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2024沪科版七年级下学期期末复习冲刺卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．若 的乘积中不含 项，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．-5
5．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
7．把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
8．如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ， ， 表示四个相同长方形的两边长（ ）.则① ；② ；③ ；④ ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（ ）
A．108° B．110° C．114° D．115°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，，则 ．
12．如图，直线a，b被直线c所截， 的同旁内角是 ．
13．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
14．如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为 .
15．定义新运算：对于任意实数，，都有，例如：，那么不等式的非负整数解是
16．如图，已知 ， 、 为 上的两点， 、 为 上的两点，延长 于点 ， 平分 ，点 在直线 上，且 平分 ，若 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④设 ， ；⑤ 的度数为50°．其中正确结论为 ．（填序号）
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度数.
18．把下列各式化成不含分母的式子：
（1） = ．
（2） = ．
（3） = ．
（4） = ．
19．如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
20．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）若的整数部分为m，小数部分为n，则 ， ；
（2）已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．
21．四平市为了更好地适应城市绿化的需求，决定购买东风多利卡雾炮抑尘洒水车，这种洒水车有型和型两种型号．已知购买一辆型洒水车比购买一辆型洒水车多2万元，购买2辆型洒水车比购买3辆型洒水车少万元．
（1）分别求购买一辆型洒水车和型洒水车的钱数．
（2）若市政决定购买多利卡雾炮抑尘洒水车共10辆，购买洒水车的总金额不超过140万元，请你为市政设计购买方案，并说明理由．
22．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是____．
A． B．
C． D．
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
23．问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
24．同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ ．
（2）如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
（3）如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
25．在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
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2024沪科版七年级下学期期末复习冲刺卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠1=∠ 2∴AB∥CD，故A项符合题意；
∵∠ 3=∠ 4∴AD∥BC，故B项不符合题意；
∵∠ DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，故C项不符合题意；
∵∠ B=∠ D，不能判定AB∥CD，故D项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行.
2．下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：Ａ、是整式的乘法，不是因式分解，故符合题意.
B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意.
C、等式右边不是整式积的形式，不符合题意.
D、符合因式分解的定义，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分解因式是把一个多项式化成几个因式连乘积的形式，根据定义分别判断即可.
3．如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：对图形进行角标注，则∠3=180°-60°-∠1=180°-60°-65°=55°，
∵直尺的对边平行，
∴∠2=∠3=55°.
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠3的度数，由平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答.
4．若 的乘积中不含 项，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．-5
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
∵ 的乘积中不含 项，
∴ 5a+1=0，
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘以多项式去括号，再合并同类项；由题意可知x2项的系数为0，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
5．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：=.
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质，即分子分母同时扩大或缩小分式值保持不变，即给分子分母同乘以10可得，即可得出正确答案.
6．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形的面积为：
（2a+3b）（a+2b）=2a2+4ab+3ab+6b2=2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积=长×宽，可得大长方形的面积为（2a+3b）（a+2b）=2a2+7ab+6b2，由A类卡片的面积a2，B类卡片的面积b2，A类卡片的面积ab，从而可判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张.
7．把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
8．如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ， ， 表示四个相同长方形的两边长（ ）.则① ；② ；③ ；④ ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图得x-y=n， x+y=m，
则(x-y)(x+y)=x2-y2=mn，
x-y+x+y=2x=m+n，
(x+y)-(x-y)=2y=m-n，
∴4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2，
∴，
∴
∴①②③ 正确， ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】根据图示把m、n用含x、y的代数式表示，两式结合，把x，y用m，n的代数式表示，根据x、y的值分别求出各选项左式的结果再比较即可判断。
9．已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
当01时， ，
∴ ， ， ，则x=.
故答案为：C
【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2, 再列方程解出x即可。
10．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（ ）
A．108° B．110° C．114° D．115°
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点D，E作DF∥k，GE∥k，如图，
∵k∥l，
∴DF∥GE∥k∥l，
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，
，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最大整数值为114°.
故答案为：C.
【分析】过点D，E作DF∥k，GE∥k，根据平行公理得出DF∥GE∥k∥l，根据平行线的性质分别列出等式，结合已知条件，推出 ，则可得出 ，根据∠3<90°，求出d的范围，再推出，从而求出∠4的范围，然后解不等式，在其范围内取最大整数即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，，则 ．
【答案】30
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
故答案为：30.
【分析】直接用同底数幂相乘计算即可.
12．如图，直线a，b被直线c所截， 的同旁内角是 ．
【答案】∠6
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∵直线a，b被直线c所截，
∴∠3的同旁内角是∠6.
故答案为：∠6.
【分析】根据同旁内角的定义及位置关系，即在截线一侧，被截线之间的两个角，据此即可得出正确答案.
13．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
【答案】3
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴BE=5-2=3，
∴平移的距离为3，
故答案为：3
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
14．如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为 .
【答案】55°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=70°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：55°.
【分析】过点E作EF∥AB，由平行线的传递性可得EF∥CD，根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD，∠ADC=∠BAD，由角平分线定义可得∠ABE=∠ABC，∠CDE=∠ADC，然后由平行线的性质和角的构成可求解.
15．定义新运算：对于任意实数，，都有，例如：，那么不等式的非负整数解是
【答案】0，1
【知识点】一元一次不等式的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解： 由题意，得2×（2-x）+1≥3，
去括号，得4-2x+1≥3，
移项，得-2x≥3-4-1，
两边同除以-2，得x≤1，
因为x是非负整数，
所以x可取0，1.
∴不等式2 x≥3的非负整数解是0，1.
故答案为：0，1.
【分析】利用定义，将式子转化为不等式，解这个不等式，再求出它的非负整数解.
16．如图，已知 ， 、 为 上的两点， 、 为 上的两点，延长 于点 ， 平分 ，点 在直线 上，且 平分 ，若 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④设 ， ；⑤ 的度数为50°．其中正确结论为 ．（填序号）
【答案】①②③⑤
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ，
∴ ，故①符合题意；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故②符合题意；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，故④不准确；
设 ，由④可知 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
，故⑤符合题意；
故正确的是①②③⑤；
故答案是①②③⑤．
【分析】根据平行线的性质定理及角平分线的定义，求解判断即可。
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度数.
【答案】（1）解：ON⊥CD.理由如下：
∵OM⊥AB，
∴，
∴∠1+∠AOC=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD.
（2）解：∵∠1=∠BOC，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可推出∠2+∠AOC=∠1+∠AOC=90°，即得∠CON=90°，继而得解；
（2） 由∠1=∠BOC可得，从而求出∠1的度数，利用∠BOD=90°-∠1即可求解.
18．把下列各式化成不含分母的式子：
（1） = ．
（2） = ．
（3） = ．
（4） = ．
【答案】（1）﹣2xy﹣2z﹣1
（2）2x﹣1+3y﹣2
（3）2b（a﹣b）﹣1
（4）（2x﹣y）x﹣5y﹣1
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：（1）原式=﹣2xy﹣2z﹣1；（2）原式=2x﹣1+3y﹣2；
3）原式=2b（a﹣b）﹣1；（4）原式=（2x﹣y）x﹣5y﹣1；
故答案为：﹣2xy﹣2z﹣1、2x﹣1+3y﹣2、2b（a﹣b）﹣1、（2x﹣y）x﹣5y﹣1．
【分析】将分式化为负整数指数幂的形式即可．
19．如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠B=60
∴∠1=∠B=60°
∵∠1=∠C，
∴∠C=∠B=60°
（2）解：DE∥AB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADC =180°
∴∠ADC=180°-∠C=120°
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE= ∠BDC=60°
∵∠1=∠B=60°
∴∠1=∠ADE．
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】(1)由AD//BC ，可知∠1=∠B=，又因为∠1=∠C，所以可知∠C=；
（2）同样由AD//BC ，同旁内角互补，可知∠ADC=，又因为DE平分∠ADC，结合三角形内角和定理可知，∠EDC=∠DEC=，所以∠B=∠DEC，AB//DE .
20．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）若的整数部分为m，小数部分为n，则 ， ；
（2）已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．
【答案】（1）4；
（2）①，即，
的整数部分为1，小数部分为，
∴，
∵x是整数，且，
∴，
∴；
②由题意得，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】（1）根据材料可以将表示为，然后开方，求解即可；
（2）已知，在①中，，可得出整数部分为1，小数部分为，根据已知，可列出，即可求出x-2y的值；
②由题意可得AE=AB=y，得DE=x-y，已知CD=2DE，即可推出y=2(x-y)=2x-2y，即3y=2x，然后利用得到，已知，然后求解即可.
21．四平市为了更好地适应城市绿化的需求，决定购买东风多利卡雾炮抑尘洒水车，这种洒水车有型和型两种型号．已知购买一辆型洒水车比购买一辆型洒水车多2万元，购买2辆型洒水车比购买3辆型洒水车少万元．
（1）分别求购买一辆型洒水车和型洒水车的钱数．
（2）若市政决定购买多利卡雾炮抑尘洒水车共10辆，购买洒水车的总金额不超过140万元，请你为市政设计购买方案，并说明理由．
【答案】（1）解：设购买一辆型洒水车需x万元，购买一辆型洒水车需y万元，
依题意得，
解得，
答：购买一辆型洒水车需万元，购买一辆型洒水车需万元．
（2）解：设购买型洒水车m辆，则购买型洒水车辆，
依题意得：，
解得：．
又∵m为自然数，
∴m可以为0，1，2，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买型洒水车10辆；
方案2：购买型洒水车1辆，型洒水车9辆；
方案3：购买型洒水车2辆，型洒水车8辆．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一辆型洒水车需x万元，购买一辆型洒水车需y万元，根据“购买一辆型洒水车比购买一辆型洒水车多2万元，购买2辆型洒水车比购买3辆型洒水车少万元”即可列出方程组，进而即可求解；
（2）设购买型洒水车m辆，则购买型洒水车辆，根据题意即可列出不等式，进而即可得到m的值，再分别列出方案即可求解。
22．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是____．
A． B．
C． D．
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】（1）A、由，可得，∴A不符合题意；
B、由，可得x＞1，∴B不符合题意；
C、由，可得，∴C符合题意；
D、∵无解，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】（1）分别求出各选项的解集，再判断即可；
（2）先根据题意可得不等式组，求出，再利用方程组求出，将其代入求出，再结合可得，从而得解；
（3）先求出，再结合，求出，可得k的值为，0，1，2； 再结合“P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含””可得，且， 求出，最后可得.
23．问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）30；60
（2）∠EMC+∠CAF=90°，
证明：如图2，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC=∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；
（3）∠BAG-∠BMD=30°，
证明：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，
∵CH∥GF， DE//GF ，
∴CH∥DE∥GF，
∴∠EMC=∠BCH，∠FAC=∠HCA，
∵BN⊥DE，
∴∠BNE=90°，
又∵ED∥GF，
∴∠BNE=∠BAF=90°
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠CAF=∠ACH，∠EMC=∠HCM，然后根据∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB进行解答；
（3）过B作BK∥GF，则BK∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠BAG=∠KBA，∠BMD=∠KBM，然后根据∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC进行解答.
24．同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ ．
（2）如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
（3）如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【答案】（1）70°D
（2）解：利用（1）的结论可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度数为45°；
（3）解：∵，
∴∠CDF＝180°-∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°-∠CDG-∠GDE＝98°，
利用（1）的结论可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度数为129°．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】 (1)AB∥CD， 过点E做EF∥AB，则EF∥CD.EF将 ∠AEC 分为∠1和∠2上下两部分，∠A=∠1 （两直线平行，内错角相等），同理∠C=∠2，因此，∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C=42°+28°=70°(2)∠AEC=∠A+∠C=36°+54°=90°，AD⊥ BC，因此∠BEF =12∠BED=12 ×90°=45°(3)利用猪蹄模型可以求∠BAE+∠EDH，也可以通过三角形内角和180°来求，无论那种方法，都必须先求出∠BAE即∠EAG。∠BAE=∠EAG=12∠BAG=12 × 12∠CDF=12 × 12(180°-∠BCD)=14 (180°-56°)=31°由此可得∠AED=180°-31°-20°=129°
故答案为： (1)70°(2)∠BEF=45°(3)∠AED=129°
【分析】熟知猪蹄模型又叫M模型和铅笔模型及其结论，提高解题速度。
25．在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]÷2=（49-25）÷2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]÷2=（36-20）÷2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
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