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2024湘教版七年级下学期期末复习全优达标卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄C处，为节省材料，他们过点C向河岸l作垂线，垂足为点D，于是确定沿CD铺设水管，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两条直线相交有且只有一个交点
2．如图，下列说法错误的是（ ）
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x，y的方程组 有以下两个结论：①当 时，方程组的解也是方程 的解；②不论a取什么实数，代数式 的值始终不变．则（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
5．如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ）
A．7 B．2 C．5 D．6
6．装乒乓球的盒子有两种，大盒装6个，小盒装4个，若将50个乒乓球都装进盒子且把每个盒子都装满，那么不同的装球方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
7．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤-3
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
10．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若，，则 .
12．已知是方程的一个解，那么a的值为 ．
13．因式分解： ．
14．如图，直线AB和CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠COE＝ °．
15．如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为 .
16．如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
17．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
18．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠，并将其绘制成图乙，已知∠DAB-∠ABC=10°，且DF∥CG，则3∠DAB+2∠ABC= 度。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．
（1）写出∠BOE的余角；
（2）若∠COF的度数为29°，求∠BOE的度数．
20．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请写出图2中阴影部分的面积；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2 ， （m﹣n）2 ， mn；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
21．已知，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点．
（1）如图1，连EF、EG，直接写出∠FEG与∠AFE和∠CGE之间的数量关系
（2）如图2，∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，探究∠FEG与∠FHG之间的数量，写出这个数量关系，并说明理由；
（3）若H为AB、CD间的一点，且满足，，则直接写出∠FEG与∠FHG之间的数量关系
22．根据以下素材，探索解决任务.
确定什锦糖的销售量
素材1：某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克.
素材2：商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示.小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元.
素材3：小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖.
问题解决
（1）确定A型单价，每份什锦糖A需要多少元？
（2）确定B型配比，每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
（3）确定销售量，本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
23．
（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为： ；
（2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行”
已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由）
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？
24．如图
（1）如图1， ，求 的度数；
（2）如图2， ，点P在射线 上运动，记 ，当点P在B，D两点之间运动时，请写出 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出 与 之间的数量关系．
25．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
26．如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 .
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值.
（3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值.
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数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄C处，为节省材料，他们过点C向河岸l作垂线，垂足为点D，于是确定沿CD铺设水管，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两条直线相交有且只有一个交点
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：因为 于点 ，根据垂线段最短，所以 为 点到河岸 的最短路径．
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短进行判断即可。
2．如图，下列说法错误的是（ ）
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
【答案】A
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、 ∠1与∠2不是内错角 ，故此选项错误，符合题意；
B、 ∠2与∠3是同位角 ，故此选项正确，不符合题意；
C、 ∠1与∠3是内错角 ，故此选项正确，不符合题意；
D、 ∠2与∠4是同旁内角 ，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截两直线之间，且在截线的两侧的两个角互为内错角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截两直线之间，且在截线的同侧的两个角互为同旁内角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截两直线同侧，且在截线的同旁的两个角互为同位角，据此一一判断得出答案.
3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得，
则m+n=-2，
故答案为：B.
【分析】将x，y的值代入一元二次方程组求出m，n值即可求出答案。
4．关于x，y的方程组 有以下两个结论：①当 时，方程组的解也是方程 的解；②不论a取什么实数，代数式 的值始终不变．则（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当a=1时，
方程组为，解得，
∴4+（-4）=0≠2，
∴①说法错误；
②∵，
两方程相加得：2x=2a+6，
∴x=a+3，
∴y=-2a-2，
∴2x+y=2a+6+（-2a-2）=4，
∴不论a取什么实数，2x+y都等于4，
∴②说法正确.
故答案为：C.
【分析】把a=1代入方程组，利用加减消元法解得x和y的值，代入x+y=2中验证即可①错误；利用加减消元法解方程组，即两方程相加得：2x=2a+6，则x=a+3，从而得y=-2a-2，代入2x+y可得其值为4，即可判断②正确，据此得出正确答案.
5．如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ）
A．7 B．2 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵BA=6，DA=3，
∴d的最小值为3，
当d＞6时，射线BC上存在一个点P；
当3＜d≤6时，射线BC上存在两个点P；
当d=3时，射线BC上存在一个点 P；
当d＜3时，射线BC上不存在点 P；
综上所述，d的值可以为7，
故答案为：A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，进而根据垂线段最短即可得到d的最小值为3，再结合题意进行分类讨论即可求解。
6．装乒乓球的盒子有两种，大盒装6个，小盒装4个，若将50个乒乓球都装进盒子且把每个盒子都装满，那么不同的装球方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设大盒x盒，小盒y盒，依题意有
6x＋4y＝50，
y＝ ，
∵x，y都是正整数，
∴x＝1时，y＝11；
x＝3时，y＝8；
x＝5时，y＝5；
x＝7时，y＝2；
故不同的装球方法有4种，
故答案为：B.
【分析】设大盒x盒，小盒y盒，根据：大盒装的乒乓球的个数+小盒装的乒乓球的个数=50，列出二元一次方程，求出其正整数解即可.
7．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，作NE∥AB，MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得 ， ， ， ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点M和点N分别作NE∥AB，MF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MF∥EN，根据平行线的性质可得∠BMF=∠ABM，∠FMD=∠CDM，∠BNE=180°-(∠ABM+∠NBM)，∠END=180°-(∠CDM+∠MDN)，则∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BND=360°(∠ABM+∠CDM+∠MBN+∠MDN)，结合已知条件可得∠BND=360°-(∠ABM+∠CDM)，化简即可.
8．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤-3
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】A、方程组② 式的各项都乘3，得3x-2y=3a+5 ③ ， ①-③得4y=-4a-6，解得y=-a-32；①+③得6x=2a+4 ，解得x=a3+23；x≥y 代入含a的表达式，解得a≥-138 ，A符合题意；
B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】解二元一次方程组，消元思想贯穿解题整个过程。用含有a的式子分别表达出x和y，然后解含有a的不等式即可。
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
10．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为 .
故答案为：C .
【分析】在本题中，首先得读懂图意：由图1可得一个单独的竖表示1，两个单独的竖表示2......一个单独的横表示10，两个单独的横表示20......当横竖组合时候，一个横表示5，一个竖表示1.每一横行是一个方程。第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果.由此可得图2的表达式．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若，，则 .
【答案】11
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：因为，，
则，
故答案为：11
【分析】先根据完全平方公式把原式化为，然后代值计算即可.
12．已知是方程的一个解，那么a的值为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是方程x-ay=3的一个解 ，
∴2-a=3，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据方程解的定义，将x=2与y=1代入方程x-ay=3，可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
13．因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可。
14．如图，直线AB和CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠COE＝ °．
【答案】145
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝∠EOB=90°，
又∵∠AOD＝125°，
∴∠EOD＝∠AOD -∠AOE=35°，
∴∠DOB＝∠EOB-∠EOD =55°，
∴∠AOC＝∠DOB＝55°，
∴∠COE＝145°．
故答案为：145．
【分析】由垂直的定义可得∠AOE＝∠EOB=90°，从而求出∠EOD＝∠AOD -∠AOE=35°，∠DOB＝∠EOB-∠EOD =55°，由对顶角相等可得∠AOC＝∠DOB＝55°，根据∠COE=∠AOC+∠AOE即可求解.
15．如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为 .
【答案】45°，75°，165°
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①如图1中，当DE∥AB时，
∴∠ABD=∠D=45°，可得旋转角α=45°；
②如图2中，当DE∥BC时，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ABC+∠D=75°，可得旋转角α=75°；
③如图3中，当DE∥AC时，作BM∥AC，
则AC∥BM∥DE，
∴∠CBM=∠C=90°，∠DBM=∠D=45°，
∴∠ABD=30°+90°+45°=165°，可得旋转角α=165°，
综上所述，满足条件的旋转角α为45°，75°，165°.
故答案为：45°，75°，165°.
【分析】①当DE∥AB时，根据平行线的性质可得∠ABD=∠D=45°，据此可得旋转角α的度数；②当DE∥BC时，可得∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ABC+∠D，据此可得旋转角α的度数；③当DE∥AC时，作BM∥AC，则AC∥BM∥DE，根据平行线的性质可得∠CBM=∠C=90°，∠DBM=∠D=45°，求出∠ABD的度数，据此可得旋转角α的度数.
16．如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ①∵AB⊥BC于点 B，DC⊥BC于点 C，
∴AB//CF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直），
∴∠ADC+∠BAD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴①正确；
②∵AB//CF，
∴∠AFD+∠BAF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴②正确；
③∵AF//ED（已证），
∴∠DAF=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∠F=∠CDE（两直线平行，同位角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，
∴③正确．
故答案为：①②③.
【分析】①先根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”说明AB//CF，再利用平行线的性质得出∠ADC+∠BAD=180°；②先由平行的性质得出∠AFD+∠BAF=180°，结合∠BAF=∠EDF，说明∠AFD+∠EDF=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AF//DE；③由平行线的性质，得出∠DAF=∠ADE与∠F=∠CDE，结合角平分线的意义，说明∠DAF=∠F.
17．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为： ，
∴ ，∴ ，解得： ．
故答案为 ．
【分析】观察两个方程组的特点可将m+n看作x，m-n看作y，即可得到，求解方程组得到m、n的值.
18．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠，并将其绘制成图乙，已知∠DAB-∠ABC=10°，且DF∥CG，则3∠DAB+2∠ABC= 度。
【答案】230
【知识点】余角、补角及其性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠图形的特点可知：
2∠DAB+∠BAE=180°，2∠ABC+∠ABH=180°，
∵DF∥CG，AE∥EF，BH∥CG，
∴AE∥BH，
∴∠BAE+∠ABH=180°，
∴2∠DAB+∠BAE+2∠ABC+∠ABH=360°，
∴2∠DAB+2∠ABC=180°，即∠DAB+∠ABC=90°，
由∵∠DAB-∠ABC=10° ，
∴∠DAB+∠ABC+∠DAB-∠ABC=100°，
∴2∠DAB=100°，
∴∠DAB=50°，∠ABC=40°，
则 3∠DAB+2∠ABC= 3×50°+2×40°=230°.
【分析】由折叠图形特点可知，平角经如图折叠，可得2∠DAB+∠BAE=180°，2∠ABC+∠ABH=180°，结合DF平行CG和围巾的两边互相平行，得AE平行BH，同旁内角互补得∠BAE+∠ABH=180°，最后推得∠DAB+∠ABC=90°，再和已知 ∠DAB-∠ABC=10° 相结合，即可求出∠DAB和∠ABC的大小，则 3∠DAB+2∠ABC 的度数可求。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．
（1）写出∠BOE的余角；
（2）若∠COF的度数为29°，求∠BOE的度数．
【答案】（1）解：∵直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOE+∠AOC＝90°，
∴∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC；
（2）解：∵∠COF＝29°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣29°＝61°，
又OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝122°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝58°．
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等和余角的定义解答即可；（2）首先根据∠COF＝29°，∠COE＝90°，求出∠EOF的度数，再根据角平分线的概念求得∠AOE，再利用邻补角的关系求得∠BOE的度数．
20．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请写出图2中阴影部分的面积；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2 ， （m﹣n）2 ， mn；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
【答案】（1）解：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn
（2）解：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
（3）解：当a+b=7，ab=5时，
（a﹣b）2
=（a+b）2﹣4ab
=72﹣4×5
=49﹣20
=29
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积；（2）根据图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）把a+b=7，ab=5代入（2）中的等式计算即可。
21．已知，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点．
（1）如图1，连EF、EG，直接写出∠FEG与∠AFE和∠CGE之间的数量关系
（2）如图2，∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，探究∠FEG与∠FHG之间的数量，写出这个数量关系，并说明理由；
（3）若H为AB、CD间的一点，且满足，，则直接写出∠FEG与∠FHG之间的数量关系
【答案】（1）
（2）解：，理由如下，
分别过H、E点作AB的平行线HP、EQ，如图，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，
∴，，
∴．
（3）
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
∴∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠EGC，
∴∠FEG=∠FEH+∠HEG=∠AFE+∠EGC.
故答案为：∠FEG=∠AFE+∠EGC.
（3）由（1）可知∠FEG=∠AFE+∠EGC，∠FHG=∠AFH+∠CGH，
∵∠HFE=∠AFE，∠HGE=∠CGE，
∴∠AFH+∠CGH=(∠AFE+∠CGE)，
∴∠FHG=∠FEG.
【分析】（1）过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠EGC，然后根据角的和差关系进行解答；
（2）分别过H、E点作AB的平行线HP、EQ，由平行线的性质可得∠AFH=∠FHP，∠AFE=∠FEQ，∠PHG=∠CGH，∠QEG=∠EGC，则∩FHG=∠AFH+∠CGH，∠FEG=∠AFE+∠CGE，由角平分线的概念可得∠AFH=∠AFE，∠CGH=∠CGE，据此解答；
（3）由（1）可知∠FEG=∠AFE+∠EGC，∠FHG=∠AFH+∠CGH，结合已知条件可得∠AFH+∠CGH=(∠AFE+∠CGE)，据此解答.
22．根据以下素材，探索解决任务.
确定什锦糖的销售量
素材1：某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克.
素材2：商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示.小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元.
素材3：小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖.
问题解决
（1）确定A型单价，每份什锦糖A需要多少元？
（2）确定B型配比，每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
（3）确定销售量，本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
【答案】（1）解：什锦糖A价格为元.
（2）解：设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，
由题意可列方程：，
解得，
∴B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克.
（3）解：设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，
可得方程，
∵m，n为整数，
解得，，
∴①若A型1份，B型10份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果.
②若A型9份，B型3份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价即可算出由2千克甲糖果与2千克乙糖果配置成的A什锦糖的单价；
（2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，根据“ B型什锦糖，每份重5千克，价格80元 ”建立方程组，求解可得答案；
（3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，根据单价乘以数量等于总价及销售m份什锦糖A的钱数+销售n份什锦糖B钱数=870元，建立二元一次方程，求出方程的正整数解即可解决此题.
23．
（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为： ；
（2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行”
已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由）
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？
【答案】（1）同位角相等，两直线平行
（2）解：证明：如图2，∵与互补，即（补角的定义），
又∵（邻补角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（3）解：可以通过度量图中已标出或或的的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；
理由：∵是直角，
∴，
若，则，由（2）同旁内角互补，两直线平行可知；
若，则，根据同位角相等，两直线平行可知；
若，由于，则，根据同位角相等，两直线平行可知．
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；
（2）根据邻补角的定义结合题意即可得到，进而根据平行线的判定即可求解；
（3）可以通过度量图中已标出或或的的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行，根据平行线的判定即可求解。
24．如图
（1）如图1， ，求 的度数；
（2）如图2， ，点P在射线 上运动，记 ，当点P在B，D两点之间运动时，请写出 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出 与 之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB=50°，∠CPE=180°-∠PCD=60°，
∴；
（2）解： ，理由如下：
如图，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴；
（3）解：∠APC =α-β或∠APC =β-α，理由如下：
①如图，当点P在BD的延长线上时，过P作PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC =α-β；
②如图，当点P在DB的延长线上时，过P作PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC =β-α；
综上所述，∠APC =α-β或∠APC =β-α.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】(1)过点P作PE∥AB，得出AB∥PE∥CD，先根据平行线的性质求出∠APE和∠CPE的度数，最后根据角的和差即可求出结果；
(2)过点P作PE∥AB，根据平行公理推论可得PE∥CD，再根据平行线的性质得出∠APE=∠PAB=a，∠CPE=∠PCD= β，再根据角的和差，即可得出结论；
(3)分①点P在BD的延长线上和②点P在DB的延长线上两种情况讨论，根据(1) 和(2) 的方法作辅助线，利用平行线的性质和平行公理推论，即可求出结论.
25．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
【答案】（1）
（2）解：∵为自然数，
∴x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，
∴x=4或5或6或9.
（3）解：，
由①×2-②得：（4-k）y=8，
∵二元一次方程组有解，
∴4-k≠0，
∴y=，
∵y是正整数，
∴4-k=1或4-k=2或4-k=4或4-k=8，
∴k=3或2或k=0或k=-4，
∵k=3时，y=8，
∴x=-7（不符合题意），
∴满足题意的k为2或0或-4.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵3x+2y=8，
∴y==4-，
∴当x=2时，y=1，
∴方程的正整数解为.
故答案为：.
【分析】（1）由3x+2y=8变形为y=4-，若y为正整数，则3x被2整除，又x为正整数，因此x=2，y=1，即可求解；
（2）由为自然数，可得6为x-3的倍数，则x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，解之即可求解；
（3）先利用加减消元法解二元一次方程组，得（4-k）y=8，因为4-k≠0，即得y=，再结合y和x均为正整数，进而得满足题意的k为2或0或-4.
26．如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 .
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值.
（3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值.
【答案】（1）（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2
（2）解：由（1）题结论（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
当x+y＝5，xy＝时，
∴（x﹣y）2
＝52﹣4×，
＝16，
∴x﹣y＝±＝±4，
（3）解：由（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，
∴（2019﹣m）（m﹣2021），
＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}，
＝ [（﹣2）2﹣20]，
＝×（﹣16），
＝﹣8.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意得图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+b）2，
∴（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2，
故答案为：（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；
【分析】（1）观察两图形，可知图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+b）2，由此可得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；
（2）利用（1）中的等式可得到 （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， 代入计算求出x-y的值；
（3）由完全平方公式知（2019﹣m）（m﹣2021）＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}，代入计算可求出的值.
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