是函数图象与x轴交点的横坐标，它们可以相互
转化.
知识归纳
1.函数的零点不是函数与x轴的交点.函数的零
点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点
的横坐标.
2.函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)
0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来？图象
与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.(共19张PPT)
第五章 函数应用
本章整合提升
零点的定义
方程解
的存在性
零点的求解
零点存在定理
二分法的概念
函数
方程的
应用
应用
近似解
二分法的步骤
用函数刻画实际问题
实际问题中
的函数模型
用函数模型解决实际
问题
专题1>
函数的零点及其应用
【典例探究1】(1)已知函数f(x)=1nx
日》
的零点为x。,则x。所在的区间是
(
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
e,x≤0，
(2)已知函数f(x)=
g(x)=(x)+x
十a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(
A.-1,0)
B.0,十∞)
C.L-1,+∞)
D.1,十∞)
[解析]
1)因为f(x)=lnx-(2)
在(0，
+x)上为增函教，又f(1)-n1-(2）-ln1一2
<0,f2)-ln8-(分）<0f(3)-n3-(g）≥0
所以xo∈(2,3)，故选C.
(2)函数g(x)=f(x)十x十α存在2个零，点，即
关于x的方程f(x)=一x一a有2个不同的实根，即
函数∫(x)的图象与直线y=一x一a有2个交，点.作
出直线y=一x一a与函数f(x)的图象，如图所示，由
图可知，一a≤1，解得a≥1，故选C.
3
-2-1
3
x
-1
-2
[答案](1)C
(2)C
方法技巧：1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用
方法：
(1)利用函数零点的存在定理：首先看函数y=
f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)≤0.若有，则函数y=f(x)在区间(a
b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x
轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形
结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题
需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件
的参数范围
专题2>二分法及应用
【典例探究2】设函数f(x)=x3十3x一5，其图
象在（一∞，十∞）上是连续不断的.
先求值：f(0)=
,f(1)=,f(2)
二
,f(3)=
所以f(x)在区间
内存在一个零点x。,
填下表，
区间
中点mf(m)符号区间长度
结论x。的值为多少？（精确度0.1）
区间
中点m
f(m)符号
区间长度
(1,2)
1.5
+
1
(1,1.5)
1.25
十
0.5
(1,1.25)
1.125
0.25
(1.125,1.25)
1.1875
十
0.125
(1.125,1.1875)
0.0625(共94张PPT)
第五章 函数应用
2 实际问题中的函数模型
y=x干b(友，b为常数，友丰
(1)一次函数模型
y=ax2+b.x十c(a,b,c为常
(2)二次函数模型
数，a≠0)
y=ba+c(a,b,c为常数，b
常
(3)指数函数模型
≠0，a>0且a≠1)
数模型
y=nlogax+n(m,a,n为常
(4)对数函数模型
数，m≠0，a>0且a≠1)
y=ax”十b(a,b为常数，a≠
(5)幂函数模型
0)
ax+b(x(6)分段函数模型
y
cx+d(x≥m)
2.建立函数模型解决问题的基本过程
收集数据
画散点图
选择函数模型
不符合实际
求函数模型
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定
值，则y是x的一次函数.
(
(2)函数y=log1x衰减的速度越来越慢.
9
(3)不存在一个实数m,使得当x>m时，1.1>
2 100
(
(4)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的
函数模型的模拟效果越好
(5)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数
选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模
拟效果较好.
[答案]
(1)/
(2)/
(3)
(4)
(5)
兴趣探究
[思考]银行中有一种储蓄按复利计算利息，本
金为a元，每期利率为r,则存期x的本利和为y=a
(1十r)”,属于指数函数模型.一张纸的厚度大约为0.
01cm,一块砖单摞的厚度大约10cm,你能列出将
张纸对折n次的厚度和n块砖单摞的厚度的关系
式吗？
[答案]f(n)=0.01×2”,g(n)=10n.
知识归纳
1.解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般
按以下几个步骤进行：
(一)审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原.
这些步骤用框图表示如图：
实际问题
分析、联想、
建立函数模型
抽象、转化
解
数学解答
转译
实际问题结论
数学问题结论
2.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化
规律
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变
的变化规律.
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧
的变化规律.
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓
的变化规律(共70张PPT)
第五章 函数应用
1.2 利用二分法求方程的近似解
1.满足精度?的近似解
设x是方程f(x)=0的一个解，给定正数e,若x。
满足x。一x≤ε，就称x。是满足精度e的近似解.
2.二分法
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f
(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)≤0，则
每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按
需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称
为二分法.
[温馨提示]二分法只适用于函数的变号零点
(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧
同号的零，点不能用二分法求解，如f(x)=(x一1)2的
零点就不能用二分法求解.
3.二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x。的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)
0
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)=0(此时x。=c),则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)≤0（此时xo∈(a,c)),则令b=c;
③若f(c)f(b)≤0（此时xo∈(c,b),则令a=c.
(4)判断是否达到精确度e:若a一b|点近似值α（或b);否则重复步骤(2）~(4)，
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）》
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.
(2)函数f(x)=x可以用二分法求零点.(
)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间
后，零点必定在右侧区间内.
(
(4)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点
后的任一位.
(5)“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在
[a,b]内的所有零点得到
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)
(5)×
知识点1>
二分法
兴趣探究
[思考]央视“购物街”栏日有猜价格游戏，主持
人给出一件商品，让参赛者猜价格.在规定的时间内猜
中则商品归参赛者厅有.参赛者可以不断报价格，主持
人只说“高了”或“低了”，采取什么样的策略，能提高猜
中的可能性？
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有
满足：
(1)在区间a,b上连续不断；
(2)f(a)·f(b)≤0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近
似值.(共49张PPT)
第五章 函数应用
第五章 素养检测
第五章
(满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1.函数y=x2一3x+2的零点为
(
○)
A.(1,0),(2,0)
B.1,2
C.1
D.2
[解析]
因为方程x2一3x十2=0的根为1,2，所以
选B.
[答案]B
2.设f(x)=3x一x2,则在下列区间中，使函数f(x)
有零点的区间是
(
A.[0,1]
B.1,2]
C.[-2,-1]
D.[-1,0
[解析]因为f(一1)=31一1<0，f(0)=3°一0=
1>0,所以f(一1)·f(0)≤0.
[答案]D
[解析]由y=f(x)在(0，十∞)上是增加的，且
f(1)·f(2)<0,函数y=f(x)在(0，十∞)上有一
个零点，由奇函数关于原，点对称的性质知函数y一
f(x)在（一∞，0）上也只有一个零点.又x=0时，
f(0)=0,故函数y=f(x)在R上有三个零，点.故
选C
[答案](
C
1
4.函数f(x)=
一x2十1的零点个数是
(
c
A.0
B.1
C.2
D.3
[解标]令)生-×+10，对
1
一1，则函数f(x)的零点个数，即y=
与y
一1的交点个数，如图所示，
X
由图可知有两个交点，故函数∫(x)一
-1
有两个零，点.
[答案]C
5.用二分法判断方程2x3十3x一3=0在区间(0,1)内
的根（精度为0.25）可以是（参考数据：0.753=0.421
875,0.6253=0.24414)
(
A.0.25
B.0.375
C.0.635
D.0.825
[解析]令f(x)=2x3十3x-3,f(0)<0,f(1)
0,f(0.5)0,f(0.75)>0,f(0.625)0,
。方程2x3十3x一3=0的根在区间(0.625,0.
75)内
.°0.75-0.625=0.125<0.25，
。。区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近
似根都满足题意.
[答案]C
6.所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积
上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围
很广，其中能听见的1000Hz声音的声强（约10-12
W/m)为标准声强，记作I。,声强I与标准声强I。
之比的常用对数称作声强的声强级，记作L,即L=
司级单位礼综【C不艺我
贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝
(尔)，简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳
桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士
