(共101张PPT)
第一章 预备知识
1.1 集合的概念与表示
课标要点
核心素养
1.通过实例了解集合的含义，掌握集合中元素的三个
1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养.
特性.
2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推
2.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示
理素养。
符号并会应用.
3.通过学习集合的两种表示方法，培养数学逻辑
3.掌握集合的两种表示方法.
运算的素养.
1.元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写
的拉丁字母a,b,c…表示.
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉
丁字母A,B,C…表示.
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性.
2.元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说α属于集合
A,记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不
属于集合A,记作a度A.
[温馨提示](1)符号“∈”“￠”刻画的是元素与
集合之间的关系.
(2)“∈”和“日”具有方向性，左边是元素，右边是
集合，形如“0∈R”.
3.常见的数集及表示符号
非负整数集
正整
有理
数集
整数集
实数集
(自然数集)
数集
数集
符号
N
N或N+
Z
Q
R
4.列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{》”括起
来表示集合的方法叫做列举法.
5.描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描
述法.一般形式为A={x∈Ip},其中x叫做代表
元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共
同特征.
6.区间
设a,b是两个实数，而且a≤b,我们规定：
(1)满足不等式α≤x≤b的x的集合叫做闭区间，
表示为[a,b].
(2)满足不等式α≤x≤b的x的集合叫做开区间，
表示为(a,b).
(3)满足不等式a≤x合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)(a,b].
这里的实数α与b都叫做相应区间的端点，这几个
区间的几何表示：
定义
名称
符号
数轴表示
{xa≤x≤b}
闭区间
[a,b]
a
b(共85张PPT)
第一章 预备知识
3.1 不等式的性质
课标要点
核心素养
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养.
2.会运用作差法比较两个数或式的大小！
2.通过大小比较，培养逻辑推理素养
3.掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等3.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力.
式或解决范围问题.
借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.
1.实数a,b的比较大小
(1)基本事实
如果a一b是正数，那么a>b;如果a一b等于0，那
么a=b;如果a一b是负数，那么a≤b,反过来
也对.
(2)符号表示
a-b>0=→ab;a-b=0=→a=b;a-b<0→ab.
[温馨提示]符号“台”叫做等价号，读作“等价
于”，“台→q”的含义是：力可以推出q,q也可以推出卫，
即力与q可以互推.
2.不等式的性质
名称
表达式
性质1（传递性）
如果a>b,且b>c,那么ac.
性质2（可加性）
如果a>b,那么a十c>b十c.
性质3
如果a>b,c>0,那么ac>bc
(乘法法则)
如果a>b,c≤0，那么ac≤bc.
性质4（同向不
如果a>b,c>d,那么a十c>b
等式可加性)
+d.
如果a>b>0,c>d0,那么ac
bd
性质5（不等式
如果a>b>0,c的可乘性)
≤bd.乘方法则：当a>b>0时，
a">b”,其中n∈N+,n≥2.
性质6
当a>b>0时，a>6,其中n∈
(开方法则)
N+,n≥2.
自我测评
思考辨析（正确的打“、/”，错误的打“×”）》
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.
(2)若a(
(3)若a>b,则ac2>bc2.
(
(4)若a+c>b+d,则a>b,c>d.
(5)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b,a≤飞
三种关系中的一种.
(
[答案](1)/
(2)/
(3)X
(4)×
(5)/
知识点1>
用不等式（组）表示不等关系
兴趣探究
[思考]你见过下图中的高速公路指示牌吗？左
边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且
小客车的速率v1(单位：km/h,下同)应该满足100≤
1120;
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行
驶，而且车的速率2应该满足(共75张PPT)
第一章 预备知识
1.3 第1课时 交集与并集
1.并集
集合A与B的并集是由所有属于集合A或属
1然
于集合B的元素组成的集合，记作AUB(读
作“A并B”)
禽馨
AUB={x|x∈A或x∈B
黑馨
AUB
2.交集
集合A与B的交集是由所有属于集合A且属
于集合B的元素组成的集合，记作A∩B(读
言
作“A交B”).
篇冬
A∩B={x|x∈A且x∈B
黑警
A
B
3.并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
AUB-BUA
A∩B=B∩A
AUA-A
A∩A=A
AU⑦=A
A∩=必
A二B→AUB=B
A二B→A∩B=A
自我测评
思考辨析（正确的打“、/”，错误的打“×”）
(1){1,2,3,4}U{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}.
(2)两个集合的并集中元素的个数一定小于这两个
集合中元素个数之和.
(
(3)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与
集合B就没有交集.
(
(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的
集合
(5)若A∩B=C∩B,则A=C.
(
)
[答案]
(1)×
(2)X
(3)×
(4)/(5)×
知识点1>
交集
兴趣探究
[思考]
高一某班有50位同学，为庆祝校园文化
艺术节召开，特组织书法比赛和绘画比赛，参加书法比
赛的有31人，参加绘画比赛的有40人，这两种比赛均
不参加的有4人，试问两种比赛均参加的有多少人？
如果参加书法比赛的31人构成集合A,参加绘画比赛
的40人构成集合B,同时参加两种比赛的那些人构成
集合C,想一想集合C和集合A、B有什么关系呢？
[答案]两种节目均参加的人数为(31+40)
(50一4)=25.即均参加的有25人.集合C是集合A、
B的交集，即C=A∩B
知识归纳
A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合
B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没
有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B
老向例题
考向集合交集的运算
【例1】(1)已知集合M={0,1,2},N={xx=
2a-1,a∈N},则M∩N=
(
A.{0}
B.{1,2}
C.{1》
D.{2》
(2)已知集合A={x2x5},则A∩B=
(
A.{x2x5}
B.{xx≤4或x5}
C.{x2D.{xx<2或x>5}(共87张PPT)
第一章 预备知识
2.2 全称量词与存在量词
课标要点
核心素养
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词
1.通过对全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的
与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量
素养
词命题的意义
2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学
2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的
运算能力.
判定.
3.通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，
推理的数学素养.
1.全称量词与全称量词命题
在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命
题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”“每一
个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用
符号“”表示，读作“对任意的”.
2.存在量词与存在量词命题
在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题
叫作存在量词命题.在命题中，诸如“有些”“有一个”
“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“月”表示，读
作“存在”.
3.全称量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p:Hx∈M,x具有性质p(x),
通常把它的否定表示为月x∈M,x不具有性质币
(x).
4.存在量词命题的否定
存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p:月x∈M,x具有性质p(x),
通常把它的否定表示为Hx∈M,x不具有性质p
(x).
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题
一定含有存在量词.
(2)存在一个实数x,使得等式x2十x十8=0成立.
(
(3)“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(
(4)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和
“(x)”同时否定.
[答案](1)×
(2)×
(3)
(4)×
知识点1>
量词
兴趣探究
[思考](1)如何判断一个命题是全称命题还是
存在性命题？
(2)“一元二次方程ax2十2x十1=0有实数解”是
存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题
的形式.
(3)“不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)≤0
对任意实数x恒成立”是存在量词命题还是全称量词
命题？请改写成相应命题的形式.
[答案](1)判断一个命题是全称命题还是存在
性命题，关键是看量词是全称量词还是存在量词.
(2)是存在量词命题，可改写为“存在x∈R,使一
元二次方程ax2十2x十1=0”
(3)是全称量词命题，可改写成：“Vx∈R,(十
1)x2-(m-1)x+3(m-1)≤0(共40张PPT)
第一章 预备知识
本章整合提升
元素的确定性
集合的概念
元素的互异性
元素的无序性
列举法
集合
集合的表示
描述法
真子集
包含关系
子集
集合间的关系
相等关系
交集
运算关系
并集
补集
必要条件
充分条件
全称量词
充要条件
全称量词命题
常用逻辑用语
全称量词
全称量词命题的否定
存在量词
预备
存在量词
存在量词命题
存在量词命题的否定
知
识
不等式的性质
不等式
基本不等式及其应用
解法
元二次
元二次
函数
不等式
应用
专题1>集合的基本概念
【典例探究1】(
1)已知集合A={0,1,2},则集
合B={x一yx∈A,y∈A}中元素的个数是
A.1
B.3
C.5
D.9
(2)若一3∈{x一2,2x2一5x,12},则x=
[解析](1)逐个列举可得①当x=0,y=0,1,2
时，比时x一y的值分别为0，一1，一2；
②当x=1,y=0,1,2时，此时x一y的值分别为
1,0,-1;
③当x=2,y=0,1,2时，比时x一y的值分别为2,1，
0.
综上可知，x一y的可能取值为一2，一1,0,1,2，共
5个，故选C.
(2)由题意知，x2=一3或2x2一5x=一3.
①当一2=一3时，x=一1.
把x=一1代入，得集合的三个元素为一3,7,12
满足集合中元素的互异性；
3
3
②当2x2一5x=-3时，x=
或x=1,当x
2
2
时，集合的三个元素为一
·一3,12，满足集合中元素
的互异性；当x=1时，集合的三个元素为一1，一3,12，
满足集合中元素的互异性，由①②知x一一1，？，1
3
[答案](1)C
(2)
-1
方法技巧：解决集合的概念问题应关注的两点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素
然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时
注意弄清其元素表示的意义是什么.如本例(1)中集
合B中的元素为实数，而有的是数对（点集）.
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要
注意检验元素是否满足互异性
专题2>
集合的并、交、补运算
【典例探究2】(1)设集合A={1,2,4},B={x
x2一4x十m=0}.若A∩B={1},则B=
A.{1,-3}
B.{1,0}
C.{1,3〉
D.{1,5}
(2)设全集为R,集合A={x3x≤6}，B={x
2①分别求A∩B,(CRB)UA;
②已知C={xa≤x≤a十+1}，若C二B,求实数a
的取值构成的集合.(共87张PPT)
第一章 预备知识
3.2 第1课时 基本不等式
1.重要不等式
Va,b∈R,有a2十b≥2ab,当且仅当a=b时，等号
成立.
2.基本不等式
(1)有关概念：当a,b均为正数时，把
叫做正数
2
a,b的算术平均数，把/ab叫做正数a,b的几何平
均数
(2)不等式：当α，b是任意正实数时，a,b的几何平
均数不人于它们的算术平均数，即a62士.当且
仅当a=b时，等号成立.
3.基本不等式与最值
已知x>0,y>0,则
(1)若x十y=S(和为定值)，则当x=y时，积xy取
得最大值
(2)若xy=P(积为定值)，则当x=y时，和x十y
取得最小值2P
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和
最小.
自我测评
思考辨析（正确的打“、/”，错误的打“×”）
1)若ar0.则a十=2a…
4
(
(2)若ab=1,a>0,b>0,则a十b的最小值为2.
(
(3)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它
们的和有最小值
(
(4)若a>0,b>0且a十b=4,则ab≤4.
N函级)=12人
C
所以函数f(x)的最小值是2√x一·
C
[答案]
(1)×
(2)/(3)/
(4)
(5)×
知识点1>
基本不等式
兴趣探究
[思考]如图是在北京召开的第
24届国际数学家大会的会标，会标是
根据中国古代数学家赵爽的弦图设计
的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制
了弦图.
弦图既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的
风车，欢迎来自世界各地的数学家们.
同学们可以考虑从面积的关系去找相等关系或不
等关系
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？
思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关
系吗？
[答案]将图中的“风车”抽象成如图，
思考(1)在正方形ABCD中有4个全等的直角三
角形.
思考(2)设直角三角形的两条直角边
b
长为a,b(a≠b),
那么正方形的边长为a2十b2.
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形
的面积为a2十b2.
由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的
面积，
我们就得到了一个不等式：a2+b≥2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即α=b时，
正方形EFGH缩为一个点.(共77张PPT)
第一章 预备知识
3.2 第2课时 基本不等式的应用
1.基本不等式的变形式：
(1)a,b∈R→a2十b≥2ab(当且仅当a=b时取
“=”号)；
2)当a≥0.b≥0.则a十6空2va6a6(2).
2a6R时。%sw西2
Zab
/a2+b2
(当
2
且仅当a=b时取“=”号).
[温馨提示]应用基本不等式证明不等式的关键
在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符
合基本不等式的条件结构.
2.利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：
(1)如果x>0,y>0,xy=(定值)，当x=y时，x
十y有最小值2√饣（简记为：积定，和有最小值）；
(2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值)，当x=y时，
xy有最大值
52(简记为：和定，积有最大值).
3.利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三
相等
注意：(1)若多次利用基本不等式求獬一个式子的最
值时，需验证每次等号成立的条件必须相同；(2)若
等号成立不在给定的区间内，通常利用函数的单调
性求最值
自我测评
思考辨析（正确的打“”，错误的打“×”）
(1)对任意a,b∈R,a2十b2≥2ab,a十b≥2ab均
成立.
(
(2)米ur0,则a-2a·
(
(3)若u>0,b≥0.则ah≤0士y
(
10两个不第式a一≥2a6与“0va5成立的
条件是相同的.
(
(5)若x,y∈R,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
(
)
16
[答案]
(1)×
(2)×(3)/
(4)×
(5)
知识点1>
利用基本不等式证明不等式
兴趣探究
[思考]基本不等式与不等式a2十b≥2ab的关
系如何？请对此进行讨论，
[答案](1)在a2+b2≥2ab中，a,b∈R;在a+b
≥2/ab中，a,b0.
(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看
是一样的，但实质不同（范围不同）.
(3)证明的方法都是作差比较法.
(4)都可以用来求最值.
知识归纳
常用不等式
1)a,∈R时a+万=2ab,(22)ab,
号)当μ议当。6时取等另.
(2)a,b∈R时，
2
“a的
2
(当且仅当a=b时取等号).
1
b
考向例题
考向一
利用基本不等式证明不等式
2
【例1】
知a,bC0.求mA于6子
≥a
bc.(共42张PPT)
第一章 预备知识
第一章 素养检测
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1,命题“臼r∈R,r十1云2”的否定形式是
)
A.Vx∈R,z十1>2
B.月x∈R,x十
<2
C
C.月x∈R,x+1>2
D.Vx∈K,x+1<2
C
[解析]命题的否定方法为：了改为V,≥改为<，
故否定形式为Vx∈R,x十1<2.
[答案]D
2.集合A={x一1≤x≤2}，B={xx≤1}，则AU
(CRB)-
A.{xx>1}
B.{xx≥-1}
C.{x1D.{x1≤x≤2}
[解析]由A={x一1≤x≤2}，B={xx≤1〉可
知CRB={xx≥1〉，.AU(CRB)={x|x≥-1}.
[答案]B
3.满足M二{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3〉-
{a1,a2}的集合M的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析门
集合M必须含有元素a1,a2,并且不能含
有元素a3,故M={a1,a2}或M={a1,a2,a4}.
[答案]B
4当gt≤3时.-2
x+1
的最小值为
(
)
C
1
4
A.
B.
C.-1
D.0
2
3
x2-2x+1
1
[解析]
=x十一2≥2-2=0，当且仅
C
1
当x=
，即x=1时取等号.
x
所以2x十1
的最小值是0.
C
[答案]D
5.若关于x的不等式x2+x十m2<0的解集不是空
集，则实数m的取值范围为
(
)
1
A.m<
2
B.
2
m
2
1
C.
D.m
2
2
2
[解析]
因为关于x的不等式x2十x十m2<0的解
不是空姿以A0.即=m0,以
n
答案]
B
un.60a+6是则。-8
的最小值
为
(
A.4
B.2√2
C.8
D.16
1 a+b
[解析]由a>0,b>0,a+b=
,得
b
ab
2
=2√2.当且仅当
a
a
2
b
2
,b一√2时等号成立.故选B.
[答案]
B
7.若关于x的不等式组
x-17'
x-4<2a,
解集不是空集，则
实数a的取值范围是
(
)
A.(-1,3)
B.(-3,—1)
C.(1,3)
D.(-3,1)
[解析]依题意有
要使不等式组的解
集不是空集，应有a2十1<4+2a,即a2-2a-3<0,
解得-1a<3.
[答案]A(共80张PPT)
第一章 预备知识
1.3 第2课时 全集与补集
1.全集
(1)在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集
合的子集，这个给定的集合叫做全集，全集包含所要
研究的这些集合.
(2)记法：全集通常记作U.
[温馨提示]全集是一个相对概念，因研究问题
的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数
集R,而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2.补集
对于一个集合A,由全集U中不属于
集合A的所有元素组成的集合称为
文字语言
集合A相对于全集U的补集，记作
CeA
符号语言
CA={xx∈U,且x度A}
图形语言
3.补集的性质
对于任意集合A有：
(1)AU(CA)=U;
(2)A∩(CuA)=;
(3)Cu(CuA)=A,CvU=⑦，Cu=U;
(4)C(AB)=(CA)U(CB);
(5)Cv(AUB)=(CvA)(CUB).
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)一个集合的补集一定含有元素.
(
(2)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元
素.
(3)若A∩B=,则CAUCB=U.
(
(4)集合CzN与集合CzN相等.
(
(5)若AUB=U,则A=B=U.
(
[答案]
(1)×
(2)
(3)
(4)×
知识点1>
集合的补集运算
兴趣探究
[思考]1.如果学校里所有同学组成的集合记为
S,所有男同学组成的集合记为M,所有女同学组成的
集合记为F,那么：
(1)这三个集合之间有什么联系呢？
(2)如果x∈S且x庄M,你能得到什么结论？
2.如果“全集U=R,a∈CuB”,那么元素a与集
合B有什么关系？“a∈A∩CvB”意味着什么？
[答案]1.(1)集合M和F都是集合S的子集；
(2)如果x∈S且x￠M,则一定有x∈F.
2.如果“a∈CvB”,那么a庄B.“a∈A∩CvB”意
味着a∈A且a￠B.
知识归纳
全集与补集的关系
(1)全集是涵盖了所有研究对象的一个集合，它因
研究的问题而异，是一个相对概念；
(2)研究补集时，一定要搞清楚是相对于哪个全集
的补集，同一个集合相对于不同的全集，其补集是不
同的；
成其他集合（如R)则CA中U也必须换成相应的集
合（如CRA);
(4)CA包括两个方面：首先A二U,即A是U的
子集，其次是CvA={xx∈U,且x￠A}.(共113张PPT)
第一章 预备知识
4 一元二次函数与一元二次不等式
1.一元二次函数的三种形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；
(2)顶点式：y=a(x-h)十k(a≠0)；
(3)两根式：y=a(x一x1)(x一x2)(a≠0)；
2.一元二次函数的图象
二次函数y=a(x十h)2十k(a≠0)，a决定了二次函数
图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左、
右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数
图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”.
3.一元二次函数的性质
y=ax2+bx+c(a
y=ax2+bx+c(a
解析式
>0)
≤0)
y
图象
定义域
R
值域
最值
4ac-b2
Aac-b2
y min
Aa
y max
Aa
×,-2上
在（
(-co,-)h
在
递减
递增
增减性
在[+1
在》+)1日
递增
递减
对称性
关于直线x=一
对称
4.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
不等式，叫作一元二次不等式.
5.一元二次不等式的解集
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集
合叫作一元二次不等式的解集.
6.一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程
的关系
设y=ax2十bx十c(a>0),方程ax2+bx十c=0的判别式△=b2-4ac
判别式
△>0
△=0
△<0
有两个不相等的
有两个相等的
求方程y=0
实数根x1=x2
没有
实数根x1,x2(x1
的解
b
实数根
2a
解不等
画函数y=
式y>0
或y<0
ax2+bx+c
(a>0)的
灰2元
的步骤
0
为2花
元
图象
得不等
{xxy>0
{xx≠
6
式的解
x>x2}
R
集
y≤0
{xx1必
必
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式.
)
(2)5x2一mx+2<0是一元二次不等式.
(
(3)若a>0,则一元二次不等式ax2十1>0无解.(共75张PPT)
第一章 预备知识
1.2 集合的基本关系
课标要点
核心素养
1.理解子集、真子集概念以及集合相等，
1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集
2.了解维恩图的含义，会用Venn图表示两
概念的理解，培养数学抽象素养！
个集合间的关系.
2.利用Venn图，培养直观想象数学素养
3.能够区分集合间的包含关系与元素与集合
3.借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数
的属于关系.
学素养，
2.子集、真子集、集合相等的相关概念
B中的元素
A中的元素
A与B
维恩图：
(A(B)
相等
符号表示：
A中的
元素都
A是B的
维恩图：(B(A
是B中
子集
的元素
符号表示：
或
维恩图：（B(A
A是B的
真子集
符号表示：
或
A≠B
规定：空集是任何集合的子集.则空集是任何非空集
合的真子集.
[温馨提示]在真子集的定义中，AB首先要
满足A二B,其次至少有一个x∈B,但x日A.
3.空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为⑦.
(2)规定：空集是任何集合的子集.
4.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A三A.
(2)对于集合A,B,C,
①若A三B,且B二C,则A三C;
②若A手B,B手C,则A手C.
(3)若A二B,A≠B,则AB.
自我测评
思考辨析（正确的打“/”，错误的打“×”）
(1){0}是⑦.
(2)正整数集是自然数集的子集.
(
(3)空集是任何集合的子集.
(
(4)空集没有子集.
(
(5)任何集合至少有两个子集.
(
[答案]
(1)×
(2)/
(3)
(4)×
知识点1>
两个集合之间关系
兴趣探究
[思考]
银河系是地球和太阳所属的星系.因其
主体部分投影在天球上的亮带被我国称为银河而得
名.银河系约有2000多亿个恒星.银河系侧看像一个
中心略鼓的大圆盘，整个圆盘的直径约为10万光年，
鼓起处为银心，是恒星密集区，故望去白茫茫的一片.
(猎户座臂)，距离银河系中心约2.3万光年.
如果我们把银河系所包含的所有行星和恒星所构
成的集合叫集合A,把太阳系包含的行星和恒星所构
成的集合叫集合B.那么集合A与集合B有怎样的
关系？
[答案]
显然集合A“大”，集合B“小”，集合B
包含在集合A中，在数学上我们把集合B称为集合A
的“子集”(共83张PPT)
第一章 预备知识
2.1 必要条件与充分条件
1.充分条件与必要条件
命题真假“若p,则g”是真命题“若p,则q”是假命题
推出关系
p→9
卫台9
是q的充分条件
卫不是g的充分条件
条件关系
q是卫的必要条件
q不是p的必要条件
[温馨提示]
不能将“若p,则q”与“p→q”混为
一谈，只有“若p,则q”为真命题时，才有“p→q”,即“p
→g”则“若卫，则g”为真命题.
2.充要条件
(1)一般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作p台→
q.此时，我们说，力是q的充分必要条件，简称充要
条件.
概括地说，如果p台q,那么p与q互为充要条件.
(2)若p→q,但q台力，则称卫是q的充分不必要
条件.
(3)若q→p,但力台q,则称力是9的必要不充分
条件.
(4)若p≠q,且q≠p,则称p是q的既不充分也
不必要条件.
自我测评
思考辨析（正确的打“、/”，错误的打“×”）
(1)“x=3”是“x2=9”的必要不充分条件.
(2)“x=0”是“x2=0”的充分不必要条件.
(
(3)若力是q的充要条件，则命题力和q是两个相互
等价的命题.
(4)“x>0”是“x>1”的充分条件.
(5)如果力是q的充分条件，则p是唯一的.(
[答案](1)×
(2)×
(3)/
(4)×
(5)×
知识点1>
充分条件、必要条件及充要条件的判断
兴趣探究
[思考]
(1)用恰当的语言表示下列语句的意义，
①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；②只有
同心协力，才能把事情办好.
(2)如图所示的四个电路图，条件A:“开关S,闭
合”；条件B:“灯泡L亮”.问A是B的什么条件？
甲
乙
丙
丁
[解析]
(1)①如果不骄傲自满，那就可能不落
后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件；②同心
协力是办好事情的必要条件
(2)因为甲：S1、S2是并联的开关，S1或S2闭合，
电路即通，L亮.乙：S1闭合L亮.丙：S1、S2是串联开
关，S1、S2同时闭合，L亮.丁：S1对L没有影响.
所以对于图甲，A是B的充分不必要条件；对于
图乙，A是B的充要条件；对于图丙，A是B的必要不
充分条件；对于图丁，A是B的既不充分也不必要
条件.
