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【2024春北师大版七下数学期末专题复习】期末检测卷
考试范围：第1-6章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．2022年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，下列与杭州亚运会有关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米（米）．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．按照科学记数法的表示形式表示即可．
【详解】解：．
故选：C
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】选项A根据同底数幂的除法法则判断，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项B根据幂的乘方运算法则判断，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据合并同类项法则判断，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项D根据同底数幂的乘法法则判断，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【详解】解：A.，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．“翻开人教版数学九年级上册，恰好翻到第80页”，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件
【答案】B
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据概念可得答案．
【详解】解：“翻开人教版数学九年级上册，恰好翻到第页”，这个事件是随机事件，
故选：B．
5．盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（ ）的小棒才能围成一个三角形．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形第三边为，由三边关系求出第三边范围即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键．
【详解】解：取出和的小棒后，作为三角形的其中两边，
设三角形第三边为，则，即，
四个选项中，5、6、7均符合构成三角形要求，其中最小的是边长为，
故选：B．
6．如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
【详解】解：A、由不能判断，故A不符合题意；
B、由可以根据内错角相等，两直线平行判断，故B符合题意；
C、由不能判断，故C不符合题意；
D、由可以根据同旁内角互补，两直线平行判断，不能判断，故D不符合题意；
故选：B．
7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接，由垂直平分线得，可求得，于是，根据，求得．
【详解】解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30 角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直平分线导出角之间关系是解题的关键．
8．实验测得气温与音速的一些数据如下表，则下列结论错误的是（ ）
气温x（） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量
B．y随x的增大而增大
C．当气温为时，音速约为346米/秒
D．气温每升高，音速增加3米/秒
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的表示方法，掌握函数的定义，得出温度每升高，音速增加 3米/秒，是解题关键．根据表格中的数据以及函数的定义，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、∵对于气温的每一个值，都存在一个唯一确定的音速，符合函数定义，
∴气温是自变量，音速是因变量，正确，
∴A不符合题意；
B、由表格数据可知：y随x的增大而增大，
∴B不符合题意；
C、由表格数据可知：当气温为时，音速为米/秒，错误，
∴C符合题意；
D、由表格数据可知：温度每升高，音速增加 3米/秒，正确，
∴D不符合题意．
故选：C．
9．如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
【详解】如图所示：
从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
10．已知动点P以2的速度沿图①所示的边框从BCDEFA的路径运动，记三角形的面积为S，S（）与运动时间t（）的关系如图②所示．若，根据图中提供的信息，给出下列结论：①；②；③S的最大值为42；④当时，．
其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】利用图2中的数据，结合路程=速度×时间，求出各段路线的长，再分别计算m，n的值，再求出运动到点时的S值，即为最大值，最后根据图像判断当时，t的值有两个，即可得到结果．
【详解】解：由图2可知从B→C运动时间为4，
∴，
同理：，，
∴，，
∴，
，
当运动到点时，S最大，且为，
∵S的最大值为42，，
∴当时，t的值有两个，
故①②③正确，④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若∠AOD=125°，则∠BOC= ．
【答案】55
【分析】根据题意得到∠AOB=∠COD=90°，再计算∠BOD=∠AOD-90°=35°，然后根据∠BOC=∠COD-∠BOD进行计算即可．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
而∠AOD=125°，
∴∠BOD=∠AOD-90°=35°，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-35°=55°．
故答案为：55．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
12．如图，已知，则 ．
【答案】26°/26度
【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求．
【详解】解： ，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
13．若，，则 ．
【答案】1
【分析】利用同底数幂的乘除法则求出，可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，解题的关键是逆用运算法则求出．
14．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下
每批粒数 100 500 1 000 1 500 2 000 3 000
发芽的频数 94 466 928 1 396 1 858 2 790
发芽的频率（精确到0.001） 0.940 0.932 0.928 0.931 0.929 0.930
根据上表估计，这种绿豆发芽的概率是 ．（精确到0.01）
【答案】0.93
【分析】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
15．某超市进了一批草莓，出售时销售量x与销售总价y的关系如下表：
销售量x（kg） 1 2 3 4 5 …
销售总价y（元） 12＋0.5 24＋1 36＋1.5 48＋2.0 60＋2.5 …
请根据上表中的数据写出销售总价y（元）与销售量x（kg）之间的关系式：
【答案】y＝12.5x
【分析】销售总价y是一个整数加一个小数的形式，通过观察发现分别是：12×1+0.5×1，12×2+0.5×2，12×3+0.5×3，……，从而得到销售总价y与销售量x之间的关系.
【详解】观察表格即可得到：y＝12.5x，
故答案为：y＝12.5x.
【点睛】本题考查观察表格规律求关系式问题，找出表格中的规律是解答此题的关键.
16．如图，已知，点分别在上且，连接交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④如果，则是的中点；其中正确的结论为 ．
【答案】①②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理推出，根据垂直的定义得出，求出，根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积公式求出，再求出即可．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
评卷人得分
三、解答题
17．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简零次幂，二次根式，负整数指数幂，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
18．先化简，再求值：，其中，．
【答案】；2
【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．先根据整式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【详解】解：原式
当，时．
原式 ．
19．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．
20．乐乐家附近的商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费50元（含50元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准9折、8折、7折区域，则顾客就可以获得相应区域的优惠.
（1）某顾客在该商场消费40元，是否可以获得转动转盘的机会？
（2）某顾客在该商场正好消费66元，则他转动一次转盘，获得三种打折优惠的概率分别是多少？
【答案】（1）不能；（2），，
【分析】（1）根据规定：顾客消费50元（含50元）以上，就能获得一次转盘的机会，由于40＜50，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以分别求得他转一次转盘，获得三种打折优惠的概率．
【详解】解：（1）根据规定消费50元（含50元）以上才能获得一次转动转盘的机会，
而40元小于50元，
故不能获得转动转盘的机会.
（2）某顾客正好消费66元，超过50元，可以获得转动转盘的机会.
若获得9折优惠，则概率；
若获得8折优惠，则概率；
若获得7折优惠，则概率；
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的概率．
21．一个蓄水池中装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，先打开进水管10分钟后再两管同时开放12分钟，然后关闭进水管，直至把池中的水放完．池中的蓄水量（升）随时间（分钟）变化而变化的图象如图所示．
(1)求进水管每分钟的进水量；
(2)求出水管每分钟的出水量；
(3)求打开进水管后几分钟蓄水池中的蓄水量为500升．
【答案】(1)进水管每分钟的进水量为50升
(2)出水管每分钟的出水量升
(3)打开进水管后或20分钟蓄水池中的蓄水量为500升．
【分析】本题考查了从图象获取信息，以及一元一次方程的实际应用
（1）前10分钟，只进水不出水，故用增加的水量除以时间，得出进水管每分钟的进水量，即可作答．
（2）设水管每分钟的出水量为，则根据开放12分钟，水量减少升进行列式，即可作答．
（3）分类讨论，第一种是前10分钟，第二种是同时开放12分钟，设打开进水管后分钟，根据蓄水量为500升，进行列式，即可作答．
【详解】（1）解：∵前10分钟，只进水不出水，且此时增加的水量为（升），
∴（升/分钟）；
∴进水管每分钟的进水量为50升；
（2）解：水管每分钟的出水量为，
∵开放12分钟，水量减少（升），
∴
解得
∴出水管每分钟的出水量升；
（3）解：如图：
∴设打开进水管后分钟蓄水池中的蓄水量为500升，
第一种情况是，此时
解得
第二种情况是，此时
解得
综上，打开进水管后或20分钟蓄水池中的蓄水量为500升．
22．在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．
(1)在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______；
(2)在图中以线段为一腰的等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个；
(3)在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？
【答案】(1)10
(2)6
(3)
【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握正方形和等腰三角形的判定与性质及轴对称最短路线问题．
（1）根据正方形的判定与性质作图即可；
（2）分点为顶点和点为顶点两种情况分别确定点即可；
（3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求．
【详解】（1）
解：如图所示，正方形即为所求，
，
正方形面积为10，
故答案为：10；
（2）
解：如图，满足条件的点有6个，
故答案为：6；
（3）
解：作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求．
此时的周长最小，
∴，
∴的周长最小，且为．
23．如图，在中，．
(1)作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下：
①若．求的度数；
②若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②5
【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）①根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再次利用三角形内角和定理求解即可；②根据角平分线的性质，得到的高，从而计算面积．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②∵平分，，
∴点D到的距离为，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法和性质，三角形内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，得到三角形的高．
24．我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即，但是，在复数体系中，我们规定：，这个数叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．请阅读以下材料，解决问题．
它有如下特点：
它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如：；又如：；
再如：．
根据材料回答：
(1)填空：______，______．
(2)的运算符合实数运算中的完全平方公式，则______；
(3)已知，那么______．
(4)试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】
本题考查了定义新运算，读懂定义及其运算法则是解题的关键．
（1）根据及运算法则计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现，化简为计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得，，再把转化为含有，的式子，代入化简即可；
（4）利用完全平方和公式，平方差公式，化简即可求出．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：；
（3）解：
，
，，
即，，
；
（4）解：．
25．如图，都为等腰直角三角形，三点在同一直线上，连接．
（1）若，求的周长；
（2）如图，点为的中点，连接并延长至，使得，连接．
①求证：；
②探索与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析；②，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出CD，判定∠ACD为直角，得出AD，即可得出其周长；
（2）①首先判定，得出，即可判定；
②连接AF，由全等三角形的性质得出，得出，再由SAS得出△ACD≌△ABF，得出AF=AD，由等腰三角形三线合一性质即可得出结论.
【详解】（1）∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，，
∴的周长；
（2）①证明：
∵为的中点，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
连接，
由①得：，
∴，
∴，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质以及平行的判定，熟练掌握，即可解题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【2024春北师大版七下数学期末专题复习】期末检测卷
（全卷共26题，满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．2024年是农历甲辰年(龙年)，为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等．下列龙的图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．若长度分别为，，的三条线段恰好可以围成一个三角形，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（ ）
A．B． C． D．
6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放跳水比赛
B．一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球
C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全部正面向上的概率为
D．画一个三角形，其内角和是
7．如图，在中，点为边的中点，连接，取的中点，连接，，点为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．已知，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
9．将一块含角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中，点落在直线上，点落在直线上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．对于以下式子：，，，，下列说法正确的有（ ）
（1）如果，则无论y取何常数，A，B，C，D调整顺序后可组成一列数，这列数后项减去前项的差均相等；
（2）代数式一定是非负数；
（3）如果A为第1项，B为第2项，C为第3项，第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项，第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项，……，依此类推，则第2024项为．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷（非选择题）
填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为 ．
12．如图，，直线截于点，截于点，，若，则
13．如图，在和中，，．要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．
14．一个围棋盒子里装有若干颗黑、白围棋子，其中黑色棋子15颗，从中摸出一颗棋子是黑色棋子的概率为，则盒子中的白色棋子共有 颗．
15．若是一个完全平方式，则 ．
16．如图描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中正确的是 ．(填序号)
①第3分钟时，汽车的速度是40千米/时；
②第12分钟时，汽车的速度是0千米/时；
③从第3分钟到第6分钟，汽车行驶了120千米；
④从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减小到0千米/时．
17．如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为 ．
18．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 ．（填序号）．
解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．补全下面的推理．
如图，已知，，求．
解∶∵
∴ ( ____________________)；
又∵( ____________________)；
∴ ( ____________________)；
∴____( ____________________)；
∴______ ( ____________________)；
∵
∴________．
21．【综合与实践】在边长为1的小正方形所组成的网格上，小正方形的顶点称为“格点”，的顶点都在格点上．
(1)实践与操作：用直尺作出关于轴对称的图形；
(2)应用与证明：判断线段与线段的数量关系为_______，位置关系为_______，并说明理由．
22．中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地。2023年9月18日“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，3名航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮相互合作，生动演示了微重力环境下的四个实验：.球形火焰实验；.奇妙乒乓球实验：.动量守恒实验：.又见陀螺实验，九年级数学兴趣小组对同学们喜爱这四个实验的程度在校内开展了随机调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在调查活动中，采取的调查方式是______（填写“全面调查”或是“抽样调查”）
(2)本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______；
(3)若该校九年级共有600名学生，请估计九年级学生中对“奇妙乒乓球实验”最感兴趣的学生有______名．
(4)某班被调查的学生中对“球形火焰实验”最感兴趣的有5人，其中3名男生和2名学生，现从这5名学生中随意抽取1人进行观后感谈话，每人被抽到的可能性相同，恰好抽到女生的概率是_____．
23．如图，点D在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
24．如图1是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是_________；
(2)直接写出三个代数式，，之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值；
(4)根据（2）中的等量关系，已知，求的值．
25．为表彰在“纪念·五四运动”主题活动中表现优秀的同学，南昌市某中学七年级需要购买30个书包和若干个文具盒（不少于30个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的九折收费．已知每个书包定价为40元，每个文具盒定价为5元．设需要购买x个文具盒，选择①方案购买所需费用为元，选择②方案购买所需费用为元．
(1)分别写出选择两种方案购买所需费用与文具盒个数之间的关系式；
(2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？
26．已知中，
(1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 ．
(2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
(3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
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