2023-2024学年广西柳州市高一（下）联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西柳州市高一（下）联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.记复数，若，则( )
A. B. C. D.
3.若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知函数恒过定点，则函数不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.假设甲和乙刚开始的“日水平值”相同，之后甲通过学习，“日水平值”都在前一天的基础上进步了，而乙懈怠，“日水平值”都在前一天的基础上退步了，大约经过天，甲的“日水平值”是乙的倍参考数据，
A. B. C. D.
8.定义运算：，如，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列判断正确的是( )
A. 若，则，
B. 若，那么
C. 若，则
D. 角为第一或第二象限角的充要条件是
10.将函数图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于函数的说法中正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 对称中心为
C. 一条对称轴为 D. 在上单调递增
11.已知函数，的定义域均为，且，，，则下列说法正确的有( )
A. B. 为偶函数 C. 的周期为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则______．
13.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为______．
14.函数在的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
若角的终边过点，求；
若，求的值．
16.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角．
17.本小题分
如图所示，在中，为边上一点，且过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点两点不重合．
用，表示；
若，，求的值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角的大小；
若，求的值；
若的面积为，，求的周长和外接圆的面积．
19.本小题分
已知函数，若的最小正周期为．
求的解析式；
若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
所以，A错误，C错误，D正确；
又，B错误．
故选：．
结合集合中元素的特点即可判断结合，的关系．
本题主要考查了集合关系的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：过作轴的平行线，交轴于，，，所以，
可得顶点到轴的距离．
故选：．
过作轴的平行线，交轴于，求解，然后求解顶点到轴的距离．
本题考查斜二测平面图形的画法，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
则，
，
故向量在向量方向上的投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由指数函数的性质可知，恒过定点，
则函数经过一，三，四象限．
故选：．
由已知先求出，，代入中，结合指数函数的图象及性质即可求解．
本题主要考查了指数函数图象及性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，，当且仅当时，等号成立，
则，时的最小值是．
故选：．
直接利用基本不等式即可得．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设甲和乙刚开始的“日水平值”为，经过天后甲的“日水平值”是乙的倍，
则有，
即，
所以，
，，
，
解得．
所以大约经过天后甲的“日水平值”是乙的倍．
故选：．
设甲和乙刚开始的“日水平值”为，经过天后甲的“日水平值”是乙的倍，则有，，两边取以为底的对数求解即可．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了指数、对数的基本运算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据信息：定义运算：，
则：函数，
所以：根据函数的图象和性质的应用，
当时，函数的值域为：，
当时，函数的值域为：，
故函数的值域为：．
故选：．
函数的图象和性质的应用，主要考察分段函数的应用．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
9.【答案】
【解析】解：对选项A：，错误；对选项B：，解得，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：当为第一象限角，，，，
当为第二象限角，，，；
若，当，时，为第二象限角，
当，时，为第一象限角，正确．
故选：．
举反例得到A错误，根据正切的和差公式计算得到B正确，根据诱导公式得到C正确，考虑充分性和必要性得到D正确，得到答案．
本题考查诱导公式，两角和差公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将函数，图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
故，选项A正确；
令，则，，即函数的对称中心为，，选项B错误；
当时，，此时取得最值，符合题意，选项C正确；
当时，，此时单调递增，选项D正确．
故选：．
结合函数图象的变换先求出，然后结合正弦函数的周期公式检验选项A，结合对称性检验选项B，，结合单调性检验选项D即可．
本题主要考查了三角函数图象的变换，还考查了正弦函数的单调性，对称性及周期性的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：函数，的定义域均为，且，，，
对于，，故A正确；
，，
，
令，则，
，
可得，
，
，
，因此，故C错误；
令，，
令，，，则，
令，，则，故为偶函数，所以B正确；
因为，
故关于对称，且，，
令，，则，令，，，
则，，，一个周期的和为，
则，故D正确．
故选：．
由已知等式关系，结合，利用赋值法，结合函数的奇偶性及周期性检验各选项即可判断．
本题主要考查了赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
，，
．
故答案为：．
推导出，，从而，由此能求出结果．
本题考查对数式化简求值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为
．
故答案为：．
由题意可知该几何体的表面积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可．
本题考查了几何体的表面积计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，，
则，
故，
当时，取得最小值．
故答案为：．
结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查指数函数、二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】解：若角的终边过点，则根据三角函数的定义可知，，
；
若，
所以．
【解析】结合诱导公式进行化简，然后结合三角函数的定义即可求解；
结合同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：Ⅰ由，由，且，可设，
，求得，，或．
Ⅱ与垂直，，即 ，
求得 ， ，即 与的夹角．
【解析】两个向量共线的性质设出的坐标，根据，求出的坐标．
利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求出 的值，可得 的值．
本题主要两个向量共线、垂直的性质，两个向量数量积的定义，属于基础题．
17.【答案】解：在中，，可得．
所以；
因为，且，，
所以，，可得，
因为、、三点共线，且不属于该直线，所以，即．
【解析】根据得到，然后根据，利用平面向量的线性运算法则，推导出；
以、为基底，将表示为，根据三点共线算出，进而可得的值．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于中档题．
18.【答案】解：由，
由正弦定理得，，
，，
，．
因为，
所以，，
；
因为，所以，
由余弦定理得：，
即，解得，
所以的周长为，
由，
所以外接圆的面积．
【解析】由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求；
结合同角基本关系，二倍角公式及和差角公式即可求解；
结合三角形面积公式可求出，然后结合余弦定理可求，进而可求三角形周长，然后再由正弦定理可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及二倍角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：
，
因为的最小正周期为，
所以，；
由知，
由，可得，，
令，则，，
问题转化为在有三个不相等的实数根，
即关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是，另一个实根在
当一个根在，另一个实根在，
令，
所以，
即，解得：，
当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是即，解得，
此时可求得另一根，所以符合题意，
当一个根是，另一个实根在，由得，
此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意，
综上的取值范围是．
【解析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
问题转化为在有三个不相等的实数根，即是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是，另一个实根在，结合二次方程的实根分布即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数及二次函数的性质在方程实根分布中的应用，属于中档题．
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