姓名
准考证号
2023一2024中考学科素养自主测评卷
数学
注意事项：
1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选顿中，只
有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.计算-3+4的结果是
A.-7
B.-1
C.7
D.1
2.已知等腰三角形两边的长分别是3和5，求此等腰三角形的周长，小明的解搭过程如
下：“当3是腰长时，底边长为5，则三角形周长为：3+3+5=11；当5是腰长时，底边
长为3，则三角形周长为：3+5+5=13.”小明的解答方法体现的数学思想是
A.方程思想
B.分类讨论思想
C.公理化思想
D,转化思想
3.下列运算正确的是
A.a2.a3=a8
B.4a2-a2=3a
C.(a-b)2=a2-b
D.（-3a2)3=-27a
4.今年“五一”假期，北京市累计接待游客1696.6万人次，旅游收人达196.2亿元，同比分
别增长9.4%和10.2%，创历史新高，将数据“196.2亿”用科学记数法表示正确的是
A.1.962×1010
B.19.62×109
C.196.2×108
D.1.962×108
5.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一.小明从下列4幅作品中随机选择两幅参加展
出，则选到的两幅作品恰好是1号和4号的概率是
2
3号
4号
1
A.
B
2
3
6
0.9
6.如图，将含有45°角的三角板放在矩形纸片ABCD上，三角板直角顶点在矩形边CD
上，若∠1=20°，则∠2的度数是
A.65
B.70
C.75
(第6题图)
D.809
7.如图，在平面直角坐标系中，△0AB与△0CD的位似比是2：1，若点A(-3,2),
B(-2,-2),则点B的对应点D的坐标为
A.(-1,-1)
B.(-4,-4)
C.(-1,-1)或(1,1)
D.(-4,-4)或(-1，-1)
(第7题图)
8.如图，AD是⊙0的切线，点C是⊙0上的一点，连接CD,AC,AC交⊙0于点B,若
∠C=25°，则∠A的度数是
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
(第8题图)
9.数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知
识一抛物线.如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA,OB的交点O为坐标原点
建立平面直角坐标系.点C为抛物线的顶点，点A,B在抛物线上，OA,OB关于y轴对
称.抛物线的表达式为y=-0lx2+1,若点A到x轴的距离是0.6dm,则A,B两点之间
的距离是
A.4 dm
B.6dm
C.8 dm
图1
图2
D.10 dm
(第9题图)
10.荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画.将其视为如图2的
扇形环面（由扇形OAB挖去扇形OCD),∠AOB=108°，OC的长度是10cm,OA的长度
是30cm,则该环形荷花装饰挂画的面积是
A.160m cm2
B.240 cm2
C.360m cm2
D.480m cm2
图1
(第10题图)
图22023—2024 中考学科素养自主测评卷
数 学
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C B C D A B
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. -7 12. D 13. 2n - 2 14. 10 15. 397
三、解答题（共75分）
16.（ 本题共2个小题，每小题5分，共10分）
解：（1） 原式= 1 + 4 - 1 × 8 ……………………………………………………………………… 4分
= 1. 2…………………………………………………………………………………… 5分
（ 2） 去分母，得 1 - 2 ( x - 2) = 1 - x ………………………………………………………… 6分
去括号，得 1 - 2x + 4 = 1 - x ………………………………………………………… 7分
移项，合并同类项，得 -x = -4
系数化为1，得 x = 4. …………………………………………………………………… 8分
检验：当 x = 4时，x - 2 ≠ 0. …………………………………………………………… 9分
∴原分式方程的解是 x = 4. …………………………………………………………… 10分
17.（ 本题7分）
解：（1） ∵一次函数 y1 = -x + 5的图象过点A (1，m)，
∴m = -1 + 5 = 4.
∴A (1，4). ……………………………………………………………………………… 1分
∵ k反比例函数 y2 = x的图象过点A (1，4)，
∴4 = k .
解，得 1k = 4 .
∴ 4反比例函数的表达式为 y2 = x . …………………………………………………… 2分 （ 2） 如答图，过点A作AM ⊥ x轴于点M，过点B作BN ⊥ x轴于点N. … 3分 y
∵一次函数 y1 = -x + 5的图象与 x轴交于点C，
∴ D A当 y1 = 0时，x = 5.
∴C (5，0). B……………………………………………………… 4分4 O M NC x∵点B (n，1)在反比例函数 y2 = x的图象上，
∴1 = 4， 解，得 n = 4. （第17题答图）
∴ nB (4，1).
∴OC = 5，1AM = 4，BN 1= 1. …………………………………………………………… 5分∵S△OAC = 2 OC·AM = 2 × 5 × 4 = 10 S =
1 OC·BN = 1 5，△OBC 2 2 × 5 × 1 = 2，
∴ S△OAB = S△OAC - S△OBC = 10 - 5 = 152 2 . ……………………………………………… 6分 （3） x < 0或1 < x < 4 ………………………………………………………………………… 7分
18.（ 本题9分）
解：（1） 108° ……………………………………………………………………………………… 2分
（2） 如图所示：
预防近视知识测试成绩条形统计图
90 人80数/人
780060 50 60
34
500
20100 100 A B C D 组别
（第18题答图）
…………………………………………………… 5分
3 -x = 85 + 92 + 93 + 82 + 99 + 98（） 6 = 91.5. ………………………………………………… 6分
答：本次抽取的6名学生的平均成绩是91.5分 . ………………………………………… 7分
4 2000 × 80 + 50（） 200 = 1300. …………………………………………………………………… 8分
答：此次参加测试的学生中达到优秀的约有1300人 . ………………………………… 9分
19.（ 本题8分）
解：过点 E作 EF ⊥ AC于点 F，由题意得：△AEF、△BEF A都是直角三角形，四边形
FCDE是矩形 . ……………………………………………………………… 1分
∴EF = CD，FC = ED.
∵BC = 19，DE = 1.7，
∴BF = BC - FC = BC - DE = 19 - 1.7 = 17.3. …………………………… 2分 B
在Rt△BEF中，∠BEF = 29°，BF = 17.3， F EC D
∵tan ∠BEF = BF （第19题答图）EF，
∴EF = BF 17.3tan 29° = 0.55 ≈ 31.45. ……………………………………………………………… 4分
在Rt△AEF中，∠AEF = 68°，
∵tan ∠AEF = AFEF，
∴AF = EF· tan ∠68° = 31.45 × 2.48 ≈ 78.0. ………………………………………………… 6分
∴AB = AF - BF = 78.0 - 17.3 = 60.7 ≈ 61. ………………………………………………… 7分
答“：关帝圣像”雕塑AB的高度约为61米． …………………………………………………… 8分
20.（ 本题8分）
解：（1） ∵抛物线 y = ax2 + bx + 3过点A (-3，0)和点B (1，0)，
∴{9a - 3b + 3 = 0，+ + 3 = 0. ……………………………………………………………………… 1分a b
{a = -1，解，得 b = -2.
∴抛物线的函数表达式为 y = -x2 - 2x + 3. ………………………………………… 2分
∵抛物线的函数表达式为 y = -x2 - 2x + 3 = -( x + 1) 2 + 4，
∴D (-1，4). ………………………………………………………………………… 3分
（ 2） 如答图，过点P作PM ⊥ x轴于点M.
∴∠PMB = 90°. D y
∵ C抛物线的表达式为 y = -x2 - 2x + 3. P
∴C (0，3). ……………………………………………………… 4分 A B
∵ (1 0) M O xB ， ，
∴OC = 3，OB = 1.
（第20题答图）
∴在Rt△CBO中，tan ∠OCB = OBOC =
1
3. ………………………… 5分
∵点P在抛物线 y = -x2 - 2x + 3第二象限上运动，点P的横坐标为m，
∴P (m， - m2 - 2m + 3). ……………………………………………………………… 6分
∴PM = -m2 - 2m + 3，BM = 1 - m.
∵∠ABP = ∠OCB，
∴tan ∠ABP = tan ∠OCB.
Rt△PBM tan ∠ABP = PM = -m2 - 2m + 3 = 1在 中， BM 1 - m 3. ……………………………… 7分
∴3(-m2 - 2m + 3) = 1 - m.
解，得 m = - 81 3，m2 = 1（不合题意，舍去）.
∴点P 8的横坐标为- 3. ……………………………………………………………… 8分
21.（ 本题9分）
解：（1） 等腰三角形“三线合一” ………………………………………………………………… 2分
（2） ∵OM = ON，
∴∠OMN = ∠ONM. ……………………………………………………………………… 3分
∵∠AOB = ∠ONM + ∠OMN，
∴∠AOB = 2∠ONM. ……………………………………………………………………… 4分
又∵∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，
∴∠AOB = 2∠BOC. ……………………………………………………………………… 5分
∴∠ONM = ∠BOC. ……………………………………………………………………… 6分
∴a ∥ b. ………………………………………………………………………………… 7分
（ 3） 55° ………………………………………………………………………………………… 9分
22.（ 本题11分）
解：（1） 一次 ………………………………………………………… 2分
y = -2x + 100 ………………………………………………… 4分
（2） 根据题意，得 w = ( x - 20) (-2x + 100)
= -2x2 + 140x - 2000. ……………………………………………… 7分
∵a = -2 < 0，
∴w有最大值 . …………………………………………………………………………… 8分
∴ x = - 140当 2 × (-2) = 35时，w最大 = (35 - 20) (-2 × 35 + 100) = 450． ………………… 10分
答：老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元． …………………………… 11分
23.（ 本题13分）
解：（1） CE = CF. ………………………………………………………………………………… 1分
∵AF是∠CAB的角平分线，
∴∠CAF = ∠EAD. ……………………………………………………………………… 2分
∵CD ⊥ AB于点D，
∴∠CDA = 90°.
∴∠EAD + ∠DEA = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠CAF + ∠CFA = 90°.
∴∠DEA = ∠CFA. ……………………………………………………………………… 3分
∵∠CEF = ∠DEA，
∴∠CEF = ∠CFA.
∴CE = CF. …………………………………………………………………………… 4分
（ 2） ①菱形 . …………………………………………………………………………………… 5分
②∵△CEF沿线段CB平移得到△FE'F'，
∴CE ∥ FE'，CE = FE'，
∴四边形CEE'F是平行四边形 . ……………………………………………………… 6分
由（1）知CE = CF.
∴ CEE'F是菱形 . ……………………………………………………………………… 7分
∴CF = FE'.
∵CE ∥ FE'，即CD ∥ FE'，
∴∠ADC = ∠AE'F = ∠ACF = 90°.
在Rt△ACF和Rt△AE'F中，
{AF = AF，= . CF E'F
∴Rt△ACF ≌ Rt△AE'F (HL). ………………………………………………………… 8分
∴AC = AE' = 4.
∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，
∴AB = 5.
∴BE' = 1.
设CF = x，则FE' = x，BF = 3 - x，
在Rt△BE'F中，∠BE'F = 90°，
∴BF2 = BE'2 + E'F2.
即：(3 - x) 2 = 12 + x2. ………………………………………………………………… 9分
解，得 x = 43. ………………………………………………………………………… 10分
∴ 4平移的距离CF为 3. …………………………………………………………… 11分
3 FM = 8 5 16 5（） 15 或 15 . …………………………………………………………………… 13分
评分说明：解题过程与上述方法不相同时，请参照上述评分标准给分。
