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2024沪科版八年级下学期期末精选真题集训卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．6，7，8 D．6，8，10
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）
A．AE＝BC B．∠AEB＝∠CFD
C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
4．如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作于点E ， 于点F ，连结 ，则线段的最小值为
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
5．为了考察甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ）
A．＝ B．＜ C．＞ D．不确定
6．要使代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE＝AP＝1，PB＝ .下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是 ；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+ .其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
8．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（ ）
A． B． C． D．
9．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值可为（ ）
A．5 B． C．或3 D．5或
10．如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为．若知道与的周长和，则一定能求出（ ）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形的周长
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．
12． ＝ ．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
14．在一次舞蹈比赛中，甲、乙两队人数相同，身高的平均数相同，方差分别为：，，则这两队队员身高最整齐的是 ．
15．如图，在直线上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC设图中三个平行四边形的面积依S1、S2、S3，若S1+S3=10，则S2= ．
16．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．2023年广州市体育中考保持分值不变，满分为70分，由统一考试50分和体育素质综合评价20分构成．其中统一考试模式由“必考（二选一）＋选考一（五选一）＋选考二（三选一）”调整为“十选二”，给予学生充分多样的选择，并减少一项考试项目．某校从九年级选考“一分钟跳绳”330名同学中随机抽得12名同学的跳绳个数（单位：个）如下：181，210，196，173，182，198，182，195，182，212，213，197．
（1）样本数据（12名同学的一分钟跳绳个数）的中位数是 ，众数是 ．
（2）已知中考体育一分钟跳绳达到182个即为满分，试估计该校九年级选考一分钟跳绳的330名学生中有多少人能取得满分？
18．如图，菱形 的对角线 ， 交于点O，过点B作 ，且使得 ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是矩形
（2）若 ， ，求 的长.
19．在平面直角坐标系 中，一次函数 为常数，且 ）的图象经过点 .
（1）求一次函数的解析式；
（2）无论 取何值，一次函数 为常数，且 ）的图象必经过一个固定的点 .
①求点 的坐标；
②在 轴上是否存在一点 使得 是等腰三角形 若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
20．阅读下列计算过程：
（1）根据上面运算方法，直接写出 ；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）根据上面的知识化简
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）如图1，求证：△BDF是等边三角形；
（2）如图2，当DF通过点C（即点F与点C重合时），求DE的长；
（3）若移动点D当EF//AB时，求AD的长．
22．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分分 中位数分 众数分 方差（）
初中部
高中部
（1）根据图示计算出、、的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
23．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
24．如图，直线与轴和轴分别交于点，直线与交于点，与轴交于 点，过点作轴于点，点的横坐标为3.
（1）求直线的解析式；
（2）点是轴上一动点，点坐标为，且，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求线段的长（用表示）；
（3）在（2）的条件下，为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形.
25．在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．
（1）当三边分别为6、8、9时，为 三角形；当三边分别为6、8、11时，为 三角形．
（2）猜想，当 时，为锐角三角形；当 时，为钝角三角形．
（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．
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2024沪科版八年级下学期期末精选真题集训卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C． 的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可得出答案。
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．6，7，8 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；
C、 ，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；
D、 ，能构成直角三角形，选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）
A．AE＝BC B．∠AEB＝∠CFD
C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴∠ABD=∠BDC，
∵
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加AE=CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故答案为：A符合题意；
B.若添加∠AEB=∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故答案为：B不符合题意；
C.若添加∠EAB=∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故答案为：C不符合题意；
D.若添加BE=DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故答案为：D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，然后根据邻补角的性质可得∠ABE=∠CDF，接下来根据全等三角形的判定定理进行解答.
4．如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作于点E ， 于点F ，连结 ，则线段的最小值为
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴PC的最小值为：
∴线段EF长的最小值为2.4.
故答案为：B.
【分析】连接PC，则四边形ECFP是矩形，EF=PC，根据垂线段最短的性质可得：当CP⊥AB时，PC最小，EF也就最小，由勾股定理求出AB的值，然后利用等面积法进行计算.
5．为了考察甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ）
A．＝ B．＜ C．＞ D．不确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲的麦苗高的数据波动小，所以甲的方差小，
，
故答案为：B.
【分析】方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断.
6．要使代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
解得：，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
7．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE＝AP＝1，PB＝ .下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是 ；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+ .其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中， ，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE＝ ，
在△BEP中，PB＝ ，PE＝ ，由勾股定理得：BE＝ ，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝ ，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPD＝ PD×BE＝ ，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+ ，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4+ 所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故答案为：C.
【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；②由①可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB＝135°所以∠EFB＝45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF＝ ，故②是错误的；③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD＝ PD×BE＝ ，所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+ ，由此即可判定.
8．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图是圆柱侧面展开图的一半ECGH，作点A关于EH的对称点A'，连接A'B，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为A'B的长，
由题意得A'D=8cm，DH=A'E=AE=4.5cm，BD=BH+DH=15-4.5+4.5=15cm，
∴A'B===17cm，
故答案为：A.
【分析】将圆柱侧面展成平面图形，确定点A、B的位置，作点A关于EH的对称点A'，连接A'B，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为A'B的长，利用勾股定理求出A'B的长即可.
9．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值可为（ ）
A．5 B． C．或3 D．5或
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程，如果有2个相等的实数根，则=0，即 ，化简得，解得m1=+4-1=3 m2=-4-1=-5 故选D。
【分析】依据根的判别式，求出关于m的一元二次方程，再次求解。
10．如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为．若知道与的周长和，则一定能求出（ ）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形的周长
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过P作PG⊥AH于点G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH=PG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠BAH+∠HAD=∠HAD+∠ADO=90°，
∴∠BAH=∠ADO.
同理可得∠BAH=∠APG，
∴∠APG=∠EAP.
∵AP=PA，∠AEP=∠AGP=90°，∠APG=∠EAP，
∴△APE≌△PAG（AAS），
∴AE=PG，
∴AE=HF.
∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴AO·PE+OD·PF=OD·AH，
∴PE+PF=AH，
∴△APE和△DPF的周长和=PA+PE+AE+PD+PF+DF=AD+AH+PG+DF=AD+AH+HF+DF=AD+AH+HD，
∴知道△APE和△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长.
故答案为：B.
【分析】过P作PG⊥AH于点G，连接PO，则四边形PFHG为矩形，FH=PG，由矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，根据同角的余角相等可得∠BAH=∠ADO，同理可得∠BAH=∠APG，则∠APG=∠EAP，利用AAS证明△APE≌△PAG，得到AE=PG，则AE=HF，由S△APO+S△PDO=S△AOD结合三角形的面积公式可得PE+PF=AH，进而可将
△APE和△DPF的周长和转化为AD+AH+HD，据此解答.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．
【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由图可知
∵∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6是六边形六个内角所对应的六个外角
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，
故填： 360°．
【分析】求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，即可作答。
12． ＝ ．
【答案】7．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 ．
【分析】针对零指数幂，二次根式化简和运算等考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知，，
解得，
故答案为：2．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
14．在一次舞蹈比赛中，甲、乙两队人数相同，身高的平均数相同，方差分别为：，，则这两队队员身高最整齐的是 ．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵2.5＞1.5，
∴身高整齐的是乙班，
故答案为：乙．
【分析】根据 ，， 求解即可。
15．如图，在直线上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC设图中三个平行四边形的面积依S1、S2、S3，若S1+S3=10，则S2= ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，
∴AB∥HF∥DC∥GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，
∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴MF=AC=BC，PF=AB=BC，
又∵BC=CE=CG=GE，
∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，
∴S1=S2，S3=2S2，
∵S1+ S3=10，
∴S2+2S2=10，
∴S2=4；
故答案为：4；
【分析】设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，根据三角形中位线的性质可得MF=AC=BC，PF=AB=BC，再结合BC=CE=CG=GE，可得CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，因此S1=S2，S3=2S2，最后利用S1+ S3=10和等量代换可得S2=4。
16．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．2023年广州市体育中考保持分值不变，满分为70分，由统一考试50分和体育素质综合评价20分构成．其中统一考试模式由“必考（二选一）＋选考一（五选一）＋选考二（三选一）”调整为“十选二”，给予学生充分多样的选择，并减少一项考试项目．某校从九年级选考“一分钟跳绳”330名同学中随机抽得12名同学的跳绳个数（单位：个）如下：181，210，196，173，182，198，182，195，182，212，213，197．
（1）样本数据（12名同学的一分钟跳绳个数）的中位数是 ，众数是 ．
（2）已知中考体育一分钟跳绳达到182个即为满分，试估计该校九年级选考一分钟跳绳的330名学生中有多少人能取得满分？
【答案】（1）195.5；182
（2）解：根据题意可得：
该校九年级选考一分钟跳绳的330名学生中能取得满分的人数为：
（名），
答：该校九年级选考一分钟跳绳的330名学生中能取得满分的人数为275名．
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）将样本数据从小到大排序后为：173，181，182，182，182，195，196，197，198，210，212，213，最中间的两个数为195和196，其和的平均数为195.5，即为中位数为195.5.
出现次数最多的为182，故众数为182.
（2）根据题意，（名）
答：该校九年级选考一分钟跳绳的330名学生中能取得满分的人数为275名.
【分析】（1）中位数的计算方法：将一列数从小到大（或从大到小）排列，最中间的数值（或中间两数值的平均数）为该数列的中位数；而众数是一列数中出现次数最多的数；
（2）根据样本估算总体，先计算出样本12人中的满分比例为10÷12，再乘以总数330即可.
18．如图，菱形 的对角线 ， 交于点O，过点B作 ，且使得 ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是矩形
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：
菱形
，
又 ，即
四边形 为平行四边形
又
四边形 是矩形
（2）解： 菱形
平分 ， ，
，
，
，
，
在 中，
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得，∠BOC=90°，结合已知得出BE=OC，可证四边形 为平行四边形，由∠BOC=90°即证四边形 是矩形；
（2）由菱形的性质可得=1，，，利用直角三角形的性质可得 ， ，根据矩形的性质可得 ， ，利用勾股定理求出DE即可.
19．在平面直角坐标系 中，一次函数 为常数，且 ）的图象经过点 .
（1）求一次函数的解析式；
（2）无论 取何值，一次函数 为常数，且 ）的图象必经过一个固定的点 .
①求点 的坐标；
②在 轴上是否存在一点 使得 是等腰三角形 若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将 代入 ，
，
，
一次函数的解析式为
（2）解：① ，
，
根据题意得 ，
，
则当 时， ，
所以 ；
②设点 ，
点 ，点 ，点 ，
， ， ，
当 时，
，
， ，
点 坐标为 ， 或 ， ；
若 时，
，
， （不合题意舍去），
点 坐标为 ；
若 时，
，
，
点 坐标为 ；
综上所述：点 的坐标为 ， 或 ， 或 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入y=mx-m+4中可得m的值，据此可得一次函数解析式；
（2）①将一次函数解析式变形可得y=(x-1)m+4，由题意可得x-1=0，求出x的值，进而得到y的值，据此可得点B的坐标；
②设P（x，0），由勾股定理可得AB、BP、AP，然后分AB=AP，AB=BP，AP=BP进行求解即可.
20．阅读下列计算过程：
（1）根据上面运算方法，直接写出 ；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）根据上面的知识化简
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）观察实例可以得到
【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用平方根公式计算求解即可；
（3）利用平方差公式计算求解即可。
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）如图1，求证：△BDF是等边三角形；
（2）如图2，当DF通过点C（即点F与点C重合时），求DE的长；
（3）若移动点D当EF//AB时，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵ED⊥AB，∠EDF＝30°，
∴∠FDB＝60°，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△BDF是等边三角形
（2）解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
由（1）可知，△BCD为等边三角形，
∴BD＝BC＝1，
∴AD＝AB BD＝1，
∵DE⊥AB，∠A＝30°，
∴设DE=x，则AE=2x，
∴ ，解得：x= ，
∴DE=
（3）解：∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，
∴CF＝ EF，EF＝ DF，
∵△BDF为等边三角形，
∴DF＝BF＝BD，
∴BF＝4CF，
∴BF＝ ，
∴AD＝AB BD＝2 ＝
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和，求出∠FDB＝60°，根据直角三角形的性质得到∠B＝60°，，根据等边三角形的判定定理证明结论；
（2）根据含30度的直角三角形的性质，求出AB，根据等边三角形的性质求出BD，计算即可；
（3）根据平行线的性质得到∠CEF＝∠A＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，根据含30度的直角三角形的性质、等边三角形的性质计算得到答案。
22．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分分 中位数分 众数分 方差（）
初中部
高中部
（1）根据图示计算出、、的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）解：初中名选手的平均分分，
由条形图中的数据可知初中部分数出现次数最多的是分，故众数，
高中名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
（2）解：由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3）解：，
∵，
∴初中代表队选手成绩比较稳定．
【知识点】统计表；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）从条形统计图中可以读出初中5名选手的得分，再计算他们的平均分就是a的值；再从数据中根据众数的定义找出众数，就是b的值；再结合条形统计图中读出高中5名选手的成绩，找出中位数就是c的值；
（2）结合（1）的结论，从统计表中可以知道初中部和高中部的平均数和中位数，通过比较，进行分析，哪个对应的值高，成绩就比较好；
（3）根据条形统计图中的数据，根据方差的计算公式，求出初中部的方差，然后与高中部的方差进行比较，哪个对应值小，哪个成绩稳定。
23．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）证明：矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，
，
当时，，
点，
，
对于，令，则，
点，
，
（2）解：点是线段上的一个动点，则设点，
三角形的面积，解得，
故点的坐标为
（3）解：点的坐标为或或或．
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；菱形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）设点，点，由、的坐标知，，
当是边时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样，点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则且，
当且时，，解得或，
故点的坐标为或；
当且时，，
同理可得点的坐标为；
当是对角线时，
由中点公式得：且，
此时，，即，
联立并解得，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或. 或或
【分析】（1）由B的坐标可得AB=21，由 可求出 ， ， 从而求出BE=AB-AE=15，OD=15，继而得解；
（2） 设点 ，根据 三角形的面积 ，据此求出m值，即得结论；
（3）设点，点，由、的坐标，可求， 分两种情况：当是边时， 当是对角线时，利用平行四边形的性质中点坐标公式分别求解即可.
24．如图，直线与轴和轴分别交于点，直线与交于点，与轴交于 点，过点作轴于点，点的横坐标为3.
（1）求直线的解析式；
（2）点是轴上一动点，点坐标为，且，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求线段的长（用表示）；
（3）在（2）的条件下，为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】（1）解：当时，，
∴，
设直线的解析式是 ，
将，坐标代入得，
解得：，
∴直线的解析式是
（2）解：由题知，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
当时，
（3）解：∵轴，轴，
∴，，
若四边形是平行四边形，
则，
即：
∴解得：
∴当，以为顶点的四边形是平行四边形.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式即可；
（2） 由点坐标为及PM⊥x轴，可得，则，，根据即可求解；
（3）由轴，轴，可得，只有当时， 以为顶点的四边形是平行四边形 ，据此建立方程并解之即可.
25．在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．
（1）当三边分别为6、8、9时，为 三角形；当三边分别为6、8、11时，为 三角形．
（2）猜想，当 时，为锐角三角形；当 时，为钝角三角形．
（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；钝角
（2）；
（3）解：为最长边，，
，
，
，即，，
当时，这个三角形是锐角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是直角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是钝角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）直角三角形的两直角边分别为6、8时，斜边长为=10，
∴ 当三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角、钝角；
（2）猜想： 当＞时，为锐角三角形 ；
当＜时，为钝角三角形 ；
故答案为：＞，＜；
【分析】（1）由勾股定理求出两直角边长为6、8时的斜边的长，再和9比较，即可做出判断即可；
（2）根据（1）结论进行猜想即可；
（3）根据三角形三边关系，求出第三边c的范围，由勾股定理求出两直角边分别为a、b时， ，分三种情况：，，，据此分别求出c的范围即可.
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