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2024湘教版八年级下学期期末复习全能练考卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 已知一次函数表达式为：，则此一次函数图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平行四边形两内角和为70度，则该平行四边形的最大内角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使距离地面的高为，则两条桌腿需要叉开的为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两个杯子的容量都是，甲杯盛满水，乙杯是空杯．现用的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯．两个杯子的水量之差为V（单位：），倒水的时间记为t（单位：），则下列表示V与t之间函数关系的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，E为对角线AC上一点，连接，过点E作，交BC延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
A． B． C． D．3
10．如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，那么a与c的关系是
12．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长为 ．
14．已知点与点关于原点对称，则 ．
15．一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=15°，则∠ABE=
17．如图， 沿直线 翻折后能与 重合， 沿直线 翻折后能与 重合， 与 相交于点 ，若 ， ， ，则 .
18．已知在平面直角坐标系中， ，点 在 轴上，当 变化时，一次函数 都经过一定点 ，则 最小值为
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．
根据图象解答下列问题：
（1）写出小何离家的最远距离；
（2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
（3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
20．已知正比例函数的图象经过点A（，5）.
（1）求这个函数表达式。
（2）点B（2，10）、C（，15）是否在这个函数的图象上？
21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
22．如图，中，，，点F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
24．已知直线为，点在上，且，点的坐标为．
（1）设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标．
25．已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上的一个动点，若的面积等于时，请求出点的坐标；
（3）如图，将沿着轴平移，平移过程中的记为请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
26．冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
价格类别 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．
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2024湘教版八年级下学期期末复习全能练考卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 已知一次函数表达式为：，则此一次函数图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】 一次函数表达式为：，则此一次函数图象不经过第二象限．
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的图象所经过的象限即可求解.
2．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断即可得出答案.
3．如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意；
B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a＜0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以B选项不符合题意；
C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＜0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以C选项符合题意；
D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．
4．已知平行四边形两内角和为70度，则该平行四边形的最大内角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∵ 平行四边形两内角和为70度，
∴∠B+∠D=70°，
∴2∠B=70°，
解之：∠B=35°，
∴∠A=180°-35°=145°，
∴ 该平行四边形的最大内角的度数为145°.
故答案为：D
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，∠B=∠D，利用平行线的性质可证得∠A+∠B=180°；再利用已知条件求出∠B的度数，即可求出该平行四边形的最大内角的度数.
5．如图，设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使距离地面的高为，则两条桌腿需要叉开的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过B作BE⊥CD于E，如下图：
∵CB=CO+BO=80，BE=40，
∴在中，
∴∠C=30°，
又∵CO=DO，
∴∠C=∠ODC=30°，
∴∠BOD=30°+30°=60°，
∴∠AOB=180°-∠BOD=120°，
故答案为：B.
【分析】过B作BE⊥CD于E，根据题意，在中，计算CB和BE，由此算出∠C度数，再根据∠C=∠D，计算出∠BOD，进而求出∠AOB.
6．甲、乙两个杯子的容量都是，甲杯盛满水，乙杯是空杯．现用的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯．两个杯子的水量之差为V（单位：），倒水的时间记为t（单位：），则下列表示V与t之间函数关系的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可知：
当t=0时v=200，
当t=4时，v=0，
t=8时，v=200，
∴A符合题意，B、C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用已知条件可知，开始两个杯子的水量相差200，4s时，两个杯子的水量相同，此时水量之差为0，8s时两个杯子的水量相差200，观察各选项中的图象，可得答案.
7．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2×2-2=；
第三个矩形的面积是（）2×3-2=；
…
故第n个矩形的面积为：= ．
故答案为：D．
【分析】先求出第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积是，依次类推，可得第n个矩形的面积为，即可判断．
8．如图，在正方形中，E为对角线AC上一点，连接，过点E作，交BC延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：①：过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，四边形EMCN是平行四边形，
又CA平分∠BCD ，
∴EM=EN，
∴四边形EMCN是正方形，
∴∠MEN=90°，
又因为四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
∴∠MEF=∠NED，
在△FEM和△DEN中，
∵∠MEF=∠NED，EM=EN，∠EMF=∠END=90°，
∴△FEM≌△DEN，
∴ED=EF，
所以①正确；
②：由①知，ED=EF，
∴矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG.
所以②正确；
③：由②知△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG=45°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°，
∴AE⊥CG，
所以③正确；
④：当DE⊥AC时，C、F重合，EC≠CF，
∴∠CEF≠∠CFE，
∴∠CEF+90°≠∠CFE+90°，
∵∠DEF=∠GFE=90°，
∴∠CEF+∠DEF≠∠CFE+∠GFE，
即∠DEC≠∠CFG，
∴④不正确。
∴正确答案的个数为：3个。
故答案为：C。
【分析】①过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，通过证明△FEM≌△DEN，可以得出对应边ED=EF；②通过证明△AED≌△CGD，可以得出对应边AE=CG；②可证明△ADE≌△CDG，得出对应边AE=CG；③根据②的结论△ADE≌△CDG，可得对应角∠DAE=∠DCG=45°，从而得出∠ACG=90°，结论正确；④可说明在特殊情况下∠CEF≠∠CFE，从而得出∠DEC≠∠CFG。
9．图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵OA1=1，
∴由勾股定理可得，
，
……
，
∴．
故答案为：C．
【分析】由OA1=1，利用勾股定理可得，······，，据此可求出OA8的长.
10．如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得四边形ANCM是平行四边形，进而推出∠FOA=∠DBC，然后证明△OAF≌△BCD，求出OE的值，由OB=知BE最小时，OB取得最小值，据此解答即可.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，那么a与c的关系是
【答案】相等
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，
∴a=c．
故答案为：相等．
【分析】平行于y轴的一条直线上的点的横坐标不变，所以M，N两点的横坐标相等，因此：a=c。
12．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，
∴
故答案为：．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
13．如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长为 ．
【答案】2cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm.
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=2cm.
故答案为：2cm.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC=2cm，结合∠ABC=60°可推出△ABC为等边三角形，据此解答.
14．已知点与点关于原点对称，则 ．
【答案】5
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A、B关于原点对称，
∴a=2，b=-3，
∴a-b=2-（-3）=5.
故答案为：5
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到a，b的值，然后求出a-b的值.
15．一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y随x增大而减小，
∴k＜0，
∴2m-6＜0，
∴m＜3．
【分析】根据一次函数的增减性，即可得到（2m-6）＜0，即可得到m的取值范围。
16．如图，在矩形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=15°，则∠ABE=
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；反证法
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴△MBC≌△MEB≌△DMA
∴AM=MB∴∠MAB=∠MBA
同理，∠EBM=∠MBC， ∠C=∠E，
又∵∠EMA=15°，
设AM交EB于点F，
∴∠EFM=∠AFB=75°
设∠CBM=x，
∴∠CBM=∠MBE=∠MAD，
∴∠MAB=90°-x， ∠EBA=90°-2x，
∴90-x+90-2x=75，
解得，x=25°，
∴∠ABE=90-2×25=40°
故答案为：40°.
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，知道△MBC、△MEB和△DMA全等，根据三角形内角和的性质，设∠CBM，列出等式，求出∠CBM，再根据∠ABE和∠CBM的关系，求出∠ABE的值。
17．如图， 沿直线 翻折后能与 重合， 沿直线 翻折后能与 重合， 与 相交于点 ，若 ， ， ，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CD、BF，延长BA交CD于G，延长CA交BF于H，
∵△ABC沿直线AB翻折后能与△ABD重合，
∴BC=BD ，∠CBA=∠DBA，AC=AD= ，
根据等腰三角形三线合一的性质知BG⊥CD，DG=GC，
设DG=x，AG=y，
在Rt△ADG中， ①，
在Rt△BDG中， ②，
②-①得： ，
则 (负值已舍)，
∴DG= AG=1，∠ADC=∠ACD=45°，
∴∠DAC=90°，
同理，△ABC沿直线AC翻折后能与△AFC重合，
∴CH⊥BF，BH=HF，
设BH=m，AH=n，
在Rt△ABH中， ③，
在Rt△CBH中， ④，
由③④得： ，
∴BH=AH= ，∠AFB=∠ABF=45°，
∴∠BAF=90°，
∵∠EAC=∠FHC=90°，
∴四边形 为梯形，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴AE= ，
∴DE=AD-AE= .
故答案为： .
【分析】连接CD、BF，延长BA交CD于G，延长CA交BF于H，由折叠的性质可得BC=BD ，∠CBA=∠DBA，AC=AD= ，根据等腰三角形三线合一的性质知BG⊥CD，DG=GC，设DG=x，AG=y，分别在Rt△ADG、Rt△BDG中，根据勾股定理可得关于x、y的方程组，求解可得x的值，进而得到DG= AG=1，∠DAC=90°，设BH=m，AH=n，同理得到BH=AH=，推出四边形EFHA为梯形，然后根据S△ECA+S梯形EFHA=S△FHC进行求解可得AE，最后根据DE=AD-AE计算即可.
18．已知在平面直角坐标系中， ，点 在 轴上，当 变化时，一次函数 都经过一定点 ，则 最小值为
【答案】
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：y=kx-3x+k
=（x+1）k-3x，
∵当k变化时，一次函数都过一定点，
∴x+1=0，
∴x=-1，
∴y=3，
∴B（-1，3），
∴点B关于x轴的对称点B′（-1，-3），
如图，连结AB′交x轴于点C，此时CA+CB最小，
即CA+CB=CA+CB′=AB′，
分别过A，B作x，y轴的垂线，交于点D，
∴D（3，-3），
∴B′D=3-（-1）=4，AD=2-（-3）=5，
∴AB′= ，
故答案为： .
【分析】先求出定点B坐标，再求出点B关于x轴的对称点B′坐标，连结AB′交x轴于点C，此时CA+CB最小即为AB′的长，分别过A，B作x，y轴的垂线，交于点D，利用勾股定理求出AB′即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．
根据图象解答下列问题：
（1）写出小何离家的最远距离；
（2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
（3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
【答案】（1）解：利用图象的纵坐标得出小何骑自行车离家的最远距离是；
（2）根据图象得出有两段时间纵坐标不变，得出途中小何共休息了2次；利用横坐标得出休息时间为：0.5小时和1小时；
（3）解：∵返回时所走路程为，使用时间为2小时，
∴返回时的平均速度为：．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）观察图像即可知道小何离家的最远距离；
（2）观察图像即可知道小何休息的次数以及休息的时间；
（3）利用路程除以时间即可求平均速度来.
20．已知正比例函数的图象经过点A（，5）.
（1）求这个函数表达式。
（2）点B（2，10）、C（，15）是否在这个函数的图象上？
【答案】（1）解：设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数y=kx的图象经过点A（，5），
∴5=-k，解得k=-5，
∴这个正比例函数的解析式为y=-5x；
（2）解：∵当x=2时，y=-10，
∴点B（2，10）不在该函数的图象上；
∵当x=-3时，y=15，
∴点C（，15）在该函数的图象上.
【知识点】正比例函数的图象和性质；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）设正比例函数的解析式为y=kx，将A（-1，5）代入求解可得k的值，据此可得正比例函数的解析式；
（2）分别令x=2、x=-3求出y的值，据此判断.
21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）解：把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y=kx+b得 ，
解得 ．所以一次函数解析式为y= x+ ；
（2）解：把x=0代入y= x+ 得y= ，
所以D点坐标为（0， ），
所以△AOB的面积=S△AOD+S△BOD= ×y= x+ ；
×2+ ×y= x+ ×1= ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）求经过已知两点坐标的直线解析式，一般是按待定系数法步骤求得；（2）△AOB的面积=S△AOD+S△BOD，因为点D 是在y轴上，据其坐标特点可求出DO的长，又因为已知A、B点的坐标则可分别求三角形S△AOD与S△BOD的面积．
22．如图，中，，，点F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：
在和中
（2）解：，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先求出∠ACF=90°，再利用三角形全等的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出∠ABC=∠BAC=45°，再求出∠CBE=22°，最后利用全等三角形的性质计算求解即可。
23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF= CD=2t，
∴DF=AE
（2）解：∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时， AEFD是菱形
（3）解：当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t= 时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD= AE，
AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF= CD=2t，
∴60﹣4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解．
24．已知直线为，点在上，且，点的坐标为．
（1）设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵直线为，
∴直线l的解析式为，
∴当时，；
∵，，
∴，
∴，
（2）解：当时，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)根据直线的表达式，求得OA的长，根据点P在直线上，用x表示出P点的纵坐标，从而可表示出 的面积 ；
（2）根据 ，转化为关于x的方程求解，求得P点的坐标；
（3）依据两点之间线段最短，可作点O关于l的对称点B，AG与直线x+y=8的交点就是所求．
25．已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上的一个动点，若的面积等于时，请求出点的坐标；
（3）如图，将沿着轴平移，平移过程中的记为请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式，
直线：与轴，轴分别交于、两点，
令，则，解得，；令，则
，，
设直线的解析式为
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；
（2）解：∵点，，
∴
设点的横坐标为，
，
或．
或；
（3）存在，点的坐标为，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的判定与性质；平移的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】（3）解： 设将 沿着 轴平移 个单位长度得到 ，
，
， ，
设 点坐标为 ，
当 为以 、 、 、 为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当 时，即 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
点 与点 重合，即 ．
当 时，
， ，
，
解得 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
．
当 为以 、 、 、 为顶点的菱形对角线时， ，即点 在 的垂直平分线上，且 ， 关于 对称，
当 向左移动， ， ， ，
，
解得 或 舍 ，
当 向右移动时， ， ， ，
，
解得 舍 或 舍 ，
，
．
综上所述，存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 ， ， ．
【分析】（1）先根据一次函数的性质即可得到点A和点B的坐标，进而根据待定系数法求一次函数即可求解；
（2）先根据题意得到BC，进而设点的横坐标为，再根据三角形的面积公式结合题意即可求解；
（3）设将 沿着 轴平移 个单位长度得到 ，进而根据平移的性质结合题意得到 ， ，设 点坐标为 ，从而进行分类讨论： 当 为以 、 、 、 为顶点的菱形边长时，有两种情况； 当 为以 、 、 、 为顶点的菱形对角线时， ，即点 在 的垂直平分线上，且 ， 关于 对称，再根据勾股定理结合题意即可求解。
26．冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
价格类别 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．
【答案】（1）解：设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30-a）个，根据题意得：，解得：，∴30-a=10，答：A款玩偶购进20个，则B款玩偶购进10个；
（2）解：设获得利润w元，A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30-x）个，根据题意得：，∵ A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．∴，解得：，∵，∴w随x的增大而增大，∴当时，的值最大，最大值为3×10+150=180，答：A款玩偶购进10个，则B款玩偶购进20个，才能获得最大利润，最大利润是180元；
（3）解：第一次的利润率为：，第二次的利润率为：，∵，∴第二次更合算．
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30-a）个，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设获得利润w元，A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30-x）个，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可；
（3）利用“ 利润率=（利润÷成本）×100% ”求解即可。
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