2023-2024学年吉林省长春二中高二(下)月考数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.可表示为( )
A. B. C. D.
2.某中学举办田径运动会,某班甲、乙等名学生代表班级参加学校米接力赛,其中甲只能跑第棒或第棒,乙只能跑第棒或第棒,那么不同棒次安排方案总数为( )
A. B. C. D.
3.曲线在处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.已知,那么( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上不单调,,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知是函数的导函数,的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数其中,为自然对数底数在处取得极小值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知,,其中是自然对数的底数,则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.从名男生和名女生中选人参加活动,规定男女生至少各有人参加,则不同的选法种数为( )
A. B.
C. D.
10.在的展开式中,下列说法正确的是( )
A. 二项式系数最大的项为 B. 常数项为
C. 第项与第项的系数相等 D. 含的项的系数为
11.已知函数,则下列结论正确的是( )
A. 的单调递增区间是,
B. 的值域为
C.
D. 若,,,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.函数,则函数在处切线的斜率为______.
13.个不同的球放入个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入盒,则不同的放法种数是______.
14.若实数,分别是方程,的根,则的值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知.
若,求中含项的系数;
若,求的值;
16.本小题分
已知函数.
当时,求函数的极值;
设函数,若在上存在极值,求的取值范围.
17.本小题分
已知函数.
当时,讨论函数的单调性;
若函数有最小值,证明:.
18.本小题分
已知函数,.
求的单调区间和极小值;
证明:当时,.
19.本小题分
英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,注:表示的阶导数,即为的导数,表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.
根据该公式估算的值,精确到小数点后两位;
由该公式可得:当时,试比较与的大小,并给出证明;
设,证明:.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:.
故选:.
根据排列组合公式计算即可.
本题考查排列数公式的应用,是基础题.
2.【答案】
【解析】解:当甲排第棒时,乙可排第棒或第棒,
共有种安排方案;
当甲排第棒时,乙只能排第棒,
共有种安排方案;
故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为种.
故选:.
先考虑安排甲乙的特殊位置,再考虑其他两名学生排列即可得解.
本题考查了排列、组合及简单计数问题,重点考查了分类加法计数原理,属基础题.
3.【答案】
【解析】解:,
,
故,
故在处的切线方程是.
故选:.
分别求出,,然后利用点斜式求出切线方程.
本题考查导数的几何意义,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:当时,,
当时,,
则.
故选:.
根据已知条件,结合赋值法,即可求解.
本题主要考查二项式定理,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:,
当时,在区间上单调递减,不符合题意.
当,时,,
在区间上单调递减,不符合题意.
当,时,令,解得,
要使在区间上不单调,则,
即,解得,
此时在区间上,递减;
在区间上,递增.
故选:.
利用求导数的方法,含参讨论函数的单调性,即可求出实数的取值范围.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.
6.【答案】
【解析】【分析】
考查识图能力,利用导数求函数的单调性是重点.
函数的图象得函数的单调性,根据单调性与导数的关系得导数的符号,得不等式的解集即可.
【解答】
解:由图象单调性可得:
时:,,,
时:,,,
时:,,
时:,,,
的解集为.
故选:.
7.【答案】
【解析】解:由,得,
当时,,由,得,由,得,
在上为减函数,在上为增函数,
则在取得极小值;
当时,令,得或,
为使在取得极小值,则有,.
综上可得:.
故选:.
对函数求导,得到,若,满足在处取得极小值,若,令,得或,只需就满足在处取得极小值,求解即可.
本题考查了函数的极值,考查了利用导数求函数的单调性,属于中档题.
8.【答案】
【解析】解:由题意可得,,,
设,则,
当时,,所以在上单调递增,
则,从而,即,故,即,
设,则,
当时,,所以在上单调递减,
则,即,即,
从而,即,故,即,
设,则,
当时,,所以在上单调递增,
则,即,从而,
即,故,即.
故选:.
由题意可得,,,构造函数,,,利用导数判断函数的单调性,从而可得出结论.
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用,构造函数,,是解决本题的关键,属于中档题.
9.【答案】
【解析】解:直接法:
人中有男生女生有:种选法,人中有男生女生有:种选法,
人中有男生女生有:种选法,所以名男生和名女生中选人参加活动,
规定男女生至少各有人参加,
则不同的选法种数为,
即A正确;
间接法:
从名男生和名女生中选人参加活动共有:种选法,
其中不合题意的有:全是男生有种选法,全是女生有:种选法,
所以名男生和名女生中选人参加活动,规定男女生至少各有人参加,
则不同的选法种数为,
即D正确.
故选:.
直接法:先分成男生女生、男生女生、男生女生三类情况分别计算再相加求和即可;间接法:先求出所有可能选法,再减去不合题意的情况即可.
本题考查了排列、组合及简单计数问题,重点考查了分类加法计数原理,属中档题.
10.【答案】
【解析】解:对,的展开式中二项式系数最大的项为,A正确;
对,的展开式的通项为,令,可得常数项为,B错误;
对,根据选项的分析可知第项的系数为,
又第项的系数为,第项与第项的系数相等,C正确;
对,根据的分析可知含的项的系数为,D错误.
故选:.
根据二项式系数及项的系数的概念,二项展开式的通项即可求解.
本题考查二项式系数及项的系数的概念,二项展开式的通项的应用,属基础题.
11.【答案】
【解析】解:选项,的定义域为,
在定义域上恒成立,
所以的单调递增区间是,,故A正确;
选项,当趋向于时,趋向于,当趋向于时,趋向于,
所以的值域为,故B正确;
选项,,,
又,所以,故C错误;
选项,
,
又,所以,
所以,因为,所以,
又,所以,即,故D正确.
故选:.
选项,求出定义域,求导得到函数单调性,得到答案;选项,在选项基础上得到函数的值域;选项,计算出,结合即可判断;选项,利用同构变换得到,结合,得到,即可判断.
本题主要考查了导数与单调性关系的应用,还考查了函数性质的综合应用,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:由,得,
所以函数在处切线的斜率.
故答案为:.
对求导,根据导数的几何意义,得到在处的切线斜率.
本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义,属于基础题.
13.【答案】
【解析】解:分两类,第一类,盒子放两个球,从除甲外的个小球中再任选一个,剩下的个球分别放在三个不同的盒子里,有,
第二类,盒子一个球,先选两个小球放在另外三个盒子中的其中一个,剩下的两个球放在两个不同的盒子里,有,
根据分类计数原理得,甲球必须放入盒,则不同的放法种数是,
故答案为:.
本题是一个分类计数问题,分两类,放两个球和放个球,根据分类计数原理得.
本题主要考查了分类计数原理,关键是如何分类,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:因为,分别是方程,的根,
所以,,且,,
即,变形为,
从而,
同构得:且,,
设,,
则,
即在上单调递增,
又因为,
所以,,
从而.
故答案为:.
依题意可得,,且,,即可得到而,从而同构成且,,令,,利用导数说明函数的单调性,即可得到,从而得解.
本题考查了转化思想、导数的综合运用,属于中档题.
15.【答案】解:,
因为展开式中的第项,
所以展开式中含,,项分别为,
故中含的项为,
所以中含项的系数为.
,
令得,
令得,
两式相减:,
所以.
【解析】由题知,先求展开式中含,,的项,然后可得;
分别令,,然后两式相减可得.
本题考查的知识点:赋值法,二项式的展开式,组合数,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
16.【答案】解:当时,函数的定义域为,求导得,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
因此函数在上单调递减,在上单调递增,
所以当时函数取得极小值,无极大值.
函数,
求导得,
令,求导得,
令,即,解得,
当时,;当时,,
则函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
且,,,显然,
若在上存在极值,则或,解得,
所以实数的取值范围为.
【解析】把代入,利用导数求出函数的极值即可.
求出函数及导数,再探讨函数在上的零点情况即可得解.
本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于中档题.
17.【答案】解:当时,函数的定义域为,
则,
由,可得;由,可得,
所以函数的减区间为,增区间为.
证明:因为,函数的定义域为,
则.
当时,对任意的,恒成立,
当时,由,可得,由,可得,
当时,函数的增区间为,则函数无最小值,
当时,函数的减区间为,增区间为,
此时函数有最小值,,
,
令,则,
在上单调递增,在上单调递减,
,
故.
【解析】求出的导数,分析导数的符号变化,由此可得出函数的增区间和减区间;
当时,函数有最小值,可得出,
,令,证明,可证得结论成立.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性,不等式的证明,考查分类讨论思想与运算求解能力,属于难题.
18.【答案】解:,,
当时,,
当时,,
所以的单调递增区间为,;
单调递减区间为,,
当时,取极小值为.
证明:当时,令,
,
令,,
在上单调递增,,
,在上单调递增,
,证毕.
【解析】求出函数的导函数,分析函数的单调性,即可得到函数的极小值;
构造函数,证明函数在时恒成立.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值,不等式的证明,考查运算求解能力,属于中档题.
19.【答案】解:令,,,,,,
故,,,,,
由麦克劳林公式公式得:,
所以.
当时,.
证明:令,,
,恒成立,
所以在上单调递增,且,
所以恒成立,所以在上单调递增,
且,所以.
证明:由知,,,当且仅当时取等号,
故当时,,,
,
而,
所以,
故
,
而,
所以:.
【解析】本题考查对新定义的理解,利用导数证明不等式,放缩法证明不等式,属难题.
根据麦克劳林公式,求出,代入即可求出结果;
构造函数,,求导,分析导数的符号,得出原函数的单调性和最值,即可证明结论;
对变形得,根据的结论,放缩得到,然后求和即可证明结论.
第1页,共1页