2023-2024学年江苏省无锡市江阴市两校联考高二（下）段考数学试卷（5月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市两校联考高二（下）段考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了家商家对某个品牌的自行车的售价百元和月销售量百辆之间的一组数据，如表所示：
价格
销售
根据计算可得与的经验回归方程是：，则的值为( )
A. B. C. D.
5.书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有种．
A. B. C. D.
6.已知曲线在每一点处的切线的斜率都小于，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若二项式的展开式中含有常数项，则该常数项的最小值是( )
A. B. C. D.
8.若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法：
对于回归分析，决定系数的绝对值越小，说明拟合效果越好
以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和
已知随机变量，若，则的值为
通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势
其中正确的选项有( )
A. B. C. D.
10.已知随机变量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则关于的零点，叙述错误的是( )
A. 当时，函数有两个零点 B. 函数必有一个零点是正数
C. 当时，函数有两个零点 D. 当时，函数只有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，恒成立”是假命题，则的取值范围是______．
13.甲、乙、丙、丁人分别到、、、四所学校实习，每所学校一人，在甲不去校的条件下，乙不去校的概率是______．
14.已知正实数，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若是的必要条件，求实数的取值范围；
是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
16.本小题分
已知展开式的二项式系数和为，且．
求的值；
求的值；
求被整除的余数．
17.本小题分
已知函数，．
若关于的不等式的解集为，求解集；
若，解不等式的解集．
若，对于，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
某运动服装品牌店将购买次数超过五次的会员称为星级会员，其他会员称为普通会员该店随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性星级会员名，女性星级会员名．
完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为星级会员与性别有关？
男性会员 女性会员 合计
星级会员
普通会员
合计
附：，其中．
该运动服装品牌店在今年店庆时将举办会员消费返利活动，活动有如下两种方案．
方案一：店内商品一律九折优惠；
方案二：会员可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有个白球、个红球个球除颜色外其他均相同的箱子里，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若三次都没有摸到红球，则无优惠；若三次摸到个红球，则获得九折优惠；若三次摸到个红球，则获得八折优惠；若三次摸到个红球，则获得七折优惠．
哪种方案对会员更有利？请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
讨论的单调性；
若对任意，有恒成立，求整数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
则，元素个数为个，
故A的子集的个数为．
故选：．
结合交集、子集的定义，即可求解．
本题主要考查交集、子集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，且，
由正态分布的对称性可知，
解得．
故选：．
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
则，
当且仅当且，即，时等号成立．
故选：．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，
则，
又销售量，解得．
故选：．
根据线性回归直线过求解，即可得出答案．
本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：书架原有的四本书形成个空，先选出一个空放入人物传记，有种不同的放法，
此时本书形成个空，从这个空中选两个放入两本不同的长篇小说，有种不同的放法，
所以一共有种不同的放法．
故选：．
利用插空法，结合分步乘法计数原求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由得，
因为曲线在每一点处的切线的斜率都小于，
所以任意，上恒成立，
即在上恒成立，
因为当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以实数的取值范围是．
故选：．
曲线在每一点处的切线的斜率都小于，即在上恒成立，即在上恒成立，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为：
，，，，，，．
由于展开式中含有常数项，
有正整数解，即有正整数解，的最小值为，此时，．
则该常数项为，
故选：．
在通项公式中，令的幂指数等于零，可得、的值，从而求得展开式的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为对任意两个不等正实数，，满足，
不妨令，则，所以，
即，所以，
令，则，
即在上单调递减，
由，当时，；当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以，即的最小值为．
故选：．
可令，根据可得出，令，得出，从而得出在上是减函数，根据导数符号可判断出在上单调递减，从而得出，这样即可得出的最小值．
本题考查了减函数的定义，根据导数符号判断函数的单调性的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，中对于回归分析，决定系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，故A错误；
对于，中，
则，的值分别是和，故B正确；
对于，中已知随机变量∽，，
故由对称性可知，的值为，故C正确；
对于，中通过回归直线及回归系数，只能大致的不能精确反映变量的取值和变化趋势，故D错误．
故选：．
根据决定系数、正态分布，回归分析等知识，对选项进行逐一分析即可．
本题主要考查了决定系数、正态分布、回归分析等知识，解题时要抓住相关概念，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，，
则，解得，
故，
，故A错误；
，
则，
故E，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，先求出，再结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，在同一坐标系中作出与的图象如图，
当时，与的图象只有个交点，函数有个零点，故A错误；
与的图象在轴右侧必有个交点，函数必有一个零点是正数，故B正确；
当时，与的图象只有个交点，函数有个零点，故C错误；
当时，与的图象有个交点，函数有个零点，故D错误．
故选：．
在同一坐标系中作出与的图象，分，，三种情况逐一分析与的图象的交点个数得答案．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
12.【答案】，
【解析】解：命题“恒成立”是假命题，即“，成立”是真命题 ．
当时，不成立，
当时，要使成立，必须或，
或
故答案为：，．
将条件转化为“，成立，检验是否满足条件，当时，必须或，从而解出实数的取值范围．
本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．
13.【答案】
【解析】解：由题意，甲不去校的概率为，
甲不去校且乙不去校的概率为，
则在甲不去校的条件下，乙不去校的概率．
故答案为：．
利用古典概型的概率公式求出甲不去校的概率和甲不去校且乙不去校的概率，然后由条件概率的概率公式求解即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
因为，为正实数，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：．
由，结合基本不等式求解即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：集合，
，
若是的必要条件，则
，
故实数的取值范围是
假设存在使成立，则或，，
故存在实数，使成立，实数的取值范围是．
【解析】本题考查了集合运算及集合之间的关系，属于基础题．
化简集合、，由是的必要条件，得，即可求得实数的取值范围．
由成立，得到实数的关系式，即可求得实数的取值范围．
16.【答案】解：展开式的二项式系数和为，
，得，
令，则，
则等价为．
则．
令，得，
令，得，
则．
，
则最后的余数，就是除以之后的余数，，
最后的余数是．
【解析】利用二项式系数和为，建立方程求出，利用换元法求出通项公式直接求解即可．
利用赋值法进行计算，
求出的展开式，然后进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用换元法和赋值法进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
17.【答案】解：因为不等式的解集为，可得且，
因为，
所以，等价于，
解得，即不等式的解集为；
当时，不等式，即为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
由题意，当时，恒成立，
即恒成立，
即时，恒成立，
由基本不等式得，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
所以实数取值范围是．
【解析】根据一元一次不等式的解法，得到且，再结合一元二次不等式的解法，即可求解；
化简不等式为，分类讨论，即可求解；
根据题意，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解．
本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论思想及基本不等式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得男性普通会员有名，女性普通会员有名，
则补全列联表如下：
男性会员 女性会员 合计
星级会员
普通会员
合计
零假设为：星级会员与性别无关，
根据列联表中数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为星级会员与性别有关；
设该店某件商品的标价为元，方案二中会员实付费用为，
则的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
，
按方案一，会员实付，
因为，
所以方案二对会员更有利．
【解析】先完成列联表中数据，可得，对照临界值表可得结论；
设该店某件商品的标价为元，方案二中会员实付费用为，则的可能取值为，，，，得出的分布列和数学期望，与方案一比较可得结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，．
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以在时取得极大值且极大值为，无极小值；
函数，定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，
当时，令得，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
因为对任意，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则．
设，
显然在上单调递减，
因为，，
所以，使得，即．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
因为，所以，
故整数的最小值为．
【解析】当时，，对求导，分析导数的正负，的单调性，进而得出极值；
先求出导函数，再分和两种情况讨论，根据的正负判定的单调性即可；
根据题意问题可以转化为在上恒成立．设，对求导，分析的正负，的单调性，只需推出即可．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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